中考數(shù)學幾何輔助線-中線倍長 （含答案）

PAGE1頁（30頁）中考幾何輔助線（倍長）【案例賞析】閱讀下面材料：數(shù)學課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點F，AE＝EF．求證：AC＝BF．思路一如圖思路一如圖SAS可證得△ADC≌△GDBAE＝EF可以進一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．思路二如圖思路二如圖AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再AAS可以進一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．完成下面問題：①思路一的輔助線的作法是： ；②思路二的輔助線的作法是： ．（．ABCBCEEF∥ADABG，CAF．求證：BG＝CF．Rt△ABC中，∠BAC＝90DBCE、FAB、AC上的ED⊥FDBE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，請判斷此三角形的形狀．課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：1，△ABCAB＝5，AC＝3BCAD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：ADEDE＝ADBE（或?qū)ⅰ鰽CDD180°得到△DBC2DE＜E＜1＜AD＜4．問題解決：受到（1）的啟發(fā)，請你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．①求證：BE+CF＞EF；②若∠A＝90BECFEF問題拓展：ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120D為頂點作∠EDF60AB、ACE、FEFBE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．已知：△ABC和△ADEBA＝BC，DA＝DE，連ECECMBMDM．如圖如果點DE分別在邊ACAB上那么BMDM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是 ；1中的△ADEA2中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【專項突破】【問題情境】如圖①，在△ABCAB＝10，AC＝6BCAD的取值范圍．【問題解決】延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到D，把B、C、2D集中在△E中，利用三角形三的關(guān)系即可判斷出中線AD的取值范圍是 ．中，∠BAC＝90°，ADBCAB，AC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．③，△ABC中，∠BAC＝90°，DBC的中點，DM⊥DN，DMABM，DNACNMN．當BM＝4，MN＝5，AC＝6AD的長．7（1如圖在△ABC中若求BC邊上的中線AD的取值范圍解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE＝AD，連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到D，把B，C，2D集中在△E中．利用三角形三的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是 ；（2）問題解決：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF．8．[問題提出]如圖①，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．[問題解決]解決此問題可以用如下方法延長AD到點E使再連結(jié)或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆針轉(zhuǎn)180得△D把C2D集在△E中利三形三邊的關(guān)系即可判斷，由此得出中線AD的取值范圍是 [應(yīng)用]如圖②，如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的長[拓展]如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上，過點D作DF⊥DE交邊AC于點F，連結(jié)EF，已知BE＝4，CF＝5，則EF的長為 ABCBCADBEAC于點F，AF＝EF，求證：AC＝BE．ABCDGDFEG，CG，EC．如圖1，若點E在CB邊的延長線上，直接寫出EG與GC的位置關(guān)系及的值；1中的△BEFB2所示位置，請問（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；將圖1中F繞點B順針轉(zhuǎn)0＜＜9°若E＝1B當E，F(xiàn)，D三點共線時，求DF的長及tan∠ABF的值．參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）閱讀下面材料：數(shù)學課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點F，AE＝EF．求證：AC＝BF．思路一如圖思路一如圖SAS可證得△ADC≌△GDBAE＝EF可以進一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．思路二如圖思路二如圖AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．完成下面問題：①思路一的輔助線的作法是：延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG ；②思路二的輔助線的作法是：作BG＝BF交AD的延長線于點G ．（．【分析】（1）①依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．②作BG＝BF交AD的延長線于點G．利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．2作GC交D的延長線于GDC≌△GD（SC＝G出∠G＝∠BFGBG＝BF，即可得出結(jié)論．1）①DGDG＝D，連接G，如圖①∵AD為△ABC中線，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中， ，△DC△GD（SS，∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，PAGE20頁（30頁）∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案為：延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG；②作BG＝BF交AD的延長線于點G，如圖②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中， ，△DC△GD（S，∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案為：作BG＝BF交AD的延長線于點G；（2）BG∥ACADG，如圖③所示：則∠G＝∠CAD，∵AD為△ABC中線，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中， ，△DC△GD（S，∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．