2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練（北師大版選擇性必修第一冊(cè)）正態(tài)分布-解析版

第05講正態(tài)分布

BI學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①了解正態(tài)分布的概念；1.了解正態(tài)分布的基本定義，包括其數(shù)學(xué)表達(dá)式和參

②理解正態(tài)分布參數(shù)的含義；數(shù)含義；

③熟練掌握正態(tài)分布的用途及概率計(jì)算公2.學(xué)生應(yīng)能識(shí)別和解釋正態(tài)曲線的形狀特征；

式.3.運(yùn)用正態(tài)分布的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.

02思維導(dǎo)圖

正態(tài)曲線

知識(shí)清單正態(tài)曲線的性質(zhì)

正態(tài)分布

正度分布“咨

正態(tài)曲線的性質(zhì)

題型講解正態(tài)分布的概率

正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)一、正態(tài)曲線

我們把函數(shù)以。(X)XG(-00,+00)(其中〃是樣本均值，O'是樣本標(biāo)準(zhǔn)差)的圖象稱為

正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低.

知識(shí)點(diǎn)二、正態(tài)曲線的性質(zhì)

(1)曲線位于X軸上方，與X軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=〃對(duì)稱；

1

(3)曲線在無(wú)=〃處達(dá)到峰值(最大值)

（4）曲線與x軸之間的面積為1；

（5）當(dāng)b一定時(shí)，曲線的位置由〃確定，曲線隨著〃的變化而沿x軸平移，如圖甲所示：

（6）當(dāng)〃一定時(shí)，曲線的形狀由。確定.。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；。越大，曲線

知識(shí)點(diǎn)三、正態(tài)分布

1、定義

隨機(jī)變量X落在區(qū)間（°,可的概率為2°＜不46）=1也式幻心，即由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn)（a,0）和點(diǎn)（6,0）的

兩條x軸的垂線，及x軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是X落在區(qū)間（a,可的概率

的近似值.

一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b{a＜b）,隨機(jī)變量X滿足尸（avXWbhfbKx）*,則稱隨機(jī)變量X服

從正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)〃，a確定，因此正態(tài)分布常記作"（〃，被）.如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)

分布，則記為

其中，參數(shù)〃是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；。是衡量隨機(jī)變量總

體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì).

2、3b原則

若X~N（N，,則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)。＞0,尸（〃-+9Mo.（x）dx為下圖中陰影部分的面積,

對(duì)于固定的〃和a而言，該面積隨著。的減小而變大.這說(shuō)明。越小，X落在區(qū)間（〃-a,〃+?的概率越大，

即X集中在〃周圍的概率越大

特另IJ地，有尸（〃一。<XV〃+cr）=0.6826；P（〃一2b<XV〃+2。）=0.9544；P（〃-3b<XV〃+3（r）=0.9974

由P（〃-3b<XW〃+3b）=0.9974,知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間（〃-3b,〃+3b）之內(nèi).而在此區(qū)間以外

取值的概率只有0.0026,通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件.在實(shí)際應(yīng)用

中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布NQi,抗）的隨機(jī)變量X只取（〃-3b,〃+3b）之間的值，并簡(jiǎn)稱之為3b原則.

04題型精講

題型01正態(tài)曲線的性質(zhì)

1.某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，甲、乙、丙三所學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)分別服從正態(tài)分布N（從,0）,N（〃2，g）,

N（〃3，%），其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則（）

A.〃[—〃2>〃3B.4=〃2<〃3

C.4>〃2=〃3D.從<〃2=%

【答案】D

【詳解】觀察曲線知，〃I<〃2=〃3.

故選：D

2.已知隨機(jī)變量X?若0>0,6>0且尸［XV：［=P（X226）,則2a+：的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X?旦尸［xwj=P（X226）,所以：+2b=2,

所以20+*/+W：+26,劣4+4"+￡|亭+2^^）=4,

4ab=—a=\

當(dāng)且僅當(dāng)ab,即<

1時(shí)，2Q+工取得最小值4.

b=-b

-+2/)=22

故選：C.

3.已知（1+2%）〃=%+4逮+42%2+43%3+???+4〃%",隨機(jī)變量J~N（4,〃），其正態(tài)密度曲線如圖所示，若

S=E⑷。⑷,則"的值為（）

D.14

【詳解】由J的分布密度曲線知〃=1，。=；，

所以E（J）=l,O（J）=；,即E（J）O（J）=：,

根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式可得，%=C；21r=0,l,2,…,“（〃eN+）,

%_1〃」

則“，一2七：一2-4,整理得一7=7,解得"=5.

2

故選：A

4.已知連續(xù)型隨機(jī)變量x與離散型隨機(jī)變量y滿足X?N（〃,儲(chǔ)）（〃>0）,y?《16,；］若X與y的方差

相同且尸（24X44）=0.3,則尸（XW4）=（）.

