第01講導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與幾何意義（春季講義）（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第01講導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與幾何意義【人教A版2019】模塊一模塊一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)導(dǎo)數(shù)（c為常數(shù)）2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則符號(hào)表達(dá)文字?jǐn)⑹鰞蓚€(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)乘分母，減去分子乘分母的導(dǎo)數(shù)，再除以分母的平方3．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)復(fù)合函數(shù)的定義

一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過變量u,y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(g(x)).(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.【題型1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)】【例1.1】（2324高二下·廣西桂林·期末）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．(cosx)′=sinx B．【例1.2】（2324高二上·浙江舟山·期末）下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（

）A．x3′=C．4x′=x【變式1.1】（2324高二下·四川宜賓·期末）下列運(yùn)算不正確的是（

）A．(sinx)′=cosx B．【變式1.2】（2425高二下·甘肅天水·階段練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．(1x)′C．xe′=【題型2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法】【例2.1】（2324高二下·湖北武漢·期中）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A．x+1x'C．x2ex【例2.2】（2425高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)fx，其導(dǎo)函數(shù)為f′x，且滿足fx+y=fx+fy+xyA．0 B．1 C．32 D．【變式2.1】（2324高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）設(shè)fx是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′x，且f′x+1也是奇函數(shù)，當(dāng)x∈0,1，fxA．?1 B．?34 C．1 【變式2.2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f′(x)為定義在R上的函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，fx?1為奇函數(shù)，fx+1A．f0=f2 C．f′(4)=2 【題型3與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算有關(guān)的新定義問題】【例3.1】（2024·安徽·模擬預(yù)測）給出定義：若函數(shù)fx在D上可導(dǎo)，即f′x存在，且導(dǎo)函數(shù)f′x在D上也可導(dǎo)，則稱fx在D上存在二階導(dǎo)數(shù)，記f″x=f′x′A．fx=sinC．fx=?x【例3.2】（2324高二下·浙江臺(tái)州·期末）設(shè)定義在R上的函數(shù)fx=sin2x．記f1x=fx，對(duì)任意的A．sin2x B．?cos2x C．?【變式3.1】（2324高二上·河北·階段練習(xí)）曲率是刻畫曲線彎曲程度的重要指標(biāo)，曲線的曲率定義如下：記f′x是fx的導(dǎo)函數(shù)，f″x是f′x的導(dǎo)函數(shù)，那么曲線y=fx在點(diǎn)x0A．0 B．69 C．22 【變式3.2】（2324高二下·寧夏銀川·期末）對(duì)于三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0，現(xiàn)給出定義：設(shè)f′x是函數(shù)fx的導(dǎo)數(shù)，f″x是A．1,2 B．1,3 C．2,2 D．2,3模塊二模塊二導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的定義在曲線y=f(x)上任取一點(diǎn)P(x,f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近于點(diǎn)(,f())時(shí)，割線P無限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定位置的直線T(T是直線T上的一點(diǎn))稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線.(2)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=處的導(dǎo)數(shù)f'()就是切線的斜率，即f'().這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.相應(yīng)地，切線方程為.2．切線方程的求法(1)已知切點(diǎn)時(shí)求切線方程的方法：①求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率；②在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f'(x0)(xx0).(2)切點(diǎn)未知時(shí)的解題通法：①設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)T(x0,f(x0))(不出現(xiàn)y0)；②利用切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程：y=f(x0)+f'(x0)(xx0)；③將已知條件代入②中的切線方程求解.【題型4求曲線切線的斜率或傾斜角】【例4.1】（2324高二下·河北保定·期中）曲線y=?33x3?1A．π6 B．π3 C．5π【例4.2】（2324高二下·湖北·期中）點(diǎn)P在曲線y=2x3?3x+14上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)PA．2π3,π B．0,π2【變式4.1】（2425高三上·河南·階段練習(xí)）已知fx=xex，過P1A．3e2 B．3e2 C．