廣東省大灣區(qū)2024-2025學年高二上學期期末統(tǒng)一測試數(shù)學試卷（解析版）

第1頁/共1頁2024-2025學年廣東省大灣區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在空間直角坐標系中，已知向量若則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標表示運算求解.【詳解】由可得，即，解之可得.故選：D2.過點，傾斜角為的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出直線的斜率，再利用點斜式求出直線方程.【詳解】由傾斜角為知，直線的斜率為，又直線過點，所以直線方程為，化簡得.故選：C.3.圓：與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.內(nèi)切 C.外切 D.相離【答案】A【解析】【分析】求出兩圓的圓心距，則有，即可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑為；，則圓的圓心為，半徑為.兩圓心之間的距離，且滿足，可知兩圓相交.故選：A.4.已知數(shù)列的各項均不為0，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】為公差為3的等差數(shù)列，求出，代入求解即可.【詳解】由，可知為公差為3的等差數(shù)列，且首項為，故，故，.故選：C5.方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標準方程及焦點在軸上，可得的不等式組，解不等式組即可得的取值范圍．【詳解】由題意知焦點在軸上，則，解得，故D正確.故選：D.6.關(guān)于方程所表示的曲線，下列說法正確的是（）A.關(guān)于軸對稱 B.關(guān)于軸對稱 C.關(guān)于對稱 D.關(guān)于原點中心對稱【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對稱變換的方法逐項分析判斷即可.【詳解】對于A，用換方程中的，得，方程發(fā)生變化，即曲線關(guān)于軸不對稱，A錯誤；對于B，用換方程中的，得，方程發(fā)生變化，即曲線關(guān)于軸不對稱，B錯誤；對于C，用換，換，得，方程發(fā)生變化，即曲線關(guān)于軸不對稱，C錯誤；對于D，將點代入原方程仍為，因此曲線關(guān)于原點中心對稱D正確.故選：D7.已知橢圓的兩個焦點為，過的直線與交于兩點.若，，且的面積為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則，，由橢圓的定義得，在中，由余弦定理得，根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得，在中，由余弦定理得，再結(jié)合的面積為，即可求出，進而得出橢圓的方程．【詳解】設(shè)，則，，則，由橢圓的定義可知，所以，所以，，，，在中，，則，所以，在中，，即，整理可得，因為三角形的面積為，故，即，得，所以，，所以橢圓的方程為，故選：A．8.古典吉他的示意圖如圖所示．分別是上弦枕、下弦枕，是第品絲．記為與的距離，為與的距離，且滿足，其中為弦長（與的距離），為大于1的常數(shù)，并規(guī)定．則（）A.數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為B.數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為C.數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為D.數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)項與前項和的關(guān)系結(jié)合條件可得，根據(jù)等比數(shù)列的概念進而判斷AB，結(jié)合條件可得，進而判斷CD.【詳解】因為，，所以，，所以，即，又為大于1的常數(shù)，所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為，故A錯誤，B正確；由上可知，又，所以，，所以不是常數(shù)，故C錯誤；所以，不是常數(shù)，故D錯誤.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，則下列說法正確的是（）A.拋物線的焦點坐標為 B.的最小值為4C.對任意的直線， D.以為直徑的圓與拋物線的準線相切【答案】BD【解析】【分析】由拋物線方程求焦點坐標驗證選項A；焦點弦中通徑最短驗證選項B；直線與拋物線聯(lián)立方程組由韋達定理計算驗證選項C；由圓心到直線的距離判斷選項D.【詳解】拋物線的焦點，A選項錯誤；拋物線的焦點弦中，通徑最短，故的最小值為4，B選項正確；由題意，直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，則，C選項錯誤；如圖所示，的中點為M，過分別作準線的垂線，垂足分別為，則，可知以為直徑的圓與拋物線的準線相切，D選項正確.故選：BD10.如圖，在平行六面體中，，，底面ABCD為菱形，，與AB，AD所成的角均為（）A.B.四邊形為矩形C.D.