《數(shù)字通信原理》課件-第8章

8.1數(shù)字信號(hào)最佳接收的基本概念和準(zhǔn)則

8.2匹配濾波器

8.3最佳基帶傳輸系統(tǒng)

本章小結(jié)

思考與練習(xí)第8章數(shù)字信號(hào)的最佳接收8.1數(shù)字信號(hào)最佳接收的基本概念和準(zhǔn)則一個(gè)通信系統(tǒng)的質(zhì)量?jī)?yōu)劣在很大程度上取決于接收系統(tǒng)的性能。這是因?yàn)?，影響信息可靠傳輸?shù)牟焕蛩貙⒅苯幼饔玫浇邮斩耍瑢?duì)信號(hào)接收產(chǎn)生影響。最佳接收理論是以接收問(wèn)題作為自己的研究對(duì)象，研究對(duì)淹沒(méi)在加性噪聲中的有用信號(hào)如何最好地提取。本章在給出基本的判決準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，著重分析確知信號(hào)的最佳接收、隨相信號(hào)的最佳接收、起伏信號(hào)的最佳接收和匹配濾波器，最后分析最佳基帶傳輸系統(tǒng)。8.1.1數(shù)字信號(hào)最佳接收的基本概念

1.基本概念通信系統(tǒng)中信道特性的不理想及信道噪聲的存在，將直接影響接收系統(tǒng)的性能。把接收問(wèn)題作為研究對(duì)象，研究在噪聲條件下如何最好地提取有用信號(hào)，且在某個(gè)準(zhǔn)則下構(gòu)成最佳接收機(jī)，使接收性能達(dá)到最佳，這就是通信理論中十分重要的最佳接收問(wèn)題。因此，我們要研究最佳接收機(jī)的原理和數(shù)學(xué)模型，討論它們?cè)诶碚撋系淖罴研阅?，并與現(xiàn)有的各種接收方法進(jìn)行比較，找出改進(jìn)的方法。這里的“最佳”或“最好”并不是一個(gè)絕對(duì)的概念，而是從相對(duì)意義上來(lái)說(shuō)的，使接收在某一個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”或“準(zhǔn)則”下是最佳，而在其它條件下，不同的準(zhǔn)則也可能是等效的。數(shù)字通信中常用的“最佳”準(zhǔn)則有最小均方誤差準(zhǔn)則、最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則、最大輸出信噪比準(zhǔn)則、最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則等。這一章節(jié)內(nèi)容主要研究在最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則下的最佳接收機(jī)的模型及其性能。

2.統(tǒng)計(jì)表述在數(shù)字通信系統(tǒng)中，發(fā)送端把幾個(gè)可能出現(xiàn)的信號(hào)之一發(fā)送給接收機(jī)，但對(duì)接收端的受信者來(lái)說(shuō)，觀察到接收波形后，要無(wú)誤地?cái)喽骋粋€(gè)信號(hào)的到來(lái)卻是一件困難的事。一方面，受信者不確定哪一個(gè)信號(hào)被發(fā)送；另一方面，即使預(yù)知某一個(gè)信號(hào)被發(fā)送了，由于信號(hào)傳輸中發(fā)生畸變和混入噪聲，也會(huì)使受信者對(duì)收到的信號(hào)產(chǎn)生懷疑。這說(shuō)明受信者觀察到的波形并不是確定的，而是一個(gè)受發(fā)送信號(hào)的不確定性和噪聲的不確定性等因素影響的隨機(jī)波形。但是不確定性的存在，并不意味著信號(hào)就無(wú)法可靠地接收。從概率論的觀點(diǎn)來(lái)看，只要掌握接收波形的統(tǒng)計(jì)資料，就可以利用統(tǒng)計(jì)的方法，即統(tǒng)計(jì)判決法來(lái)獲得滿(mǎn)意的接收效果。數(shù)字通信系統(tǒng)信號(hào)接收的統(tǒng)計(jì)模型如圖8-1所示。圖8-1數(shù)字信號(hào)接收的統(tǒng)計(jì)模型圖8-1中的消息空間、信號(hào)空間、噪聲空間、觀察空間及判決空間分別代表消息、信號(hào)、噪聲、接收波形及判決的所有可能狀態(tài)的集合。設(shè)發(fā)送消息x有m種可能的狀態(tài)，對(duì)應(yīng)的發(fā)送信號(hào)s也有m種取值，即s1，s2，…，sm，信號(hào)噪聲n為零均值高斯白噪聲，則觀察空間狀態(tài)y為y=s+n