A.0.8B,0.5C,0.3D.0.2

【答案】A

【詳解】D（X）=〃2,o（y）=i6xgx]l_￡|=4,?.-D（X）=D（y）,

.?.〃2=4,〃=2,由對(duì)稱性：P（X<2）=0.5,

^P（X<4）=P（X<2）+P（2<X<4）=0.5+0.3=0.8.

故選：A.

5.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（4,〃）,P（X>5）=0.3,則P（3<X<4）=（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】B

【詳解】由于X服從正態(tài)分布N（4,〃）,尸（X>5）=0.3,則尸（4<X<5）=0.5-0.3=0.2,

故尸（3<X<4）=尸（4<X<5）=0.2.

故選：B

6.若隨機(jī)變量X~N（12,9）,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A,P（X>12）=0.5B.尸（XV9）=尸（XN15）

C.E（3X-1）=35D.D（2X-1）=12

【答案】D

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，變量X~N（12,9）,這里〃=12,所以P（XN12）=0.5,A選項(xiàng)正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)檎龖B(tài)分布圖象關(guān)于x=12對(duì)稱，9=12-3,15=12+3.

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性，尸（XW9）=尸（X215）,B選項(xiàng)正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，若X?N（12,9）,則于X）=I2.對(duì)于y=3X-l,

根據(jù)期望的性質(zhì)E（aX+與=/（X）+b.所以E（3X-1）=3E（X）-1=3x12-1=35,C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若X?N（12,9）,則。（X）=9,對(duì)于y=2X-l,

根據(jù)方差的性質(zhì)D（aX+6）=/。底）.所以D（2X-l）=22xO（X）=4x9=36,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：D.

7.隨機(jī)變量X服從M〃，擾），若尸（X21）=KX<3）,

則下列選項(xiàng)一定正確的是（）

A.P（X>3）=1B.cr=l

C.〃=2D.PCX>3）+PC.X<1）=1

【答案】C

【詳解】因?yàn)镽XN1）=P（X<3）,

由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得〃=2,正態(tài)分布方差無(wú)法判斷，

尸（XN3）<1,尸（XN3）+尸（X41）<1,

所以ABD錯(cuò)誤.

故選:：C

8.（多選）體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開拓進(jìn)取、不畏艱難的堅(jiān)強(qiáng)性格.某

校學(xué)生參加體育測(cè)試，其中甲班女生的成績(jī)X與乙班女生的成績(jī)丫均服從正態(tài)分布，且X?N（160,900）,

7-^（160,400）,則（）,

A.E（X）=160B.。（丫）=20

C.P（X<120）+P（X<200）=1D.P（JT<180）<P（y<180）

【答案】ACD

【詳解】選項(xiàng)A：由X?N（160,900）,得E（X）=160,故A正確;

選項(xiàng)B：由￥?N（160,400）,得。（丫）=400,故B不正確；

選項(xiàng)C：由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，該正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為直線：x=160,

所以尸（X<120）+尸（X<200）=尸（X>200）+尸（X<200）=1,故C正確；

選項(xiàng)D：解法一：由于隨機(jī)變量X,Y均服從正態(tài)分布，且對(duì)稱軸均為直線：x=160,

。（萬(wàn)）=900>。（丫）=400,所以在正態(tài)曲線中，丫的峰值較高，正態(tài)曲線較"瘦高"，

隨機(jī)變量分布比較集中，所以P（X4180）（尸（Y4180）,故D正確.

解法二：因?yàn)閄?N（160,900）,￥?N（160,400）,

所以尸（XV180）=尸（XV160+20）<P（X4160+30）=P（y4160+20）=P（y<180）,

故D正確.

故選：ACD.

題型02正態(tài)分布的概率

1.某餐飲店在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推出一些團(tuán)購(gòu)活動(dòng)后，每天團(tuán)購(gòu)券的核銷量X~N（100,256）（單位：張），則200天

中團(tuán)購(gòu)券的核銷量在84到132張的天數(shù)大約是（）

（若隨機(jī)變量X~N（〃,cr2）,貝！|尸（/z-crVXV〃+cr）a0.6827,P^/j-2a<X</j+la）?0.9545,

P（〃-3bWX4〃+3cr）a0.9973）

A.191B.137C.159D.164

【答案】D

【詳解】由題可知〃=100,b=16,

/、P（84<X<116）+P（68<X<132）0.6827+0.9545

P（84<X<132）=—-----------------------------------------；-0.8186.

故200天內(nèi)團(tuán)購(gòu)券的核銷量在84到132張的天數(shù)大約是200x0.8186=163.72Q164.