如果，那么點M在平面內(nèi)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可判斷A；根據(jù)余弦定理，可得，進而證得平面，即可判斷B；據(jù)題設(shè)，可得是等腰三角形，進而求得，從而判定C；根據(jù)空間向量的共面定理推論可判定D.【詳解】選項A，在平行六面體中，，正確；選項B，設(shè)，因為，，又，與AB，AD所成的角均為，所以，又O為BD中點，則，又，，，平面，所以平面，由于平面，故，由于，則，所以四邊形為矩形，正確；選項C，因為四邊形ABCD為菱形，，所以，所以，即是等腰三角形，又，所以，所以，即，錯誤；選項D，若，由于，所以M，B，D，四點共面，故點M在平面內(nèi)，正確．故選：ABD11.已知數(shù)列：0，2，0，2，0，現(xiàn)在對該數(shù)列進行一種變換，規(guī)則：每個0都變?yōu)椤?，0，2”，每個2都變?yōu)椤?，2，0”，得到一個新數(shù)列，記數(shù)列，，且的所有項的和為，則以下判斷正確的是（）A.的項數(shù)為 B.C.中0的個數(shù)為203 D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)已知條件，分析出數(shù)列的項數(shù)成等比數(shù)列判斷A，根據(jù)變換規(guī)則，得出數(shù)列中與個數(shù)的規(guī)律，結(jié)合數(shù)列項數(shù)，即可判斷B、C、D三個選項.【詳解】設(shè)數(shù)列項數(shù)為一個數(shù)列，因為中有項，即，根據(jù)題意：在作用下，每個0都變?yōu)椤啊保總€2都變?yōu)椤啊保杂校纱丝芍獢?shù)列為首相，公比的等比數(shù)列，所以的項數(shù)為，故A正確；根據(jù)變換規(guī)則，若數(shù)列的各項中，與的個數(shù)相同，則與之相鄰的下一個數(shù)列中與的個數(shù)也相同；若比多個，則與之相鄰的下一個數(shù)列中比的個數(shù)少個，若比少個，則與之相鄰的下一個數(shù)列中比的個數(shù)多個，因為中有項，其中個，個，比少個，所以的項中，比的個數(shù)多個，以此類推，若為奇數(shù)，則數(shù)列的各項中比少個，若為偶數(shù)，則數(shù)列的各項中比多個，中，項數(shù)為個，為偶數(shù)，所以2的個數(shù)為，所以，所以B正確；中共有項，其中為奇數(shù)，所以數(shù)列中有個，所以C正確；D選項，的值與的奇偶有關(guān)，所以D錯誤.故選：ABC.【點睛】方法點睛：學生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運用學過的知識，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點仍然是數(shù)列求通項或求和.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.點為圓上的動點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，的幾何意義為圓上的動點Mx,y與定點連線的斜率，求出臨界值，即可得解.【詳解】圓可化為，圓心坐標為2,0，半徑為1，的幾何意義為圓上的動點Mx,y與定點連線的斜率，設(shè)過的圓的切線方程為，即．由圓心2,0到切線的距離等于半徑，得，解得．的取值范圍是．故答案：．13.已知雙曲線的一條漸近線的方程為，則C的離心率的值為________.【答案】【解析】【分析】由已知可得，進而可求雙曲線的離心率.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線的方程為，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.14.正方形的邊長為12，其內(nèi)有兩點P，Q，點P到邊，的距離分別為3和1，點Q到邊，AB的距離也分別為3和1．現(xiàn)將正方形卷成一個圓柱，使得AB和重合（如圖），則此時P，Q兩點間的距離為______．【答案】【解析】【分析】利用，兩點所在截面的圓心，將P，Q兩點間的距離轉(zhuǎn)化為的模計算即可.【詳解】如圖，設(shè)過點且平行底面的截面圓心為，過點且平行底面的截面圓心為，設(shè)圓柱底面半徑為，則，所以.，因為,所以.所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓，直線.（1）求直線恒過定點的坐標；（2）求直線被圓截得的弦長最短時的值以及最短弦長.【答案】（1）直線恒過定點（2），4【解析】【分析】（1）由直線l的方程變形為，聯(lián)立即可求得直線恒過的定點；（2）要使直線l被圓C所截得的弦長最短，則，化圓C的方程為標準方程，求出圓心坐標，得到，再由兩直線垂直與斜率的關(guān)系列式求解m值及弦長.【小問1詳解】直線，可化為，聯(lián)立解得故直線恒過定點.小問2詳解】由，配方得，所以圓心，半徑為，直線恒過定點，當直線時，直線被圓截得的弦長最短.因為直線的斜率為，故直線的斜率為，解得.此時圓心到直線的距離為，所以最短弦長為.16.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助等比數(shù)列的通項公式求出公比及首項即可.