遼寧省大連市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）教學(xué)實(shí)錄 新人教B版選修2-1

遼寧省大連市高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線(xiàn)與方程2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）教學(xué)實(shí)錄新人教B版選修2-1授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間設(shè)計(jì)意圖本節(jié)課旨在幫助學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，并能運(yùn)用橢圓方程解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)引入生活中的實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，結(jié)合圖形和代數(shù)方法，讓學(xué)生在探究中領(lǐng)悟橢圓方程的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，通過(guò)觀察橢圓的幾何特征，理解橢圓方程的幾何意義。

2.提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，引導(dǎo)學(xué)生從具體實(shí)例中抽象出橢圓方程的一般形式。

3.強(qiáng)化學(xué)生的邏輯推理能力，通過(guò)推導(dǎo)橢圓方程的過(guò)程，訓(xùn)練學(xué)生的演繹推理思維。

4.增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。學(xué)情分析本節(jié)課面對(duì)的是高中一年級(jí)的學(xué)生，他們已經(jīng)具備了一定的幾何圖形知識(shí)和代數(shù)運(yùn)算能力。在知識(shí)層面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系和二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，這為理解橢圓及其方程奠定了基礎(chǔ)。然而，由于橢圓的定義和性質(zhì)較為抽象，學(xué)生可能存在以下特點(diǎn)：

1.學(xué)生對(duì)橢圓的實(shí)際意義理解不夠深入，可能難以將橢圓與實(shí)際生活中的現(xiàn)象聯(lián)系起來(lái)。

2.在代數(shù)運(yùn)算能力方面，學(xué)生能夠進(jìn)行基本的代數(shù)運(yùn)算，但對(duì)于較為復(fù)雜的運(yùn)算和方程求解可能存在困難。

3.在邏輯推理能力上，學(xué)生需要通過(guò)具體的實(shí)例和圖形來(lái)理解橢圓方程的推導(dǎo)過(guò)程，抽象思維能力有待提高。

4.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，可能存在依賴(lài)圖形直觀、忽視代數(shù)推導(dǎo)的現(xiàn)象，需要引導(dǎo)他們逐步形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。

5.行為習(xí)慣方面，部分學(xué)生可能對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣，需要教師通過(guò)多樣化的教學(xué)方法和實(shí)踐活動(dòng)激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情。教學(xué)資源1.軟硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備（電腦、投影儀）、幾何畫(huà)板軟件、電子白板。

2.課程平臺(tái)：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)資源庫(kù)、在線(xiàn)教學(xué)平臺(tái)。

3.信息化資源：橢圓幾何性質(zhì)相關(guān)動(dòng)畫(huà)、橢圓方程推導(dǎo)過(guò)程的教學(xué)視頻。

4.教學(xué)手段：實(shí)物教具（如橢圓模型）、黑板板書(shū)、課堂提問(wèn)、小組討論。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課

詳細(xì)內(nèi)容：教師通過(guò)展示生活中常見(jiàn)的橢圓形狀的圖片，如地球的橫截面、雞蛋的橫截面等，引導(dǎo)學(xué)生回顧平面直角坐標(biāo)系和二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，提出問(wèn)題：“如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述這些橢圓形狀？”從而引出橢圓及其方程的概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.新課講授

（1）橢圓的定義與性質(zhì)

詳細(xì)內(nèi)容：教師通過(guò)幾何畫(huà)板展示橢圓的幾何定義，引導(dǎo)學(xué)生觀察橢圓的對(duì)稱(chēng)性、長(zhǎng)短軸等特征，總結(jié)出橢圓的定義與性質(zhì)，如中心、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸等。

（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

詳細(xì)內(nèi)容：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧二次函數(shù)的頂點(diǎn)式和標(biāo)準(zhǔn)式，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并解釋方程中各個(gè)參數(shù)的含義。

（3）橢圓方程的應(yīng)用

詳細(xì)內(nèi)容：教師通過(guò)實(shí)例展示如何利用橢圓方程解決實(shí)際問(wèn)題，如求橢圓的面積、周長(zhǎng)等，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用。