故選：D

2.某市共20000人參加一次物理測(cè)試，滿分100分，學(xué)生的抽測(cè)成績(jī)X服從正態(tài)分布N（70,IO?）,則抽測(cè)成

績(jī)?cè)冢?0,90］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)大約為（）（若（〃02）,貝I］

P（〃一S<J<〃+5）=0.6827,尸（〃-25<自<〃+25）=0.9545）

A.6828B.5436C.4773D.2718

【答案】D

【詳解】學(xué)生的抽測(cè)成績(jī)X服從正態(tài)分布N（70,IO?）,則

尸（80<X<90）=1［P（50VX490）-尸（60<X<80）］

=1x（0.9545-0.6827）=0.1359,

由于總?cè)藬?shù)為20000,

則抽測(cè)成績(jī)?cè)冢?0,90］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)大約為20000x0.1359=2718,

故選：D.

3.巴黎奧運(yùn)會(huì)期間，旅客人數(shù)（萬(wàn)人）為隨機(jī)變量X,且X?N（30,2?）.記一天中旅客人數(shù)不少于26萬(wàn)人的

概率為Po，則Po的值約為（）

（參考數(shù)據(jù)：若X?,有尸（〃一cr<XW〃+b）p0.683,P（從-2（J〈X工〃+2。）?0.954,

<X<〃+3b）p0.997）

A.0.977B.0.9725C.0.954D.0.683

【答案】A

【詳解】因?yàn)閄~N（30,22）,所以〃=30,b=2,

.-.P（26<X<34）=0.954,

根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得，

1-0954

°。=尸（X226）=尸（26<XV34）+尸（X>34）=0.954+---=0.977.

故選：A.

4.某工廠生產(chǎn)的A產(chǎn)品的長(zhǎng)度/（單位:cm）服從正態(tài)分布N（5,3?）,按長(zhǎng)度/分為5級(jí)：/210為一級(jí)，8</<10

為二級(jí)，6V/<8為三級(jí)，44/<6為四級(jí)，/<4為廢品.將一級(jí)與二級(jí)產(chǎn)品稱為優(yōu)品.對(duì)該工廠生產(chǎn)的A

產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽查，每次抽取1個(gè)，則抽到優(yōu)品的概率P=（精確到0.1）.若抽出的是優(yōu)品，則抽查

終止，否則繼續(xù)抽查直到抽到優(yōu)品，則抽查次數(shù)不超過(guò)兩次的概率為.

P付：P（jU-a<Z<//+cr）=0.6827,尸（4-2cr<Z<〃+2cr）=0.9545,P（"-3o<Z<〃+3cr）=0.9773

【答案】0.20.36

【詳解】由/~N（5,3?）,所以〃=5,。=3,

優(yōu)品滿足/28,所以尸（/28）=尸（/N5+3）=P（/2〃+b）,=^-^^=0.15865-0.2（第一空）；

22

抽查次數(shù)不超過(guò)兩次的概率為2=0.2+0.8x0.2=0.36（第二空）.

故答案為：0.2；0.36.

5.比亞迪汽車集團(tuán)監(jiān)控汽車零件企業(yè)的生產(chǎn)過(guò)程，從汽車零件中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)得質(zhì)量差（零

件質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對(duì)值）的樣本數(shù)據(jù)如下表：

質(zhì)量差（單位：〃世）5457606366

件數(shù)（單位：件）52146253

⑴求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)元;假設(shè)零件的質(zhì)量差X~N（〃，er2）,其中4=4,用刀作為〃的近似值，求

P（62<X464）的值；

（2）已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中第1條生產(chǎn)線與第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件件數(shù)之比為

3:1.若第1,2條生產(chǎn)線的廢品率分別為0.012和0.008,且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相互獨(dú)立的.現(xiàn)從該

企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機(jī)抽取一件.

①求抽取的零件為廢品的概率；

②若抽取出的零件為廢品，求該廢品來(lái)自第1條生產(chǎn)線的概率.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X~N(〃，〃)，則尸(〃一CT<XV〃+(T)B0.6827,

<X<〃+2cr)?0.9545,P(〃-3b<XW〃+3o■卜0.9973.

【答案】⑴60；0.1359

⑵①0.011：②A

【詳解】(1)由題意可知，x=^(54x5+57x21+60x46+63x25+66x3)=60,

貝|JX~N(6O,4),

所以尸(62<X464)=尸(60+2<X460+4)

=g[尸(〃-2b<XV〃+2b)—尸(〃一(r<XV〃+b)[^:(0.9545—0.6827)=0.1359；

(2)①設(shè)事件N表示"隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件為廢品”，

設(shè)事件月表示“隨機(jī)抽取一件零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)"，

設(shè)事件與表示“隨機(jī)抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”,

Q1

則==：,P(川4)=0.012,尸(圖與)=0.008,

31

所以尸(/)=^、0.012+^*0.008=0.011；

②因?yàn)槭?川即=篝+

3

所以尸(/4)=尸(4)尸(4[4)=^'0.012=0.009,

所以尸⑶爐制二端9

H

題型03正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

1.某地區(qū)組織了一次高三全體學(xué)生的模擬考試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)成纜近似服從正態(tài)分布已知數(shù)

學(xué)成績(jī)高于110分的人數(shù)與低于70分的人數(shù)相同，那么估計(jì)本次考試的數(shù)學(xué)平均分為()

A.85B.90C.95D.100

【答案】B

【詳解】由正態(tài)密度函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)學(xué)成績(jī)高于110分的人數(shù)與低于70分的人數(shù)相同,

…70+1102

所以〃=-------=90.

