中職高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)3.3 函數(shù)的單調(diào)性及其最值（講）（解析版）

3.3函數(shù)的單調(diào)性及其最值【考點(diǎn)梳理】1．函數(shù)的單調(diào)性(1)增函數(shù)與減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：①如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．②如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．(2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值(1)最大值一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)y＝f(x)的最大值．(2)最小值一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)N滿(mǎn)足：①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥N；②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我們稱(chēng)N是函數(shù)y＝f(x)的最小值．考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性【例題】（1）下列四個(gè)函數(shù)在是增函數(shù)的為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)A，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為軸，在是減函數(shù)，故A不對(duì)．對(duì)B，為一次函數(shù)，，在是減函數(shù)，故B不對(duì)．對(duì)C，，二次函數(shù)，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，在是增函數(shù)，故C不對(duì)．對(duì)D，為反比例類(lèi)型，，在是增函數(shù)，故D對(duì)，故選：D.（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由知，函數(shù)為開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為的二次函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：B.（3）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上單調(diào)遞增，，，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：C.（4）已知在為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故要想在為單調(diào)函數(shù)，需滿(mǎn)足，故選：D.（5）設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，則，，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，又，則，則，故選：C.（6）已知定義在R上的函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，由，得，解得，即不等式的解集為，故選：C.【變式】（1）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，是非奇非偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是奇函數(shù)，而在上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以C正確；對(duì)于D，是非奇非偶函數(shù)，所以D錯(cuò)誤，故選：C.（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】【解析】令，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，而函?shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：.（3）關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的說(shuō)法正確的是（

）A．在上是增函數(shù) B．在上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】C【解析】由函數(shù)的解析式知定義域?yàn)?，設(shè)，顯然在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上是增函數(shù)，故選：C.（4）函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則m的取值范圍為.【答案】或【解析】二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，因函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，所以或，故答案為：或.（5）函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由題意得，解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是,故答案為：.（6）設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，若，則的取值范圍是．【答案】【解析】依題意是定義在R上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，由于，所以，故答案為：.考點(diǎn)二函數(shù)的最值【例題】（1）在上的最小值為．【答案】0【解析】根據(jù)題意在上為增函數(shù)，則在上的最小值為，故答案為：0.（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6，則.【答案】4【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，于是得，解得：，故答案為：4.（3）函數(shù)的最小值是（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】C【解析】∵，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，∴函數(shù)的最小值是，故選：C.（4）的最大值為（

）A．9B．C．3 D．【答案】B【解析】＝＝＝，由于，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，故選：B.（5）如果奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且有最大值6，那么函數(shù)在區(qū)間上（

）A．單調(diào)遞增且最小值為﹣6 B．單調(diào)遞增且最大值為﹣6C．單調(diào)遞減且最小值為﹣6 D．單調(diào)遞減且最大值為﹣6【答案】A【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相同，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以在上的最小值為，故選：A.【變式】（1）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為A，最小值為B，則A-B等于（

）A． B． C．1 D．-1【答案】A【解析】函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，所以時(shí)有最大值為1，即A=1，時(shí)有最小值，即B=，則，故選：A.（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=0時(shí)取得最大值：，故選：B.（3）函數(shù)的最大值為.【答案】2【解析】因，則在上為減函數(shù)，，所以時(shí)，取得最大值2，故答案為：2.（4）函數(shù)的最大值是（

）A． B．0 C．4 D．2【答案】C【解析】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值4，故選：C.（5）若偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且最小值為﹣4，則在區(qū)間上是（

）A．減函數(shù)且最小值為﹣4 B．增函數(shù)且最小值為﹣4C．減函數(shù)且最大值為4 D．增函數(shù)且最大值為4【答案】A【解析】在區(qū)間，上是增函數(shù)，最小值是，，又為偶函數(shù)，在，上單調(diào)遞減，（5）．即在區(qū)間，上的最小值為，綜上，在，上單調(diào)遞減，且最小值為，故選：A．【方法總結(jié)】1．證明函數(shù)的單調(diào)性與求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，均可運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，具體方法為差式比較法或商式比較法．注意單調(diào)性定義還有如下的兩種等價(jià)形式：設(shè)x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，那么(1)eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0?f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)；eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0?f(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù)．上式的幾何意義：增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率恒大于(或小于)零．(2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?f(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù)．2．函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)常用的方法有：定義法、圖象法及復(fù)合函數(shù)法．(2)兩個(gè)增(減)函數(shù)的和仍為增(減)函數(shù)；一個(gè)增(減)函數(shù)與一個(gè)減(增)函數(shù)的差是增(減)函數(shù)；(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性；(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性相同，那么y＝f(g(x))是增函數(shù)；如果y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性相反，那么y＝f(g(x))是減函數(shù)．在應(yīng)用這一結(jié)論時(shí)，必須注意：函數(shù)u＝g(x)的值域必須是y＝f(u)的單調(diào)區(qū)間的子集．(5)在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常需要先將函數(shù)化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為討論一些熟