2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)立體幾何（解析版）

立體幾何

題型01空間幾何體的有關(guān)計(jì)算

題型02點(diǎn)線面位置關(guān)系、空間角及距離

題型03內(nèi)切球、外接球問(wèn)題

題型04空間向量

|題型01|空間幾何體的有關(guān)計(jì)算

1.（2024?山西晉城?統(tǒng)考一模）若一個(gè)正“棱臺(tái)的棱數(shù)大于15,且各棱的長(zhǎng)度構(gòu)成的集合為{2,3},

則〃的最小值為,該棱臺(tái)各棱的長(zhǎng)度之和的最小值為.

【答案】642

【分析】根據(jù)正“棱臺(tái)共有3〃條棱，從而得到不等式，求出"的最小值為6,得到棱的長(zhǎng)度之和最

小值.

【詳解】因?yàn)檎?棱臺(tái)的側(cè)棱有〃條，底面有2〃條棱，所以正”棱臺(tái)共有3〃條棱，

由3〃>15,得n>5,

所以〃的最小值為6,該棱臺(tái)各棱的長(zhǎng)度之和的最小值為2x12+3x6=42.

故答案為：6,42

2.（2024,浙江?校聯(lián)考一模）已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是1,4,且側(cè)面積為10K,則該圓臺(tái)的母

線長(zhǎng)為.

【答案】2

【分析】利用圓臺(tái)側(cè)面積公式求解即可.

【詳解】設(shè)母線長(zhǎng)度為/,由圓臺(tái)側(cè)面積公式得10n=gx（27txi+2兀x4）x/,

解得/=2,故圓臺(tái)母線長(zhǎng)度為2.

故答案為：2

3.（2024?安徽合肥?合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┣?。的半徑與圓錐〃的底面半徑相等，且它們的表

面積也相等，則圓錐M的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為,球。的體積與圓錐M的體積的比值

為.

0TT

【答案】Y/120°0

【分析】設(shè)球。的半徑及圓錐/的底面半徑均為K,圓錐M的母線長(zhǎng)為/,再根據(jù)球與圓錐的表面

積公式求得/=3R,即可得圓錐M的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小；根據(jù)勾股定理求得/z=20R，再結(jié)

合球與圓錐的體積公式分析體積比即可

【詳解】設(shè)球。的半徑及圓錐"的底面半徑均為R，圓錐M的母線長(zhǎng)為/,則4萬(wàn)玄=萬(wàn)4+石很，

所以/=3R,圓錐M的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角大小為軍=多；球。的體積為史長(zhǎng)，圓錐M的高

力="加=2同，圓錐M的體積為=￡衿，所以球O的體積與圓錐M的體積

的比值為

故答案為：，A/2

4.（2024?湖南長(zhǎng)沙?雅禮中學(xué)校考一模）已知圓錐的母線長(zhǎng)為2,則當(dāng)圓錐的母線與底面所成的角的

余弦值為時(shí)，圓錐的體積最大，最大值為.

【答案】逅向1萬(wàn)

327

【分析】由線面角的定義得出cos6=；,從而得出丫=，（1-5皿2。卜苗凡再由導(dǎo)數(shù)求解即可.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為廣，圓錐的母線與底面所成的角為易知cos8=1.

圓錐的體積為

V=-Ttr2-A/4-r~=—TTCOS22sin9=—cos2-sin=—（1-sin26）sin，

3333v'

令x=sina%￡（0,l）,則y=（1-sin28卜in夕=一/+%,y=-3f+】

(J3、

當(dāng)y'>0時(shí)，xe0,^-當(dāng)y<o時(shí),

7

即函數(shù)y=-/+x在0,一上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,

5.（2024?廣東深圳??？家荒＃┮阎獔A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為4的半圓.若用平行于圓錐的底

面，且與底面的距離為6的平面截圓錐，將此圓錐截成一個(gè)小圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，則小圓錐和圓臺(tái)的

體積之比為.

【答案】|/1：7

【分析】由題意，根據(jù)圓錐側(cè)面積計(jì)算公式，求的圓錐底面半徑、母線，結(jié)合三角形相似即可求出

小圓錐和圓臺(tái)的體積之比.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為/,

由題意，I-4,2jir=4TI,故r=2,

作圓錐軸截面如下圖：

所以4/=2,AC=4fCH=?6所以圓錐體積為丫△兀、22、2百=出色,

33

—CD1

因?yàn)橛门c底面的距離為百的平面截圓錐，故二=不，且△CD石AC4B,

所以小圓錐體積乂=Lxl2x囪=叵,

133

所以圓臺(tái)的體積匕=丫-匕=乎，

故小圓錐和圓臺(tái)的體積之比為?=￡

7,

故答案為：;

6.（2024?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考一模）正方體的8個(gè)頂點(diǎn)分別在4個(gè)互相平行的平面內(nèi)，每個(gè)平面內(nèi)至少

有一個(gè)頂點(diǎn)，且相鄰兩個(gè)平面間的距離為1,則該正方體的棱長(zhǎng)為（）

A.B.5/3C.2D.yjs

【答案】BD

【分析】分類(lèi)討論兩個(gè)平面的位置，作截面結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征運(yùn)算求解.

