高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價四十九　概率的基本性質(zhì)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價四十九概率的基本性質(zhì)含答案四十九概率的基本性質(zhì)(時間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)(多選)下列說法正確的是()A.必然事件的概率等于1B.隨機事件的概率可以等于1.1C.不可能事件的概率是0D.P(A∪B)=P(A)+P(B)【解析】選AC.必然事件一定發(fā)生,故其概率是1,A正確;必然事件的概率是1,故概率為1.1的事件不存在,B不正確;不可能事件的概率是0,C正確;當(dāng)A,B為互斥事件時,P(A∪B)=P(A)+P(B),D不正確.2.(5分)甲、乙兩隊舉行足球比賽,若甲隊獲勝的概率為13,則乙隊不輸?shù)母怕蕿?A.56 B.34 C.23 【解析】選C.乙隊不輸?shù)母怕蕿?-13=23.(5分)(2024·重慶高一檢測)已知A,B,C,D四個開關(guān)控制著1,2,3,4號四盞燈,只要打開開關(guān)A則1,4號燈就會亮,只要打開開關(guān)B則2,3號燈就會亮,只要打開開關(guān)C則3,4號燈就會亮,只要打開開關(guān)D則2,4號燈就會亮.開始時,A,B,C,D四個開關(guān)均未打開,四盞燈也都沒亮.現(xiàn)隨意打開A,B,C,D這四個開關(guān)中的兩個不同的開關(guān),則其中2號燈亮的概率為()A.16 B.13 C.12 【解析】選D.由題意,隨意打開A,B,C,D這四個開關(guān)中的兩個不同的開關(guān),共有AB,AC,AD,BC,BD,CD種,其中只有打開AC開關(guān)時2號燈不會亮,其余情況2號燈均會亮,所以2號燈燈亮的概率為1-16=54.(5分)(多選)利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品,其中一等品有20件,合格品但非一等品的有70件,其余為不合格品,現(xiàn)在這個工廠隨機抽查一件產(chǎn)品,設(shè)事件A為“是一等品”,B為“是合格品”,C為“是不合格品”,則下列結(jié)果正確的是()A.P(B)=710 B.P(A∪B)=C.P(A∩B)=0 D.P(A∪B)=P(C)【解析】選ABC.由題意知A,B,C為互斥事件,故C正確;又因為從100件中抽取產(chǎn)品符合古典概型的條件,所以P(B)=710,P(A)=210,P(C)=110,則P(A∪B)=5.(5分)(2024·石家莊高一檢測)擲一枚骰子的試驗中,出現(xiàn)各點的概率為16.事件A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”,事件B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”,則一次試驗中,事件A∪B(B表示事件B的對立事件)發(fā)生的概率為(A.13 B.12 C.23 【解析】選C.由題意,知B表示“大于或等于5的點數(shù)出現(xiàn)”,事件A與事件B互斥,由概率的加法計算公式可得P(A∪B)=P(A)+P(B)=26+26=466.(5分)圍棋盒子中有多粒黑子和白子,已知從中取出兩粒都是黑子的概率是17,從中取出兩粒都是白子的概率是1235,則從中任意取出兩粒恰好是同一色的概率是________,任意取出兩粒恰好不同色的概率是【解析】易知事件“從中取出兩粒都是黑子”與“從中取出兩粒都是白子”為互斥事件,事件“兩粒恰好是同一色”與“兩粒恰好不同色”為對立事件.故兩粒恰好是同一色的概率為17+1235=1735,兩粒恰好不同色的概率為1-17答案:17357.(5分)某公司三個分廠的職工情況為:第一分廠有男職工4000人,女職工1600人;第二分廠有男職工3000人,女職工1400人;第三分廠有男職工800人,女職工500人.如果從該公司職工中隨機抽選1人,則該職工為女職工或為第三分廠的職工的概率為________.

