高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)專(zhuān)題突破課六　圖象變換問(wèn)題含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)專(zhuān)題突破課六圖象變換問(wèn)題含答案專(zhuān)題突破課六圖象變換問(wèn)題1.平移變換(1)y=f(x)→y=f(x±a)(a>0):將y=f(x)的圖象沿x軸向左(右)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度得y=f(x±a)(a>0)的圖象,遵循“左加右減”的原則(注意是針對(duì)x而言);(2)y=f(x)→y=f(x)±b(b>0):將y=f(x)的圖象沿y軸向上(下)平移b個(gè)單位長(zhǎng)度得y=f(x)±b(b>0)的圖象,遵循“上加下減”的原則(注意是針對(duì)f(x)而言).2.對(duì)稱(chēng)變換(1)y=f(x)→y=f(-x):將y=f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);(2)y=f(x)→y=-f(x):將y=f(x)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).3.翻折變換(1)y=f(x)→y=f(|x|):將y=f(x)的圖象在y軸右側(cè)的部分保留,并把y軸右側(cè)的圖象沿y軸翻折到左側(cè);(2)y=f(x)→y=|f(x)|:將y=f(x)的圖象在x軸上方的部分保留,并把x軸下方的圖象沿x軸翻折到上方.類(lèi)型一平移變換[例1]為了得到函數(shù)y=2x-8x-3的圖象,只需將函數(shù)y=-A.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度【解析】選A.因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-8x-所以為了得到函數(shù)y=2x只需將函數(shù)y=-2x的圖象,向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度【總結(jié)升華】函數(shù)圖象平移變換的關(guān)注點(diǎn)(1)對(duì)于一些特殊類(lèi)型的函數(shù),需要先變形成與初等函數(shù)有關(guān)的形式,如分式函數(shù)y=ax+(2)需要注意函數(shù)圖象左右平移的對(duì)象是x,例如函數(shù)y=2x的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的應(yīng)是函數(shù)y=2(x-1)的圖象.【即學(xué)即練】1.(多選)已知函數(shù)y=xx-1,則 A.該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng)B.該函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)y=-x+2對(duì)稱(chēng)C.該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減D.該函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)y=1x【解析】選ABD.因?yàn)閥=xx-1=x把y=1x的圖象向右、向上分別平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到y(tǒng)=x因?yàn)閥=1x為奇函數(shù),關(guān)于(0,0)對(duì)稱(chēng),所以y=x則將y=xx-1的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到y(tǒng)由于函數(shù)y=1x的圖象關(guān)于y=-x對(duì)稱(chēng),根據(jù)函數(shù)圖象的平移可知,函數(shù)y=xx-1的圖象關(guān)于y=-(y=1+1x-2.若函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) ()A.x=12 B.x=1 C.x=-12 D【解析】選B.因?yàn)閥=f(x+1)是偶函數(shù),所以y=f(x+1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),又因?yàn)閥=f(x+1)的圖象是y=f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,所以y=f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·福州高一檢測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x-1)為奇函數(shù),f(x+1)為偶函數(shù),當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),f(x)=ex,則 ()A.f(3)=1 B.f(-2)=1C.f(3x)=f(3x+8) D.f(x+6)為奇函數(shù)【解析】選C.因?yàn)閒(x-1)為奇函數(shù),所以f(-x-1)=-f(x-1),即f(x)=-f(-x-2),則f(-1)=-f(-1),所以f(-1)=0.因?yàn)閒(x+1)為偶函數(shù),所以f(-x+1)=f(x+1),即f(x)=f(-x+2),則f(3)=f(-1)=0,故A錯(cuò)誤;由當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),f(x)=ex,得f(0)=1,則f(-2)=-f(0)=-1,故B錯(cuò)誤;因?yàn)閒(-x+2)=-f(-x-2),則f(x+2)=-f(x-2),所以f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(3x)=f(3x+8),故C正確;對(duì)于D,由f(x+8)=f(x),得f(x+6)=f(x-2),若f(x+6)為奇函數(shù),則f(x-2)也為奇函數(shù),令g(x)=f(x-2),則g(x)為奇函數(shù),則g(0)=0,又g(0)=f(-2)=-1≠0,矛盾,所以g(x)=f(x-2)不是奇函數(shù),即f(x+6)不是奇函數(shù),故D錯(cuò)誤.類(lèi)型二對(duì)稱(chēng)變換[例2]已知函數(shù)f(x)=x2,x≥0,1x,x<0,g(x)=f【解析】選B.因?yàn)間(x)=f(-x),所以g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),由f(x)的解析式,作出f(x)的圖象如圖所示,從而可得g(x)的圖象為B選項(xiàng).【總結(jié)升華】函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)變換的關(guān)注點(diǎn)(1)函數(shù)f(-x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),-f(x)與f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng);(2)需要注意函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)變換針對(duì)的是兩個(gè)函數(shù),不同于一個(gè)函數(shù)自身的對(duì)稱(chēng).【即學(xué)即練】1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖1所示,則圖2所表示的函數(shù)是 ()A.1-f(x) B.-f(2-x)C.f(-x)-1 D.1-f(-x)【解析】選C.將f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即得題圖2,將f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后可得函數(shù)y=f(-x)的圖象,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,可得y=f(-x)-1的圖象,所以解析式為y=f(-x)-1.2.使得log2(-x)<x+1成立的x的取值范圍是.