（2）由（1）的結(jié)論，利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式求解即得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由及，得，解得，于是，即，所以數(shù)列的通項公式是.【小問2詳解】由（1）知，，所以.17.如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側(cè)面底面且，E為中點.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）求點C到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）取中點，利用面面垂直的性質(zhì)證得平面，以為原點建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由（1）求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.（3）由（2）中信息，結(jié)合點到平面距離公式求解即得.【小問1詳解】取中點，連接，由，得，又平面平面，平面平面，平面，則平面，過作，由，得，而平面，則，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖：由，，得，中點，則，因此，即，所以.【小問2詳解】由（1）知，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的正弦值.【小問3詳解】由（1）（2）知，，平面的法向量，所以點C到平面的距離.18.在空間直角坐標系Oxyz中，已知向量，點.若直線l以為方向向量且經(jīng)過點，則直線l的標準式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程可表示為，一般式方程可表示為.（1）證明：向量是平面的法向量；（2）若平面，平面，直線l為平面和平面的交線，求直線l的單位方向向量（寫出一個即可）；（3）若三棱柱的三個側(cè)面所在平面分別記為、、，其中平面經(jīng)過點，，，平面，平面，求實數(shù)m的值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由空間向量的垂直即可證明；（2）設(shè)直線l的方向向量，由與兩平面的法向量垂直列方程求解；（3）寫出三個平面的法向量，求得與交線的方向向量，進而可求解.【小問1詳解】取平面內(nèi)的任意兩點，，則兩式相減得，，即，所以，從而，故是平面的法向量.【小問2詳解】記平面，的法向量為，，設(shè)直線l的方向向量，因為直線l為平面和平面的交線，所以，，即，取，則，所以直線l的單位方向向量為.【小問3詳解】設(shè)，由平面經(jīng)過點，，，所以，解得，即，所以記平面、、的法向量為，，，與（2）同理，與確定的交線方向向量為，所以，即，解得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵，結(jié)合已知概念求出相關(guān)法向量，即可解決問題.19.已知雙曲線，上頂點為，直線與雙曲線的兩支分別交于兩點（在第一象限），與軸交于點.設(shè)直線的傾斜角分別為.（1）若，（i）若，求；（ii）求證：為定值；（2）若，直線與軸交于點，求與的外接圓半徑之比的最大值.【答案】（1）（i）；（ii）證明見解析.（2）2【解析】【分析】（1）（i）先求直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程求得點的坐標，求直線斜率，進而求解即可；（ii）法1，設(shè)直線的方程為形式，并聯(lián)立雙曲線方程，求直線的斜率的斜率和，進而得證為定值；法2，設(shè)直線的方程為形式，并聯(lián)立雙曲線方程，求直線的斜率的斜率和，進而得證為定值；（2）先對直線、斜率不存在的情形進行驗證；法1：和均存在時，設(shè)，求得，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值；法2，和均存在時，由三點共線可得，求得的值和，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值；法3，若和均存在，設(shè)，則，得到，求得，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值.【小問1詳解】（i），所以直線.直線與聯(lián)立可得，解得或，所以.所以，所以；（ii）法1：①直線斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，設(shè)Ax1,由得所以.當時，由（i）可得；當時，設(shè)的斜率分別為..所以，.所以.因為在第一象限，所以，所以，所以.②直線斜率不存在時，可得，可得，所以，同理可得.綜上可得，為定值，得證.法2：①時，由（i）可得；②時，設(shè)的斜率分別為.設(shè)，由在直線上可得.與聯(lián)立可得，即，所以就是方程的兩根.所以，，因為在第一象限，所以，所以，所以.綜上可得，為定值，得證.小問2詳解】由（1）可得時，①不存在，則A0,?1，由①（i）可得，所以，所以.②不存在，則，則，此時，由圖可得.③法1：若和均存在，設(shè)，則與雙曲線聯(lián)立可得.所以.所以，所以.設(shè)與的外接圓半徑分別為，從而.等號當且僅當時取到.所以與的外接圓半徑之比的最大值為2