2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

高二上學(xué)期第一次月考試卷

數(shù)學(xué)

考生注意：

L本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)

應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：人教B版選擇性必修第一冊(cè)第一章?第二章第2節(jié).

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.己知直線(a-G)x+y+2=0的傾斜角為30°,則。=()

A.2GD.O

33

2.若值=(—1,2,—1)石=(1,3,—2),則卜+孫(1-2今=()

A.-29B.-22C.22D.29

3.如果48>0且5。<0,那么直線4t+為+C=0不經(jīng)過()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.如圖，在四棱錐P—48C。中，底面4BCD是平行四邊形，點(diǎn)￡在側(cè)棱PC上，且尸￡若

2

AB=a,AD=b,AP^c,則近=（）

333333

2-2-1-2-21一

C.—a+—b+—cD.——a——br——c

333333

5.已知加為實(shí)數(shù)，直線4:(m+2)x+j-2=0,/2:5x+(ffl-2)j+l=0,則“(〃(”是“〃i=—3”的

()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

6.已知空間中三點(diǎn)2(0,0刀),8(1,-1,2),。(一1,一2,1),則以48,4C為鄰邊的平行四邊形的面積為

()

33A/3r

A.-B.±C.3D.3V3

22

7.點(diǎn)幺(2,-4)到直線/:(1-3機(jī))x+(l—m)y+4+4機(jī)=0(加為任意實(shí)數(shù))的距離的取值范圍是

()

A.[0,5]B,[0,2V5]C.[0,4]D[0,6]

8.在正三棱錐P—4BC中，P4=48=4,點(diǎn)。,￡分別是棱尸C/8的中點(diǎn)，則而.而=()

A.-2B.-4C.-6D.-8

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.直線x_y+l=0與直線x_y_l=0之間的距離為行

B.直線x-2y-4=0在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為6

C.將直線＞=x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°，所得到的直線為j

D.若直線/向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度后，回到原來的位置，則直線/的斜率為-2

3

10.在正方體4SC。-中，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量為()

A.AAVAB,ACB.BA,BC,BD

C.苑，函，函D.AD^BA^'AC

II.如圖，在棱長均為I的平行六面體451GA中，仍1，平面Z5CO/N5C=60°,尸，。分

別是線段/C和線段48上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足瓶=2鬲，麗=(1-4)石，則下列說法正確的是()

A.當(dāng)；I=；時(shí)，PQ//AXD

B.當(dāng)X二；時(shí)，若尸。=%/5+｝；/￡）+244（%//￡區(qū)），則x+y+z=O

1兀

C.當(dāng)2=—時(shí)，直線尸0與直線CG所成角的大小為一

36

D.當(dāng)Xe（（M）時(shí)，三棱錐。尸的體積的最大值為"

48

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線/過點(diǎn)幺（1,2）,且在歹軸上的截距是在無軸上截距的2倍，則直線/的方程為.

13.在空間直角坐標(biāo)系0—平中，已知2（2,2,0）,8（2,1,—3）,C（0,2,0）,則三棱錐O—/5C的體積為

14.在棱長為4的正方體48C。-中，點(diǎn)￡,尸分別為棱。的中點(diǎn)，M,N分別為線段

。14,44上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），豆ENLFM,則線段"乂的長度的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

如圖，正方體ABCD-AiBgDi的棱長為2.

（1）用空間向量方法證明：4G//平面/CD1；

（2）求直線8。與平面/CD1所成角的正弦值.

16.（本小題滿分15分）

已知點(diǎn)尸（1,3）,點(diǎn)N（-3,-1）,直線過點(diǎn)（一2,4）且與直線PN垂直.

（1）求直線4的方程；

（2）求直線Z2:2X+V-5=0關(guān)于直線4的對(duì)稱直線的方程.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

17.（本小題滿分15分）

如圖，已知平行六面體4BCD-

（1）若Z8=4,ZQ=3,ZH=3,/5Z￡）=90°,/8ZH=60°,/ZUH=60°,求NC'的長度；

（2）若4B=4D=4A=2,NB4D=/B4A=/D4A'=60°,求NC與8。'所成角的余弦值.

18.（本小題滿分17分）

如圖，四邊形48?！肥侵苯翘菪?，4B〃CD,AB上BC,AB=BC=2CD=2,E為BC的中點(diǎn)、,尸是平

面48C。外一點(diǎn)，PA=1,PB=下,PE上BD,M是線段PB上一點(diǎn)、,三棱錐M—的體積是;.