3.實(shí)踐活動(dòng)

（1）繪制橢圓

詳細(xì)內(nèi)容：學(xué)生利用橢圓模型或幾何畫(huà)板，繪制橢圓，并標(biāo)注出橢圓的中心、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸等關(guān)鍵點(diǎn)。

（2）求解橢圓方程

詳細(xì)內(nèi)容：教師給出幾個(gè)橢圓方程，讓學(xué)生求解橢圓的長(zhǎng)短軸、焦點(diǎn)等參數(shù)，鞏固學(xué)生對(duì)橢圓方程的理解。

（3）探究橢圓的性質(zhì)

詳細(xì)內(nèi)容：教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究橢圓的性質(zhì)，如橢圓的對(duì)稱(chēng)性、焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離關(guān)系等，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力。

4.學(xué)生小組討論

（1）橢圓的定義與性質(zhì)

舉例回答：學(xué)生討論橢圓的定義，如“橢圓是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的集合”，并總結(jié)出橢圓的對(duì)稱(chēng)性、長(zhǎng)短軸等性質(zhì)。

（2）橢圓方程的推導(dǎo)過(guò)程

舉例回答：學(xué)生討論橢圓方程的推導(dǎo)過(guò)程，如“通過(guò)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，將橢圓方程轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，再利用頂點(diǎn)式和標(biāo)準(zhǔn)式推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”。

（3）橢圓方程的應(yīng)用

舉例回答：學(xué)生討論橢圓方程的應(yīng)用，如“求橢圓的面積時(shí)，可以將橢圓方程轉(zhuǎn)化為圓的方程，再利用圓的面積公式求解”。

5.總結(jié)回顧

內(nèi)容：教師對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)橢圓的定義、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用，并對(duì)本節(jié)課的重難點(diǎn)進(jìn)行講解和舉例說(shuō)明。

（1）重難點(diǎn)：橢圓的定義與性質(zhì)、橢圓方程的推導(dǎo)過(guò)程、橢圓方程的應(yīng)用。

舉例說(shuō)明：教師舉例說(shuō)明橢圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用，如地球的橫截面、雞蛋的橫截面等，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的價(jià)值。

（2）總結(jié)：教師對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)橢圓的對(duì)稱(chēng)性、焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離關(guān)系等性質(zhì)，并提醒學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中注意這些性質(zhì)的應(yīng)用。

用時(shí)：45分鐘學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.知識(shí)掌握程度

（1）學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解并描述橢圓的定義，包括橢圓的中心、焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸等基本概念。

（2）學(xué)生掌握了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程，能夠熟練運(yùn)用方程求解橢圓的長(zhǎng)短軸、焦點(diǎn)等參數(shù)。

（3）學(xué)生了解了橢圓的性質(zhì)，如對(duì)稱(chēng)性、焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的距離關(guān)系等，并能將這些性質(zhì)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。

2.能力提升

（1）學(xué)生的幾何直觀能力得到提升，能夠通過(guò)觀察和操作直觀地理解橢圓的幾何特征。

（2）學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力得到加強(qiáng)，能夠從具體實(shí)例中抽象出橢圓方程的一般形式，并應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。

（3）學(xué)生的邏輯推理能力得到鍛煉，通過(guò)推導(dǎo)橢圓方程的過(guò)程，學(xué)生的演繹推理思維得到提升。

3.應(yīng)用能力

（1）學(xué)生能夠運(yùn)用橢圓方程解決實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算橢圓的面積、周長(zhǎng)等，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性。

（2）學(xué)生在小組討論中，能夠與他人合作，共同探究橢圓的性質(zhì)，培養(yǎng)了團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

（3）學(xué)生通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際操作，如繪制橢圓、求解橢圓方程等，提高了實(shí)際操作能力。

4.學(xué)習(xí)興趣和自信心

（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)圓錐曲線(xiàn)產(chǎn)生了濃厚的興趣，激發(fā)了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

（2）學(xué)生在掌握橢圓相關(guān)知識(shí)后，增強(qiáng)了自信心，相信自己能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決更多的問(wèn)題。