【詳解】設(shè)該正方體為ABC。-A46A，且其棱長(zhǎng)為。，

若考慮4個(gè)平面中最中間的兩個(gè)平面，共有兩種情況.

①若中間的兩個(gè)平面為平面4瓦）和平面BQC，如圖1所示,

則過(guò)A，A,C作截面，截面圖如圖2所示,

圖I圖2

其中E,尸分別為AC,AG中點(diǎn)，則AE=e=a,4石=乎a，

設(shè)相鄰兩平面間距離即為A到\E的距離/z,

可得=』x^^ax/z,解得/1=避~。,

22223

即相鄰兩平面間距離即為A到A,E的距離,

3

可知^^4=1,解得＜7=如；

3

②若中間的兩個(gè)平面如圖3所示，過(guò)5C,C］作截面，截面圖如圖4所示,

其中M,N分別為BC,BtCt中點(diǎn)，則=g°,A4,=a,4E=當(dāng)。，

設(shè)相鄰兩平面間距離即為8到與M的距離"，

XTW—x—axtz=—x^-ax（Z,解得d=^^a,

22225

即相鄰兩平面間距離即為B到與M的距離當(dāng)。，

則避^a=l,解得a=4；

5

故選：BD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)題意分類(lèi)討論平面的位置分布，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征以及截面分析求解.

7.（2024?云南曲靖?統(tǒng)考一模）為努力推進(jìn)“綠美校園”建設(shè)，營(yíng)造更加優(yōu)美的校園環(huán)境，某校準(zhǔn)備開(kāi)

展校園綠化活動(dòng).已知栽種某綠色植物的花盆可近似看成圓臺(tái)，圓臺(tái)兩底面直徑分別為18厘米，9

厘米，母線長(zhǎng)約為7.5厘米.現(xiàn)有2000個(gè)該種花盆，假定每一個(gè)花盆裝滿營(yíng)養(yǎng)土，請(qǐng)問(wèn)共需要營(yíng)養(yǎng)

土約為（）（參考數(shù)據(jù)：7T?3.14）

A.1.702立方米B.1.780立方米

C.1.730立方米D.1.822立方米

【答案】B

【分析】利用圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求高，再由圓臺(tái)體積公式求體積，即可求2000個(gè)該種花盆所需要的

營(yíng)養(yǎng)土.

【詳解】令2R=18,2r=9,/=葭（單位厘米），

則花盆的高h(yuǎn)=』_將）2=欄）2_（3>=6,

所以花盆的體積為卜=；*帔兀（7?2+尺/+/）=3'6*兀*（81+弓+?）=等，

故2000個(gè)該種花盆共需要營(yíng)養(yǎng)土約為迎^x2000。1780380立方厘米，即1.780立方米.

2

故選：B

8.（2024?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考一模）某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長(zhǎng)為40cm

的正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，則（）

A.該幾何體的頂點(diǎn)數(shù)為12

B.該幾何體的棱數(shù)為24

C.該幾何體的表面積為（4800+800g）cm2

D.該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項(xiàng)

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,該幾何體的頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，由正方體有12條棱即可判斷；對(duì)于B,由

該幾何體有6個(gè)面為正方形即可判斷；對(duì)于C,該幾何體的棱長(zhǎng)為歷;加=20血，根據(jù)正三角

形及正方形的面積公式求解即可判斷；對(duì)于D,原正方體內(nèi)切球的半徑為20cm,原正方體外接球的

半徑為叵巫巫=20石，該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為

2

^202+202=2072，根據(jù)球的表面積公式及等差中項(xiàng)的定義即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,該幾何體的頂點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，正方體有12條棱，所以該幾何體的頂點(diǎn)數(shù)

為12,故A正確；

對(duì)于B,由題意知，該幾何體有6個(gè)面為正方形，故該幾何體的棱數(shù)為6x4=24,故B正確；

對(duì)于C,該幾何體的棱長(zhǎng)為J2。?+202=20后,該幾何體有6個(gè)面為正方形，8個(gè)面為等邊三角形,

所以該幾何體的表面積為6x(2O0『+8x?x(20忘了=(4800+1600西)cn?,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,原正方體內(nèi)切球的半徑為20cm,內(nèi)切球表面積為1=471x2()2=16007101?.

原正方體外接球的半徑為叵孝“口=2073,外接球表面積為S2=4兀x(20』『=4800兀cn?.

由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為9+202=20年，

所以該幾何體外接球的表面積為S=4兀x(20c『=3200兀cm?.

