山東省青島市四區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市四區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由雙曲線可得，，且焦點(diǎn)在軸上，則漸近線方程為.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴，∴故選：B.3.已知函數(shù)圖象在處的切線方程為，則（）A.1 B.0 C. D.【答案】A【解析】∵，∴，由題意得，，解得.故選：A.4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.不可能為0 B.沒有最小值C.有最大值 D.有最小值【答案】D【解析】因?yàn)?，所以等差?shù)列的公差，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，又，故所有負(fù)數(shù)項(xiàng)的和最小，所以有最小值，故B錯(cuò)誤，D正確；當(dāng)，時(shí)，隨的增大而增大，故無最大值，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，，所以可能為0，故A錯(cuò)誤.故選：D.5.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A.向左平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位【答案】D【解析】易知，又因?yàn)?，因此只需將圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位即可.故選：D.6.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，為等邊三角形，將分別沿向上折起，使得點(diǎn)D，E重合并記為點(diǎn)P．若三棱錐可以在一個(gè)圓柱內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則此圓柱表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)榕c是直角三角形，則，所以是三棱錐的外接球的球心，由正方形的邊長(zhǎng)為1，所以可求得外接球的半徑為，要使三棱錐可以在一個(gè)圓柱內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則三棱錐的外接球能放入圓柱，則三棱錐可以在一個(gè)圓柱內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，要使圓柱表面積最小，則三棱錐的外接球恰好內(nèi)接于圓柱，此時(shí)圓柱的表面積為.故選：C.7.如圖，P為內(nèi)一點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，作于點(diǎn)，設(shè)，因，可得，因則，在中，由余弦定理，，即，解得，在中，，解得，故.故選：A.8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C上，且的外接圓圓心恰在C上，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如圖所示：設(shè)外接圓的圓心為：，由題意得，又因?yàn)橥饨訄A圓心恰在C上，將代入，得，則，在中，，要使的外接圓圓心恰在C上，則為鈍角，作軸，與拋物線交于E，得，所以，所以，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知某地區(qū)成年男士的身高（單位：）服從正態(tài)分布，體重（單位：）服從正態(tài)分布．若從該地區(qū)隨機(jī)選取成年男士100人，得到數(shù)據(jù)如下表，則身高體重合計(jì)大于小于等于大于ab小于等于d總計(jì)附：若，則．，其中．A.根據(jù)正態(tài)分布估計(jì)B.根據(jù)正態(tài)分布估計(jì)C.若，根據(jù)正態(tài)分布估計(jì)b，c，d的值，基于上述數(shù)值，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該地區(qū)成年男士身高超過與體重超過相關(guān)聯(lián)D.若，根據(jù)正態(tài)分布估計(jì)b，c，d的值，基于上述數(shù)值，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該地區(qū)成年男士身高超過與體重超過相互獨(dú)立【答案】ABC【解析】因?yàn)樵摰貐^(qū)成年男士的身高（單位：）服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布可得，若從該地區(qū)隨機(jī)選取成年男士100人，則身高大于177的人數(shù)約為16人，所以，故A正確；因?yàn)轶w重（單位：）服從正態(tài)分布．因?yàn)轶w重大于，所以可得從該地區(qū)隨機(jī)選取成年男士100人，體重大于73的數(shù)約為16人，所以體重小于等于73的數(shù)約為84人，故，故B正確；若，則，零假設(shè)：該地區(qū)成年男士身高超過與體重超過無關(guān)，計(jì)算可得，由小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，所以該地區(qū)成年男士身高超過與體重超過相關(guān)聯(lián)，故C正確；D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.如圖，圓錐的軸截面都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面，點(diǎn)為母線的中點(diǎn)，則（）A.直線平面B.異面直線和所成角大于C.沿該圓錐側(cè)面，由點(diǎn)D到點(diǎn)F的最小值為D.過直線的平面截該圓錐所得截面面積的最小值為【答案】BC【解析】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，連接，對(duì)于A，因?yàn)閳A錐的軸截面都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，則，，故，，，，，因?yàn)闉槟妇€的中點(diǎn)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，則，，，設(shè)面的法向量為，則，得到，也有，得到，令，解得，得到，而，則直線平面不成立，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由已知得，，設(shè)異面直線和所成角為，則，而，則，而，由余弦函數(shù)性質(zhì)得該范圍內(nèi)單調(diào)遞減，故，則異面直線和所成角大于，故B正確，對(duì)于C，由已知得圓錐底面圓直徑為，母線長(zhǎng)度為，則底面圓的周長(zhǎng)為，如圖，我們把圓錐沿母線展開為扇形，此時(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)兩個(gè)位置，和，且是的中點(diǎn)，則在該扇形內(nèi)，半徑為，弧長(zhǎng)為，設(shè)圓心角為，則，解得，則該扇形是半圓，，而是的中點(diǎn)，則，由勾股定理得，故C正確，對(duì)于D，如圖，作，連接，此時(shí)截面由構(gòu)成，圍成的截面面積最小，由等面積公式得，解得，則，而，，得到截面面積一定大于的面積，即過直線的平面截該圓錐所得截面面積的最小值不為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在區(qū)間單調(diào)遞增 D.【答案】BD【解析】由，解得，故的定義域?yàn)?