（3）學(xué)生在課堂參與度和互動(dòng)性方面有所提高，課堂氛圍活躍，有利于學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)。

5.綜合素質(zhì)

（1）學(xué)生在本節(jié)課中，不僅學(xué)習(xí)了橢圓的相關(guān)知識(shí)，還培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和科學(xué)探究精神。

（2）學(xué)生通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提高了自己的自主學(xué)習(xí)能力和解決問(wèn)題的能力，為未來(lái)的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（3）學(xué)生在課堂討論和實(shí)踐活動(dòng)中的表現(xiàn)，展現(xiàn)了良好的溝通能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。教學(xué)反思與總結(jié)今天這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。我覺(jué)得整個(gè)教學(xué)過(guò)程還是蠻有收獲的，但也存在一些不足之處，下面我就來(lái)和大家分享一下我的反思和總結(jié)。

首先，我覺(jué)得在導(dǎo)入新課的時(shí)候，我選擇了生活中的實(shí)例來(lái)引導(dǎo)學(xué)生，這個(gè)方法還是挺有效的。通過(guò)展示地球橫截面、雞蛋橫截面等圖片，學(xué)生們的興趣一下子就被調(diào)動(dòng)起來(lái)了，他們能夠很快地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。不過(guò)，我也發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對(duì)于這些實(shí)例的理解還不夠深入，可能在以后的教學(xué)中，我需要更多地結(jié)合實(shí)際生活中的問(wèn)題，讓學(xué)生在實(shí)際情境中理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

在講授新課的過(guò)程中，我嘗試了幾個(gè)不同的策略。比如，在講解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，我先用幾何畫(huà)板展示了橢圓的幾何特征，讓學(xué)生直觀地感受到橢圓的對(duì)稱(chēng)性、長(zhǎng)短軸等性質(zhì)。接著，我引導(dǎo)學(xué)生回顧二次函數(shù)的知識(shí)，通過(guò)類(lèi)比推導(dǎo)出橢圓方程。我覺(jué)得這個(gè)方法還是不錯(cuò)的，學(xué)生們能夠較好地理解橢圓方程的推導(dǎo)過(guò)程。但是，我也發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程還是感到有些吃力，這說(shuō)明我在講解時(shí)可能需要更加細(xì)致，給學(xué)生們更多的時(shí)間去消化和理解。

實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了幾個(gè)小活動(dòng)，比如讓學(xué)生繪制橢圓、求解橢圓方程、探究橢圓的性質(zhì)等。這些活動(dòng)旨在讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中，提高他們的動(dòng)手能力和解決問(wèn)題的能力。從學(xué)生的表現(xiàn)來(lái)看，大部分學(xué)生都能積極參與到活動(dòng)中，而且完成得還不錯(cuò)。但是，我也注意到，有些學(xué)生在探究橢圓性質(zhì)時(shí)，還是依賴(lài)于教師的引導(dǎo)，缺乏獨(dú)立思考的能力。這可能是我教學(xué)中的一個(gè)不足，今后我需要在這方面多下功夫。

在學(xué)生小組討論環(huán)節(jié)，我提出了幾個(gè)問(wèn)題，如橢圓的定義、方程的推導(dǎo)過(guò)程、方程的應(yīng)用等。學(xué)生們討論得挺熱烈的，能夠從不同的角度回答問(wèn)題。這讓我感到欣慰，說(shuō)明我的教學(xué)方法還是得到了學(xué)生的認(rèn)可。不過(guò)，也有一些學(xué)生不太善于表達(dá)自己的觀點(diǎn)，或者在討論中缺乏主動(dòng)性。這需要我在今后的教學(xué)中，更多地關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，給予他們更多的支持和鼓勵(lì)。

1.在今后的教學(xué)中，我要更加關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。

2.在講解過(guò)程中，我要注重啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力和自主學(xué)習(xí)能力。

3.在小組討論環(huán)節(jié)，我要鼓勵(lì)學(xué)生們積極參與，培養(yǎng)他們的溝通能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。

