2024-2025人教A版高二年級上冊期中數(shù)學(xué)模擬檢測試題（共2套附解析）

2024-2025高二上期中數(shù)學(xué)（人教A版）真題試卷模擬檢測

試題（一）

檢測范圍：選擇性必修一第一章、第二章、第三章

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.（24-25高二上?山東濰坊?開學(xué)考試）如圖所示，在四面體/一BCD中，點￡是CD的中點,

記次=&,AC=b,AD=c,則而等于（）

1-1

——a+b+—c

D.22

2.（22-23高二下?吉林長春?開學(xué)考試）不論左為任何實數(shù)，直線

（2左-1衣-6+3方-（左-11）=0恒過定點，則這個定點的坐標(biāo)為（）

A.（一2,3）g（2,3）c.（2，-3）口.（一2,-3）

3.（2022高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)《丹是橢圓1224的兩個焦點，尸是橢圓上一點，且

小;貝產(chǎn)耳的面積為（）

A.6B.6友C.8D.8應(yīng)

4.（23-24高二下?江蘇常州?期中）已知"=0T3）,“=（-4,%2）,且?。?。+5），則的

值為（）

A.6B.10C.12D.14

5.（22-23高二下?廣東深圳?期中）點P（L°）,點°是圓Y+丁=4上的一個動點，則線段

尸。的中點〃的軌跡方程是（）

22

￡邑-勺=1（。>0/>0）

6.（23-24高三上?湖北武漢?階段練習(xí)）過雙曲線b~的左焦點尸作

222-----,,------*

x+y=或的一條切線，設(shè)切點為九該切線與雙曲線￡在第一象限交于點/,若FA=3FT,

則雙曲線￡的離心率為（）

V13V15

A.6B.V5C.2D.2

7.（23-24高三上?北京海淀?期末）已知圓Ux?+2x+:1=0,直線加工+"（尸1）=°與圓

C交于A,B兩點.若V/8C為直角三角形，則（）

A.mn=0B.加一〃=0

C.m+n=0D._3?2=0

y=—x2

8.（23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí)）已知拋物線0的方程為4,廠為其焦點，點

N坐標(biāo)為（°，一4）,過點尸作直線交拋物線c于A、B兩點，。是X軸上一點，且滿足

DH=08|=QN|,則直線42的斜率為（）

+嫗+而

A.12B.一2C.士0D.土百

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.（24-25高二上?浙江臺州?開學(xué)考試）如圖所示，在棱長為1的正四面體/BCD中，E,F

分別是N5,的中點，則下列計算結(jié)果正確的是（）

—?一1----1

EFBA=-EFBD=—

A.4B.2

EFDC=~-AB-CD=-

c.4D.2

10.（23-24高二下?山西運城?開學(xué)考試）下列說法正確的是（）

~兀［「3兀）

0,一LJ---,71

A.直線xsin&+y+2=0的傾斜角e的取值范圍是L4」［4）

B.“。=T”是“直線-y+］=0與直線x-ay-2=0互相垂直”的充要條件

C.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線

D.已知向量"（9"，-4）,3=（1,2,2）,則°在不上的投影向量為（1,2,2）

22

11.（23-24高三上?河北滄州?階段練習(xí)）已知橢圓，2/一的焦點分別為月（°乂），

月（°廠2）,設(shè)直線/與橢圓c交于M,N兩點，且點（2'2）為線段的中點，則下列說

法正確的是（）

V3

A.相2=6B.橢圓C的離心率為3

C.直線/的方程為力+?-2=°口.△工的周長為4女

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）

12.（22-23高三下?湖北?階段練習(xí)）已知拋物線丁=2*5>0）的焦點為尸，過點尸的直線

與該拋物線交于48兩點，.卻=5亞,的中點縱坐標(biāo)為0，則°=.

