遼寧省錦州市2024-2025學年高一上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省錦州市2024-2025學年高一上學期期末數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方法一：因為，而，所以．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2.，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】由得，∵，，∴，解得.故選：A.3.下列命題中真命題是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.“方程有兩個不相等正實根”是“”的充要條件C.“”是“”的充分不必要條件D.“”是“”的充分條件【答案】C【解析】對于A，當時，，由可得，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要條件，錯誤；對于B，有兩個不相等的正實根，所以由“”能得出“”，反之不成立，故“方程有兩個不相等的正實根”是“”的充分不必要條件，錯誤；對于C，由可得或，所以是的充分不必要條件，正確；對于D，當，時，滿足，但，故充分性不成立，錯誤．故選：C.4.數(shù)學與文學有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩：“影弄花枝花弄影”，既可以順讀也可以逆讀．數(shù)學中有回文數(shù)，如343，12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有共9個，若從三位數(shù)的回文數(shù)中任取一個數(shù)，則取出的數(shù)是奇數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意三位的回文數(shù)中個位與百位的數(shù)字相同，十位與個位的數(shù)字不同，由于三位數(shù)字首位即百位不能為0，故個位與百位相同且不為0，十位數(shù)字可以為0，但不能與個位（百位)相同.若滿足三位的回文數(shù)是奇數(shù)，則個位能選擇的數(shù)字有，共種不同選擇，十位上的數(shù)字在個位數(shù)字確定之后只能從剩余的數(shù)字和0共9個數(shù)字中選擇，就只有中選擇，根據(jù)乘法計數(shù)原理，是奇數(shù)的三位回文數(shù)共有個數(shù)字；三位的回文數(shù)個位和百位相等不能為0，共有9種不同取法，取定后，十位必須從其它的數(shù)字(包括0在內)任取一個，有9種不同的取法，根據(jù)乘法計數(shù)原理，三位回文數(shù)共有個，所以從三位數(shù)的回文數(shù)中任取一個數(shù)，取出的數(shù)為奇數(shù)的概率為.故選：D.5.某污水處理廠為使處理后的污水達到排放標準，需要加入某種藥劑，加入藥劑后，藥劑的濃度（單位：）隨時間（單位：h）的變化關系可近似的用函數(shù)刻畫．由此可以判斷，要使被處理的污水中該藥劑的濃度達到最大值，需經過（）A.1h B.2h C.3h D.4h【答案】C【解析】依題意，，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，故由此可判斷，若使被處理的污水中該藥劑的濃度達到最大值，需經過3h．故選：C.6.已知函數(shù)，且在上單調遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，且在上單調遞減，得，即，解得，所以的取值范圍是.故選：D.7.在中，為邊上一點，與交于點，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意作圖如下：由，則，所以，由共線，則，由，則，所以，整理可得，由共線，則，解得，即，由，則，所以.故選：B.8.已知函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】設，，則在上為增函數(shù)，且，若當時，則滿足當時，，當時，，即必需過點點，則，即，此時函數(shù)與滿足如圖所示：此時，則滿足函數(shù)，所以，即a的最小值為.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某校為了鼓勵同學們利用課余時間閱讀，開展了讀書周活動．如圖是某班甲，乙兩名同學在一周內每天閱讀時間的折線圖，根據(jù)該折線圖，下列結論正確的是（）A.乙同學閱讀時間更加穩(wěn)定B.甲同學的平均閱讀時間等于乙同學的平均閱讀時間C.乙同學閱讀時間的極差為20D.甲同學閱讀時間的分位數(shù)為25【答案】ABD【解析】對于B，甲同學在一周內每天閱讀時間依次為，則甲同學閱讀時間的平均數(shù)為，乙同學在一周內每天閱讀時間依次為，則乙同學閱讀時間的平均數(shù)為，則甲同學的平均閱讀時間等于乙同學的平均閱讀時間，故B正確；對于A，甲同學閱讀時間的方差為，乙同學閱讀時間的方差為，則甲同學閱讀時間的方差大于乙同學閱讀時間的方差，故乙同學閱讀時間更加穩(wěn)定，故A正確；對于C，乙同學閱讀時間的極差為，故C錯誤；對于D，將甲同學閱讀時間從小到大排列為，因為，所以甲同學閱讀時間分位數(shù)為25分鐘，故D正確.故選：ABD.10.已知且，則函數(shù)的圖像必經過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】AB【解析】當時，函數(shù)的圖象經過第一、二、四象限；當時，函數(shù)的圖象經過第一、二、三象限，綜上可知，函數(shù)圖象必經過第一、二象限．故選：AB.11.已知與夾角為，若且，，則的值不可能為（）A.2 B. C. D.1【答案】C【解析】由，則，整理可得，由，當且僅當時取等號，則，解得，所以，由，則選項ABD正確，選項C錯誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)_________．