湖南省岳陽(yáng)市臨湘市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2025年臨湘市高二下學(xué)期數(shù)學(xué)入學(xué)考試試卷一、單選題（每小題5分，共8小題，總分40分）1.若物體的運(yùn)動(dòng)方程是，時(shí)物體的瞬時(shí)速度是（）A.33 B.31 C.39 D.27【答案】A【解析】【分析】對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)中代入時(shí)間數(shù)據(jù)，即得到物體的瞬時(shí)速度.【詳解】由已知可得，所以，所以時(shí)物體的瞬時(shí)速度是.故選：.2.已知等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為，若該數(shù)列前3項(xiàng)的和為3，最后三項(xiàng)的和為63，所有項(xiàng)的和為110，則n的值為（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式得解.【詳解】設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)，則，，因此，即，則，解得故選：A3.已知傾斜角為的直線過(guò)，兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由斜率公式與斜率定義求解即可【詳解】由題意知，即．故選A．4.方程(x+y-1)=0所表示的曲線是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由題意得方程，得或，且，所以方程所表示曲線為選項(xiàng)D，故選D．考點(diǎn)：曲線與方程．5.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”.原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？現(xiàn)有一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：被3除余1且被4除余2的正整數(shù)，按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則的值為（）A.24294 B.24296 C.24298 D.24300【答案】C【解析】【分析】由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，則得到其通項(xiàng)公式，代入計(jì)算即可.【詳解】被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，則.故選：C.6.已知點(diǎn)，空間內(nèi)一平面過(guò)原點(diǎn)，且垂直于向量，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面距離為.故選：A.7.已知拋物線，直線，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】通過(guò)直線l過(guò)定點(diǎn)A，得到P在以AF為直徑的圓上，將Q到P的距離轉(zhuǎn)化為到圓心的距離，再結(jié)合拋物線的定義即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)橹本€，即，過(guò)定點(diǎn)，記作點(diǎn)A，因?yàn)?，垂足為，所以，又，故點(diǎn)P的軌跡為以為直徑的圓，半徑，圓心為，記作點(diǎn)B，又因?yàn)镼在拋物線上，其準(zhǔn)線為，所以等于Q到準(zhǔn)線的距離，過(guò)點(diǎn)Q做準(zhǔn)線的垂線，垂足為R，要使取到最小，即最小，此時(shí)，三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)連線后直線過(guò)圓心B，如圖所示，此時(shí).8.設(shè)數(shù)列滿足，，，若表示大于的最小整數(shù)，如，，記，則數(shù)列的前2024項(xiàng)之和為（）A.4050 B.4049 C.4048 D.4047【答案】B【解析】【分析】變形得到，從而為等差數(shù)列，得到，累加法得到，從而，得到，當(dāng)時(shí)，，故，從而求出答案.【詳解】，故為公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，所以，則，故，故，當(dāng)時(shí)，，故，所以數(shù)列的前2024項(xiàng)之和為.故選：B二、多選題（每小題5分，共4小題，總分20分）9.已知數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（）A.此數(shù)列的通項(xiàng)公式是B.是它的第23項(xiàng)C.此數(shù)列的通項(xiàng)公式是D.是它的第25項(xiàng)【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得數(shù)列通項(xiàng)公式，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】數(shù)列，所以，A選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10.設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線，和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.直線與圓相切時(shí)B.到距離的最大值是C.直線與圓相交的最短弦長(zhǎng)為D.的最大值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)時(shí)直線也與圓相切，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)幾何知識(shí)得到當(dāng)時(shí)到的距離最大，然后求最大值，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)幾何知識(shí)得到當(dāng)時(shí)所得弦長(zhǎng)最短，然后得到此時(shí)的直線的方程，最后求弦長(zhǎng)，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)幾何知識(shí)得到點(diǎn)的軌跡，然后利用三角函數(shù)或不等式的方法求最值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】顯然當(dāng)時(shí)直線也與圓相切，故錯(cuò)誤；直線過(guò)的定點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)到的距離最大，最大值為，此時(shí)到距離的最大值為，故B正確；由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為，半徑，直線過(guò)的定點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)所得弦長(zhǎng)最短，則，又，所以，得，則圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)為，故正確；由，當(dāng)時(shí)，，有，當(dāng)時(shí)，，則，所以，又點(diǎn)是兩直線的交點(diǎn)，所以，所以，法一：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，故D錯(cuò)誤.法二：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為．已知，，，，則（）A. B.的取值范圍是C.的最大值為 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式推導(dǎo)出、，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)A選項(xiàng)可得出關(guān)于的不等式組，解出的范圍，可判斷B選項(xiàng)；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；分析數(shù)列的單調(diào)性，可判斷D選項(xiàng).