(8-1)也服從高斯分布。當(dāng)出現(xiàn)信號(hào)si時(shí)，y的概率密度函數(shù)為(8-2)其中：i=1、2、…、m；n0=/fH，σn是噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差，是噪聲的方差，又叫做噪聲的平均功率，fH為通信系統(tǒng)的最高傳輸頻率；TB為一個(gè)碼元持續(xù)時(shí)間(又叫做碼元寬度)，對(duì)于f(y/si)又稱(chēng)為似然函數(shù)。8.1.2最佳接收準(zhǔn)則

1.似然比準(zhǔn)則(最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則)討論最佳接收問(wèn)題時(shí)，首先遇到的問(wèn)題是什么叫“最佳”。由于數(shù)字通信系統(tǒng)傳輸質(zhì)量的主要指標(biāo)是錯(cuò)誤概率，因此，將錯(cuò)誤概率最小作為最佳接收的準(zhǔn)則，在數(shù)字通信中是最直觀和最合理的。以發(fā)送兩個(gè)信號(hào)為例，由于信道存在噪聲，發(fā)送s1時(shí)不一定判為s1，發(fā)送s2時(shí)也不一定判為s2，因此造成了誤判。自然，我們期望錯(cuò)誤接收的概率越小越好。假如將判決為s1的事件記為D1，將判決為s2的事件記為D2，s1和s2相應(yīng)的先驗(yàn)概率為P(s1)和P(s2)，則在發(fā)送s1、s2條件下出現(xiàn)接收波形y的概率密度函數(shù)分別為f(y/s1)和f(y/s2)，圖8-2為條件概率密度曲線及判決電平示意圖，圖中UT為判決電平。圖8-2條件概率密度曲線及判決電平根據(jù)圖8-2得到每一次判決總的平均錯(cuò)誤概率為

(8-3)(8-4)(8-5)式中：f(y/s1)為發(fā)送信號(hào)s1時(shí)接收端信號(hào)與噪聲聯(lián)合概率密度；f(y/s2)為發(fā)送信號(hào)s2時(shí)接收端信號(hào)與噪聲聯(lián)合概率密度。當(dāng)發(fā)送信號(hào)s1、s2的波形確定，先驗(yàn)概率也確定，信道噪聲為高斯白噪聲時(shí)，Pe的大小完全由判決門(mén)限確定。要使Pe最小，必然存在一個(gè)最佳判決門(mén)限。令，即所以(8-6)式(8-6)就是錯(cuò)誤概率最小的條件。由此得出結(jié)論:如果按如下規(guī)則進(jìn)行判決，則能使總錯(cuò)誤概率最小。 若 則判為D1

若 則判為D2式(8-7)通常稱(chēng)為似然比判決準(zhǔn)則，即最佳接收準(zhǔn)則，又稱(chēng)為最小錯(cuò)誤概率準(zhǔn)則。(8-7)