選項(xiàng)A，由，可得，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由；且；可得，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；選項(xiàng)C，，則，，且當(dāng)時(shí)，又，，由此可知在區(qū)間不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，由B項(xiàng)推理可知，圖象關(guān)于對(duì)稱，且，故只需分析當(dāng)時(shí)，的范圍.①當(dāng)時(shí)，則，所以，又，由，，則，故當(dāng)時(shí)，恒有；②當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞減；又由C項(xiàng)推理可知，故，所以在單調(diào)遞增，從而，故當(dāng)，也恒有；綜上所述，當(dāng)，.則由對(duì)稱性可知，在定義域內(nèi)恒成立，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則______．【答案】4【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，得，即，于是，解得，所以.故答案為：4.13.在中，，，則__________.【答案】120°【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，由A是三角形內(nèi)角，所以，故答案為：120°.14.從編號(hào)1，2，…，的相同小球中有放回的等概率抽取，并記錄下每次的編號(hào)．（1）若出現(xiàn)1就停止抽取，則抽取小球數(shù)的數(shù)學(xué)期望為______；（2）若1，2，3均出現(xiàn)就停止抽取，則抽取小球數(shù)的數(shù)學(xué)期望為______．【答案】【解析】（1）設(shè)抽取小球數(shù)為，的可取值為：，則抽到編號(hào)1的概率為，沒抽到編號(hào)1的概率為,則，，，，∴，①，②①②得：，∴，∴；（2）設(shè)表示停止時(shí)抽取次數(shù)，設(shè)表示第一次出現(xiàn)中任意一個(gè)數(shù)的次數(shù)，因?yàn)槊看纬榈街腥我庖粋€(gè)數(shù)的概率為，根據(jù)（1）的結(jié)論可知，設(shè)表示已經(jīng)出現(xiàn)中任意一個(gè)數(shù)后，再次出現(xiàn)兩個(gè)數(shù)中任意一個(gè)數(shù)的次數(shù)，此時(shí)每次抽到剩下兩個(gè)數(shù)中任意一個(gè)數(shù)的概率為，根據(jù)（1）的結(jié)論可知，設(shè)表示已經(jīng)出現(xiàn)中任意兩個(gè)數(shù)后，再出現(xiàn)最后一個(gè)數(shù)的次數(shù)，此時(shí)每次抽到最后一個(gè)數(shù)的概率為，根據(jù)（1）的結(jié)論可知，由期望的可加性知：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．解：（1）的定義域是，，可得，x00減函數(shù)極小值增函數(shù)所以的單增區(qū)間是，單減區(qū)間是當(dāng)時(shí)，取得極小值，無極大值.（2）由（1）可知，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，當(dāng)，，所以方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于的圖像與在又兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖像所以的取值范圍是.16.如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)為2，平面平面，和都是等邊三角形．（1）證明：；（2）若點(diǎn)E在對(duì)角線上，平面，求與平面所成角的正弦值．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，如圖：∵和都是等邊三角形，∴，且，平面，平面∴平面，又∵平面，∴.（2）解：又∵平面平面，且平面平面，∴平面，平面∴,，∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為如圖建立空間直角坐標(biāo)系，在等邊三角形和中，，∴，，，，∴，，∴，，設(shè)，∴，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，即，∵平面，∴，∴，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，即，設(shè)與平面所成角，則.17.現(xiàn)將近幾日某地區(qū)門鎖銷售的數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：第x天1234567數(shù)量y200260280350420440500（1）若y與x線性相關(guān)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)第10天該地區(qū)門鎖的銷售數(shù)量；（參考公式和數(shù)據(jù):）（2）某人手里有三把鑰匙，其中只有一把可以打開門鎖，他現(xiàn)在無法分清哪一把能夠打．記X為他有放回的進(jìn)行開鎖時(shí)的開鎖次數(shù)，Y為他無放回的進(jìn)行開鎖時(shí)的開鎖次數(shù)．求的概率．解：（1）依題意可得.又，所以，可知，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，將代入該方程可得預(yù)測(cè)第10天該地區(qū)門鎖的銷售數(shù)量為；（2）有放回時(shí)，隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率為；無放回時(shí)，隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率為；若，則有以下情況：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)概率為；當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)概率為;因此可得的概率為.18.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．（1）求M的方程；（2）直線l與M在x軸上方的部分交點(diǎn)是A，B，記的斜率分別為，．（i）證明：l過定點(diǎn)Q；（ⅱ）若直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)，根據(jù)（i）的結(jié)論．證明：為定值．（1）解：由題意得，解得，∴，∴.（2）（i）證明：由已知可知直線斜率一定存在，設(shè)，聯(lián)立方程組得：，則，，設(shè)，則，則，，解得所以直線的方程為：，則直線過定點(diǎn).（ⅱ）證明：設(shè)，顯然，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，此時(shí)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，此時(shí)，所以，即故為定值0.19.關(guān)于的方程，其中，等號(hào)兩邊各有個(gè)一次因式．若在等號(hào)兩邊去掉這個(gè)一次因式中的.個(gè)，使得等號(hào)每一邊均至少留下一個(gè)一次因式，且所得方程沒有實(shí)數(shù)解，則稱得到的方程為方程．（1）若，寫出所有的方程；（2）若，求滿足等號(hào)兩邊各去掉2個(gè)因式的方程；（3）若，求的最小值．解：（1）時(shí)，關(guān)于的方程為，由于，所以可以采取方程的左邊去掉兩個(gè)因式，右邊去掉一個(gè)因式，共三種情況：右邊去掉、、，去掉后的方程為一元二次方程，經(jīng)檢驗(yàn)只有當(dāng)右邊去掉時(shí)，所得方程為，滿足符合條件.（