P

（1）求證：上平面48cO；

（2）求二面角M——4的余弦值.

19.（本小題滿分17分）

如圖，在三棱臺(tái)4BC—4用。］中，V48C是等邊三角形，48=24用=4,Cq=2,側(cè)棱CC1，平面

點(diǎn)。是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)￡是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)8）.

(1)證明：平面AA^B1平面DCCi；

(2)求平面/BE與平面4CE所成角的余弦值的最小值.

高二上學(xué)期第一次月考試卷-數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

1.C由題意知直線的斜率為G—4,所以tan30°=G—a=@，解得.故選C.

33

2.A由a=(―1,2,—l),b=(1,3,—2),得a+6=(0,5,-3),a-2b=(-3,-4,3),所以

,+B).k-2占)=-29.故選A.

C

3.C由/5>0且3C<0,可得48同號(hào)，B,c異號(hào),所以4。也是異號(hào).令X=O,得>二——>0；

B

C

令歹=0,得]=——>0,所以直線4r+助+。=0不經(jīng)過第三象限.故選C.

A

1—?1—?

4.A因?yàn)槭甓狤C,所以PE=—PC,根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得

23

—*—?—?—?1—?—?1/—?—>\2—>1—?2--1/—?—1—?1—?2—*

AE=AP+PE=AP+-PC=AP+-\PA+AC\=-AP+-AC=-AP+-\AB+AD\=-AB+-AD+-AP

33、,3333、)333

—?1_1-2一..

，所以4￡=—QH—b-\—c.故選A.

333

5

一(加+2)

vyi—2

5.B易知兩直線的斜率存在，當(dāng)4〃4時(shí)，貝卜解得加=±3,由/]〃/2推不出

2中

m-2

m=—3,充分性不成立；當(dāng)m=-3時(shí)，可以推出4〃4，必要性成立.故選B.

AB-AClx(-l)+(-l)x(-2)+2xl1

6.D在,就夾角的余弦值為cos<AB,AC>=

阿.西+(_1)2+22.J(_l)2+(—2)2+12,

因此五瓦就夾角的正弦值為sin<Zg,^C>=—，故以4B,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為

2

________^

S二|刀口/卜吊〈方,衣〉=遙X逐X券=3百.故選D.

7.B將直線方程(1-3%)x+(l—機(jī))歹+4+4機(jī)=0變形為(x+y+4)+(-3x-y+4)加=0,所以

x+y+4=0,x=4,

[-3x7+4=。解得|由此可得直線/恒過點(diǎn)8(4,-8),所以4到直線/的最遠(yuǎn)距離為|4B|,此

J=-8,

時(shí)直線I垂直于AB,A到直線/的最短距離為0,此時(shí)直線I經(jīng)過點(diǎn)4.又

\AB\='(2-4)2+(—4+8(=2石，所以4到直線/的距離的取值范圍是［。,2君］.故選B.

8.D在正三棱錐P—4BC中，PA=4B=4,所以

PA=PB=PC=4,/APB=ZAPC=NBPC=60°,又

AD=PD-PA=^PC-PA,PE=^{PA+PB)=^PA+^PB,所以

___.-.(1—.-(1—.1—1-,—.1—.—.1——1-.—.

ADPE=\-PC-PA--PA+-PB\=—PCPA+—PCPB——PAT2——PBPA

[2[22J4422

=—x4x4x—+—x4x4x--—x42--x4x4x—=-8.故選D.

4242222—

1+1

9.ACD直線X—y+l=0與直線X—y—l=o之間的距離d、回，故A正確；對(duì)

#+(-1)2

x-2y-4=o,令x=0,得歹=-2,令y=0得x=4,所以直線x—2y—4=0在兩坐標(biāo)軸上的截距之

和為2,故B錯(cuò)誤；V=x的傾斜角為45。，繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°后，所得直線的傾斜角為120。，斜率為

—也,故C正確；設(shè)直線/的方程為以+勿+c=0,向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度

后得a(x+3)+Z?(y—2)+。=0,即〃x+6y+c+3〃-2b=0,與++c=0是同一條直線，所以

2

3a—2b=0,所以左==—,故D正確.故選ACD.

b3

10.AC空間的一組向量｛扇可可以成為基底的充分必要條件是這組向量不共面.選項(xiàng)A中，直線

48,4。所在的平面是4BCD,而與平面4BC。相交，所以五不，加，"不共面，故這組向量可以

成為基底，A正確；選項(xiàng)B,瓦4能，面滿足詼+4=麗，所以這三個(gè)向量共面，這組向量不可以

成為基底，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，直線所在的平面是4BG2,而Cg與平面相交，所以

苑1，西，西不共面，這組向量可以成為基底，C正確；選項(xiàng)D中，因?yàn)?/p>

AD^AC+CD^AC+BA1,所以N瓦，鳳，就共面，這組

向量不可以成為基底，D錯(cuò)誤.故選AC.

