2024-2025學年北師大版九年級數(shù)學上冊第6周數(shù)學學科素養(yǎng)訓練

絕密★啟用前

北師大版九年級上冊數(shù)學第6周數(shù)學學科素養(yǎng)訓練

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列說法中不正確的是（）

A.四邊相等的四邊形是菱形B.對角線垂直的平行四邊形是菱形

C.菱形的對角線互相垂直且相等D.菱形的鄰邊相等

2.下列方程一定是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

A.3x2+^-1=0B.5/-6”3=0

C.ax2—x+2=0D.（a2+l）x2+bx+c=0

3.如圖，菱形A8CD的對角線AC=5,BD=10,則該菱形的面積為（）

A.50B.25C.yA<3D.12.5

4.已知一元二次方程/+kx-3=0有一個根為1,貝心的值為（）

A.-2B.2C.-4D.4

5.解一元二次方程a/+b%+c=0,其中一個根為“土？貝Uc=（）

A.1B.-1C.0D.2

6.三角形兩邊的長分別是8和6,第三邊的長是方程/一12%+20=0的一個實數(shù)根，則此三角形的周長是

)

A.24B.24或16C.16D.22

7.用配方法解一元二次方程2/-3x-l=0,配方正確的是（

（第3題圖）（第8題圖）

8.如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12nl的墻,另外三邊用25機長的籬笆圍成，為方

便進出，在垂直于墻的一邊留一個1小寬的門，花圃面積為80爪2,設(shè)與墻垂直的一邊長為xni,則可以列

出方程是（）

A.%(26-2%)=80B.x(24-2x)=80

C.(%-1)(26-2%)=80D.x(25-2%)=80

9.如圖，已知矩形ZBCD沿著直線BD折疊，使點C落在C'處，BC，交/。于E,AD=8,48=4,則DE的長

為()

A.3B.4C.5D.6

10.已知%1、&是方程-=2%+1的兩個根，則5+5的值為()

11

A.*B.2CjD.-2

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.一元二次方程3x(%-2)=-4的一般形式是.

12.已知ni是關(guān)于％的方程——2%—3=0的一個根，貝!]2根2_47n=

13.若關(guān)于x的一元二次方程2/—x+6=0有兩個相等的實數(shù)根，則伍的值為.

14.把一元二次方程2久2一萬一1=0用配方法化成以久-/i)2+fc=0的形式(a,h,k均為常數(shù))，貝U(h+k)的

值為.

15.定義：如果一元二次方程a/+bx+c=0(a0)滿足a+b+c=0,那么我們稱這個方程為“鳳凰”

方程.已知/+機％+n=0是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則.

三、解答題：本題共3小題，共35分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.用合適的方法解方程。(每小題各5分，共10分。)

(1)2比2—4x+1=0.(2)x(x—3)—2.

17.(10分)現(xiàn)有一題：“今有二人同所立,甲行率六，乙行率四.乙東行，甲男行八步而東斜北與乙會.問甲、

乙行各幾行

大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為6,乙的速度為4.乙一直向東走，甲先向南

走8步，后又斜向北偏東方向走了一段路后與乙相遇.那么相遇時，甲、乙各走了多遠？

18.(15分)己知關(guān)于無，y的方程組=一與1-。、飛的解相同.

(1)求a,6的值；

(2)若一個三角形的一條邊的長為2形，另外兩條邊的長是關(guān)于x的方程/+ax+b=0的解.試判斷該三

角形的形狀，并說明理由.

四、挑戰(zhàn)題：本題共2小題，共20分。

19.(本小題6分)如圖，正方形A8CD的對角線AC,8。相交于點0,4B=E為0C上一點，0E=1,

連接8E,過點力作4F1BE于點F,與BD交于點G.

⑴清BE與4G相等嗎？請寫出BE和AG的數(shù)量關(guān)系：

(2)AF的長度是()

DV360

D.---------C.4D.3V2+1

20.(本小題14分)已知久1，冷是關(guān)于％的一元二次方程(租+2)%2+2(m—2)x+m+10=0的兩實數(shù)根.