13.（2024?浙江?二模）如圖為世界名畫《星月夜》，在這幅畫中，文森特?梵高用夸張的手法,

生動地描繪了充滿運動和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半徑為1的圓。的一段圓弧￡,且弧

4兀

￡所對的圓心角為5.設(shè)圓c的圓心C在點。與弧E中點的連線所在直線上.若存在圓C滿足:

弧E上存在四點滿足過這四點作圓。的切線，這四條切線與圓C也相切，則弧E上的點與圓

2兀V5-1

cos——=--------

C上的點的最短距離的取值范圍為,（參考數(shù)據(jù)：54）

14.（22-23高二下?江蘇連云港?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面

AABC=ABAD=-…fr-

4BCD,且四邊形NBC。為直角梯形，2,PA=ADf,AB=BC=T點

°是線段BP上的動點，當(dāng)直線CQ與。P所成的角最小時，則線段8。的長為

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（13分）（2021?浙江?高考真題試卷）如圖，在四棱錐9一/8。中，底面是平行四

邊形，^BC=nO°,AB=l,BC=4,PA=415,”，N分別為8C,PC的中點，

PDl.DC,PM1MD

（1）證明：AB1PM;

（2）求直線/N與平面pzw所成角的正弦值.

22

土-匕=1

16.（15分）（23-24高二上?廣東東莞?期中）已知雙曲線/b2的漸近線方程為

且點M（2,1）在該雙曲線上.

（1）求雙曲線C方程；

⑵若點片，片分別是雙曲線C的左、右焦點，且雙曲線C上一點尸滿足咫,時，求

△尸耳耳的面積.

17.（15分）（23-24高二上?浙江金華?階段練習(xí)）已知動點尸與兩個定點/6°）,'（4°）的距

離的比是2.

（1）求動點尸的軌跡C的方程；

（2）直線/過點（2/），且被曲線0截得的弦長為2道，求直線/的方程.

18.（17分）（2023?江蘇徐州?模擬預(yù)測）在三棱臺/BC-。即中，G為/C中點,

AC=2DF,AB上BC,BCLCF

B

（1）求證：8c,平面DEG；

（2）若"=BC=2,CF1AB,平面EFG與平面4CFD所成二面角大小為3,求三棱錐

E-OFG的體積.

19.（17分）（2024?山東青島?一模）已知。為坐標(biāo)原點，點水為°°：/+「=4和0M的公

共點，而?麗=0,與直線x+2=0相切，記動點M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）若〃＞心＞0,直線4：x-y-，〃=0與c交于點/,B,直線小工一了一,二。與c交于點H,

B',點4,H在第一象限，記直線44'與83'的交點為G,直線4"與加'的交點為〃，線段

AB的中點為E.

①證明：G,E,〃三點共線；

②若（〃?+1）一+〃=7,過點”作4的平行線，分別交線段88'于點T,T,,求四邊形

G7KT面積的最大值.

答案:

題號12345678910

答案ABBCACABABCACD

題號11

答案AC

1.A

【分析】利用空間向量的線性運算，用基底表示向量.

【詳解】連接如圖所示，

A

c

（AC+AD）=^+c）

??,E是CD的中點，AC=b,AD=cf:,AE=2

在中，BE=BA+AE=-AB+AE,又方=

BE=-a+—（b+c>\=-a+—b+—c

...2V722

故選：A.

2.B

【分析】直線方程即以2'+）一D+（—、+3歹+11）=°,一定經(jīng)過2x_yT=0和f_3y+11=0

的交點，聯(lián)立方程組可求定點的坐標(biāo).

［詳角軍］直線Qk-l）x-（左+3）j-（A：-11）=0

即k（2,x—,一1）+x—3y+11）=0

（2x-y-l=0{x=2

根據(jù)k的任意性可得If-3y+11=0,解得b=3

不論k取什么實數(shù)時，直線Q斤-1>+（斤+3）y-（左-11）=0都經(jīng)過一個定點（2,3）.

故選：B

3.B

【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，得到忸用+忸引=2。=46，|百用|=2°=46，進而利用

2"4得出附卜%=*,進而可求出S5

22

土+匕=1,,

【詳解】解：由橢圓1224的方程可得片=24萬=12,

所以c?=/-/=12,得”=2跖c=2/

且忸胤+|尸閭=2a=4幾國月|=2c=46

在AP片與中，由余弦定理可得

(IWI+I尸81)2-2|尸片II尸瓦H甲寸

cos

ZFXPF2=

2\PFl\\PF2\2|尸耳II尸刃

4a2_402_2|尸片||尸6|_4/_2|尸片|_4x12-21/耳||尸巴|

2|尸耳|吐|一2\PFl\\PF2\~-21m0|

cos/F]PF,=-附|?附1=18

而-3,所以,

cos^FlPF2=-sin4%=—

又因為,所以3

1],B

SAPF昆=/尸耳||PR|-sin/耳尸瑪=]X18x-^-=6及

所以,

故選：B

4.C

【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運算以及空間向量垂直的坐標(biāo)表示可以計算得到答案.