2

故選；B.

2.(多選)在調(diào)查某大型企業(yè)員工的通勤時(shí)間(通勤時(shí)間是指家與工作地點(diǎn)往返過(guò)程中所花費(fèi)的時(shí)間)時(shí),

發(fā)現(xiàn)員工的通勤時(shí)間4(單位：分)服從正態(tài)分布N(50,4),若54分鐘為可接受的最長(zhǎng)通勤時(shí)間，則(附:

若貝i]P(〃-2b4j4〃+2b)“0.9545)()

A.該企業(yè)員工通勤時(shí)間的均值為50分鐘B.該企業(yè)員工通勤時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為2

C.該企業(yè)員工通勤時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為4D.該企業(yè)員工通勤時(shí)間可接受率不超過(guò)97%

【答案】AB

【詳解】因?yàn)樵撈髽I(yè)員工的通勤時(shí)間J服從正態(tài)分布N(50,4),

所以該企業(yè)員工通勤時(shí)間的均值為50分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為2,故AB正確，C錯(cuò)誤.

因?yàn)槭?46454)=P(50-2x244450+2x2)^0.9545,

所以尸(J454)=1一尸(J>54)=1-1-P(46^-54)

1-09545

?1---------——=0.97725>97%,故D錯(cuò)誤.

2

故選：AB.

3.(多選)在高三一次大型聯(lián)考中，物理方向共有35萬(wàn)人參加，其中男生有20萬(wàn)人.現(xiàn)為了了解該次考試

的數(shù)學(xué)成績(jī)，用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取350人，其中僅名男生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?7分，〃名女生的

數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分.已知35萬(wàn)人的數(shù)學(xué)成績(jī)X?N(/z,16),〃近似為樣本均值，則下列正確的是()

參考數(shù)據(jù)：若X?Nj,"),則尸(〃一b<X<〃+b)a0.6826,

尸(〃一2<r<X<〃+2a)?0,9544,尸(〃-3cr<X<〃+3b)20.9974

A.m=200

B.總體是35萬(wàn)人

C.樣本均值為73.5

D.估計(jì)該次聯(lián)考中物理方向數(shù)學(xué)成績(jī)低于66分的約有7980人

【答案】AD

20

【詳解】由分層隨機(jī)抽樣的特征可知：m=350x—=200,故A正確；

總體是35萬(wàn)考生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故B錯(cuò)誤；

根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的均值知樣本均值嚏=77x|^+70x1|=74,故C錯(cuò)誤；

、1-09544

??-//=74,(T2=16,〃-2cr=66,尸(X<〃-2cr卜-------=0.0228,

???小于66分的人數(shù)約為350000x0.0228=7980人，故D正確.

故選：AD.

4.(多選)已知在某一次學(xué)情檢測(cè)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N(100,100),其中90分為及格線,

120分為優(yōu)秀線，則下列說(shuō)法正確的是()

附：隨機(jī)變量自月艮從正態(tài)分布N(〃,cr2),貝I］尸(〃-cr<J<〃+cr)a0.683,P(〃-2cr<J<〃+2b)20.954,

P(〃-3cr<J<〃+3cr)a0.997

A.學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的期望為100B.學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為100

C.學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)及格率不超過(guò)0.9D.學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率約等于0.023

【答案】ACD

【【詳解】X服從正態(tài)分布N(100,100),則〃=100。=10,故A正確錯(cuò)，B錯(cuò)誤；

而尸(XV90)=P(XW〃-(T)=；(1一尸(〃一b<X<〃+b))ygx(l—0.683)=0.1585,

P(X>90)=\-P{X<90)?1-0.1585=0.8415<0.9,故C正確；

而P(X>120)=P(X2〃+2cr)=g(l-尸(〃一2(r<X<〃+2(r))?|x(l-0.954)=0.023,故D正確.

故選：ACD.

5.熱市高三年級(jí)1萬(wàn)名男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52),則身高超過(guò)180cm的男

生約有人.(參考數(shù)據(jù)：P{pi-cr<X<//+cr)~0.682,P(ju-2.<7<X<//+2cr)?0.954,

P^JU-3CT<X<〃+3a)u0.997)

【答案】230

【詳解】X-AT(170,52),則〃=170,b=5,

/、/、P(U-2(J<X<//+2CT)1-0.954

P(X>180)=尸(X>〃+2cr)=——用---------------L~—--=0.023,

身高超過(guò)180cm的男生的人數(shù)約為0.023x10000=230.

(1)求該項(xiàng)性能指標(biāo)的樣本平均數(shù)彳的值.若這批零件的該項(xiàng)指標(biāo)X近似服從正態(tài)分布其中〃近似

為樣本平均數(shù)元的值，〃=36,試求P(74<X<92)的值.