ABCBCEEF∥ADABG，CAF．求證：BG＝CF．【分析】CM∥ABFEMBG＝CFBG＝CM，CF＝CM即可．【解答】證明：作CM∥AB交FE的延長線于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵EBC中點，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，掌握中線倍長法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型．Rt△ABC中，∠BAC＝90DBCE、FAB、AC上的ED⊥FDBE、EF、FC為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，請判斷此三角形的形狀．BG∥FCFDGEG，易證∠FCD＝∠DBG，∠CFD＝∠G，即可證明△DFC≌△BDGFC＝BG，DG＝DF，∠DBG＝∠ACBEF＝EG和∠ABG＝90°，即可解題．【解答】解：作BG∥FC，與FD延長線交于G，連接EG，∵BG∥FC，∴∠FCD＝∠DBG，∠CFD＝∠DGB，在△DFC和△BDG中，，△DC△DG（S）∴FC＝BG，DG＝DF，∠DBG＝∠ACB，∵ED⊥FD，∴EF＝EG，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠ABG＝∠ABC+∠DBG＝∠ABC+∠ACB＝90°，∴△EBG為直角三角形，∴BE、EF、FC為邊能構(gòu)成一個三角形，且為直角三角形．是解題的關(guān)鍵．課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：1，△ABCAB＝5，AC＝3BCAD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：ADEDE＝ADBE（或?qū)ⅰ鰽CDD180°得到△DBC2DE＜E＜1＜AD＜4．問題解決：受到（1）的啟發(fā)，請你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．①求證：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明；問題拓展：ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120D為頂點作∠EDF60AB、ACE、FEFBE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．FD②由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，再利用勾股定理得出答案；（3）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出△DG≌△DF（SS，進而得出F＝G＝BE+BGEF＝BE+CF，進而得出答案．（2）證明：①1FDGDG＝DFBG、EG．CF＝BG，DF＝DG，∵DE⊥DF，∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．解：②若∠A＝90°，則∠EBC+∠FCB＝90°，由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，∴BE2+CF2＝EF2；（3）解：如答題圖2，將△DCF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DBG．∵∠C+∠ABD＝180°，∠4＝∠C，∴∠4+∠ABD＝180°，∴點E、B、G在同一直線上．∵∠3＝∠1，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠1+∠2＝60°，故∠2+∠3＝60°，即∠EDG＝60°∴∠EDF＝∠EDG＝60°，在△DEG和△DEF中，△DG△DF（SS，∴EF＝EG＝BE+BG，即EF＝BE+CF．已知：△ABC和△ADEBA＝BC，DA＝DE，連ECECMBMDM．如圖如果點DE分別在邊ACAB上那么BMDM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是BM＝DM且BM⊥DM ；1中的△ADEA2中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．BM＝DM＝用∠＝2，∠3∠4，∠MD2（1∠3（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)首先得出∠8＝∠BADSAS證明△ABD≌△CBF，進而得BD＝BF，∠ABD＝∠CBF，∠DBF＝∠ABC＝90BMDM的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．1）M是CM＝CDMC直三形邊的線于邊一，∴DM＝BM．∵M是EC的中點，∴MC＝EC，∴BM＝MC＝DM，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠BME＝∠1+∠2，∠EMD＝∠3+∠4，∠MD2（1∠3，∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM且BM⊥DM；故答案為：BM＝DM且BM⊥DM．（2）成立．DMFMF＝MDCF、BF、BD．在△EMD和△CMF中，∵△MD△MFSS，∴ED＝CF，∠DEM＝∠1．∵AB＝BC，AD＝DE，且∠ADE＝∠ABC＝90°，∴∠2＝∠3＝45°，∠4＝∠5＝45°．∴∠BAD＝∠2+∠4+∠6＝90°+∠6．∵∠8＝360°﹣∠5﹣∠7﹣∠1，∠7＝180°﹣∠6﹣∠9，∠＝36°45（18°∠6∠﹣（3∠9，＝360°﹣45°﹣180°+∠6+∠9﹣45°﹣∠9＝90°+∠6．∴∠8＝∠BAD．在△ABD和△CBF中，∵ ，△D△FSS，∴BD＝BF，∠ABD＝∠CBF．∴∠DBF＝∠ABC＝90°．∵MF＝MD，∴BM＝DM且BM⊥DM．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn)，正確利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBF是解題關(guān)鍵．【問題情境】如圖①，在△ABCAB＝10，AC＝6BCAD的取值范圍．ADEDE＝ADBE（或?qū)ⅰ鰽CDD逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△D，把B、C、2D集中在△E中，利用三角形三邊的關(guān)AD的取值范圍是2＜AD＜8．【反思感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以該中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同個三角形中，從而解決問題．