2.最大似然比準(zhǔn)則如果P(s1)=P(s2)，則式(8-7)變?yōu)閒(y/s1)>f(y/s2)，判為s1，f(y/s1)<f(y/s2),判為s2。上面的判決規(guī)則意味著哪個(gè)大判為哪個(gè)，常稱(chēng)為最大似然比準(zhǔn)則。有了最佳接收的判決準(zhǔn)則后，數(shù)字信號(hào)的最佳接收在理論上就變?yōu)槭盏揭粋€(gè)y值后，分別計(jì)算似然函數(shù)值，然后對(duì)它們進(jìn)行比較，誰(shuí)大就判為誰(shuí)，從而得到最佳接收的原理框圖，設(shè)計(jì)出最佳接收機(jī)電路。8.1.3確知信號(hào)的最佳接收所謂確知信號(hào)，是指其取值在任何時(shí)間都是確定的，可以預(yù)知的。通常在恒參信道(恒參信道是指其傳輸特性的變化量基本不變，變參信道則正好與其相反)中接收到的數(shù)字信號(hào)可以認(rèn)為是確知信號(hào)。下面將討論如何按照上節(jié)的最佳接收準(zhǔn)則來(lái)構(gòu)造確知信號(hào)的最佳接收機(jī)。

1.二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)設(shè)在一個(gè)二進(jìn)制數(shù)字通信系統(tǒng)中，兩種接收碼元的波形s0(t)和s1(t)是確知的，其碼元寬度為T(mén)B，且功率相等；帶限高斯白噪聲的功率為，單邊功率譜密度為n0，其中，。根據(jù)式(8-2)和式(8-7)，對(duì)于s0(t)和s1(t):若(8-8)則判決為發(fā)送碼元s0(t)。若(8-9)則判決為發(fā)送碼元si(t)。將式(8-8)的兩端分別取對(duì)數(shù)可得:若

(8-10)則判決為發(fā)送碼元s0(t)；反之，則判決為發(fā)送碼元s1(t)。假設(shè)這兩個(gè)碼元能量相等，即,將式(8-10)進(jìn)一步簡(jiǎn)化可得:若

(8-11)式中:(8-12)則判決為發(fā)送碼元s0(t)；反之，則判決為發(fā)送碼元s1(t)。ω0和ω1可以看做是由先驗(yàn)概率決定的加權(quán)因子。由式(8-11)表示的判決準(zhǔn)則可以得出二進(jìn)制確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的原理框圖，如圖8-3所示。圖8-3二進(jìn)制確知數(shù)字信號(hào)最佳接收機(jī)的原理框圖如果P(s0)=P(s1)，則式(8-11)簡(jiǎn)化為

(8-13)

最佳接收機(jī)的原理框圖也可以簡(jiǎn)化為如圖8-4所示。圖8-4等先驗(yàn)概率二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)原理框圖

2.多進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)由上述討論不難推出M進(jìn)制通信系統(tǒng)的最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)，其原理框圖如圖8-5所示。上面的最佳接收機(jī)的核心是由相乘和積分構(gòu)成的相關(guān)運(yùn)算，所以常稱(chēng)這種運(yùn)算為相關(guān)接收法。由最佳接收機(jī)得到的誤碼率在理論上可能達(dá)到最小值。圖8-5等先驗(yàn)概率M進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)原理框圖

3.二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)性能前面我們討論了若(8-14)成立，則判決為發(fā)送碼元s1(t)。因此，在發(fā)送碼元s0(t)時(shí)，若式(8-14)也成立，則將發(fā)生錯(cuò)誤判決。二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)的總誤碼率的計(jì)算公式為(8-15)式(8-15)可化簡(jiǎn)為(8-16)式中：ρ為碼元相關(guān)系數(shù)；n0為噪聲功率譜密度；Eb為碼元的能量；erfc(x)為誤差函數(shù)，可查表求得。8.1.4隨相信號(hào)的最佳接收所謂隨相信號(hào)，是經(jīng)過(guò)信道傳輸后碼元相位帶有隨機(jī)性，而其它參數(shù)是確知的一種信號(hào)形式。隨相信號(hào)在實(shí)際中是較常見(jiàn)的，例如用鍵控法從獨(dú)立振蕩器那里得到的FSK或ASK信號(hào)、隨機(jī)窄帶信號(hào)經(jīng)強(qiáng)限幅后得到的信號(hào)和通常的雷達(dá)接收信號(hào)等。通常情況下，相位j在(0，2π)內(nèi)均勻分布。下面我們討論在能量相等、先驗(yàn)概率相等、互不相關(guān)的2FSK信號(hào)及有帶限高斯白噪聲這種通信系統(tǒng)下的最佳接收問(wèn)題。