(1)求ni的取值范圍；

(2)已知等腰的底邊BC=4,若打，也恰好是△ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長.

(3)閱讀材料：若△ABC三邊的長分別為a,b,c,那么可以根據(jù)秦九韶-海倫公式可得：S.BC=

4p(p-a)(p-b)(p-c),其中「=岑上，在(2)的條件下，若ABAC和乙4BC的角平分線交于點/,根據(jù)以

上信息，求AB/C的面積.

B

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，熟記菱形的性質(zhì)和判定方法是解題的關(guān)鍵.由菱形的判定與性質(zhì)即可得出

4、B、。正確，C不正確.

【解答】

解：A四邊相等的四邊形是菱形；正確；

A對角線垂直的平行四邊形是菱形；正確；

C.菱形的對角線互相垂直但不一定相等；不正確；

D菱形的鄰邊相等；正確；

故選C

2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查一元二次方程的定義，注意a?+1一定是一個正數(shù).找到只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次

項的次數(shù)為2,系數(shù)不為0的整式方程即可.

【解答】

解：4、不是整式方程，不合題意；

B、含有2個未知數(shù)，不合題意；

C、當a=0時，不合題意；

D,是只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次項的次數(shù)為2,二次項系數(shù)不為0的整式方程，符合題意.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查菱形的性質(zhì)，掌握菱形的面積等于菱形兩對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵.

利用菱形的面積等于菱形兩對角線乘積的一半即可求得答案.

【解答】

解：

?.?菱形4BCD的對角線2C=5,BD=10,

11

,'1S菱形4BC。=，4'?BD=2X5X10=25,

故選：B.

4.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二

次方程的解.

根據(jù)一元二次方程的解的定義，把久=1代入方程得關(guān)于k的一次方程1-3+k=0,然后解一次方程即

可.

【解答】解：把％=1代入方程可得1+k—3=0,解得k=2.

故選8

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了解一元二次方程一公式法：把x=喘叫做一元二次方程收+6久+c=0(a彳0)的求

根公式;用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.也考查了一元二次方程的一般式.

根據(jù)一元二次方程a/+法+。=。①40)的求根公式即可解答.

【解答】

解：由求根公式可知爐一4ac=匕2+4,2a=2

則c=-1

6.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化為一般形式，然后把方程左邊因式分解，

這樣就把方程化為兩個一元一次方程，再解一元一次方程即可.也考查了三角形三邊的關(guān)系.把方程左邊

因式分解得到(久-10)(%-2)=0,再把方程化為兩個一元一次方程x-10=0或尤-2=0,解得/=

10,叼=2,根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到三角形第三邊的長為10,然后計算三角形的周長.

【解答】

解：x2-12x+20=0,

???(x-10)(x-2)=0,

x-10=0或x—2=0,

X]—10,%2=2,

而三角形兩邊的長分別是8和6,

?.?2+6=8,不符合三角形三邊關(guān)系，久=2舍去,

%=10,即三角形第三邊的長為10,

三角形的周長=10+6+8=24.

故選：A.

7.【答案】A

【解析】解：由原方程，得

則（"%=芥

故選A.

先把常數(shù)項移到等號的右邊，再化二次項系數(shù)為1,等式兩邊同時加上一次項系數(shù)-5的一半的平方，即可

解答.

本題考查了解一元二次方程-配方法.配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的

系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

8.【答案】A

【解析】解：???籬笆的總長度為256，與墻垂直的一邊長為XM,

平行于墻的一邊長為25+1—2%=（26—2x）m.

根據(jù)題意得：%（26—2%）=80.

故選：A.

根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出平行于墻的一邊長為（26-2乃巾，結(jié)合花圃面積為80機2,即可得出關(guān)于久的

一元二次方程，此題得解.