【解析】記事件A為“抽取的職工為女職工”,事件B為“抽取的職工為第三分廠的職工”,則A∩B表示“抽取的職工為第三分廠的女職工”,A∪B表示“抽取的職工為女職工或第三分廠的職工”.由題意可知,該公司三個分廠的職工共有4000+1600+3000+1400+800+500=11300(人),則P(A)=1600+1P(B)=800+50011300P(A∩B)=50011300所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=35113+13113-5113答案:438.(5分)(2024·梅州高一檢測)若隨機事件A,B互斥,A,B發(fā)生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,則實數(shù)a的取值范圍是____________.

【解析】由題意可知0<所以0<2-a所以54<a≤4即實數(shù)a的取值范圍為(54,43答案:(54,49.(10分)一名射擊運動員在一次射擊中射中10環(huán),9環(huán),8環(huán),7環(huán),7環(huán)以下的概率分別為0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.計算這名射擊運動員在一次射擊中:(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率;(2)至少射中7環(huán)的概率;(3)射中環(huán)數(shù)小于8環(huán)的概率.【解析】設(shè)“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)”“射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”的事件分別為A,B,C,D,E,可知它們彼此之間互斥,且P(A)=0.24,P(B)=0.28,P(C)=0.19,P(D)=0.16,P(E)=0.13.(1)P(射中10環(huán)或9環(huán))=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.(2)事件“至少射中7環(huán)”與事件E=“射中7環(huán)以下”是對立事件,則P(至少射中7環(huán))=1-P(E)=1-0.13=0.87.所以至少射中7環(huán)的概率為0.87.(3)事件“射中環(huán)數(shù)小于8環(huán)”包含事件D=“射中7環(huán)”與事件E=“射中7環(huán)以下”兩個事件,則P(射中環(huán)數(shù)小于8環(huán))=P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29.10.(10分)某學(xué)校的籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊各有10名隊員,某些隊員不止參加了一支球隊,具體情況如圖所示,現(xiàn)從中隨機抽取一名隊員,求:(1)該隊員只屬于一支球隊的概率;(2)該隊員最多屬于兩支球隊的概率.【解析】分別令“抽取一名隊員只屬于籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊”為事件A,B,C.由題圖可知3支球隊共有球員20名,則P(A)=520,P(B)=320,P(C)=(1)令“抽取一名隊員,該隊員只屬于一支球隊”為事件D.則D=A∪B∪C,因為事件A,B,C兩兩互斥,所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=520+320+420(2)令“抽取一名隊員,該隊員最多屬于兩支球隊”為事件E,則E為“抽取一名隊員,該隊員屬于3支球隊”,所以P(E)=1-P(E)=1-220=9【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·吉安高一期末)已知事件A,B是互斥事件,P(A)=16,P(B)=23,則P(A∪B)=(A.118 B.49 C.12 【解析】選C.因為P(B)=1-P(B),P(B)=23,所以P(B)=1因為事件A,B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=16+13=12.(5分)(多選)(2024·深圳高一檢測)口袋里裝有1紅、2白、3黃共6個形狀、大小相同的小球,從中任取2球,事件A=“取出的兩球同色”,B=“取出的2球中至少有一個黃球”,C=“取出的2球中至少有一個白球”,D=“取出的兩球不同色”,E=“取出的2球中至多有一個白球”,下列判斷中正確的是()A.事件A與D為對立事件B.事件B與C是互斥事件C.事件C與E為對立事件D.P(C∪E)=1【解析】選AD.由對立事件定義得A與D為對立事件,故A正確;B與C有可能同時發(fā)生,故B與C不是互斥事件,故B錯誤;C與E有可能同時發(fā)生,不是對立事件,故C錯誤;P(C)=1-615=35,P(E)=1415,P(CE)=815,從而P(C∪E)=P(C)+P(E)-P13.(5分)事件A,B互斥,它們都不發(fā)生的概率為25,且P(A)=2P(B),則P(A)=________【解析】因為事件A,B互斥,它們都不發(fā)生的概率為25,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1-25=35.又因為P(A)=2P(B),所以P(A)+12P(A)=35,所以P答案:214.(10分)某校在元旦聯(lián)歡會上設(shè)有一個抽獎游戲.抽獎箱中共有12張紙條,分別設(shè)置一等獎、二等獎、三等獎、無獎.