【解析】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y1=log2(-x)及y2=x+1的圖象,如圖.結(jié)合定義域及圖象知-1<x<0.答案:(-1,0)【誤區(qū)警示】本題容易出現(xiàn)盲目指對(duì)互化的問(wèn)題,忽視了圖象在解題中的指導(dǎo)作用.類(lèi)型三翻折變換[例3](1)函數(shù)y=2|x|的圖象大致是 ()【解析】選D.設(shè)f(x)=2|x|,則f(-x)=2|-x|=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),所以A,B項(xiàng)錯(cuò)誤.又當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=2x為增函數(shù),所以C項(xiàng)錯(cuò)誤,D項(xiàng)正確.(2)已知函數(shù)f(x)=|log2(x-1)|,若x1,x2∈(1,+∞),且x1≠x2,滿(mǎn)足f(x1)=f(x2),則1x1+1xA.52 B.12 C.2 D【解析】選D.|log2(x1-1)|=|log2(x2-1)|,即log2(x1-1)+log2(x2-1)=0,log2(x1-1)(x2-1)=0,即(x1-1)(x2-1)=1,得x1x2-x1-x2=0,所以x1+x2=x1x2,所以1x1+1x2【總結(jié)升華】函數(shù)圖象翻折變換的關(guān)注點(diǎn)(1)y=f(|x|)是左右翻折,先畫(huà)f(x)的圖象,保留x>0的部分圖象.因?yàn)閥=f(|x|)是偶函數(shù),所以x<0的部分圖象與x>0的部分圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);(2)y=|f(x)|是上下翻折,先畫(huà)f(x)的圖象,保留x軸上方的圖象.因?yàn)閥=|f(x)|≥0,所以x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去.【即學(xué)即練】1.函數(shù)f(x)=loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)=3,則有 ()A.f(2)>f(-2) B.f(1)>f(2)C.f(-3)>f(-2) D.f(-3)>f(-4)【解析】選C.函數(shù)f(x)=loga|x|,由f(8)=3,得loga8=3,即a3=8,解得a=2,于是函數(shù)f(x)=log2|x|,其定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),函數(shù)f(x)是偶函數(shù),在(0,+∞)上單調(diào)遞增,對(duì)于A,f(-2)=f(2),A錯(cuò)誤;對(duì)于B,f(1)<f(2),B錯(cuò)誤;對(duì)于C,f(-3)=f(3)>f(2)=f(-2),C正確;對(duì)于D,f(-3)=f(3)<f(4)=f(-4),D錯(cuò)誤.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·成都高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=log2|x|,設(shè)a=f(log23),b=f(7-0.1),c=f(log1425),則a,b,c的大小關(guān)系為 (A.b<a<c B.c<a<bC.c<b<a D.a<c<b【解析】選A.依題意,得f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),函數(shù)f(x)為偶函數(shù),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,而a=f(log23),因?yàn)?<3<4,所以log22<log23<log24,即1<log23<2.因?yàn)閥=7x在R上為增函數(shù),且-0.1<0,所以0<7-0.1<70=1,c=f(log1425)=f(-log425)=f(log因?yàn)?5>16,所以log425>log416=2,所以log425>log23>7-0.1>0,所以f(log425)>f(log23)>f(7-0.1),所以c>a>b.2.如圖所示,函數(shù)y=|2x-2|的大致圖象是 ()【解析】選B.因?yàn)閥=|2x-2|=2x-2,x當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)y=2x-2在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且y>0;當(dāng)x<1時(shí),函數(shù)y=2-2x在(-∞,1)上單調(diào)遞減,且y>0.專(zhuān)題突破課七復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與值域類(lèi)型一對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題[例1]f(x)=log4(9-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.