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

9【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是翻折變換及勾股定理，掌握翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出CD=C'D,NC=NC'=90。，再設(shè)DE=x,貝ME=8-x,由全等三角形的判

定定理得出RtZk4BEmRt△C'DE,可得出BE=￡）E=x,在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出％的值，

進而得出DE的長.

【解答】

解：???RtADC'B由RtADBC翻折而成，

???CD=CD=AB=4,ZC=AC'=90°,

設(shè)DE=x,則4E=8—尤，

???NA==90。，乙AEB=乙DEC',

：.CD=AB,

在RtAABE與Rt△C'DE中，

ZX=

4AEB=WED

.AB=CD

RtAABEmRt△C'DE(AAS),

BE=DE=x,

在ABE中，AB2+AE2=BE2,

.-?42+(8-x)2=x2,

解得：x=5,

.-■DE的長為5.

故選：C.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了一元二次方程a/+6尤+。=o(a力0)的根與系數(shù)的關(guān)系：X1,右是一元二次方程+bx+

hc

c=0(aH0)的兩根時，％i+%2=—1%i%2=￡?

先把方程化為一般式，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到久1+叼=2,久1久2=-1，然后把高+看通分得到

口墳，再利用整體代入的方法計算.

【解答】

解：方程化為一般式得％2—2%-1=0,

根據(jù)題意得%1+%2=2,%1%2=-1，

...原式=生母=一2.

故選D

11.【答案】3/-6X+4=0

【解析】解:3x(%-2)=-4,

去括號，得3/—6%=-4,

移項得3/一6x+4=0,

原方程的一般形式是3/—6x+4=0.

故答案為：3/一6久+4=0.

一元二次方程的一般形式是：&/+版+。=。(￡13,(；是常數(shù)且。力0),直接去括號、移項得解.

本題主要考查了一元二次方程的一般形式，去括號的過程中要注意符號的變化，以及注意不能漏乘，移項

時要注意變號.

12.【答案】6

【解析】【分析】

本題考查一元二次方程的解，整體代入法，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

根據(jù)小是關(guān)于x的方程/—2x—3=0的一個根，通過變形可以得至吆小2一4小值，本題得以解決.

【解答】

解：???山是關(guān)于x的方程/-2久一3=0的一個根，

m2—2m—3=0,

m2—2m=3，

2m2—4m—2(m2—2m)=2x3=6,

故答案為6.

13.【答案】j

o

【解析】【分析】

根據(jù)“關(guān)于久的一元二次方程2久2一乂+爪=0有兩個相等的實數(shù)根”，結(jié)合根的判別式公式，得到關(guān)于機

的一元一次方程，解之即可.

本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關(guān)鍵.

【解答】

解：根據(jù)題意得：4=1—4X2m=0,

整理得：1-8爪=0,解得：m=~,

O

故答案為：

O

14.【答案】一卷

【解析】【分析】

此題考查了配方法的一般步驟：

(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；

(2)把二次項的系數(shù)化為1；

(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2的倍數(shù).

先將方程變形，利用完全平方公式進行配方.

【解答】

解：2%2—x—1=0,

2(/-|x)=1,

2(-一)+表)4=L

2(x-J)2-1=0.

???”=右k=4

故九+k=

O

15.【答案】-2

【解析】【分析】

此題主要考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，關(guān)鍵是熟練掌握：(1)△>00方程有兩個不相

等的實數(shù)根；(2)△=0=方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)△<0=方程沒有實數(shù)根.同時考查了學生的閱

讀理解能力.由/+血％+九=0是“鳳凰”方程，可得1+租+九=0,即九=又因為方程有兩

個相等的實數(shù)根，所以根的判別式△=租2一4幾=0,將九=一6一1代入，求出血=一2,再求出71=1,

則nm可求.

【解答】解：?％2++九=0是“鳳凰，，方程，

1+m+n=0,即九=—m—1.

