廣東省肇慶市2025屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)肇慶市2025屆高中畢業(yè)班第二次模擬考試數(shù)學(xué)本試題共4頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的信息填寫(xiě)清楚?準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.2.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.3.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破?弄皺，不得使用涂改液?修正帶?刮紙刀.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題及答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得集合，利用交集的意義可求解.【詳解】，，則.故選：D.2.已知，則（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則求得復(fù)數(shù)，可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，則.故選：C.3.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得向量的坐標(biāo)，利用向量共線(xiàn)的條件的坐標(biāo)表示得到方程，求解可得.【詳解】因，，故，又，故得故選：A.4.小王數(shù)學(xué)期末考試考了分，受到爸爸表?yè)P(yáng)的概率為，受到媽媽表?yè)P(yáng)的概率也為，假設(shè)小王受爸爸表?yè)P(yáng)和受媽媽表?yè)P(yáng)獨(dú)立，則小王被表?yè)P(yáng)的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】相互獨(dú)立事件的概率，采用乘法公式，正面分類(lèi)復(fù)雜，求對(duì)立事件（小王不被表?yè)P(yáng)）的概率可得解.【詳解】記小王受到爸爸表?yè)P(yáng)為事件，小王受到媽媽表?yè)P(yáng)為事件，小王受到表?yè)P(yáng)為事件，小王同學(xué)受爸爸表?yè)P(yáng)和受媽媽表?yè)P(yáng)相互獨(dú)立，則.故選：C.5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，則下列判斷正確的是（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.C.數(shù)列存在最大值 D.數(shù)列存在最大值【答案】D【解析】【分析】利用，可求通項(xiàng)公式判斷AB；由可知單調(diào)性判斷CD.詳解】由可知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故?shù)列是從第二項(xiàng)開(kāi)始的等差數(shù)列，故A錯(cuò)誤.將的通項(xiàng)公式可得，故B錯(cuò)誤.由知，數(shù)列為遞增數(shù)列，不存在最大值，故C錯(cuò)誤.由知，數(shù)列為遞減數(shù)列，故存在最大值，故D正確.故選：D.6.已知是銳角，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由聯(lián)立可得.【詳解】由得，由得，化簡(jiǎn)得，得故選：B.7.已知直線(xiàn)是雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于直線(xiàn)交于點(diǎn)的面積是，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，求解可得雙曲線(xiàn)方程.【詳解】由題意知，解得，則雙曲線(xiàn)方程為.故選：B.8.已知正三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，高為2，則該三棱錐的外接球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過(guò)球心在三棱錐內(nèi)、外兩種情況，結(jié)合勾股定理求得半徑即可求解.【詳解】如圖，若球心在三棱錐內(nèi)，設(shè)為底面的外接圓的圓心.球的半徑為，則.因?yàn)?，所以，解?.若球心三棱錐外，則，同理由解得，此時(shí)，不符合題意.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)中是奇函數(shù)且是周期函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域及奇偶性的定義和周期函數(shù)的定義即可判斷.【詳解】若，定義域?yàn)椋瑒t是奇函數(shù)，是周期函數(shù)，故A正確；若，則，故不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；若，定義域?yàn)?，則，故不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；若，定義域?yàn)椋瑒t是奇函數(shù)，是周期函數(shù)，故D正確.故選：AD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則平面B.若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.若，則存在，使D.若，則存在，使平面【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)，統(tǒng)一變量，結(jié)合向量的線(xiàn)性運(yùn)算關(guān)系判斷動(dòng)點(diǎn)的位置可得出結(jié)果；C選項(xiàng)可做反解驗(yàn)證，以垂直為條件運(yùn)算；D選項(xiàng)為探究，可假設(shè)存在，以線(xiàn)面垂直為條件求解驗(yàn)證判別.【詳解】對(duì)于A，若，則，則點(diǎn)在線(xiàn)段上，如上圖.