2024-2025學年高二數(shù)學湘教版選擇性必修第二冊教學課件 第2章-2.2空間向量及其運算（第2課時）

2.2空間向量及其運算第2章第2課時學習目標1.會識別空間向量的夾角.2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律及計算方法.3.能用空間向量數(shù)量積解決簡單的立體幾何問題.核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象新知講解

oB

關鍵是起點相同！新知學習

思考

空間中的任意兩個向量是不是共面的？是，空間中的任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量.(2)范圍：

.0≤〈a，b〉≤π

OAB

ABOAB

O

規(guī)定零向量與任意向量垂直.二兩個向量的數(shù)量積

(2)性質(zhì)兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)a·b＝0|a|·|b|－|a|·|b||a|2（判斷向量垂直）（向量的模長公式）（向量的夾角公式）三空間向量數(shù)量積運算律

（交換律）（分配律）

（數(shù)乘結合律）

四投影向量

（1）（2）（3）解讀：向量b在向量a方向上的投影|b|cos〈a，b〉的符號由夾角〈a，b〉的余弦值的符號決定.即時鞏固

×√×√一、數(shù)量積的計算

典例剖析＝cos60°－cos60°＝0.

跟蹤訓練

(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則a·b等于（）A.1 B.2 C.3

D.4A

2＝4－0＋0－2＝2.二、利用數(shù)量積證明垂直問題例2如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O⊥平面GBD.則a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.反思感悟反思感悟用向量法證明幾何中垂直關系問題的思路(1)要證兩直線垂直，可分別構造與兩直線平行的向量，只要證明這兩個向量的數(shù)量積為0即可.(2)用向量法證明線面垂直，需將線面垂直轉化為線線垂直，然后利用向量數(shù)量積證明線線垂直即可.跟蹤訓練如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求證：PA⊥BD.證明在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，所以AD2＋BD2＝AB2，三、用數(shù)量積求解夾角和模例3如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，點N為AA1的中點.延伸探究2.(變條件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他條件不變，求異面直線CA1與AB的夾角.所以異面直線CA1與AB的夾角為60°.反思感悟求向量的夾角和模(1)求兩個向量的夾角：利用公式cos〈a，b〉＝

求cos〈a，b〉，進而確定〈a，b〉.(2)求線段長度(距離)：①取此線段對應的向量；②用其他已知夾角和模的向量表示該向量；③利用|a|＝

，計算出|a|，即得所求長度(距離).A.30° B.60° C.90° D.120°D跟蹤訓練1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是（）A隨堂小測2.設ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體，則有（）CD4.若a，b，c為空間兩兩夾角都是60°的三個單位向量，則|a－b＋2c|＝_____.解析|a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5.60°1即△PA1D為等邊三角形，從而∠PA1D＝60°，方法二

根據(jù)向量的線性運算可得7.如圖所示，已知線段AB在平面α內(nèi)，線段AC⊥α，線段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，線段BD與α所成的角為30°，求CD的長.解由AC⊥α，可知AC⊥AB，過點D作DD1⊥α，D1為垂足，連接BD1，則∠DBD1為BD與α所成的角，即∠DBD1＝30°，所以∠BDD1＝60°，因為AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，因為BD⊥AB，AC⊥AB，＝242＋72＋242＋2×24×24×cos120°＝625，1.知識清單：

(1)空間向量的夾角、投影向量.(