因?yàn)?S=6400兀=1600K+4800=5+S2,

所以該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項(xiàng)，故D正確.

故選:ABD.

9.(2024?山西晉城統(tǒng)考一模)如圖，在正四棱柱ABCO-A耳￡2中，AB=2,M=4,CXE=3EC,

平面ABE將該正四棱柱分為上、下兩部分，記上部分對(duì)應(yīng)的幾何體為。上，下部分對(duì)應(yīng)的幾何體為

。下，則()

A.。下的體積為2

B.。上的體積為12

C.。下的外接球的表面積為9兀

D.平面ME截該正四棱柱所得截面的面積為2括

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意求截面，可知。下為直三棱柱皿-BCE,進(jìn)而可求相應(yīng)的體積，即可判斷AB；

利用補(bǔ)形法結(jié)合長(zhǎng)方體的性質(zhì)求外接球的半徑和表面積，即可得判斷C；可知平面4汨截該正四棱

柱所得截面為矩形即可得面積判斷D.

UULIULIULlULlULILILIULUUU

【詳解】設(shè)RF=3FD,AG=3GA8月=3HB,

連接EDAF,BE,GF,GH,EH,

由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知：EFI/AB,可知A,B,E,歹四點(diǎn)共面，

所以。下為直三棱柱ADF-BCE,其體積為gxlx2x2=2,故A正確;

。上的體積為22x4-2=14,B錯(cuò)誤.

。下的外接球即為長(zhǎng)方體ABCD-G/ffiF的外接球,

所以。下的外接球的半徑R=也2+j+F=|,

則。下的外接球的表面積為4兀&=9兀，C正確.

平面ABE截該正四棱柱所得截面為矩形AB￡F,其面積為2、彳涯=2君，D正確.

故選：ACD.

點(diǎn)線面位置關(guān)系、空間角及距離

10.（2024,河北?校聯(lián)考一模）已知直線/、m、兀與平面a、0,下列命題正確的是（）

A.若a///7,lua,nu。,貝lj"/〃B.若<zJ■力，lea,貝（I/J■尸

C.若/_）_〃，m±n,貝！|/〃7”D.若/La,1///3,則

【答案】D

【分析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系,以及垂直，平行的判斷和性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,若e///7,lua，nu（3,則/與"可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若。，尸，lea,貝h與夕可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若Un,m±n,則/與加可能平行，也可能相交或異面，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,若1///3,則由線面平行的性質(zhì)定理可知，必有4u/7,使得///心

又/La,則因?yàn)長(zhǎng)u6,所以C分，故D正確.

故選：D.

11.（2024?浙江?校聯(lián)考一模）已知直線和平面a,a<za,6〃a,則"。6"是"aPa"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由線面平行的判定、面面平行的性質(zhì)以及充分不必要條件的定義即可求解.

【詳解】因?yàn)樨笆?。，則存在cua使得bPc且

若。b且則4〃<:,

又且cue,所以aPa,充分性成立；

設(shè)分//e,bu0,au/3,acb=P,則有oPa,但不平行，即必要性不成立.

故選：A.

12.（2024?廣東深圳??？家荒＃┮阎猘,夕是兩個(gè)不同的平面，形，〃是兩條不同的直線，則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.若m_L〃，mVa,n工B,則eJ■分B.若mHti,mlla,,則tz〃/?

C.若〃mJla,aVp,貝D.若mHn,m^a,aL（3,則“〃/

【答案】A

【分析】由空間中線線、線面、面面之間的位置關(guān)系逐一判定各選項(xiàng)即可.

【詳解】若〃2_1_/，力，，，設(shè)外"對(duì)應(yīng)法向量分別為根,“，也是m,n的方向向量，由〃z_L",即機(jī)_L〃，

則arJ_〃，故A正確；

若m/ln,mlla,nlI13,則a與夕可能平行或相交，故B錯(cuò)誤；

若〃_zL〃，ml/a,aL（3,則“u4,或〃〃￡,或〃與夕相交，故C錯(cuò)誤；

若mHn,mA-a,則〃_l_a,又aL0,則〃//4或〃u#,D錯(cuò)誤.

故選：A

13.（2024?吉林白山?統(tǒng)考一模）正八面體可由連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成，如圖所示，在棱長(zhǎng)為

2的正八面體中，則有（）

A.直線AE與CP是異面直線B.平面平面ABE

C.該幾何體的體積為:行D.平面ABE與平面DCP間的距離為亞

33

【答案】D

【分析】可借助正方體解決正八面體的有關(guān)問(wèn)題.

【詳解】正八面體可由正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成，如圖：

因?yàn)檎嗣骟w的棱長(zhǎng)為2,所以正方體的棱長(zhǎng)為20.

???A,E,C,尸四點(diǎn)共面，直線AE與C廠是共面的，故A錯(cuò);

設(shè)二面角為。，S^=43,S正方形ABCD=4,所以cos。=—#——=>9K—.