AiD、

11.ABD由平行六面體4SCD—知四邊形48。。是平行四邊形，連接助，當(dāng)幾=；時(shí),

P,。分別是NC45的中點(diǎn)，所以尸也是8。的中點(diǎn)，所以尸0〃4。，故A正確；當(dāng)力=；時(shí)，由

選項(xiàng)可知尸；。=一；；幺

A0=440+4又尸0=X43+3/40+2441(%,%2￡區(qū))，所以

x=O,y=——,z=—,x+y+z=Of故B正確；當(dāng)％二§時(shí),

反]=函，網(wǎng)=麗_麗=;可_回+而）=;可_[|^+呵

1/—?—>\2/—?—?、—?1—?1—?1—?

-^BA+BB}j--(BA-BCj-BC=-BBy--BA--BC,因?yàn)樵诶忾L均為1的平行六面體

Z5CO—451GA中，AS】J.平面A5CO,/N5C=60°,所以|函|=|而|=|蔗|=1,

BB,-BA=Q,BB.-BC=Q,BA-BC=-,所以

2

1—?1—?1

-BB——BA——,BB]

31}33

1—?21—?—?1—?—?1

=潸\--BA-BBX--BC^BBX=~,設(shè)直線尸。與直線所成角為仇則

]兀7T71

-，又。e0,-,所以。=弓，即直線尸0與直線CG所成角為鼻，故C

乙NDD

錯(cuò)誤；過。作。8〃交于〃，可證08,平面48c。，所以三棱錐0-6。尸的體積

%=；x；5CxCPxsin60°x"=；x；xlx(l—/l)xsin60°x/l=%(l—/Q4,,V3(1—A+VJ

!?[2J-48

當(dāng)且僅當(dāng)1—4=2,即4=工時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選ABD.

2

12.2x—y=0或2x+y—4=0設(shè)/在x軸上的截距為a,貝心在〉軸上的截距為2a,若a=0,則/過

原點(diǎn)（0,0）,故/的方程為J=2x,即2x—y=0；若貝i]/的方程為±+上=1,所以

a2a

1r\

-+—=1,所以a=2,所以/的方程為±+2=1,即2x+y—4=0.綜上所述，直線/的方程為

a2a24

2x—y=0,或2x+y—4=0.

13.2由題意得反=（0,2,0）,%=（—2,0,0）,所以無?*=（）,℃_LNC,VOC4的面積為

；|反|仔6=2,點(diǎn)。,4。都在平面l0歹上，點(diǎn)8（2,1,—3）到平面工。的距離3,所以三棱錐

O—4BC的體積為,x2x3=2.

3

14.拽以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為了軸、歹軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如

5

圖所示.所以￡（2,0,0）,尸（4,4,2）,設(shè)M（x,0,4）,N（4,y,4）,其中0<x<4,0〈歹<4,則

麗=（2/,4）,屈=（%—4,—4,2）.又函上前，所以

EN-FM=（2,y,4）ix-4,-4,2）=2x-4y=Q,所以x=2y,又0<x<4,0（歹<4,所以

0<”2,所以……+…—…叱…。[可+詈所以

MN.=逑，此時(shí)歹=號(hào)，即線段的長度的最小值為拽.

mm555

15.如圖，以。為原點(diǎn)，所在直線分別為無軸，歹軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系。中Z,則N(2,0,0),C(0,2,0)，4(2,0,2),C；(0,2,2),5(2,2,0),^(0,0,2).

所以對(duì)=(-2,2,0),AC=(-2,2,0),疝=(-2,0,2),BD=(-2,-2,0).

n-AC=0,—2x+2y—0,

（1）證明：設(shè)平面的法向量為萬=（x,y,z）,由《得《

n-AD、=0,[-2x+2z=0,

令工=1,得力=(1,1,1).

因?yàn)閷?duì)?為=—2xl+2xl+0xl=0,所以前，為，

又平面acD所以平面

4G<z「4G//ACDX.

（2）解：由（1）,得平面/cn的法向量方

設(shè)直線與平面/C2所成角為。，則

I,\BD-n\|-2xl+（-2）xl+0xl|I網(wǎng).