【詳解】因為一("'),所以"(2,-1,3)-(2-4,-1+^,3+2)=-4+l-y+15=0

解得y=i2,

故選：C.

5.A

【分析】設(shè)出點M坐標(biāo)，得出。點坐標(biāo)，代入圓方程，即可得到線段尸°的中點M的軌跡方

程.

【詳解】設(shè)點”的坐標(biāo)為"(X/),因為初點是線段「°的中點，

可得0（2x-l,2y）,點。在圓上，

則（2x-l）2+（24=4,即I"2）+yI

故選：A.

6.C

【分析】取線段4T中點，根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義及直角三角形勾股定理求解作答.

【詳解】令雙曲線E的右焦點為尸'，半焦距為c,取線段/T中點連接°T，/P，F(xiàn)N,

因為E4切圓/+/=。2于？，則0TJ.E4,1Fr|=7lOF|2-1OT|2=y/c2-a2=b

因為成=3成,則有尸C=6,用-2a=36-2〃，

而。為"'的中點，于是FA///。？，即尸加，《尸，|FW=2|°T|=2a,

在RtA4F'N中，（2。）2+/=（36-2斤，整理得「二5,

cIb2V13

e———/1—____

所以雙曲線E的離心率-。飛a2~2

故選：C

7.A

【分析】由直線與圓相交的弦長公式必到二2獷二層進行求解即可.

【詳解】因為圓。：一+2》+「-1=0,圓心為C（T。）,半徑為，=亞,即儂=倒=應(yīng)

因為V/8C為直角三角形，所以越=#X+|O「=2,

卜加一“|m+w|

設(shè)圓心。（一⑼到直線3+"&-1）=°的距離為d,y/m2+n2^m2+n2

由弦長公式MM=2獷二/得"=1,所以j蘇+甘，化簡得加〃=o.

故選：A.

8.B

【分析】設(shè)力&V1）,8（冷42），“（。，0）,直線48方程為產(chǎn)6+1,聯(lián)立直線與拋物線方程,

消元，得到中2=一4,再由岡=|四=|網(wǎng)=#I不,可得4（%加，8@242）是方程

f+「-2"T6=0的解，將了=丘+1代入方程，由國馬=-4求出仁

［詳解］設(shè)"（、為）,見叼必），°（。，°）,直線方程為^=履+1,

y=Ax+1

y=-x

聯(lián)立直線與拋物線方程I4,可得X?-4履-4=0,

顯然A>°,所以王超=-4.

又皿=囪=|DN|=+42即J（x1_ay+y；='（xz-aj+y；=da。+4?

即x；+—2QX]-16=0x；+-2axz_16=0

故4（%i，y1）,B（%2必）是方程-16=0的解，

將了=去+1代入方程/+/-2辦-16=0,

整理得（l+〃”+（2"2a）x-15=0,顯然△＞（）,

\+k2

故選：B.

方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

(1)設(shè)直線方程,設(shè)交點坐標(biāo)為(乙3)、(叼必)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X(或V)的一元二次方程，必要時計算A；

(3)列出韋達定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為再+工2、再馬的形式；

(5)代入韋達定理求解.

9.ABC

【分析】利用向量數(shù)量積的定義分別求解即可.

--1--

EF=-BD

【詳解】因為E,尸分別是的中點，所以2,

麗而」亦.的=」而同cos匝加=工Xcos60?！?/p>

所以22lII?24,A正確；

EF-BD=-BD-Bb=-\BT)\=-

22l?2,B正確；

-I^=-BDDCBDDCcosBD-DC=-xcosn()o=--

2=-2\l\H\\?-24,c正確；

A8-c5=AB.(AD-l4C)=AB-AD-AB-I4C-|Z8||ZD|cosAB,AD-1Ag||^c|-cosA8,^C=

cos60°-cos60°=0,D錯誤.

故選：ABC.