V324

JT

所以：二面角E—尸=29片,，故B錯(cuò)；

V=-x4x2^=-V2,故C錯(cuò)；

33

由八面體的構(gòu)成可知：平面ABE和平面DCP之間的距離是正方體體對(duì)角線的;，所以兩個(gè)平面之

間的距離為：-x2V2xV3=—,故D對(duì).

33

故選：D

14.（2024?河南鄭州,鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在四棱錐尸-ABCD中，PA_L平面

ABCD,PA=AB=2,ZBAD=120,ACVBD,ABCD是等邊三角形.

B

（1）證明：平面BLD_L平面尸CD.

⑵求二面角8-尸C-D的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)姮

4

【分析】（1）設(shè)ACBD=O,由己知得AD_LCD,又PA_L平面A3CD得PA_LCD,利用線面垂

直的判斷定理得CD_L平面PAD,再由面面垂直的判斷定理可得平面RLD_L平面PCD；

（2）以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC的方向分別為達(dá)丁軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-邙.

求出平面尸3c的法向量、平面尸CD的法向量，由二面角的向量求法可得答案.

【詳解】（1）設(shè)ACBD=O,

因?yàn)椤?CD是等邊三角形，且AC13D,

所以。是80的中點(diǎn)，則AB=AT>,

又NBAD=120,所以/ADB=30,

所以—CD4=NC￡>B+/Ar)B=90,

即ADJ_CD,

又PA_1_平面ABCD,CDu平面ABCD,

所以

又AZ)cPA=A,

所以CD_L平面PA￡),

因?yàn)镃Ou平面尸CO,

所以平面上M>_L平面PCD.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC的方向分別為羽丫軸的正方向建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

因?yàn)樯?=AB=2,

所以B(>/3,0,0),C(0,3,0),D0,0),P(0,-1,2),

P8=(有,1,-2),PC=(0,4,-2),PD=(-V3,l,-2),

設(shè)平面PBC的法向量加=(X|，M，zJ,

則Rm。,令日，得一⑼,2),

設(shè)平面PCD的法向量為"=（%，%/2），

4y-2z=0,

22得百)

則「令%=13=1,1,2,

_"\/3%2+%—2Z[—0,

m-n1/..\

cosm,n=-,-=—,0<(m,n)<7i

\m\\n\4\/9

故二面角B-PC-D的正弦值為

15.（2024?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考一模）如圖,在三棱錐A-BCD中,平面ABC1平面BCD，且3c=,

/CBA=ZCBD=120，點(diǎn)尸在線段AC上，點(diǎn)Q在線段CO上.

⑴求證：ADJ.BC；

（2）若AC,平面臺(tái)尸。，求黑的值;

⑶在（2）的條件下，求平面可與平面尸8。所成角的余弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

⑶g

【分析】（1）根據(jù)三角形全等，可證明線線垂直，進(jìn)而可得線面垂直，進(jìn)而可求證，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量即可求解.或者利用空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可結(jié)合三角形的邊

角關(guān)系求解.

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.

【詳解】（1）證明：過(guò)A作直線BC于。，連接DO.

由題知BA=BD,BO=BO,ZABO=ZDBO=60,

ABO=DBO,:.NDOB=ZAOB=90,即BC_LDO,

又BC±AO,AOryDO=O,AO,DOu平面AOD,：.3CJ_平面AOD,

又ADu平面AC?,

（2）方法一：平面ABC人平面BCD,平面ABCc平面gCD=3C,

AO_LBC,AOu平面ABC:.AO_L平面BCD.

以。為原點(diǎn)，以的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，以求.鴕，拗的方向分別為x軸，y軸，z的正

方向建立空間直角坐標(biāo)系。-沖Z,如圖，則〃（石,0,0）,A（0,0,g）,8（0,l,0）,C（0,3,0）.

AC，平面BPQ,:.AC±BP,ACYBQ.

BA=BC尸為AC中點(diǎn)，由題知CD=^5/3,—3,0j,AC=(0,3,

又在ASC中，BC=BA=2,^ABC=120,

所以忸H=L.=走.

11BQ2

方法二：ACL^-^BPQ,:.ACLBP,AC±BQ.^BA=BC=2,由NABC=120知，:.BP=1.

平面ABC1平面5cZ),平面ABCc平面3c￡>=5C,AO,3cAOu平面ABC,

「.AO,平面BCD,又3。u平面BCD,..AO,3Q,又AC，5。,ACcAO=A,

BQ_L平面ABC:.BQLBC.