1.二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)設(shè)接收信號(hào)碼元相位的概率密度在(0，2π)內(nèi)服從均勻分布，可將此信號(hào)表示為(8-17)

碼元的能量,此信號(hào)隨機(jī)相位j0和j1的概率密度可表示為(8-18)(8-19)

根據(jù)式(8-2)有:(8-20)(8-21)而接收端在相位分別為j0和j1時(shí)接收信號(hào)的概率密度函數(shù)為(8-22)(8-23)將式(8-22)和式(8-23)代入式(8-7)就可以得出最終的判決條件如下：

(1)若接收信號(hào)使，則判發(fā)送碼元是s0；

(2)若接收信號(hào)使，則判發(fā)送碼元是s1。這就是最終判決條件，其中:

。根據(jù)推導(dǎo)出的判決準(zhǔn)則構(gòu)成的隨相信號(hào)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)原理框圖如圖8-6所示。圖8-62FSK隨相信號(hào)最佳接收機(jī)原理框圖

2.二進(jìn)制隨相信號(hào)最佳接收機(jī)的性能與分析二進(jìn)制確知信號(hào)最佳接收機(jī)性能一樣，這里也討論總的錯(cuò)誤概率(8-24)

根據(jù)分析計(jì)算所求錯(cuò)誤概率Pe為(8-25)式中：，Eb為隨相信號(hào)s0(t，j0)和s1(t，j1)的能量?？梢缘贸鼋Y(jié)論:等概率、等能量、正交的二進(jìn)制隨相信號(hào)的最佳接收機(jī)性能僅與輸入信噪比(Eb/n0)有關(guān)。8.1.5起伏信號(hào)的最佳接收起伏信號(hào)是隨機(jī)振幅和相位信號(hào)的簡(jiǎn)稱(chēng)，它的振幅A和相位j都是隨機(jī)參數(shù)，除了這兩個(gè)參數(shù)外，其它參數(shù)都是確知的。經(jīng)過(guò)多徑傳輸?shù)男盘?hào)都具有這種特性。典型的起伏信號(hào)，如衰落信號(hào)，在時(shí)間(0，Tb)內(nèi)，A服從瑞利分布，而j服從均勻分布。下面討論這種信號(hào)的最佳接收問(wèn)題。設(shè)通信系統(tǒng)中的噪聲是帶限高斯白噪聲，其信號(hào)是互不相關(guān)的，并且是等能量、等先驗(yàn)概率的，則可以表示為式中的v0和v1是由多徑效應(yīng)引起的隨機(jī)起伏的振幅值，它們服從同一瑞利分布:(8-26)式中的為信號(hào)的功率。而j0和j1的概率密度服從均勻分布:(8-27)vi是余弦波的振幅，信號(hào)si(t，ji，vi)的功率和其振幅vi的均方值之間的關(guān)系為(8-28)根據(jù)式(8-2)有而接收端在相位、幅度分別為(j0，v0)和(j1，v1)時(shí)接收信號(hào)的概率密度函數(shù)為略去繁瑣的計(jì)算步驟，給出上兩式的計(jì)算結(jié)果如下:(8-29)(8-30)式中：；n0為噪聲功率譜密度；為噪聲功率；M0、M1同上節(jié)中的內(nèi)容。根據(jù)式(8-29)和式(8-30)可以得出，起伏信號(hào)的最佳接收方案與隨相信號(hào)的最佳接收方案是一樣的，但是它的最佳誤碼率不同于隨相信號(hào)的最佳誤碼率。這里我們省略計(jì)算，直接給出結(jié)果為(8-31)式中，為接收碼元的統(tǒng)計(jì)平均能量。8.2匹配濾波器匹配濾波器是指輸出信噪比最大的最佳線性濾波器。這種濾波器在數(shù)字通信信號(hào)和雷達(dá)信號(hào)的檢測(cè)中具有重要的意義。理論分析和實(shí)踐證明，如果濾波器的輸出端能夠獲得最大信噪比，就能最佳地判斷信號(hào)的出現(xiàn)，從而提高系統(tǒng)的檢測(cè)性能，因此匹配濾波器是實(shí)現(xiàn)最佳接收的關(guān)鍵部件。