10.ACD

【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A選項，利用兩直線的

垂直及充要條件的定義即可判斷B選項，利用空間向量的基本定理可判斷C選項；利用投影

向量的定義可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，直線xsina+V+2=°的傾斜角為夕，貝|tane=-sina,因為

「兀［「3兀)

0G0,—D,71

-iVsinaVl,所以-lWtan"l,所以「4」14九故A正確；

對于B選項，因為直線片'_'+1=0與直線工一0_2=0互相垂直，所以

2

flxl+(-l)x(-fl)=0；即。2+。=0,解得。=0或4=-1,所以=是“q=0或”_1?的

充分不必要條件，所以“。=T”是“直線/x->+1=°與直線X---2=°互相垂直,，的充分不

必要條件，故B錯誤;

對于C選項，若兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，不妨設(shè)這兩個非

零向量不共線，設(shè)這兩個非零向量為或由空間向量的基本定理可知，在空間中必存在非

零向量人使得3'',｝為空間的一個基底，假設(shè)不成立，故這兩個非零向量共線，故C正確;

對于D選項，因為向量力=（9,4，-4）3=（1,2,2）,所以2在B上的投影向量為

a-bb=牌'=凱2,2)=(1,2,2)

|a|cosa,Z>-=r=|a|-同同?阿

故D正確.

故選：ACD.

11.AC

【分析】先由題意求出/即可判斷A；再根據(jù)離心率公式即可判斷B；由點差法可以求出直

線/的斜率，由直線的點斜式化簡即可判斷C；由焦點三角形的周長公式即可判斷D.

【詳解】如圖所示：

根據(jù)題意，因為焦點在y軸上，所以蘇-2=4,則/=6,故選項A正確;

e_c_2__

橢圓。的離心率為aa3,故選項B不正確;

（%+%）（%-工2）=_（必+%）（—2）=_3X一+強

兩式相減得2一6，變形得再一馬必+%,

石+/1

一+一二2―一―=5二］

產(chǎn)化工］M+%必+%yP1

又注意到點【22）為線段"N的中點，所以22

,-yx+x

k,=———2=-3ax-t----2-=—3x1=—3

所以直線/的斜率為再-%%+為

y--=-3\x

所以直線/的方程為2I,即3x+y-2=°,故選項c正確;

因為直線/過片，所以A&MN的周長為

FM+FN+MN=(\FM\+\FM{)++\FN[)=2a+2a=4a=4v6上乙3THe-十也

222Xr,故選項D不正確.

故選：AC.

V2

12.2行或2

_￡

【分析】由題可設(shè)直線的方程為'一""+/（匹，%），8（々,力），與拋物線聯(lián)立可得交

點坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)相交弦長公式及中點坐標(biāo)公式即可求得°的值.

Fp

2M。x=my-\——

【詳解】拋物線》=2"（p>0）的焦點設(shè)直線的方程為-2,

/(再,必),2(無2,%),

%+%=6

所以2,貝2,2

p

x=my+—

y=2px,消去x得：y2-2pmy-p2=0

聯(lián)立

A=(-2p加7-4x(-p2)=4P2m2+4/>0恒成立,

V2

m=--

所以％+%=2。加,必”=一p2,所以2p%=2四，

貝IJP,

又

\AB\=Vl+m2=+,J(“+%)、-4%%=Jl+〃/?,8+4/=1+與48+4/=5五

2/+鳥_17=01=oe

整理得：P',所以PP，解得。=2也或2.

e

故2行或1".

13.(°⑹

【分析】設(shè)弧E的中點為M,根據(jù)圓與圓相離，確定兩圓的外公切線與內(nèi)公切線，確定圓

。的位置，分析可得弧E上的點與圓C上的點的最短距離.

【詳解】如圖，

4兀

設(shè)弧E的中點為“，弧片所對的圓心角為彳，

圓。的半徑以圖=1,在弧E上取兩點則-5,

分別過點48作圓。的切線，并交直線加于點。，

當(dāng)過點48的切線剛好是圓。與圓C的外公切線時，劣弧/臺上一定還存在點叢7,使過點

邑7的切線為兩圓的內(nèi)公切線，

則圓C的圓心C只能在線段“D上，且不包括端點，

過點°,分別向。作垂線，垂足為凡尸，則。尺即為圓°的半徑，

設(shè)線段℃交圓C于點N,則弧E上的點與圓°上的點的最短距離即為線段九亞的長度.