RC-rcq“百-2不.BP

￡>C=Z,NHCQ=3U=Zx=.=

33BQ2

(3)由(2)知，平面PBQ的一個(gè)法向量為AC，

設(shè)平面冊(cè)的一個(gè)法向量為〃=（羽y,z）.A3=（0,1,一碼,08=卜"1,0卜

n?AB=y—y/3z=0,

則令y=瓜則n=(1,0,1),

n?DB=-y[3x+y=0,

AC-n2A/3_V5

cosAC,n=

KH2出x55

???平面ABD與平面PBQ所成角的余弦值為鼻.

16.(2024?重慶?統(tǒng)考一模)如圖，四棱錐P-A3CD中，上4,底面ABC。，四邊形ABC。中，AB=AP,

AB±AD,AB+AD=6,CD="ZCDA=45°.

⑴若E為網(wǎng)的中點(diǎn)，求證：平面P5C1平面ADE；

(2)若平面的與平面PCD所成的角的余弦值為逅.

6

(i)求線段42的長(zhǎng)；

(ii)設(shè)G為二BAD內(nèi)(含邊界)的一點(diǎn)，且GB=2G4,求滿足條件的所有點(diǎn)G組成的軌跡的長(zhǎng)度.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

(2)(i)2；(ii)且兀.

3

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、判定，再結(jié)合面面垂直的判定推理即得.

(2)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=利用面面角的向量求法結(jié)合已知求出入再

求出AG并確定軌跡求解即得.

【詳解】(1)在四棱錐尸—ABCD中，上4,底面ABC。，ADu平面ABCD,貝

而PA=A,",PAu平面于是AD_L平面又P8u平面

則A￡>_LPB,由=E為尸3的中點(diǎn)，得AE，PB,AEAT>=A,AE,ADu平面A/汨，

因此尸3_L平面ADE,而PBu平面尸3C,

所以平面PBC1平面ADE.

(2)(i)由(1)知，直線AB,AD,AP兩兩垂直，

以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB,仞,”分別為無(wú),％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

過(guò)C作CF_LAD于尸，由應(yīng),/C7M=45。，得CF=DF=1,令A(yù)3=f(0<f<5),

則P(0,0,/),D(0,6-f,0),C(L5—f,0),PD=(0,6-t,-t),CD=(-1,1,0),

n-PD=(6-t)y-tz=0

設(shè)平面尸CD的法向量〃=(%,y,z),則《,令0=t,得〃=?/,6-力,

n-CD=-x+y=0

由AD_L平面得平面F45的一個(gè)法向量機(jī)=(0,1,0),

,,,,\m-n\t1,

依題忌，Icos(m,ri)|=---；=P—,亍=—,整理得產(chǎn)+4/-12=0,而f>0,解得f=2,

\m\\n\"+產(chǎn)+(6-)2

所以線段A3的長(zhǎng)為2.

(ii)顯然平面PAD,而AGu平面PAD,則AB_LAG,又BG=2AG,

于是(2AGy=AG2+22,解得AG=2叵，因此點(diǎn)G的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，2叵為半徑的圓的!,

334

所以點(diǎn)G的軌跡的長(zhǎng)度為工兀.友=①兀.

233

17.(2024?云南曲靖?統(tǒng)考一模)在圖1的直角梯形ABCD中，ZA=ZZ)=90,AB=BC=2,DC=3,

點(diǎn)E是。C邊上靠近于點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，以8E為折痕將一3CE折起，使點(diǎn)C到達(dá)G的位置，且

AC、=屈,如圖2.

圖1圖2

⑴求證：平面8GE_L平面ABED；

(2)在棱r?G上是否存在點(diǎn)P,使得二面角尸-EB-G的大小為45?若存在，求出線段0P的長(zhǎng)度,

若不存在說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;

⑵逅

3

【分析】(1)由直角梯形邊長(zhǎng)可知/C=60,連接AC交BE于點(diǎn)尸，由線面垂直的判定定理可證明

C/，平面ABED,即可得出結(jié)論;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面EBG的法向量，利用二面角P-仍-G的大小為45

解方程即可求得線段DP的長(zhǎng)度為逅.

3

【詳解】(1)根據(jù)題意，由直角梯形邊長(zhǎng)AB=8C=2,OC=3可知/C=60,/A8C=120；

又點(diǎn)E是。C邊上靠近于點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，所以EC=2,可得一BCE為等邊三角形；

連接AC,AE,AC交BE于點(diǎn)F,如下圖所示：

可得四邊形ABCE為菱形，所以ACL3E,

即折起后4尸，如下圖所示:

易知AF=C/=豆，又AC[=R,滿足AP2+C/2=AC：,即APLCZ；

又AFcBE=F,4尸,BEu平面ABED,所以G尸，平面ABED,

又因?yàn)镚尸u平面BGE,

所以平面BCXE1平面ABED；

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為羽'軸，產(chǎn)C；方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下

圖所示：

則￡>（0,0,0）川60,0）,8（62,0）,石（0,1,0）,歹[*,；,（）]，4*,；,若

I227I22

可得哈卜6-1,0）,￡>4=惇,|,若,

假設(shè)存在點(diǎn)尸滿足題意，設(shè)。P=2D￡=后"e[O,l],

/Q3、

由（1）可知AF,平面5GE,利用人尸=-^,-,0易得平面5GE的一個(gè)法向量可取為

I227

玩=.1,后0）

設(shè)平面PBE的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）,

BE?n=-^]3x-y=0

I/,n||—?!—3A|1

所以|cosJ,I=二丁,解得；1=刀或;l=_l（舍），

|〃帆245萬(wàn)一2彳+123

uumiuuur..i..[7

此時(shí)DP=§r?G，可得口尸卜=

即線段。尸的長(zhǎng)度為好.