⑵若此工廠有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工這種機(jī)器零件，且甲機(jī)床的生產(chǎn)效率是乙機(jī)床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機(jī)

床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02,乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.01,現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取一件.

①求這件零件是次品的概率：

②若檢測(cè)出這件零件是次品，求這件零件是甲機(jī)床生產(chǎn)的概率；

③若從這批機(jī)器零件中隨機(jī)抽取300件，零件是否為次品與該項(xiàng)性能指標(biāo)相互獨(dú)立，記抽出的零件是次品,

且該項(xiàng)性能指標(biāo)恰好在（74,92］內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為y,求隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望（精確到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(〃,〃),則P(〃-bW6W〃+。0.6827,

P("-2cr<^<ju+2a)?0.9545,P("-3a<^<//+3a)?0.997.

【答案】(1)80,0.8186(2)①上；②之；③4

605

【詳解】(])x=66x0.1+77x0.2+80x0.48+88x0.19+96x0.03=80，

因?yàn)閄~N(80,36),所以b=6,

貝[]P(74<X<92)=；尸(〃-2<r<X<〃+2cr)+g尸(〃一4XV〃+

0.9545+0.6827

=0.8186

2

（2）①設(shè)“抽取的零件為甲機(jī)床生產(chǎn)〃記為事件4,

“抽取的零件為乙機(jī)床生產(chǎn)"記為事件4，

“抽取的零件為次品"記為事件B，

71

則p(4)=(,尸(4)=:，尸(切4)=0.02,P(S|4)=O.OI,

則尸⑻=p(4)尸⑷4)+尸(4)尸⑷4)=gxo.o2+gxo.oi=?

60

2

尸（4）尸（34）-xO.02

②?（4忸）=霜=3_____4

麗^一15

60

③由（1）及（2）①可知，這批零件是次品且性能指標(biāo)在（86,92］內(nèi)的概率。=就乂0.8186,

且隨機(jī)變量丫~8（300,0,

所以￡(丫)=300°=300*10.8186=4.09324,

所以隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為4.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.已知某校高三學(xué)生在一次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)X?N（82,4）,在該校高三學(xué)生中任選1人，該學(xué)生的數(shù)學(xué)

成績(jī)不低于120分的概率為0.21,則該學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?4,82）內(nèi)的概率為（）

A.0.21B.0.29C.0.58D.0.79

【答案】B

【詳解】因?yàn)閄?N(82,〃)，即〃=82,且120+44=2〃，

所以尸（44<X<82）=尸（82<X<120）=0.5-尸（X>120）=0.5-0.21=0.29.

故選：B.

2.已知隨機(jī)變量X?N（2,〃），尸（XV4）=0.8,那么尸（XW0）的值為（）

A.0.2B.0.32

C.0.4D.0.8

【答案】A

【詳解】已知隨機(jī)變量X?N（2,〃），尸（XV4）=0.8,

則P（X<2）=0.5,尸（X24）=0.2,

根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性得出尸（X40）=P（X24）=0.2.

故選：A.

3.（多選）為了監(jiān)測(cè)某車床的生產(chǎn)狀態(tài)，對(duì)其一段時(shí)間內(nèi)所生產(chǎn)零件的尺寸進(jìn)行檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)其尺寸（單位:

厘米）Z服從正態(tài)分布N（8.5,0.12）,貝1J（）

A.P（Z<8,5）<P（Z>8.6）B.P（Z<8.3）=P（Z>8.7）

C.P（Z<8.4）+P（Z<8.6）=1D.2P（Z<8.2）+P（8.2<Z<8.8）=1

【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,由Z?N（8.5,012）,可知〃=8.5,=根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，P（Z<8.5）=0.5,

P（Z>8.6）<0.5,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由于.，,=8.5,可知8.3,8.7關(guān)于〃=8.5對(duì)稱，

2

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知B正確；

對(duì)于C,根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知尸（Z<8.6）=尸（Z>8.4）,

故尸（ZV8.4）+尸（Z<8.6）=尸（Z48.4）+尸（Z>8.4）=1,C正確；

對(duì)于D,根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可知P（ZV8.2）=尸（ZN8.8）,

故2尸（Z<8.2）+尸（8.2<Z<8.8）=P（Z<8.2）+尸（8.2<Z<8.8）+尸（Z>8.8）=1,D正確.

故選：BCD

4.（多選）已知隨機(jī)變量X?記尸（X>-l）=a,P（l<X<3）=6,則（）

A.P（X<3）="B.C.E（2Xf=2E（X）D.O（2Xf=M（X）

【答案】ABD

【詳解】由題意可知：〃=1,且二\吧=〃，

可得P(X<3)=P(X>-l)=a,故A正確;

且尸(1<X<3)=尸(一1<X<1)=尸(X>-1)-1,

即6=a-所以。-6=5,故B正確；

根據(jù)期望和方差的性質(zhì)可知：E(2X-1)=2E(X)-1,D(2X-1)=4D(X),故C錯(cuò)誤，D正確；

故選:ABD.