因平面平面,且平面平面,平面平面,故因平面，平面,故平面，同理可證平面，因平面，平面,且,故有平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，故A正確；對(duì)于B，若，則（為的中點(diǎn)）如上圖.又因?yàn)?，所?故點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故B正確；對(duì)于C，若，則，所以，所以點(diǎn)在線(xiàn)段上（如上圖）.假設(shè)，則，即，化簡(jiǎn)得，該方程無(wú)解，所以不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如上圖，設(shè)為的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，即，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,.所以.假設(shè)平面，則即解得.故D正確.故選:.11.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則（）A.或B.C.存在實(shí)數(shù)，使得D【答案】BD【解析】【分析】A，B選項(xiàng)，兩個(gè)極值點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)問(wèn)題；通過(guò)復(fù)合函數(shù)換元，將導(dǎo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)勾函數(shù)或二次函數(shù)，利用對(duì)勾函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)快速的求解；C選項(xiàng)，解法1：先利用整體代入法，消，再利用單調(diào)性證明；解法2：利用為極小值點(diǎn)，通過(guò)證明；D選項(xiàng)，利用消元，轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性證明；【詳解】易知，令，則.令，則.設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋什怀闪ⅲ蔄錯(cuò)誤；設(shè)，則①，設(shè)為①式的兩根，則，即②，③.由③式可知，所以，則，故B正確；解法1：由②式可知，令，則，則在上單調(diào)遞減，所以，故，所以不存在實(shí)數(shù)使得，故C錯(cuò)誤；解法2：，，，可得為區(qū)間的極小值點(diǎn)，則必有，故C錯(cuò)誤；由③式可知，所以，要證，僅需證明成立.令，則.則在上單調(diào)遞增，所以，故，故D正確.故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】令，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和.【詳解】令，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為.故答案為：.13.已知函數(shù)，則的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】分別求出函數(shù)在各段上的最小值，再比較即可求出．【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)增，所以.綜上所述，的最小值是.故答案為：.14.直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)），設(shè)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率是直線(xiàn)斜率的2倍時(shí)，__________.【答案】【解析】【分析】直曲聯(lián)立，可得方程兩根的和與積，點(diǎn)坐標(biāo)已知，表達(dá)與的斜率之積，可得定值，要求參數(shù)的范圍，需要構(gòu)建兩根和與積之間的等量關(guān)系，與的斜率乘積代換即可實(shí)現(xiàn).【詳解】設(shè)，由可知.由知，，解得.，①，②.又，，即，化簡(jiǎn)得，將①②代入上式可得，解得或，滿(mǎn)足.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓右頂點(diǎn)，不合題意，舍去.綜上所述.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線(xiàn)上，并解答.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知__________.（1）求.（2）設(shè)為的內(nèi)心（三角形三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)），且滿(mǎn)足，求的面積.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】小問(wèn)1：若選條件①，應(yīng)用正弦定理，對(duì)等式左側(cè)采用角化邊即可統(tǒng)一元素，結(jié)合余弦定理可得解；若選擇條件②，等式右側(cè)據(jù)正弦定理邊化角，交叉相乘做恒等變換可得解；小問(wèn)2：由面積公式，需求兩邊乘積和夾角，由三角形的內(nèi)角和定理和內(nèi)心的性質(zhì)，可求出夾角，應(yīng)用余弦定理求兩邊的乘積即可.【小問(wèn)1詳解】選擇條件①：.由正弦定理得，所以.由余弦定理，得.因?yàn)?，所?選擇條件②：因，所以，即.由正弦定理得，即.因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】連接，因?yàn)辄c(diǎn)是內(nèi)心，所以.因?yàn)?，所以，所以，所?由余弦定理得，即，解得，所以.16.如圖，在四棱錐中，底面平行四邊形，平面，平面平面.（1）證明：平面.（2）若為的中點(diǎn)，求到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì),在平面中,作,證明平面,再利用線(xiàn)面垂直證明；(2)求到平面的距離,首先需證明平面,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離,再利用建系法或者等體積法求解；【小問(wèn)1詳解】證明：如圖,在平面內(nèi)作,交于點(diǎn).