3

18.（2024?云南曲靖?統(tǒng)考一模）如圖所示,正方體ABCD-AB'C'D的棱長(zhǎng)為1,反產(chǎn)分別是棱AA',CC

的中點(diǎn)，過(guò)直線E尸的平面分別與棱交于點(diǎn)M,N,以下四個(gè)命題中正確的是（）

A.四邊形項(xiàng)ffW一定為菱形

B.四棱錐A-MENF體積為（

C.平面目平面DB80f

D.四邊形￡MKV的周長(zhǎng)最小值為4

【答案】ACD

【分析】由正方體截面性質(zhì)有項(xiàng)QW為平行四邊形，若G,，為。中點(diǎn)，易得EHPG為正方形,

進(jìn)而得到EM=初尸即可判斷A；由到面AEF的距離之和為底面對(duì)角線且

匕一”硒〃=%一4跖+匕一4跖求體積判斷B；利用線面垂直、面面垂直的判定判斷C；根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)

特征判斷在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，周長(zhǎng)最短時(shí)位置判斷D.

【詳解】由題意，正方體截面的性質(zhì)易知￡M〃N￡EN//MF,即MV為平行四邊形，

取G,H為。。,38'中點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是棱AA',CC'的中點(diǎn)，則為正方形，

所以EH=FH,4HM="HM=90。,則項(xiàng)f=故項(xiàng)ffN為菱形，A對(duì)；

由到面AEF的距離之和為底面對(duì)角線為0,

又匕-MENF=%-謝+%-AEF=[*0，$AEF=￡*應(yīng)X3X1X0=公為定值，B錯(cuò)；

33226

由菱形性質(zhì)知MN_LEF,由正方體性質(zhì)知。。，面EHFG,EFu面EHFG,則DDJ_EF,

又MNDD'=N,MN,。。u面DBB'D',故Eb上面DBB'D',

而EFu面所以平面RWFN_L平面DBB77,C對(duì)；

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，僅當(dāng)它們?yōu)閷?duì)應(yīng)線段中點(diǎn)時(shí)，菱形EM/W各邊最短且為1,

此時(shí)用叱N為正方形，周長(zhǎng)為4,D對(duì).

19.（2024?山東濟(jì)南,山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,

__7T__jr

PB與底面ABCD所成的角為一，底面ABCD為直角梯形，ZABC=ZBAD=-,AD=2,PA=BC=1,

42

點(diǎn)E為棱尸。上一點(diǎn)，滿足PE=XPD（OVXV1）,下列結(jié)論正確的是（）

B.在棱尸D上不存在點(diǎn)E,使得CE〃平面R4B

C.當(dāng)彳=:時(shí)，異面直線CE與所成角的余弦值為乎；

D.點(diǎn)尸到直線CD的距離有；

【答案】ACD

【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷A；由A的結(jié)論，可推得CDLPC,即可知點(diǎn)尸到直線。

的距離即為尸C的長(zhǎng)度，計(jì)算求得PC長(zhǎng)，判斷D；采用平移法，作出異面直線CE與A3所成角，解

三角形可求得CE與A3所成角的余弦值，判斷C；結(jié)合C選項(xiàng)，根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷

B.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)镻AL平面ABC。，CDu平面A3CD,ABu平面A3CD,