【詳解】等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，，可得，，可得，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，解得，，解得，因此，的取值范圍是，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，所以，的最大值為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，，則，當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)，，所以，要考慮的最小值，只需考慮即可，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞增，所以，的最小值為，D對(duì).故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)要考查的最小值，最好是確定的符號(hào)，鎖定取負(fù)值時(shí)的取值，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性分析即可.12.如圖，在平行六面體中，底面為正方形，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是線段，的中點(diǎn)，則（）A. B.平面C.與所成角的余弦值為 D.與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對(duì)選項(xiàng)A、C和D逐一分析判斷即可得出結(jié)果，對(duì)于選項(xiàng)B，通過(guò)條件得到，再利用線面平行的判定定理即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，易知，故可建立如圖所示的空間直角坐系，又棱長(zhǎng)均為，，則，所以，又，所以，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，得，所以，即有，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，又是與的交點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，又面，面，所以平面，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，，設(shè)與所成的角為，則，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，易知平面的一個(gè)法向量為，又，設(shè)與平面所成的角為，則，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.三、填空題（每小題5分，共4小題，總分20分）13.已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，，且曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，即可求參數(shù)a的值.【詳解】因?yàn)?，根?jù)題意有，解得.故答案為：14.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】先確定公差，再利用等差數(shù)列性質(zhì)求，最后得到.【詳解】由于，.故的公差滿足從而，得，所以，得.這意味著，所以.從而，代入得.故答案為：；15.在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)中利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的入射光線經(jīng)雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是的右支上一點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn).由點(diǎn)出發(fā)的入射光線碰到點(diǎn)后反射光線為，法線（在光線投射點(diǎn)與分界面垂直的直線）交軸于點(diǎn)，此時(shí)直線起到了反射鏡的作用.若，則的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)光學(xué)性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)可得，故，結(jié)合雙曲線的定義，以及相似即可求解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)上有一點(diǎn)，由題意可得，，又，所以，所以，故，由雙曲線定義可得，故，因?yàn)椋?，所以，故，故離心率為，故答案為：.16.雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，平分，則的漸近線方程為______．【答案】．【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可得，進(jìn)一步判斷是等邊三角形，在中利用余弦定理可得，即可得出關(guān)系，繼而得出關(guān)系，求出漸近線方程.【詳解】根據(jù)題意，作出如下所示的圖形，由題可知，，由，∴∽，∴，設(shè)，則，∵平分，∴，∴，，，由雙曲線的定義知，，∴，即①，，∴，∴，即是等邊三角形，∴，在中，由余弦定理知，，即，化簡(jiǎn)得，②，由①②可得，，則，可得雙曲線的漸近線方程為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的漸近線的求解，解題的關(guān)鍵是利用已知結(jié)合雙曲線的定義求出關(guān)系.四、解答題（共5小題，總分70分）17.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其公差為d，前n項(xiàng)和為．（1）已知，，求及d；（2）已知，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式求解.【小問(wèn)1詳解】解得：【小問(wèn)2詳解】解得：18.已知直線，圓的圓心在軸正半軸上，且圓與和軸均相切.（1）求圓的方程；（2）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題目條件求出圓心和半徑，寫出圓方程；（2）先求圓心到直線的距離，再利用弦長(zhǎng)可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓心為，半徑為,則由題意得，故該圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】圓心到直線的距離為，由垂徑定理得：，解得.19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）是否存在正整數(shù)p，q（），使得，，成等差數(shù)列？若存在，求p，q；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合及等比數(shù)列定義推理即得.（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.（3）由（1）求出，由已知建立等式，驗(yàn)證計(jì)算出，再分析求解即可.【小問(wèn)1詳解】，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，則有，當(dāng)時(shí)，，則，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，則，數(shù)列是等差數(shù)列，于是，解得，則，所以的前項(xiàng)和.【小問(wèn)3詳解】由（1）知，，由成等差數(shù)列，得，整理得，由，得，又，，不等式成立，因此，即，令，則,從而，顯然，即，所以存在，使得成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：裂項(xiàng)法求和，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．20.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足（1）求證為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義分析怎么，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求；（2）分類討論n的奇偶性，利用并項(xiàng)求和法運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，且，可知，可得，即，可知?shù)列是以首項(xiàng)為，公差為4的等差數(shù)列，可得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，若n為偶數(shù)，則；若n為奇數(shù)，則；綜上所述：.21.設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．（1）若P是該橢圓在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線l與橢圓