4.我要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的反饋和評(píng)價(jià)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)他們的不足，并及時(shí)給予指導(dǎo)和幫助。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們了解到橢圓的定義、性質(zhì)以及如何求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。下面，我將對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)要小結(jié)：

1.橢圓的定義：橢圓是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的集合，這兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為焦點(diǎn)。

2.橢圓的性質(zhì)：橢圓具有對(duì)稱(chēng)性，其中心為對(duì)稱(chēng)中心；橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別通過(guò)中心，且長(zhǎng)軸是橢圓上最長(zhǎng)的線(xiàn)段，短軸是橢圓上最短的線(xiàn)段。

3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(zhòng)(a\)為橢圓的半長(zhǎng)軸，\(b\)為橢圓的半短軸，且\(a>b\)。

4.橢圓方程的應(yīng)用：利用橢圓方程可以求解橢圓的長(zhǎng)短軸、焦點(diǎn)、面積、周長(zhǎng)等。

當(dāng)堂檢測(cè)：

為了檢驗(yàn)同學(xué)們對(duì)今天所學(xué)內(nèi)容的掌握情況，我將出幾道題目進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)：

1.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)。

2.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度。

3.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為\((3,0)\)，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為8，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

4.橢圓的面積為144平方單位，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為10，求橢圓的短軸長(zhǎng)度。

5.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((-2,0)\)和\((2,0)\)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真作答，下課后我會(huì)對(duì)答案進(jìn)行講解。希望同學(xué)們能夠通過(guò)今天的檢測(cè)，鞏固所學(xué)知識(shí)，為今后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。板書(shū)設(shè)計(jì)①橢圓的定義

-橢圓是平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的集合。

-定點(diǎn)稱(chēng)為焦點(diǎn)，中心為兩焦點(diǎn)中點(diǎn)。

②橢圓的性質(zhì)

-對(duì)稱(chēng)性：橢圓關(guān)于其中心對(duì)稱(chēng)。

-長(zhǎng)軸和短軸：通過(guò)中心的線(xiàn)段，長(zhǎng)軸是最長(zhǎng)的，短軸是最短的。

-焦距：兩焦點(diǎn)之間的距離。

③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

-\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(zhòng)(a\)為半長(zhǎng)軸，\(b\)為半短軸，\(a>b\)。

-焦點(diǎn)坐標(biāo)：\((\pmc,0)\)，其中\(zhòng)(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。

-長(zhǎng)軸長(zhǎng)度：\(2a\)，短軸長(zhǎng)度：\(2b\)。

-焦距：\(2c\)。

④橢圓方程的應(yīng)用

-求橢圓的長(zhǎng)短軸、焦點(diǎn)、面積、周長(zhǎng)等。

-橢圓的幾何性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用。典型例題講解例題1：已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((-3,0)\)和\((3,0)\)，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為8，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解答：由于焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(zhòng)(a\)為半長(zhǎng)軸，\(b\)為半短軸，\(a>b\)。焦距為\(2c\)，其中\(zhòng)(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。

由題意知，焦距\(2c=6\)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度\(2a=8\)，因此\(a=4\)，\(c=3\)。

由\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)，得\(3=\sqrt{4^2-b^2}\)，解得\(b^2=7\)。

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1\)。

例題2：求橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的面積。

解答：橢圓的面積為\(S=\piab\)，其中\(zhòng)(a\)為半長(zhǎng)軸，\(b\)為半短軸。

由橢圓方程可知，\(a^2=9\)，\(b^2=4\)，因此\(a=3\)，\(b=2\)。

所以，橢圓的面積為\(S=\pi\times3\times2=6\pi\)。

例題3：已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,-2)\)和\((0,2)\)，且橢圓的短軸長(zhǎng)度為6，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解答：由于焦點(diǎn)在y軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)。

焦距\(2c=4\)，短軸長(zhǎng)度\(2b=6\)，因此\(b=3\)，\(c=2\)。

由\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)，得\(2=\sqrt{a^2-3^2}\)，解得\(a^2=13\)。

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{13}=1\)。

例題4：求橢圓\(\frac{x^