【解析】由已知得9-x2>0,所以x∈(-3,3),因?yàn)閡=9-x2在(-3,0)上單調(diào)遞增,在(0,3)上單調(diào)遞減,又f(x)=log4u在定義域上是增函數(shù),所以f(x)在(-3,0)上單調(diào)遞增,在(0,3)上單調(diào)遞減.答案:(0,3)(-3,0)[例2](2024·荊州高一檢測(cè))若函數(shù)f(x)=ln(x2-2ax-a)在(-∞,-2]上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.(-43,+∞) B.C.[-43,+∞) D.【解析】選A.由函數(shù)f(x)=ln(x2-2ax-a)在(-∞,-2]上為減函數(shù),且函數(shù)y=lnx在(0,+∞)上為增函數(shù),則g(x)=x2-2ax-a在(-∞,-2]上為減函數(shù),且g(-2)>0,則有--2a2≥所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-43,+∞)【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題(1)對(duì)于不含參數(shù)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題,先求出函數(shù)的定義域,然后利用復(fù)合函數(shù)判斷單調(diào)性的法則“同增異減”確定單調(diào)區(qū)間;(2)對(duì)于含有參數(shù)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題,若已知某個(gè)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍,可以根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)值的大小、內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性、端點(diǎn)處的取值有意義等列不等式組求解.【即學(xué)即練】若函數(shù)f(x)=lg(1-ax)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.(0,+∞) B.(0,1)C.(0,1] D.(-∞,0)【解析】選C.函數(shù)f(x)=lg(1-ax)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,由于函數(shù)y=lgu在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,則函數(shù)u=1-ax在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,且1-ax>0恒成立,可得0<a≤1.類(lèi)型二對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題[例3]求函數(shù)y=log12(x2-6x【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=log12(x2-6x+17)的定義域?yàn)閤2-6而方程x2-6x+17=0的Δ=(-6)2-4×17=-32<0,所以x2-6x+17>0對(duì)?x∈R恒成立.令t=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8,y=log12所以y≤log12[例4]已知f(x)=log2(-x2+2x-a)的最大值為3,則a=.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=log2(-x2+2x-a)由y=log2t與t=-x2+2x-a復(fù)合而成,而y=log2t在定義域上單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=-x2+2x-a取最大值時(shí),函數(shù)y=log2t取得最大值,由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當(dāng)x=1時(shí),tmax=1-a,此時(shí),f(x)max=log2(1-a),所以log2(1-a)=3,所以1-a=23=8,解得a=-7.答案:-7【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域問(wèn)題(1)對(duì)于不含參數(shù)的復(fù)合函數(shù)y=logaf(x)的值域問(wèn)題,先求函數(shù)的定義域,然后求出內(nèi)層函數(shù)t=f(x)的值域A,最后再求外層函數(shù)y=logat,t∈A的值域,即為原函數(shù)的值域.(2)對(duì)于含參數(shù)的復(fù)合函數(shù)y=logaf(x)的值域問(wèn)題,首先確定外層函數(shù)的單調(diào)性,如果不確定則需分情況討論,在外層函數(shù)單調(diào)性確定的情況下,利用內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性和最值求參數(shù)的取值范圍.【即學(xué)即練】(2023·蕪湖高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=log2(2x+k)(k∈R).(1)當(dāng)k=-4時(shí),解不等式f(x)>2;【解析】(1)當(dāng)k=-4時(shí),f(x)=log2(2x-4),由f(x)>2,得log2(2x-4)>2,得2x-4>4,得2x>8,解得x>3,故不等式f(x)>2的解集是(3,+∞).(2)若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,1),且關(guān)于x的方程f(x)=x-2m有實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lo