中，∠BAC＝90°，ADBCAB，AC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．③，△ABC中，∠BAC＝90°，DBC的中點，DM⊥DN，DMABM，DNACNMN．當BM＝4，MN＝5，AC＝6AD的長．（1）ADDE＝ADSAS證明△ACD≌△EBDBE＝AC＝8，在△ABEAEAD的取值范圍；結(jié)論：AB2+AC2＝4AD2ADEDE＝ADBE，如圖②所示，只要證明∠ABE＝90°，理由勾股定理即可證明；NDDN＝DEBEEMAMDN是矩形即可解決問題；1延長D至ED＝D，連接E①所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，△DE△DASS，∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；PAGE27頁（30頁）故答案為：2＜AD＜8；結(jié)論：AB2+AC2＝4AD2．理由：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖②所示，由（1）可知：△BDE≌△CDA，∴BA＝AC，∠E＝∠CAD，∵∠BAC＝90°，∴∠E+∠BAE＝∠BAE+∠CAD＝∠BAC＝90°，∴∠ABE＝90°，∴AB2+BE2＝AE2，∴AB2+AC2＝4AD2．NDEDN＝DEBE、EM．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDN，DE＝DN，∴△BDE≌△CDN，∴BE＝CM．∠EBD＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABD+∠DBE＝90°，∵MD⊥EN，DE＝DN，∴ME＝MN＝5，在Rt△BEM中，BE＝＝3，∴CN＝BE＝3，∵AC＝6，∴AN＝NC，∵∠BAC＝90°，BD＝DC，∴AD＝DC＝BD，∴DN⊥AC，在Rt△AMN中，AM＝＝4，∴AM＝BM，∵DA＝DB，∴DM⊥AB，∴∠AMD＝∠AND＝∠MAN＝90°，∴四邊形AMDN是矩形，∴AD＝MN＝5．【點評】本題考查幾何變換綜合題、三角形的中線、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，體會出現(xiàn)中點的輔助線的添加方法，屬于中考壓軸題．7（1ABCBCADADEDE＝ADBE（或?qū)ⅰ鰽CDD逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△D，把B，C，2D集中在△E中．利用三角形三邊的關(guān)系A(chǔ)D的取值范圍是2＜AD＜8；（2）問題解決：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF．（1）ADDE＝ADSAS證明△ACD≌△EBDBE＝AC＝6，在△ABEAEAD的取值范圍；（2）FDMDM＝DFBMEM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CFEM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系BE+BM＞EM即可得出結(jié)論．1如圖1D至ED＝D，連接E，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵ ，△DE△DASS，∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案為：2＜AD＜8；（2）如圖2所示：延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，（得：△MD≌△DSS，∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．【點評】本題是三角形的綜合問題，考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．8．[問題提出]如圖①，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．[問題解決]ADE或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D180DC2D集中在△EAD的取值范圍是1＜AD＜5[應(yīng)用]如圖②，如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的長[拓展]如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，點D是邊BC的中點，點E在邊AB上，過點D作DF⊥DE交邊AC于點F，連結(jié)EF，已知BE＝4，CF＝5，則EF的長為 證明△DAC≌△DEBAE的取值范圍，進而得結(jié)論；ADAD＝DEDAC≌△DEBAC＝EB，再證明∠AEB＝90°，由勾股定理求得BD，進而得BC；FDDG＝FDCDF≌△BDGBG＝CF，EBG＝901在△DC和△DB，△DC△DBSS，∴AC＝EB＝4，∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝6，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；ADEAD＝DEBE，如圖②，在△DAC和△DEB中，，△DC△DBSS，∴AC＝EB＝3，∵AE＝2AD＝4，AB＝5，∴BE2+AE2＝AB2，∴∠AEB＝90°，∴BD＝，∴BC＝2BD＝2；FDGDG＝FDBG，EG，如圖③，在△BDG和△CDF中，，△DG△DF（SS，∴BG＝CF＝5，DG＝DF，∠DBG＝∠DCF，∵DE⊥DF，∴EG＝EF，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠DBG＝90°，∴EG＝，，故答案為：．【點評】本題考查幾何變換綜合題、三角形的中線、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，體會出現(xiàn)中點的輔助線的添加方法，屬于中考壓軸題．ABCBCADBEAC于點F，AF＝EF，求證：AC＝BE．【分析】延長D至G，使DG＝D，連接G，可證明△DG≌△DA（SS，則G＝AC，∠CAD＝∠G，根據(jù)AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可證出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE．【解答】ADGDG＝ADBG，在△BDG和△CDA中，∵ ，Ⅳ△DG△DA（SS，∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，又∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF，又∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE，∴AC＝BE．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．ABCDDF，G為DF的中點，連接EG，CG，EC．如圖1，若點E在CB邊的延長線上，直接