因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面平面,所以平面,則.因?yàn)槠矫?所以,因?yàn)槠矫?所以平面.【小問(wèn)2詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn),連接.易知為的中位線(xiàn),所以.因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面,所以到平面的距離,即為點(diǎn)到平面的距離.由（1）知平面,所以.因?yàn)?所以.又因?yàn)槠矫?所以?xún)蓛纱怪?因?yàn)?所以.法一（建系）：如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,所以,.設(shè)平面的法向量為,則即取,則,所以平面的一個(gè)法向量為.則點(diǎn)到平面的距離,即到平面的距離為法二（幾何）：因?yàn)槠矫?所以,因?yàn)槠矫?所以,所以是直角三角形.所以,因?yàn)槭切边叺闹悬c(diǎn),所以.則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,解得，即到平面的距離為.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右、上、下頂點(diǎn)分別為.設(shè)為上并且位于第一象限的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足.（1）若交軸于，且，求橢圓的離心率.（2）設(shè)為的中點(diǎn)，直線(xiàn)交于點(diǎn)（其中在軸上方）.證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先應(yīng)用平行得出角的值，再結(jié)合計(jì)算得出離心率；（2）先設(shè)點(diǎn)，結(jié)合得出，最后由點(diǎn)在橢圓上計(jì)算得證.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所?所以，則，則，解得，則.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，.設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以存在，使，則.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以存在，使.令，則，則由點(diǎn)在橢圓上得，整理得，.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，整理得.所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明的關(guān)鍵點(diǎn)是應(yīng)用點(diǎn)在橢圓上得出計(jì)算化簡(jiǎn)求值.18.購(gòu)買(mǎi)盲盒成為當(dāng)下年輕人的潮流之一?其最吸引人的地方是因?yàn)楹凶由蠜](méi)有標(biāo)注物品具體信息，買(mǎi)家只有打開(kāi)才會(huì)知道自己買(mǎi)到了什么.某商店推出種款式不同的盲盒，購(gòu)買(mǎi)規(guī)則及概率如下：每次購(gòu)買(mǎi)一個(gè)，且買(mǎi)到任意一種款式的盲盒是等可能的.小劉特別喜歡種款式中的一種.（1）若種款式的盲盒各有一個(gè).（i）求小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率.（ii）設(shè)小劉抽到特別喜歡的款式所需次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.（2）若每種款式的盲盒數(shù)量足夠多，每次盲盒被買(mǎi)后老板都會(huì)補(bǔ)充被買(mǎi)走的款式.商店為了滿(mǎn)足客戶(hù)的需求，引進(jìn)了保底機(jī)制：在抽取前指定一個(gè)款式，若前次未抽出指定款式，則第次必定抽出指定款式.設(shè)為小劉抽到某指定款式所需的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）.【答案】（1）（i）；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）根據(jù)條件，利用全概率公式，即可求解；（ii）由題知的可能取值為，利用古典概率公式求出相應(yīng)取值對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列，再利用期望的計(jì)算公式，即可求解；（2）根據(jù)條件，求出的分布列，進(jìn)而求出，再利用錯(cuò)位相減法，即可求解.【小問(wèn)1詳解】（i）設(shè)小劉第次抽到特別喜歡的款式為事件.則小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率為.（也可以用）（ii）的可能取值為，則，所以的分布列為121920則.【小問(wèn)2詳解】記的可能取值為.因?yàn)榍?次（包含第9次）沒(méi)有保底，則，其中，，所以的分布列為12910則.記，則，兩式相減，得，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題的關(guān)鍵在于第（2）問(wèn)，求得后，利用錯(cuò)位相減法求解.19.把一列函數(shù)按一定次序排列稱(chēng)為函數(shù)列，記為.例如：函數(shù)列可以記為.記為的導(dǎo)函數(shù).（1）若.證明：為等差數(shù)列.（2）已知定義在上的函數(shù)列滿(mǎn)足，且對(duì)任意的，都有.（i）設(shè)，證明：的充要條件是.（ii）取定正數(shù)，使數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，證明：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，利用等差數(shù)列的定義判斷即可；（2）令，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增，可得當(dāng)時(shí)，，（i）再證明充分性與必要性即可.（ii）由題意可得，只需證，構(gòu)造函數(shù)，求