所以R4_LCD,PALAB,

__jr

故NP8A即為PB與底面ABCD所成的角，即/尸54=:，

4

兀，

故AB=A4=1,而NA8C=,,所以AC=A/A*+BC?=0，

在直角梯形45co中，CD=7（2-1）2+12=y/2,

貝l]AC2+cr>2=A￡>2,故AC_LCD,

又因?yàn)锳PAC=A,AP,ACu平面PAC,所以CD_L平面PAC,

因?yàn)镃Du平面尸CD,故平面PC￡)_L平面PAC,故A正確；

D選項(xiàng)：由A選項(xiàng)的證明過(guò)程可知：CD,平面PAC,

因?yàn)槭珻u平面PAC,所以CDLPC,

故點(diǎn)尸到直線CD的距離即為PC的長(zhǎng)度，

因?yàn)镻A_L平面A3CD,ACu平面A8CD,故B4_LAC,

而PA=1,AC=V2,.-.PC=VPA2+AC2=#+(后=&,

即點(diǎn)尸到直線CO的距離/，故D正確；

對(duì)于C,當(dāng)2時(shí)，PE=^PD,即E為PO的中點(diǎn)，

P

設(shè)廠為以的中點(diǎn)，連接/，

則斯//4。,所=L4。，

2

-^BC//AD,BC=-AD,故EFHBC,EF=BC,

2

故四邊形EFBC為平行四邊形，則CE//BF,

故異面直線CE與所成角即為BE的夾角，

在RtVE4B中，AF=-PA=-,AB=\,:.BF=

22

-1_2石

rn.lCOSNFBA-=—廣—

則BF舊5,

則異面直線CE與A3所成角的余弦值為半，C正確;

對(duì)于B,由C選項(xiàng)知，當(dāng)幾=3時(shí)，CEHBF,

因?yàn)镃E<Z平面PR,BRu平面弘8,

所以CE〃平面B1B,

所以2=g時(shí)，CE〃平面F4B,故B錯(cuò)誤.

故選：ACD.

20.(2024?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平

面ABCD,PA=AB,點(diǎn)、E,尸分別是棱PB,8c的中點(diǎn).

⑴求直線AF與平面PBC所成角的正弦值；

(2)在截面AEF內(nèi)是否存在點(diǎn)G,使￡>G_L平面AEF,并說(shuō)明理由.

【答案】⑴典

5

(2)不存在，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)由題意可建立相應(yīng)空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量計(jì)算即可得；

(2)假設(shè)存在，可設(shè)AP=2AE+〃AF,A>0,〃2。，+結(jié)合空間向量解出幾、〃，可

得其與假設(shè)矛盾，故不存在.

【詳解】(1)由PA_L平面ABCD,AB、ADu平面ABCD,

故F4_LAB、PA±AD,又底面A3CD為正方形，故

即上4、AD,A8兩兩垂直，

故可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，鉆的方向?yàn)闊o(wú)軸正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-邙，

不妨設(shè)AB=2,則40,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),

￡(1,0,1),F(2,l,0),A歹=(2,1,0),BP=(-2,0,2),BC=(0,2,0),

n-BP=0—2x+2z=0

設(shè)平面PBC的法向量〃=(羽y,z),即

n-BC=Q2y=0

可取〃=(1,0,1),

n?AF

因?yàn)閏os〈九,AF〉=-------

\n\-\AF\

(2)假設(shè)截面的內(nèi)存在點(diǎn)G滿足條件,

^AG=AAE+juAF,2>0,X+

有AE=(1,O,1),AF=(2,1,0),ZM=(O,-2,O),

所以DG=+AG=(2+2〃,〃一2,2),

DGAE=0

因?yàn)镺G_L平面AEF,所以，

DGAF=0J

北二

24+2〃=03

所以22+5/7-2=0,解得'

2

〃=一

3

這與假設(shè)矛盾，所以不存在點(diǎn)G,使OG,平面用.

21.(2024?山西晉城?統(tǒng)考一模)如圖，P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCZJEF所在平面外一點(diǎn)，8尸的

中點(diǎn)。為「在平面ABCDEF內(nèi)的射影，PM=2MF.

(1)證明：MEH平面PBD.

(2)若24=2,二面角A—PB—D的大小為6,求cos26.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

29

(2)cos2。=-

【分析】（1）設(shè)PN=2NB，連接MN,可證四邊形瓦為平行四邊形，所以ME//NK,從而得

證MEH平面PBD；

（2）由空間向量法求得二面角A-PB-O的大小為凡|cos6|=乎，再由二倍角公式求解.

V35

【詳解】（1）如圖，設(shè)PN=2NB，連接MN.

PNPM2

因?yàn)槭琈=2MF，所以==所以MN//BF,且MN-BF.

NBMF3

連接CE交30于K,連接血V,

由NXDC=30,所以NKDE=90,

RtKDE中,KD=-KE,KC=KD,

2

99

所以EK=—CE=—BF=MN,

33

由CE//BF,可得EK/IMN,所以四邊形為平行四邊形，

所以ME//NK.

又因?yàn)镸E,平面尸的，NKu平面PBD,

所以ME//平面PBD.

（2）以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

易知OA=1,0D=3,OB=-^3,PO=-JPA1-AO2=A/3>

則尸(0,。,百)，2(30,0),。(0,3,0),A(0-1,0),

貝ljBP=(-石,0,百)，AP=(0J,A/3),BD=(-V3,3,0).

.n.-AP=0,y+y/3z=0,

設(shè)平面P4B的法向量為％=(x,y,z,則”即,廠「

\7n,BP=0,+任=0,

令x=l,得4=(1,-.

n2-BD=0,

設(shè)平面尸BD的法向量為%=（占,％,zj,貝小

n2?BP=0,

令y=l,得%=（右,1,6}

得2會(huì)

所以cos20=2cos2，-1=2|cosq2-1=-云.