,,!\O!A\\OA\\OA\1r

°。=——=—/Un4^^=了—=V5+1

11cosZAODN40B2n5i

cos-----cos___i

在RtaZOZ）中，254,

^\MN\=\OC\-\OM\-\CN\=\OC\-l-\CR\<\OD\-l-Q=y/5+l-l=45

即弧E上的點與圓C上的點的最短距離的取值范圍為逐）

故答案為.（°，6）

結(jié)論點睛：本題考查了根據(jù)兩圓位置關(guān)系求距離的范圍的問題.可按如下結(jié)論求解:

相離的兩個圓（圓心分別為9和°?,半徑分別為R和r）上的兩個動點之間的距離L的最小

值是兩圓心之間的距離減去兩圓的半徑，最大值是兩圓心之間的距離加上兩圓的半徑，即

Anin=|O1O2|-y?-r,Zmax=\O}O2\+R+r

V3

14.2

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求出Ic°s〈詼，赤〉?的

最大值，從而確定。點在8尸上的位置，即可求得答案.

AABC=ABAD=-,,

【詳解】因為P/，平面/BCD年2,所以D22/尸D兩兩垂直,

以｛AB,AD,AP｝為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則各點的坐標(biāo)分別為8(1,0,0),C(1,1,0),D(0,V3,0),尸(0,0,V3)

因為麗=(-1,0,省)設(shè)苑=4/=(-彳,0,6為,(04彳41),

又C8=(0,-1,0),則CQ=CB+BQ=(-2,-1,732)

CQDP1+V32

cos(CQ,DP)=

又加=(0,36)

從\CQ\\DP\8萬+2

設(shè)1+V3A-t,t&[1,1+-\/3]

3產(chǎn)3,7

cos2(CQ,DP)--------------------------------------

8戶一⑹+141416-8

—z---------------bO

則tt

43_

t=lA=__Vu

當(dāng)且僅當(dāng)一W,即一彳時，Icos〈麗，麗〉|的最大值為丁,

巫

即直線c0與。p所成角的余弦值的最大值為工，

而直線C0與。p所成角的范圍為2,

[0,-]「c

因為y=cosx在2上是減函數(shù)，故此時直線。。與。尸所成角最小，

又因為8P=Vi3=2,所以42,

V3

故2

方法點睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)求得c。，。尸的夾角的余弦的最大值，即可

確定0點的位置，進而求得答案，因此在解決類似問題時，可以嘗試建立空間坐標(biāo)系，利用

向量解決問題，可以簡化題目的難度.

V15

15.(1)證明見解析；(2)6.

【分析】(1)要證可證DC'PM,由題意可得，PDLDC,易證OM/OC,

從而OCL平面即有OC'PM,從而得證；

(2)取/。中點E,根據(jù)題意可知，兒化,DM,9兩兩垂直，所以以點M為坐標(biāo)原點，建

立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量芯和平面PDM的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量

公式求出.

【詳解】(1)在△DCW中，DC=1,CM=2,ZDCM=60\由余弦定理可得。.=右，

所以。A/?+DC?=CA/2,DM1DC,由題意DCJ,尸。且PDcDM=。，；.Z)C_L平面

PDM,而PMu平面所以DC_LPAf,又AB"DC,所以

(2)由尸NLA?,ABVPM,而48與DM相交，所以尸加■，平面ABC。，因為

AM=^,所以尸河=20,取/。中點E,連接ME,則ME，?！?，尸"兩兩垂直，以點

M為坐標(biāo)原點，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(-瓜2,0),P(0,0,2V2),D(區(qū)0,0)JW(O,O,O),C(V3,-1,O)

又N為尸C中點，所以122JI22人

由(1)得平面尸。河，所以平面尸?！钡囊粋€法向量力=(°，L°)

__5

"小=,2=叵

|n|.+至+26

從而直線NN與平面pzw所成角的正弦值為V4+4+

B

本題第一問主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明可以考慮DCLPM,

題中與℃有垂直關(guān)系的直線較多，易證DC_L平面產(chǎn)況/,從而使問題得以解決；第二問思

路直接，由第一問的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計算得

出.

22

土-乙=1

16.（1）33

（2）3

?=1互_上=1

【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線方程得了，根據(jù)點加（2J）在雙曲線上列方程//,

最后解方程組得出雙曲線的方程；

（2）根據(jù)雙曲線定義和咫,尸巴列方程組求解尸片,尸入,再根據(jù)三角形面積公式計算面積可

得出答案.