5.(多選)下列結(jié)論中正確的有()

A.已知X~N(4,〃)，若P(X")=0.1,則P(3VXV4)=0.4；

B.某學(xué)生8次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為：101,108,109,120,132,135,141,141,則這8次數(shù)學(xué)成績(jī)的第75百分

位數(shù)為135；

C.己知玉,馬，…二8，11,13的平均值為8,則…,覆的平均值為7；

D.已知48為兩個(gè)隨機(jī)事件，若尸(/)=0.4,P(8)=0.3,尸(⑷8)=0.2,則尸(例/)=0.15.

【答案】ACD

利用平均數(shù)定義求得三，Z，…,％的平均值判斷選項(xiàng)C；利用條件概率公式求得?(而”)的值判斷選項(xiàng)D.

【詳解】選項(xiàng)A:X~N(4,〃)，若尸(X25)=0.1,則尸(44X45)=0.4

故尸(3WXV4)=0.4,A正確；

選項(xiàng)B：由8x75%=6,可得這8次數(shù)學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為第6與第7個(gè)

數(shù)據(jù)的平均數(shù)$135+141)=138,B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C:占,馬,…113的平均值為8,則%+無(wú)2+…+用+11+13=10*8,

則再+》2-<-----FX8=80-24=56,故國(guó),》2,…，入的平均值為7,C正確;

選項(xiàng)D:若尸(4)=0.4,尸(2)=0.3,尸(削5)=0.2,

P(AB),、，、

則與J=02,則尸(/8)=0.2?尸(3)=0.06,

貝UP(曲/)=^^=*=。］5,口正確.

故選：ACD

6.(多選)對(duì)某地區(qū)數(shù)學(xué)考試成績(jī)的數(shù)據(jù)分析，男生成績(jī)X服從正態(tài)分布N(72,8?),女生成績(jī)￥服從正態(tài)

分布N(74,6?).貝|()

A.P(X<86)<P(Y<86)B.P(X<80)>P(Y<80)

C.P(X<74)>P(Y<74)D.P(X<64)=P(Y>80)

【答案】ACD

【詳解】X~N(72,82),從=72,5=8；

y~N(74,6?),4=74,4=6,

P(X<80)=P{X<//j+o-j),P(y<80)=P(y<x/2+<T2),P(X<80)=P(Y<80)；

P(XW88)=P(XW〃|+2bJ,P(r<86)=P(r</z2+2cr2),P(X<88)=P(Y<86)；

對(duì)于A,P(X<86)<P(X<88)=P(Y<86),A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B,P(X<80)=P(y<80),B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C,P{X<74)>P(X<72)=1=P(Y<74),C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D,P(X<64)=P{X>80)=P(Y>80),D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

7.(多選)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,4),下列選項(xiàng)中正確的是()

A.。越大，該物理量在一次測(cè)量中在(9.8,10.2)的概率越大

B.該物理量在一次測(cè)量中小于10的概率等于0.5

C.該物理量在一次測(cè)量中小于9.98與大于10.02的概率相等

D.該物理量在一次測(cè)量中落在(9.8,10.2)與落在(9.9,10.3)的概率相等

【答案】BC

【詳解】由于測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布則該測(cè)量結(jié)果的平均值為10,標(biāo)準(zhǔn)差為

根據(jù)正態(tài)分布的概率性質(zhì)可知，b越大，則正態(tài)分布曲線越來(lái)越矮胖，

則物理量在一次測(cè)量中在(9.8,10.2)的概率會(huì)越小，故A錯(cuò)誤；

根據(jù)正態(tài)分布的概率性質(zhì)可知，物理量在一次測(cè)量中小于10的概率等于0.5,故B正確；

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性質(zhì)可知，物理量在一次測(cè)量中小于9.98與大于10.02的概率相等，故C正確;

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性質(zhì)可知，落在(9.8,10.2)與落在(9.9,10.3)的概率肯定不相等，故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

8.(多選)已知X~N(2,9),則()

A.￡(X)=2B.￡>(X)=3

C.P(XN8)>尸(XV-l)D.尸(X4-l)+尸(X45)=l

【答案】AD

【詳解】由可得E(X)=〃=2,D(X)=b2=9,故A正確；B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，=+

且尸(XN〃+cr)>尸(XN〃+2b),則P(XN〃+2b)<P(XW〃-b),

所以尸(X28)〈尸(XV-1),故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，尸(XW〃-b)=尸(XN〃+b),

可得尸(X4〃+b)+P(XV〃一b)=P(X4〃+b)+尸(X2〃+b)=l,

所以尸(XW-1)+P(X45)=1,故D正確.

故選：AD.