從中任取一張,不中獎的概率為12,中二等獎或三等獎的概率為5(1)任取一張,求中一等獎的概率;(2)若任取一張,中一等獎或二等獎的概率為14,求中三等獎的概率【解析】(1)設(shè)事件A=“任取一張,中一等獎”,事件B=“任取一張,中二等獎”,事件C=“任取一張,中三等獎”,事件D=“任取一張,不中獎”,則事件A,B,C,D兩兩互斥.由條件可得P(D)=12P(B∪C)=P(B)+P(C)=512由題意知P(A)=1-P(B∪C∪D)=1-P(B∪C)-P(D)=1-512-12=所以任取一張,中一等獎的概率為112(2)因為P(A∪B)=P(A)+P(B)=14,且P(A)=112,所以P(B)=14-1又因為P(B∪C)=P(B)+P(C)=512所以P(C)=14所以任取一張,中三等獎的概率為1415.(10分)某停車場臨時停車按時段收費,收費標準如下:每輛汽車一次停車不超過1小時收費6元,超過1小時的部分每小時收費8元(不足1小時按1小時計算).現(xiàn)有甲、乙兩人在該地停車,兩人停車都不超過4小時.(1)若甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為13,停車費多于14元的概率為5(2)若甲、乙兩人每人停車的時長在每個時段的可能性相同,求甲、乙兩人停車費之和為28元的概率.【解析】(1)記“一次停車不超過1小時”為事件A,“一次停車1到2小時”為事件B,“一次停車2到3小時”為事件C,“一次停車3到4小時”為事件D.由已知得P(B)=13,P(C∪D)=5又因為事件A,B,C,D兩兩互斥,且P(A∪B∪C∪D)=1,所以P(A)=1-13-512=所以甲的停車費為6元的概率為14(2)易知甲、乙停車時間的樣本點有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個,這16個樣本點發(fā)生的可能性是相等的.而“停車費之和為28元”的樣本點有(1,3),(2,2),(3,1),共3個.所以所求概率為316四十二總體百分位數(shù)的估計(時間:45分鐘分值:70分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)數(shù)據(jù)7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30%分位數(shù)為()A.8.4 B.8.5 C.8.6 D.8.3【解析】選A.因為8×30%=2.4,故30%分位數(shù)是由小到大排列后的第三項數(shù)據(jù)8.4.2.(5分)以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績(單位:分):78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,則這15人成績的第80百分位數(shù)是()A.90 B.90.5 C.91 D.91.5【解析】選B.把成績按從小到大的順序排列為56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因為15×80%=12,所以這15人成績的第80百分位數(shù)是90+912=90.53.(5分)數(shù)據(jù)3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位數(shù)是4.5,則實數(shù)x的取值范圍是()A.[4.5,+∞) B.[4.5,6.6)C.(4.5,+∞) D.(4.5,6.6]【解析】選A.因為8×65%=5.2,所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是第6項數(shù)據(jù)4.5,則x≥4.5.4.(5分)某高校12名畢業(yè)生的起始月薪如表所示:畢業(yè)生123456起始月薪285029503050288027552710畢業(yè)生789101112起始月薪289031302940332529202880則第85百分位數(shù)是()A.3325 B.3130 C.3050 D.2950【解析】選B.將這12個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列:2710,2755,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325.又因為12×85%=10.20,所以第85百分位數(shù)是第11個數(shù)據(jù)為3130.5.(5分)(多選)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示,則()A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的平均數(shù)等于乙的成績的平均數(shù)C.甲的成績的第80百分位數(shù)等于乙的成績的第80百分位數(shù)D.甲的成績的極差等于乙的成績的極差【解析】選BCD.由題圖可得,x甲=4+5+6+7+85=6,x乙=3×5+6+95=6,A甲的成績的第80百分位數(shù)是7+82=7.5,乙的成績的第80百分位數(shù)是6+92=7.5,所以二者相等,C甲的成績的極差為4,乙的成績的極差也為4,D項正確.6.(5分)一個容量為20的樣本,其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為:1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為________,第86百分位數(shù)為________.