1.匹配濾波器的原理設(shè)線性濾波器的傳輸函數(shù)為H(f)，濾波器輸入x(t)為信號(hào)與噪聲的疊加，即x(t)=s(t)+n(t)

(8-32)這里，噪聲為高斯白噪聲，其雙邊功率譜密度，而信號(hào)s(t)的頻譜函數(shù)為S(f),則濾波器的輸出y(t)也包含信號(hào)與噪聲兩部分，即y(t)=s0(t)+n0(t)

(8-33)在t=t0時(shí)刻，有(8-34)這時(shí)的輸出噪聲平均功率N0為(8-35)則線性濾波器在t0時(shí)刻的輸出信噪比為(8-36)尋求最大r0的線性濾波器，在數(shù)字上歸結(jié)為求使式(8-36)達(dá)到最佳的H(f)。這個(gè)問(wèn)題可以用變分法或許瓦爾茲不等式加以解決。許瓦爾茲不等式為(8-37)當(dāng)且僅當(dāng)A(f)=KB*(f)時(shí)，等號(hào)成立。B*(f)是B(f)的復(fù)共軛，K為常數(shù)，則有(8-38)式中的為信號(hào)s(t)的總能量，|S(f)|2為s(t)的能量譜密度。線性濾波器輸出的最大輸出信噪比為(8-39)這時(shí)

，式中S*(f)為S(f)的復(fù)共軛。也就是說(shuō)，由于線性濾波器的傳輸特性與信號(hào)頻譜的復(fù)共軛相一致，因此被稱(chēng)為匹配濾波器。匹配濾波器的傳輸特性還可用沖激響應(yīng)h(t)來(lái)表示，即(8-40)即匹配濾波器的沖激響應(yīng)是信號(hào)s(t)的鏡像信號(hào)s(－t)在時(shí)間上平移t0。

2.匹配濾波器在最佳接收中的應(yīng)用

1)二元確知信號(hào)最佳接收對(duì)信號(hào)s(t)匹配的濾波器，其沖激響應(yīng)為h(t)=ks(t0－t)

(8-41)式中：k為任意常數(shù)；t0是出現(xiàn)最大信噪比的時(shí)刻。因?yàn)閟(t)只在(0，TB)內(nèi)有值，所以當(dāng)y(t)輸入匹配濾波器時(shí)，其輸出信號(hào)為(8-42)

當(dāng)t=TB時(shí)，輸出信號(hào)為(8-43)

由式(8-43)可以看出，uo(TB)反映了y(t)與s(t)的相關(guān)性，所以可把匹配濾波器作為相關(guān)器使用。

2)二元隨相信號(hào)最佳接收設(shè)某濾波器，它與初始相位為零的信號(hào)cos2πfct匹配，即沖激響應(yīng)函數(shù)為(8-44)當(dāng)輸入y(t)時(shí)，輸出信號(hào)為(8-45)其中，在t=TB時(shí)刻，e(t)的包絡(luò)與前述參量M1和M2形式相同。因此對(duì)信號(hào)任何一個(gè)相位匹配的濾波器，其后接一個(gè)包絡(luò)檢波器，它在時(shí)刻TB的輸出即為M1或M2。簡(jiǎn)化后的隨相信號(hào)最佳接收機(jī)的結(jié)構(gòu)框圖如圖8-7所示。圖8-7隨相信號(hào)最佳接收機(jī)的另一種結(jié)構(gòu)框圖