9.(多選)泊頭鴨梨以個(gè)大、皮薄、汁多、肉細(xì)、味甜、形美及其較高的營(yíng)養(yǎng)和藥用價(jià)值而名揚(yáng)海內(nèi)外.為了解鴨

梨種植園的畝收入(單位：萬(wàn)元)情況，從"高標(biāo)準(zhǔn)梨園”種植區(qū)抽取樣本，得到的畝收入樣本均值

7=0.86,樣本方差$2=0.0009;從"標(biāo)準(zhǔn)化梨園"種植區(qū)抽取樣本,畝收入X服從正態(tài)分布N(0.72,(MM?),

假設(shè)"高標(biāo)準(zhǔn)梨園”的畝收入y服從正態(tài)分布N任,一),則()(附：若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布

貝!|P(Z<〃+cr)a0.8414)

A.尸(X>0.8)>0.2B.尸(X>0.8)<0.5

C.P(K>0.8)>0.5D.P(r>0.8)<0,8

【答案】BC

【詳解】由已知畝收入X服從正態(tài)分布N(o.72,0.042),

貝尸(X<0.72+0.04)=P(x<0.76)a0.8414,

所以尸(X<0.8)>P(x<0.76)?0.8414,

則尸(X>0.8)>l-尸(XV0.8)=l—0.8414=0.1586<0.2,A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；

又畝收入Y服從正態(tài)分布N(0.86,0.032),

則P(Y>0,8)>尸(0.86)=0.5,C選項(xiàng)正確；尸(丫>0.86-0.03)=P(Y<0.86+0.03)~0,8414,

即尸(丫>0.83卜0.8414,

所以尸(丫>0.8)>P(Y>0.83卜0.8414,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：BC.

10.在一次聯(lián)考中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，甲乙兩個(gè)學(xué)校的考生人數(shù)都為1000人，數(shù)學(xué)均分都為94,標(biāo)準(zhǔn)差都為

12,并且根據(jù)統(tǒng)計(jì)密度曲線發(fā)現(xiàn)，甲學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，乙學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布.

(1)甲學(xué)校為關(guān)注基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué)，準(zhǔn)備從70分及以下的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行訪問(wèn)，學(xué)生小A考分為

68分，求他被抽到的概率大約為多少；

⑵根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)學(xué)校乙得分不低于130分的學(xué)生有25人，得分不高于58分的有1人，試說(shuō)明乙學(xué)校教學(xué)

的特點(diǎn)；

參考數(shù)據(jù)：若X?,貝尸(〃-crWX<〃+cr)a°.68,P(/z-2cr<X<ju+2cr)?0.95,

尸(〃一3cr4X4〃+3cr)a0.99.

【答案】⑴0。

⑵乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少.

【詳解】(1)由題意可知甲校學(xué)生數(shù)學(xué)得分X?N(94,12?),

由P("-2cr<X<]u+2a)?0.95,

1-095

可得尸(70<^<118)?0.95,貝P(X<70)?=0.025,

所以分?jǐn)?shù)在70分及以下的學(xué)生有1000x0.025=25,

所以學(xué)生小/被抽到的概率尸=￡=0.4

(2)由尸(〃-3cr<X<〃+3cr)a0.99,

可得：P(58<^<130)?0.99

1-099

所以甲校不低于130分的概率為=°—°05，

1-099

得分不高于58分的概率為一—=0.005,

所以甲校不低于130分有1000x0.005=5人，得分不高于58分有1000x0.005=5人，

故乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少.

11.某試點(diǎn)高校?？歼^(guò)程中筆試通過(guò)后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).2022年報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績(jī)X'近

似服從正態(tài)分布"(〃,/).其中，〃近似為樣本平均數(shù)，4近似為樣本方差52,已知〃的近似值為76.5,s的

近似值為5.5,以樣本估計(jì)總體.

⑴假設(shè)有84.135%的學(xué)生的筆試成績(jī)高于該校預(yù)期的平均成績(jī)，求該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是多少？

(2)若筆試成績(jī)高于76.5進(jìn)入面試，若從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，設(shè)其中進(jìn)入面試學(xué)生數(shù)為

鼻求隨機(jī)變量J的期望.

⑶現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過(guò)面試的概率分別為:、；、:、:設(shè)這4名學(xué)生

中通過(guò)面試的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：若X?"(〃，4)，則：P(〃-b<XW〃+o■卜0.6827；尸(〃-2cr<XV〃+2o?卜0.9545；

P(〃-3<T<XV〃+3O■卜0.9973.