【變式4.2】（2024·貴州·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)fx=x3?12f′A．0,3π4 B．0,π2∪【題型5求在曲線上一點(diǎn)的切線方程、過一點(diǎn)的切線方程】【例5.1】（2425高三上·河北保定·階段練習(xí)）過曲線S：y=3x?x3上一點(diǎn)A(2,?2)的切線方程為（A．9x?y?16=0或y=?2 B．9x+y?16=0C．9x+y?16=0或y=?2 D．9x?y?16=0【例5.2】（2425高二下·重慶·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=?13xA．y＝9x＋21 B．y＝－9x＋19 C．y＝9x＋19 D．y＝－9x＋21【變式5.1】（2324高二下·河北·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=x3?ax2+b（(1)求a，b的值；(2)求曲線y=fx過點(diǎn)0,?1【變式5.2】（2324高二上·重慶·期末）已知曲線fx(1)求曲線在點(diǎn)P1,1(2)求過點(diǎn)Q2【題型6已知切線（斜率）求參數(shù)】【例6.1】（2024·遼寧大連·一模）斜率為1的直線l與曲線y=ln(x+a)和圓x2+yA．0或2 B．?2或0 C．－1或0 D．0或【例6.2】（2324高三下·河北張家口·開學(xué)考試）“b=?1”是“直線y=3x+b與曲線y=xlnx+2相切”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式6.1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=ax2+blnx的圖象在點(diǎn)1,fA．1 B．2 C．3 D．4【變式6.2】（2324高二上·江蘇連云港·期末）已知曲線y=a?xex存在過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)aA．?4,0 B．?C．?4,0 D．?【題型7切線的條數(shù)問題】【例7.1】（2024·河南洛陽·三模）若過點(diǎn)P1,0作曲線y=x3A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【例7.2】（2024·全國·模擬預(yù)測）若曲線y=1?xex有兩條過點(diǎn)Aa,0的切線，則A．?∞,?1∪C．?∞,?3 【變式7.1】（2324高二下·福建廈門·期末）若過點(diǎn)(1,2)可作曲線y=x3+ax的三條切線，則實(shí)數(shù)aA．(?3,?1) B．(?2,?1) C．(1,2) D．(1,3)【變式7.2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=?x3+3x，則過點(diǎn)?3,?9A．0 B．1 C．2 D．3【題型8兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題】【例8.1】（2324高二下·湖北·期中）若直線x+y+a=0是曲線fx=x3+bx?14與曲線gA．26 B．23 C．15 D．11【例8.2】（2425高三·江西·階段練習(xí)）若函數(shù)f(x)=3x+1x?3(x>0)的圖象與函數(shù)gx=txex的圖象有公切線l，且直線lA．1e B．e2 C．1e或2e 【變式8.1】（2324高二上·湖南·期末）已知函數(shù)fx(1)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，fx的圖象在x=2處的切線與x,y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，求△OAB(2)若直線y=kx+b是曲線y=fx與y=gx的公切線，求【變式8.2】（2324高二下·江西·期中）已知函數(shù)fx=x?a(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx在x=0(2)若a+b=1，是否存在直線l與曲線y=fx和y=gx都相切？若存在，求出直線l的方程（若直線l的方程含參數(shù)，則用一、單選題1．（2425高二下·河北滄州·階段練習(xí)）已知f′x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，若fx=A．?1 B．?2 C．2 D．32．（2024·安徽黃山·二模）已知函數(shù)fx=x2?xf′A．3x?y?4=0 B．3x?y+4=0C．3x+y+4=0 D．3x+y?4=03．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2?asin2x+b，若曲線y=fx在點(diǎn)A．1 B．2 C．3 D．44．（2425高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）過點(diǎn)32,0且與曲線y=xA．0 B．8e2 C．?35．（2324高三上·山東濟(jì)南·期末）已知曲線y=lnx與曲線y=ax?1x在交點(diǎn)1,0A．1 B．12 C．?126．（2324高三上·四川成都·期末）已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x3?x+1，則曲線y=f(x)在x=1A．2x+y?1=0 B．2x?y?3=0C．2x+y?3=0 D．2x?y?1=07．（2425高三上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域均為R，記gx=f′x.若f2x+1A．2025 B．0 C．4 D．48．（2425高三下·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+alnx的圖象有兩條與直線y=2x平行的切線，且切點(diǎn)坐標(biāo)分別為PA．0,22 B．4,+∞ C．22二、多選題9．（2324高三上·河北·期末）過點(diǎn)A1,2與函數(shù)fx=A．2x+y?4=0 B．3x?y?1=0C．4x?y?2=0 D．7x?4y+1=010．（2324高三上·湖北·期末）設(shè)fx=x3?3x2+a，點(diǎn)A是直線A．0條 B．1條 C．2條 D．3條11．（2425高三上·河北衡水·期中）已知定義在R上的函數(shù)fx，gx，其導(dǎo)函數(shù)分別為f′x，g′x，f1?xA．gx的圖象關(guān)于x=1B．gC．fD．f三、填空題12．（2024·陜西西安·一模）已知直線l為曲線fx=13x3+13．（2425高二上·江蘇淮安·階段練習(xí)）直線y=kx+b與函數(shù)y=exe和y=e14．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f′x的定義域都為R，且fx+1為偶函數(shù)，fx+2為奇函數(shù)，則四、解答題15．（2425高二上·全國·課后作業(yè)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=2x?1(2)y=10(3)y=sin16．（2324高二下·河南·期中）已知函數(shù)fx=x3+ax2+bx?4的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1)求a，b的值；(2)求經(jīng)過點(diǎn)M2,?2且與曲線y=f17．（2324高二下·河