國1

a「

22]2a~。3

【詳解】（1）由題知，1//解得，，=百

22

工-匕=1

所以雙曲線C的方程為：33

2

（2）■■PF^lPF2,-,PF：+PF2=FtF^=（2cy=24

根據(jù)雙曲線的定義得，戶周一尸閭=2。=26

.]尸耳-1|=26

PF：+=24解方程得，PF'"2=6

邑"典=gPk%=；x6=3

考查雙曲線方程求解及焦點三角形的面積求解，屬基礎(chǔ)題.

17.（1）5-5）。+/=4

（2）9=1或比+4y-10=0

【分析】（1）直接利用條件求出點尸的軌跡方程，所求方程表示一個圓；

（2）直線/的斜率分存在與不存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時，檢驗不滿足條件；當(dāng)

直線的斜率存在時，用點斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)弦長和點到直線的距離公式列出等式即

可求出直線的斜率，進而求出直線的方程.

【詳解】（1）設(shè)點-G」）,

:動點P與兩個定點⑼，8（4，°）的距離的比是2,

M_2

A\PB\,即叫=2閥，

貝”"（XT）2+/=2^/（x-4）2+y2,

化簡得X2+/7°X+21=°,

所以動點尸的軌跡C的方程為（x-5）?+V=4；

（2）由（1）可知點尸的軌跡C是以（5，°）為圓心，2為半徑的圓，

:直線被曲線C截得的弦長為26,

二.圓心（5,°）到直線/的距離"=6^=1,

①當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線/的方程為》=2,此時圓心到直線/的距離是3,不符合條

件；

②當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為〉一1=上（無一2）,即丘-y-2左+1=0,

d=^l=X

所以圓心色°）到直線/的距離護不，

k」

化簡得91+6左+1=/+1,解得左=0或4,

止匕時直線’的方程為〉=1或3x+4y-i°=°.

綜上，直線/的方程是了=1或3x+4'T0=0.

18.（1）證明見解析

1

【分析】（1）易證得四邊形GCED為平行四邊形，由此可得8CLOG,結(jié)合8CLDE,由

線面垂直的判定可得結(jié)論；

（2）根據(jù)垂直關(guān)系，以G為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)"G=CV=機（加＞0）,由

二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得比,利用體積橋/“叩=%-DEF可求得結(jié)果.

【詳解】⑴在三棱臺中，G為/C中點，則"=2GC,

又4c=2DF,GC=DFt

ACIIDF,四邊形Gb。為平行四邊形，.?.OG〃CF,

又BC1CF,:.BCIDG,

?/DE//AB,AB工BC,:.BC上DE,

???DEC\DG=D,O￡,OGu平面。EG,「.BC，平面。EG

(2)vCFLABDG//CF,/.DG1ABf

又DG上BC,ABcBC=B,平面45。，「.OG，平面45。,

連接BG,?:AB=BC=2,ABLBC9G為4C中點，:.GBLAC.

以忸,GC,G"｝為正交基底，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系G-平,

則G(0,0,0)5(72,0,0)/小,一行,0)C^),V2,0)

設(shè)OG=CV=M(機>0)則0(0,0,唐)F(0,42,m^

.-.GE=GD+DE=GD+^AB=(Q,0,42,0^=(^,^,m

GF=(0,42,m^

設(shè)平面E-G的一個法向量為方=G/，z),

-V2V2

n?GE=xH-----y+mz=0

22

n-GF=\[2y+mz=0

則,令Z=Y1,解得：>=機，x=m

又平面ACFD的一個法向量兩=0,°，°),

\m-n\m_1

阮I(lǐng),同,2加2+22,解得：m=l,即。G=l,

???Z)G_L平面Z5C,平面48C〃平面?！?"，OG_L平面。瓦"

,VE-DFG=VG-DEF=TS^DEF.￡>G=X[X1X1X1=J

3326

19.(l)/=4x

⑵①證明見解析；②驍

【分析】（1）設(shè)/（x，y）,根據(jù)題目條件列式化簡可得軌跡；

（2）①設(shè)線段4?的中點為尸，利用向量證明G,E,尸三點共線，同理X,E,廠三點共

線，進而可得結(jié)論；②將四邊形G遇7'面積轉(zhuǎn)化為四邊形面積，將直線和拋物線聯(lián)立,

利用韋達定理，求出直線NH和直線84的方程，則可求出G,“坐標(biāo)，然后利用面積公式

S=^\GH\-\yi-y2\

求解最值即可.