【答案】⑴71分;

(2)5；

⑶分布列詳見解析；w=|

【詳解】(1)由尸(X>〃-b)=/+上-------------0.84135,

又〃的近似值為76.5,5的近似值為5.5,

所以該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是76.5-5.5=71(分)

(2)由〃合76.5,可得尸位>76.5)=g,

即從所有報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，

該學(xué)生筆試成績(jī)高于76.5的概率為:

所以隨機(jī)變量4服從二項(xiàng)分布故E(O=10X：=5

(3)X的可能取值為0,1,2,3,4,

2

p(x=o)=c"xh-1

尸(X=l)=C；x-l

IX

尸(X=2)=C：x

所以X的分布列為

X01234

]_]_13￡1

P

9336636

所以E(X)=0X1+1X1+2XU+3XL+4X-L=2

93366363

12.貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果，其果實(shí)個(gè)大似鵝蛋，外表呈橙黃色，陽(yáng)面有暈.貴

妃杏口感甜美，肉質(zhì)實(shí)心鮮嫩多汁，營(yíng)養(yǎng)豐富，是河南省的知名特產(chǎn)之一.已知該地區(qū)某種植園成熟的貴

妃杏(按個(gè)計(jì)算)的質(zhì)量M(單位：克)服從正態(tài)分布N(〃0)，且

P(96<M<106)=0.7,P(94<M<96)=0.1.從該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個(gè)，它們的質(zhì)量(單位:

克)為101,102,100,103,99,98,100,99,97,101,這10個(gè)貴妃杏的平均質(zhì)量恰等于〃克.

⑴求〃.

⑵求尸(100<MW104).

⑶甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機(jī)選取1個(gè)，若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于100克且不大于104克,

則贈(zèng)送1個(gè)貴妃杏；若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于104克，則贈(zèng)送2個(gè)貴妃杏.記甲和乙獲贈(zèng)貴妃杏的總個(gè)

數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案］⑴100

(2)0.3

⑶分布列見解析，1.4

……101+102+100+103+99+98+100+99+97+101…

［詳解］(1)〃=--------------------------------------------------------------二100;

(2)因?yàn)椤?1。。，所以尸(1044^4106)=尸(944M496)=0.1,

所以尸(100<M4104)=(X7^()：1=0.3.

(3)設(shè)1人獲贈(zèng)貴妃杏的個(gè)數(shù)為y,則p(Y=0)=0.5,尸(y=l)=0.3,尸(y=2)=0.2.

依題意可得X的可能取值為0,1,2,3,4,

p(x=o)=0.5x0.5=0.25,

尸(X=1)=0.5x0.330.3,

P(X=2)=0.32+0.5x0.2x2=0.29,

P(X=3)=0.3x0.2x2=0.12,

尸(X=4)=0.2x0.2=0.04,

則X的分布列為

X01234

P0.250.30.290.120.04

所以E(X)=0x0.25+1x0.3+2x0.29+3x0.12+4x0.04=1.4.

13.按照國(guó)際乒聯(lián)的規(guī)定，標(biāo)準(zhǔn)的乒乓球在直徑符合的條件下,重量為2.7克,其重量的誤差在區(qū)間［—

0.081,0.081］內(nèi)就認(rèn)為是合格產(chǎn)品，在正常情況下樣本的重量誤差x服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中

隨機(jī)抽取10件樣本，其重量如下：

2.722.682.72.752.662.72.62.692.72.8

(1)計(jì)算上述10件產(chǎn)品的誤差的平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差s；

⑵①利用(1)中求的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差s,估計(jì)這批產(chǎn)品的合格率能否達(dá)到96%；

②如果產(chǎn)品的誤差服從正態(tài)分布N(0,0.04052),那么從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，則有不合格產(chǎn)品的概

率為多少？(附：若隨機(jī)變量無(wú)服從正態(tài)分布則尸(〃-b<x<〃+b)n0.683,

P(/z-2cr<x<//+2cr)?0.954,P(/j-3cr<x<//+3cr)?0.997,0,95410ffl0.624,0.997i°用09704分另代替

計(jì)算)

【答案】⑴0,0.05

(2)①不能;②0.3756

【詳解】(1)由題意10件產(chǎn)品的誤差分別為0.02,-0.02,0,0.05,-0.04,0,-0.1,-0.01,0,0.1,

0.02—0.02+0+0.05-0.04+0-0.1-0.01+0+0.1

誤差的平均數(shù)為》=—0;

10

方差為/_0.02?+(-0.02)2+02+0052+(-0.04)2++(一0.療十(一。內(nèi)存+。2+0.產(chǎn)_0

所以標(biāo)準(zhǔn)差為s=0.05；

(2)①由(1)中計(jì)算得〃=0,b=0.05

所以P(N-2cr<x<//+2a)=P(0-2x0.05<x<0+2x0.05)=P(-0,1<x<0.1)

因?yàn)樵?0.1<x<0.1內(nèi)包括了所有的合格產(chǎn)品，也包括了不合格的產(chǎn)品，而尸(-0.1wX<0.1)-0.954<0.96,

所以這批抽查的產(chǎn)品的合格率不能達(dá)到96%.

②因?yàn)楫a(chǎn)品重量的誤差服從正態(tài)分布N(0,0.04052),所以〃=00=0.0405,

ju-2cr<x</J+2(T即為-0.081<x<0.081,

所以每件產(chǎn)品合格的概率尸(〃-2b<x