11

\BD\-\H\2V2XV3|3|3

所以直線BD與平面ACD,所成角的正弦值為逅.

3

3-（-1）

16.解：（1）因?yàn)樽?=];二=1，直線4與直線PN垂直，所以直線的斜率為-1,

1一（一引

又直線4過點(diǎn)（一2,4）,所以直線4的方程為〉一4=一（》+2）,即x+y—2=0.

x+y-2=0,x=3,

(2)由＜解得《,故4,，2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-1），

2x+y-5=0,〔y=—1,

因?yàn)?（0,5）在直線/2：2%+>一5=0上，設(shè)幺（0,5）關(guān)于4對(duì)稱的點(diǎn)為4（根,〃），

n-51

---=1,

m

則

m〃+5

一十-2=0,

[22

所以直線關(guān)于直線4對(duì)稱的直線經(jīng)過點(diǎn)(3,-1),(-3,2),

代入兩點(diǎn)式方程得上里=士之，即x+2y—1=0,

2+1-3-3

所以直線Z2:2x+v-5=0關(guān)于直線4的對(duì)稱直線的方程為x+2y-l=0.

17.解:(1)AB-AD=0,AB-AA'=4x3xcos60°=6,ZD-2?=3X3XCOS60°=-,

2

因?yàn)槎?方+而+五？，

所以=|2g|2+|2D|2+^AA'^+2AB-AD+2AB-AA'+2AD-AA'=16+9+9+0+12+9=55,

所以西=屈.

(2)因?yàn)椤?方+而，初=礪一方=2?+而—方，

所以而初=(益+力).(/+詬-砌=相衣-網(wǎng)2+AD.Z?+|2D|2=2X2X2X

cos60°=4，

10分

22o2

因?yàn)椤?、?而|而「+2Ag.2D+|2D|=2+2x2x2xcos60+2=12,所以

國=2技

因?yàn)橛?=|Z?+AD-2g|2=|Z?|2+|2D|2+|2S|2+2AA'-AD-2AA'-AB-2AD-AB

=3X22-2X2X2XCOS600=8.所以|初|=2后，

I/——Ai\AC-BD'\4網(wǎng)

設(shè)NC與BD'所成的角為夕，則cos?=|cos^C,5￡),)|=面鬲=，

即NC與BD'所成角的余弦值為—.

6

18.(1)證明：如圖，連接/E交于點(diǎn)尸，

因?yàn)锳B=BC,BE=；BC=1=CD,ZABE=/BCD=90°,

所以7ABEABCD,所以ZBAE=NCBD,

因?yàn)镹ABD+NCBD=90°，所以/ABD+NBAE=90°，

所以//尸8=90°，即

又因?yàn)锽DLPE,PEcAE=￡，尸￡,/￡u平面PAE,

所以平面尸ZE,又尸4u平面尸4E,所以8。，尸4.

又因?yàn)椤?2+452=1+4=5=尸臺(tái)2,所以尸

又BDcAB=B,BD,ABu平面ABCD,

所以24_1平面4BCZX

（2）解：以8為原點(diǎn)，845。所在直線分別為xj軸，平行于4P的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

如圖所示，則8（0,0,0）,/（2,0,0）,。（0,2,0）,尸（2,0,1）,￡（0,1,0）,。（1,2,0）,麗=（2,0,1）.

設(shè)就=4而（0”4,1）,則菽=（240"）,即點(diǎn)M（240"）,

則三棱錐M-BDE的體積V=—xSVBDEX2='X!X1X1X/1=LX=!,解得2,

332693

所以喉切

則EV=[g,-l,g],EZ)=(1,1,0),設(shè)平面DEM的法向量為=(x,y,z),

n-ED=x+j=0,

由<_——.42，令x=-2,得平面。瓦0的一個(gè)法向量萬=(-2,2,7),

n-EM=-x-v+—z=0,

L3'3

易知，萬=（0,0,1）為平面ZOE的一個(gè)法向量,

n-AP77V57

所以cos<n,AP>=HR百一與

由圖可知二面角M-DE-A是銳二面角，故二面角M-DE-A的余弦值是工叵.

57

19.（1）證明：因?yàn)閂/BC是等邊三角形，點(diǎn)。是棱的中點(diǎn)，所以CDL4B,

又eq1平面ABC,ABu平面ABC,所以C。，48,

又CCXcCD=C,cq,COu平面DCQ,所以ZB_L平面DCQ,

又48u平面NN/R,所以平面平面。eq.

（2）解：在平面4BC中，過點(diǎn)C作。尸〃48,所以又平