【詳解】（1）設(shè)M（x，>）,。"與直線x+2=。的切點為N,則1肱汗=也少「=|0朋7+|0矽2,

所以I尤+2「=x~+/+4

化簡得廿=4x,所以。的方程為：y2=4x,

（2）①設(shè)線段4"的中點為尸，

因為/兒，所以可設(shè)第=2而，GB=AGB',

GE=-（GA+GB）=-（GA'+GB'）=AGF

又因為2、J2、，

所以G,E,廠三點共線，同理，H,E,尸三點共線，

所以G,E,〃三點共線.

②設(shè)N（Xi，yJ,8（%,%）,4（三,為），8口4，乂），中點為￡,/⑻中點為廠,

將工=>+機代入/=4x得：/_4/_4m=0,所以％+%=4,必％=_4機，

v」+%_2

所以『2

同理為+乂=4,處=2（G,E,〃,廠均在定直線y=2上）

因為TT'/4,所以與面積相等，△E8T'與△￡8〃面積相等；

所以四邊形GT^T'的面積等于四邊形GAHB的面積，

設(shè)G(%,2),H(XH,2)

//'：?-%=直工(xf)

直線x「X3,即44

X=2（必+匕）一%％

又因為%=2,所以“一

整理得：直線4

*=竺乜巫X

同理，直線%+%,切=2,所以”4

(%-%)(2-%)2

\GH\=\XG-XH\=

S=±G〃|.|必f|="心也二區(qū)

所以四邊形G//Y面積2

[(必+%?-4弘％]?j(%+”)一

16

(16+16m)-J16+16〃

=4,(1+加)2(i+.)

<4。+"；+1+”=2(2+m2+2m+w)=16

m+2加=n

n+m2+2m=6目「

所以四邊形G窗T'面積的最大值為16.

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是將四邊形G明7'的面積轉(zhuǎn)化為四邊形G/HB的面積，還有充分利

用第一問中的點共線求出G，”的橫坐標(biāo)，可以給求面積帶來便利.

2024-2025高二上期中數(shù)學(xué)（2019人教A版）真題試卷模擬檢測

試題（二）

檢測范圍：選擇性必修一第一章、第二章、第三章

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.（2023高三?全國?專題練習(xí)）方程J--+J（x+>+/>的化簡結(jié)果是（

）

22

-—1t+2=1

A.53B.35

C.259D.925

2.（21-22高二上?山東濟寧?期中）設(shè)點44,-3）,5（-2,-2）,直線/過點尸（口）且與線段月8相

交，則直線/的斜率上的取值范圍是（）

_

A.k>l^k<-4B.左21或3c.4<A：<1

3.（23-24高二下?江蘇宿遷?期中）已知空間單位向量之，"兩兩垂直，則

\a-b+c

A.GB.瓜

4.（22-23高二上?山東棗莊?期末）兩定點/,2的距離為3,動點〃滿足性例=2|“可，則

M點的軌跡長為（）

B2G兀

A.4兀C.2A/2TID.2兀

5.（22-23高二上?安徽馬鞍山?階段練習(xí)）在四面體0/8。中，0A=a,0B=b,0C=c,

OP=^PG_

G為V/2C的重心，尸在。G上，且2,則4尸=（）

2-1工1_8.1-U

——a+—b+—c—a——b——c

A.999B.999

8-1r1-2一11一

——a+—b+—c—a——br——c

C.999D.999

6.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知點尸為拋物線C：/=4x的焦點，過尸的直線/與C交于

48兩點,則M司+2忸尸I的最小值為（）

A.2后B.4C.3+2收D.6

7.（2023?北京海淀?二模）已知動直線/與圓°：/+r=4交于A,8兩點，

且4402=120。.若/與圓（X-2/+/=25相交所得的弦長為乙則/的最大值與最小值之差

為（）

A.10-4"B.1c.4^6-8D.2

22

C=l（tz>0,6>0）z/日

8.（2024?河南?模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線a?b2的左、右焦點分別為外,力,過

坐標(biāo)原點的直線與C交于48兩點，但㈤=2|五/,￡4尸2'=4a2,則。的離心率為（）

A.&B.2C.^5D.近

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.（20