22.（2024?河南鄭州?鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在正方體ABCD-A用CQ中，點(diǎn)P是

的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線CQ上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

B.異面直線PD與C2所成的角為；

C.當(dāng)A8的長(zhǎng)度為定值時(shí)，三棱錐。-PBQ的體積為定值

D.平面尸班）_L平面AC0

【答案】ABC

【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,求出相關(guān)線段長(zhǎng)度，利用勾股定理逆定理可判斷△PBO形狀，判斷

A；利用平移法可求得異面直線尸。與C2所成的角，判斷B；根據(jù)棱錐的體積公式可判斷C；建立空

間直角坐標(biāo)系，利用空間位置的向量證明方法可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸是的中點(diǎn)，故POLA，;

AB±平面ADD^,ADtu平面ADDlAi,故AB_LAD1,

貝UBD=20,PD=；AD】=yJl,PB=百=布,

貝！13￡>2=尸￡）2+尸32,即PDJLPB,即△尸BD是直角三角形，A正確;

對(duì)于B,在正方體ABC。-A用GR中，點(diǎn)P是4鼻的中點(diǎn),

則直線DP即為直線4。，異面直線PD馬CD、所成的角即異面直線\D與CD,所成的角,

由于A片//AB//CD,A]B=AB=CD,故四邊形A4CD為平行四邊形,

所以AD//BC,則N4c2即為異面直線AtD與CD,所成的角或其補(bǔ)角,

連接42，則B[P=B]C=Cp=2jL即N4C〃=5,

故異面直線PO與C2所成的角為三，B正確；

對(duì)于C,設(shè)48,8交于點(diǎn)0,則。為AC的中點(diǎn)，連接P。,

則尸。為△ACD1的中位線，故PO//C2，POu平面PBD,C￡)]CZ平面P6D,

故CR//平面尸BD,

當(dāng)AB的長(zhǎng)度為定值時(shí)，CM到平面PBD的距離為定值，則Q到平面PBD的距離為定值,

而△PBD的面積為定值，故%”皿為定值,

又三棱錐D-PBQ的體積VD_PBQ=VQ_PBD,故三棱錐D-PBQ的體積為定值，C正確;

對(duì)于D,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。ADC,。，所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則D(0,0,0),BQ,2,0),P(l,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),D,(0,0,2),

則DP=(1,0,l),DS=(2,2,0),AC=(-2,2,0),也=(-2,0,2),

m?DP=x+z=0

設(shè)平面P8D的法向量為冽=(x,y,z),貝!!,

m-DB=2x+2y=0

令X=l,則根=(1,-1,一1)；

n-AC=-2a+2b=0

設(shè)平面ACQ的法向量為〃=(",4c),則,

n?ADX=-2a+2c=0

令。=1,則〃=(1,1,1)；

則相==即機(jī)，"不垂直,

故平面P8D和平面AC'不垂直，D錯(cuò)誤,

故選：ABC

23.(2024?浙江?校聯(lián)考一模)在三棱柱ABC-A旦G中，四邊形BCQ片是菱形,ABC是等邊三角

形，點(diǎn)M是線段A3的中點(diǎn)，ZABB,=60°.

(1)證明：8。，平面ABC1；

(2)若平面ABBH，平面A3C,求直線與C與平面所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)四邊形BCG片是菱形，可得用C1BG；在AC與中，根據(jù)題意可證明=AC,

又N是BQ的中點(diǎn)，得用CLAN,即可得到結(jié)論.

（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面AMG的法向量，利用線面角公式即可.

【詳解】（1）設(shè)BG與BQ交點(diǎn)為N,連接A21,AN.

四邊形BCC,B,是菱形，，B,C1BC1,B,B=BC,N是與C的中點(diǎn).

在，A明中，ByB=AB,/ABB】=60°,:.AABB,是等邊三角形，，4月=AB.

在，AC與中，44=47,"是80的中點(diǎn)，.”（，4M

又B[CLBC、,ANBG=N,AN,BGu平面ABC1，.18（_L平面ABC1.

（2）連接甲W,

AB片是等邊三角形，/是線段AB的中點(diǎn)，，與AB

又「平面ABB】A，平面ABC,平面ASCc平面ABBIA=AB,平面4220,

BtM_L平面ABC.

以/為原點(diǎn)，所在直線分別為龍軸，y軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)AB=2,則M（O,O,O）,A（-1,O,O）,8（1,O,O）,C（O,△,O）,其卜2,0,石），耳（0,0,班卜

于是2=（-2,0,5/3）,^^=（0,0,^）,^=（-1,73,0）,^6=（0,73,-5/3）,

MQ=MB{+BtCl=MBl+BC=（-1,6@

n-MA=0-2x