【解析】因為75%×20=15,所以第75百分位數(shù)為14+152=14.5因為86%×20=17.2,所以第86百分位數(shù)為第18個數(shù)據(jù)17.答案:14.5177.(5分)數(shù)據(jù)13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20的四分位數(shù)為____________.

【解析】把這12個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31,計算12×25%=3,12×50%=6,12×75%=9,所以數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為15+182=16.第50百分位數(shù)為20+222第75百分位數(shù)為27+282=27.5答案:16.5,21,27.58.(10分)某家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況,記錄了近期連續(xù)120天蘋果的日銷售量(單位:kg),并繪制頻率分布直方圖如圖:一次進貨太多,水果會變得不新鮮;進貨太少,又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮,又能80%地滿足顧客的需求(在10天中,大約有8天可以滿足顧客的需求).求每天應(yīng)該進的蘋果質(zhì)量(精確到整數(shù)位).【解析】80%地滿足顧客的需求也可理解為計算這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù),因為日銷售量[60,90)的頻率為0.525<0.8,日銷售量[60,100)的頻率為0.875>0.8,所以第80百分位數(shù)落在[90,100)內(nèi),則每天應(yīng)進90+10×0.8-0.5250.875-0.525≈98(kg)蘋果【綜合應(yīng)用練】9.(5分)某廠10名工人在一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的個數(shù)分別是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設(shè)該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,第50百分位數(shù)為b,則有()A.a=14.7,b=15.5 B.a=14,b=15C.a=12,b=15.5 D.a=14.7,b=15【解析】選D.把該組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其平均數(shù)a=110×(10+12+14+14+15+15+16+17+17+17)=14.因為10×50%=5,所以這10名工人一小時內(nèi)生產(chǎn)零件的第50百分位數(shù)為b=15+152=1510.(5分)(多選)某科技學(xué)校組織全體學(xué)生參加了主題為“創(chuàng)意之匠心,技能動天下”的文創(chuàng)大賽,隨機抽取了400名學(xué)生進行成績(單位:分)統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間,進行適當(dāng)分組后(每組的取值區(qū)間均為左閉右開),畫出頻率分布直方圖(如圖),則下列說法正確的是()A.在被抽取的學(xué)生中,成績在區(qū)間[90,100)內(nèi)的學(xué)生有160人B.圖中x的值為0.020C.估計全校學(xué)生成績的中位數(shù)為86.7D.估計全校學(xué)生成績的80%分位數(shù)為95【解析】選ACD.由題意,成績在區(qū)間[90,100)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為400×0.040×10=160,故A正確;由(0.005+0.010+0.015+x+0.040)×10=1,得x=0.030,故B錯誤;由于前3組的頻率和(0.005+0.010+0.015)×10=0.3<0.5,前4組的頻率和(0.005+0.010+0.015+0.030)×10=0.6>0.5,所以中位數(shù)在第4組,設(shè)中位數(shù)為a,則(0.005+0.010+0.015)×10+0.030(a-80)=0.5,得a≈86.7,故C正確;低于90分的頻率為1-0.4=0.6,設(shè)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為n,則n-90100-90=0.20.4,解得n=95,故11.(5分)如圖是某市2023年4月1日至4月7日每天最高、最低氣溫的折線統(tǒng)計圖,這7天的日最高氣溫的第10百分位數(shù)為________,日最低氣溫的第80百分位數(shù)為________.

【解析】由折線圖可知,把日最高氣溫按照從小到大排序得24,24.5,24.5,25,26,26,27,因為共有7個數(shù)據(jù),7×10%=0.7不是整數(shù),所以這7天日最高氣溫的第10百分位數(shù)是第1個數(shù)據(jù)為24℃.把日最低氣溫按照從小到大排序得12,12,13,14,15,16,17,因為共有7個數(shù)據(jù),7×80%=5.6不是整數(shù),所以這7天日最低氣溫的第80百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)為16℃.答案:24℃16℃12.(10分)某工廠有工人1000名,其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為A類工人),另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為B類工人).現(xiàn)用分層隨機抽樣方法(按A類、B類分兩層)從該工廠的工人中共抽查100名工人,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力指一天