又?.,方程％2+mx+n=。有兩個相等的實數(shù)根，

.?.△=m2—4n=0,

將ri=-m—1代入，得血2—4(—m—1)=0,

解得血=-2,

n=1,

.?.mn=—2x1=—2.

故答案為-2.

16.【答案】解：由原方程，得

Xz2—9ZX=-1

等式的兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得

x2-2x+1=

配方，得（x-I）2=

直接開平方，得

久一1=±T，

久1=1+—,久2=1--

【解析】本題考查用配方法解一元二次方程.

先化二次項系數(shù)為1,然后把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù).

17.【答案】解：?.?￡（%—3）=2,

%2—3x—2=0,

a—1,b=—3,c=—2,

A=(-3)2-4x1x(-2)=17>0,

,v=-(-3)±G

"2x1

_3+/17_3-/17

'久2=

【解析】此題考查了一元二次方程的解法.注意在利用因式分解法解一元二次方程時，需首先將原方程化

為一般式再求解.

首先將原方程變形化為一般式，然后利用公式法即可求得此方程的根.

18.【答案】解：設(shè)他們相遇時用的時間為X,則有（4x）2+82=（6x-8）2

解得：xi=0（舍去），X2=4.8

.\4x=4X4.8=19.2(步)

6x=6X4.8=28.8(步)

答：甲走了28.8步，乙走了19.2步。

19.【答案】解：(1)由題意得，關(guān)于久，通方程組代學Y『=T°'瓦與的相同解，就是

方程組二;的解，

解得,g：:'

3a+2y/~3=-10V-3,3+b=15,

解得，a=—4V~3,b-12；

(2)當a=-4V~3，b=12時,關(guān)于久的方程第2++匕=0為第2_47~3x+12=0,

解得，*=2V-3,

2

又???(20+RO=(2<6),

???以2質(zhì)、2/3>2幅為邊的三角形是等腰直角三角形.

【解析】本題考查二元一次方程組的解法、一元二次方程的解法以及勾股定理的逆定理，掌握一元二次方

程的解法和勾股定理的逆定理是得出正確答案的關(guān)鍵.

(1)關(guān)于久，y的方程組產(chǎn)+=-10，3與『二：=2,的解相同.首先求出方程組產(chǎn)+y=：的解，

進而確定a、6的值；

(2)將a、6的值代入關(guān)于x的方程/+ax+b=o,求出方程的解，再根據(jù)方程的兩個解為邊長與2混為邊

長，判斷三角形的形狀.

20.【答案】解：(1)BE=4G.

理由：-：AF1BE,

.-.^AFE=LOAG+NAEF=90°.

???四邊形4BCD是正方形，

???AC1BD,AO=BO,

?*.Z-AOG=Z-OAG+Z-AGO=90。，

???Z-AEF=Z-AGO.

在△AOG和△BOE中，

Z-AOG=乙BOE=90°,

/.AGO=Z-BEO,

、AO=B0f

AAOG=△BOE,

AG=BE.

(2)???△408是等腰直角三角形，且48=3/1,

???BO—3.

???OE=1,

,-.AE=3+1=4,由勾股定理，得BE=V32+I2=710,

11

S?4BE=2BE,AF=2AE'0B，

|X/T0XXF=1X4X3,

.?6710

???AF=—.

【解析】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，熟知正方形的四條邊都相等，四個角都是

直角，對角線互相垂直且相等平分，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

(1)利用正方形的性質(zhì)得。4=OB,LAOB=^BOC=90°,再利用等角的余角相等得到〃G。=NBEO,則

利用"A4S“可判斷△AOGgABOE,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

(2)根據(jù)面積法列式可得力F的長.

21.【答案】解：(1)由題意得：A=b2—4ac=[2(m—2)]2—4(m+2)(m+10)>0,且m+2#=0,

化簡得：64m<—64,

解得：m<一1且zn豐-2；

(2)由題意知：乂2恰好是等腰△力BC的腰長，