3.實(shí)際接收機(jī)與最佳接收機(jī)的比較前面已經(jīng)介紹了各類(lèi)實(shí)際接收機(jī)的誤碼性能，表8-1列出了實(shí)際接收機(jī)與最佳接收機(jī)的誤碼性能。表8-1中：，其中 ，其中。將以上信噪比表達(dá)式代入實(shí)際接收機(jī)Pe的表達(dá)式，得:

2PSK系統(tǒng)：

2FSK系統(tǒng)：

2ASK系統(tǒng):基帶雙極性系統(tǒng)：基帶單極性系統(tǒng):顯然，實(shí)際接收機(jī)的誤碼性能明顯低于最佳接收機(jī)。若要達(dá)到最佳接收機(jī)的性能，要求輸入信噪比提高1倍，即相差3dB，所以最佳接收機(jī)的性能是優(yōu)于實(shí)際接收機(jī)的。8.3最佳基帶傳輸系統(tǒng)

1.最佳基帶傳輸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如果一個(gè)基帶系統(tǒng)既能夠消除碼間串?dāng)_，同時(shí)又具有最理想的抗噪聲性能，則該系統(tǒng)就是最佳的。當(dāng)信道的傳輸特性C(f)=1時(shí)，該信道具有理想信道特性。最佳基帶傳輸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是怎樣的呢？分析的思路是:既然最佳基帶系統(tǒng)必須滿(mǎn)足消除碼間串?dāng)_這一條件，那么H(f)應(yīng)按無(wú)碼間串?dāng)_的頻域條件進(jìn)行設(shè)計(jì)，也就是說(shuō)，最佳基帶系統(tǒng)的總特性H(f)是確定的，由它再去求發(fā)送濾波器特性GT(f)和接收濾波器特性GR(f)，當(dāng)GT(f)和GR(f)確定后，整個(gè)基帶傳輸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)就最終確定了。當(dāng)C(f)=1時(shí)，基帶系統(tǒng)的傳輸特性H(f)變?yōu)镠(f)=GT(f)GR(f)(8-46)

在加性高斯白噪聲下，要使錯(cuò)誤概率最小，就要使接收濾波器特性與輸入信號(hào)的頻譜共軛匹配。在GT(f)給定的條件，得(8-47)

抽樣判別時(shí)刻確定為t0=0，則H(f)=GT(f)GR(f)(8-48)(8-49)

由此得(8-50)

選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)南嘁铺匦?，使下式成?(8-51)

這就是所要求的接收濾波器特性。然后我們可得到發(fā)送濾波器的特性為(8-52)

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖8-8所示。圖8-8理想信道時(shí)最佳基帶系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

2.基帶傳輸系統(tǒng)的性能我們?cè)诜治隼硐胄诺老伦罴鸦鶐鬏斚到y(tǒng)的性能時(shí)，仍然以錯(cuò)誤概率為標(biāo)準(zhǔn)。經(jīng)計(jì)算得:(8-53)式中:E為碼元平均能量；L是進(jìn)制數(shù)?？梢钥闯?，當(dāng)L增大時(shí)，在相同的信噪比條件下，Pe是逐步增大的。

對(duì)于工程中C(f)≠常數(shù)的非理想信道的實(shí)際情況，當(dāng)給定GT(f)時(shí)，可通過(guò)實(shí)測(cè)得到GT(f)C(f)，此時(shí)常在接收端采用匹配濾波器與時(shí)域均衡器級(jí)聯(lián)的方法，達(dá)到既消除碼間串?dāng)_，又使噪聲影響降到最小的目的。本章小結(jié)通信系統(tǒng)中信道特性不理想及信道噪聲的存在，直接影響接收系統(tǒng)的性能。把接收問(wèn)題作為研究對(duì)象，研究在噪聲條件下如何最好地提取有用信號(hào)，且在某個(gè)準(zhǔn)則下構(gòu)成最佳接