2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄 新人教A版必修2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修2科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄新人教A版必修2設(shè)計(jì)思路本課設(shè)計(jì)以新人教A版高中數(shù)學(xué)必修2第二章“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”中的“2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)”為核心內(nèi)容。通過分析直線與平面垂直的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握線面垂直的判定和性質(zhì)定理，并能應(yīng)用于解決實(shí)際問題。教學(xué)過程注重學(xué)生的探究與實(shí)踐，培養(yǎng)空間想象能力和邏輯思維能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生空間觀念，提升邏輯推理能力，通過探究直線與平面垂直的性質(zhì)，強(qiáng)化幾何直觀和數(shù)學(xué)抽象的應(yīng)用。發(fā)展數(shù)學(xué)建模意識(shí)，學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和解決幾何問題。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)定理及其證明。

難點(diǎn)：空間幾何概念的理解和運(yùn)用，特別是線面垂直的判定方法。

解決辦法：

1.重點(diǎn)：通過幾何畫板演示線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，幫助學(xué)生理解和記憶定理內(nèi)容。

2.難點(diǎn)：設(shè)計(jì)小組合作探究活動(dòng)，讓學(xué)生通過實(shí)物模型或圖形軟件動(dòng)手操作，體會(huì)線面垂直的判定過程，強(qiáng)化空間概念的理解。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中逐步歸納總結(jié)，形成解決類似問題的策略。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生擁有人教版高中數(shù)學(xué)必修2教材。

2.輔助材料：準(zhǔn)備幾何圖形、立體模型、相關(guān)數(shù)學(xué)史料的圖片和視頻，以增強(qiáng)直觀教學(xué)效果。

3.實(shí)驗(yàn)器材：準(zhǔn)備透明塑料板、直尺、三角板等，用于輔助學(xué)生進(jìn)行空間想象和實(shí)驗(yàn)操作。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，并準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)，以便學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)學(xué)習(xí)和實(shí)踐操作。教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課

（教師）同學(xué)們，上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線與平面平行的性質(zhì)，今天我們將繼續(xù)探索直線與平面之間的另一種特殊關(guān)系——直線與平面垂直的性質(zhì)。請(qǐng)大家打開教材，找到第二章“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”中的“2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)”。

（學(xué)生）好的，老師。

二、新課講授

1.理解概念

（教師）首先，我們需要明確直線與平面垂直的定義。請(qǐng)大家閱讀教材中關(guān)于直線與平面垂直的定義，并嘗試用自己的話復(fù)述一下。

（學(xué)生）直線與平面垂直是指直線上的任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，且直線與平面的交線是直線。

（教師）很好，理解了這個(gè)定義后，我們?cè)賮砜匆幌轮本€與平面垂直的性質(zhì)。

2.探究性質(zhì)定理

（教師）接下來，我們來探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理。請(qǐng)同學(xué)們閱讀教材中的定理，并思考如何證明這個(gè)定理。

（學(xué)生）（閱讀教材）直線與平面垂直的性質(zhì)定理是：若直線l與平面α垂直，則直線l上任意一點(diǎn)到平面α的距離都相等。

（教師）很好，這個(gè)定理說明了直線與平面垂直時(shí)，直線上的點(diǎn)到平面的距離具有一致性。接下來，我們通過一個(gè)實(shí)例來證明這個(gè)定理。

（教師板書）證明：設(shè)直線l與平面α垂直，取直線l上任意一點(diǎn)A，連接點(diǎn)A到平面α上的點(diǎn)B，則AB垂直于平面α。因?yàn)锳B是直線l上的一點(diǎn)到平面α的垂線，所以AB是直線l上任意一點(diǎn)到平面α的距離。

（學(xué)生）（思考）這個(gè)證明過程合理嗎？

（教師）同學(xué)們，這個(gè)證明過程是合理的。接下來，我們?cè)賮硖骄恐本€與平面垂直的性質(zhì)定理的推論。

3.探究性質(zhì)定理的推論

（教師）根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，我們可以得出以下推論：

（1）若直線l與平面α垂直，則直線l上的任意兩點(diǎn)到平面α的距離相等。

（2）若直線l與平面α垂直，則直線l上的任意兩點(diǎn)到平面α的垂線段相等。

（學(xué)生）（思考）這些推論有什么實(shí)際應(yīng)用呢？

（教師）這些推論在實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，例如在建筑設(shè)計(jì)、機(jī)械制造等領(lǐng)域。

4.應(yīng)用實(shí)例

（教師）下面，我們來通過一個(gè)實(shí)例來應(yīng)用直線與平面垂直的性質(zhì)定理。

（教師板書）例題：已知直線l與平面α垂直，點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B在平面α上，且AB=5cm。求點(diǎn)A到平面α的距離。

（學(xué)生）根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，點(diǎn)A到平面α的距離等于AB的長度，即5cm。

（教師）很好，同學(xué)們，通過這個(gè)例題，我們掌握了直線與平面垂直的性質(zhì)定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

三、課堂練習(xí)

（教師）下面，請(qǐng)同學(xué)們完成以下練習(xí)題。

（學(xué)生）好的。

四、課堂小結(jié)

（教師）同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了直線與平面垂直的性質(zhì)，包括性質(zhì)定理及其推論。請(qǐng)大家回顧一下今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并總結(jié)一下直線與平面垂直的性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

（學(xué)生）（回顧）直線與平面垂直的性質(zhì)定理是：若直線l與平面α垂直，則直線l上任意一點(diǎn)到平面α的距離都相等。這個(gè)定理在實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，如建筑設(shè)計(jì)、機(jī)械制造等。

（教師）很好，同學(xué)們總結(jié)得非常到位。希望大家能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題中，提高自己的空間想象能力和數(shù)學(xué)思維能力。

五、布置作業(yè)

（教師）請(qǐng)同學(xué)們完成以下作業(yè)。

（學(xué)生）好的。

六、課堂反思

（教師）今天的課就上到這里，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真完成作業(yè)，并在課后思考以下問題：

1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理在實(shí)際問題中有哪些應(yīng)用？

2.如何利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理解決實(shí)際問題？

（學(xué)生）好的，老師。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-空間幾何的歷史背景：介紹空間幾何的發(fā)展歷程，從歐幾里得的《幾何原本》到現(xiàn)代幾何學(xué)的演變，讓學(xué)生了解幾何學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)。

-空間幾何的實(shí)際應(yīng)用：搜集一些空間幾何在工程、建筑、物理學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用案例，如建筑物的三維設(shè)計(jì)、立體圖形的體積計(jì)算等。

-空間幾何的數(shù)學(xué)證明方法：介紹幾種常用的空間幾何證明方法，如反證法、綜合法、歸納法等，幫助學(xué)生提升證明能力。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書籍：推薦學(xué)生閱讀《高等幾何》、《空間解析幾何》等書籍，深入理解空間幾何的基本概念和理論。

-觀看教學(xué)視頻：推薦學(xué)生觀看有關(guān)空間幾何的教學(xué)視頻，如“數(shù)學(xué)之美”系列中的“空間幾何之美”，以直觀的方式理解空間幾何的概念。

-參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽：鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，如全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、國際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽等，提高學(xué)生的空間想象能力和數(shù)學(xué)思維能力。

-實(shí)踐操作：指導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板、三維建模軟件等工具進(jìn)行實(shí)踐操作，將理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題中，如設(shè)計(jì)一個(gè)簡單的三維模型、解決實(shí)際問題等。

-小組合作學(xué)習(xí)：組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，共同探究空間幾何問題，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和溝通能力。

-課外閱讀：推薦學(xué)生閱讀一些數(shù)學(xué)史書籍，如《數(shù)學(xué)的故事》、《數(shù)學(xué)家的故事》等，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和好奇心。

-研究性學(xué)習(xí)：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，如探究空間幾何中的一些特殊性質(zhì)，撰寫研究報(bào)告，提升學(xué)生的科研能力和創(chuàng)新能力。課后作業(yè)1.證明題：

證明：若直線l與平面α垂直，則平面α內(nèi)任意直線與直線l都垂直。

答案：設(shè)直線l與平面α垂直，平面α內(nèi)任意直線為m，取直線m上的一點(diǎn)B，連接點(diǎn)B到直線l上的點(diǎn)A，則AB垂直于直線l。因?yàn)锳B是平面α內(nèi)直線m上的一點(diǎn)到直線l的垂線，所以AB垂直于直線m。又因?yàn)橹本€l與平面α垂直，所以直線m與直線l垂直。

2.應(yīng)用題：

已知直線l與平面α垂直，點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B在平面α上，且AB=5cm。求點(diǎn)A到平面α的距離。

答案：根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，點(diǎn)A到平面α的距離等于AB的長度，即5cm。

3.推理題：

已知直線l與平面α垂直，點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B在平面α上，且AB=5cm，AC=6cm。求點(diǎn)C到平面α的距離。

答案：作點(diǎn)C到平面α的垂線CD，連接點(diǎn)A到點(diǎn)D，則AD垂直于平面α。由于直線l與平面α垂直，所以AD垂直于直線l。在直角三角形ABD中，AB=5cm，AD=CD，AD=√(AC^2-AB^2)=√(6^2-5^2)=√(36-25)=√11cm，所以點(diǎn)C到平面α的距離CD=√11cm。

4.判斷題：

若直線l與平面α垂直，則平面α內(nèi)任意兩點(diǎn)到直線l的距離相等。

答案：錯(cuò)誤。直線l與平面α垂直，并不意味著平面α內(nèi)任意兩點(diǎn)到直線l的距離相等，只有這兩點(diǎn)在該直線上時(shí)，它們到直線l的距離才相等。

5.計(jì)算題：

已知直線l與平面α垂直，點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B在平面α上，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm。求三角形ABC的面積。

答案：作點(diǎn)A到平面α的垂線AD，連接點(diǎn)D到點(diǎn)B，則AD垂直于平面α。因?yàn)橹本€l與平面α垂直，所以AD垂直于直線l。在直角三角形ABD中，AB=4cm，AD=CD，CD=BC=5cm，所以三角形ABC的面積S=1/2*AB*AD=1/2*4cm*5cm=10cm^2。內(nèi)容邏輯關(guān)系①本文重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

-直線與平面垂直的定義

-直線與平面垂直的性質(zhì)定理

-直線與平面垂直的判定方法

②本文重點(diǎn)詞句：

-“直線與平面垂直是指直線上的任意一點(diǎn)到平面的距離都相等”

-“若直線l與平面α垂直，則直線l上任意一點(diǎn)到平面α的距離都相等”

-“直線與平面垂直的判定定理：若