【答案】【解析】因為向量與平行，所以，則所以．13.寫出一個同時滿足下列三個性質的函數(shù)_________．①的圖象在軸右側；②若，，則；③、且，．【答案】（答案不唯一，對數(shù)函數(shù)均滿足題意）【解析】由①可知，函數(shù)的定義域為，對于③，不妨設，由可得，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，對于②，若，，則，可取，則當，時，，滿足②，且函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，滿足①③.14.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，則_________．【答案】【解析】函數(shù)的圖象向右平移個單位，向下平移個單位，可得函數(shù)的圖象，因為函數(shù)是奇函數(shù)，即該函數(shù)圖象關于成中心對稱，所以函數(shù)的圖象關于成中心對稱.根據(jù)一個對稱中心關于另外一個對稱中心的對稱點也是函數(shù)圖象的對稱中心，可以得到函數(shù)以點為對稱中心，即當時，.下面用數(shù)學歸納法證明：（1）當時，由是奇函數(shù)，所以，即，所以，即，所以時命題正確；（2）假設當時，命題正確，即成立，那么當時，，由函數(shù)是奇函數(shù)，則，所以，即，即時命題正確.根據(jù)數(shù)學歸納法，可得，，所以（）是函數(shù)的圖象的對稱中心，分別取，，可得（），（），.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.關于的方程的解集為．（1）求；（2）求關于的不等式的解集；（3）求關于的不等式的解集．解：（1）因為的解集為，所以且，解得.（2），所以，所以不等式的解集為.（3），即，所以，即，所以，因此不等式的解集為.16.某綠色水果生態(tài)園在某種水果收獲的.隨機摘下該水果100個作為樣本，其質量分別在（單位：克）中，經統(tǒng)計，樣本的頻率分布直方圖如圖所示：（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算該樣本的中位數(shù)；（2）現(xiàn)按分層抽樣的方法從質量為），的水果中隨機抽取6個，再從6個中隨機抽取3個，求這3個水果中恰有1個質量在內的概率；（3）某經銷商來收購水果時，該生態(tài)園有水果約10000個要出售．經銷商提出如下兩種收購方案：方案A：所有水果以10元/千克收購；方案B：對質量低于250克的水果以2元/個收購，不低于250克的以3元/個收購．假設同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，請估算該生態(tài)園選擇哪種方案獲利更多？解：（1）設樣本的中位數(shù)為，則，即，解得.（2）根據(jù)分層抽樣，抽取的6個水果中，質量在和內的分別有4個和2個．設質量在內的4個水果分別為A，B，C，D，質量在內2個水果分別為，其樣本空間可記為，共包含20個樣本點．記E：其中恰有一個在內，則，則E包含的樣本點個數(shù)為12，所以.（3）方案：收益元；方案：低于250克獲利元，不低于250克獲利元，總計元．因為，所以該生態(tài)園選擇方案獲利更多.17.已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）判斷的單調性，并用單調性的定義證明；（3）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，又由，得.此時，，又，符合奇函數(shù)的定義，所以，.（2）函數(shù)在R上單調遞增.證明：由（1）知，任取，設，則，因為函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以，，所以，即，所以函數(shù)在R上是增函數(shù).（3）因為是奇函數(shù)，所以不等式等價于.又在R上是增函數(shù)，故，即對任意有恒成立.令，，則有，，所以，所以，即k的取值范圍為.18.象棋作為中華民族的傳統(tǒng)文化瑰寶，是一項集科學競技，文化于一體的智力運動，可以幫助培養(yǎng)思維能力，判斷能力和決策能力.近年來，象棋也繼圍棋國際象棋之后，成為第三個進入普通高校運動訓練專業(yè)招生項目的棋類項目.某校象棋社團組織了一場象棋對抗賽，參與比賽的40名同學分為10組，每組共4名同學進行單循環(huán)比賽.已知甲、乙丙丁4名同學所在小組的賽程如表：第一輪甲－乙丙－丁第二輪甲－丙乙－丁第三輪甲－丁乙－丙規(guī)定：每場比賽獲勝的同學得3分.輸?shù)耐瑢W不得分，平局的2名同學均得1分，三輪比賽結束后以總分排名，每組總分排名前兩位的同學可以獲得獎勵.若出現(xiàn)總分相同的情況，則以抽簽的方式確定排名（抽簽的勝者排在負者前面），且抽簽時每人勝利的概率均為，假設甲、乙、丙3名同學水平相當，彼此間勝負平的概率均為，丁同學的水平較弱.面對任意一名同學時自己勝，負，平的概率都分別為，，.每場比賽結果相互獨立.（1）求丁同學的總分為5分的概率；（2）已知三輪比賽中丁同學獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學是平局，求甲同學能獲得獎勵的概率.解：（1）丁同學總分為5分，則丁同學三輪比賽結果為一勝兩平，記第輪比賽丁同學勝、平的事件分別為，，丁同學三輪比賽結果為一勝兩平的事件為M，則，即丁同學的總分為5分的概率為.（2）由于丁同學獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學是平局，則在第二、三輪比賽中，丁同學對戰(zhàn)乙、甲同學均獲勝，故丁同學的總分為7分，且同丁同學比賽后，甲、乙、丙三人分別獲得0分，0分、1分，若甲同學獲得獎勵，則甲最終排名為第二名.①若第一、二輪比賽中甲同學均獲勝，則第三輪比賽中無論乙、丙兩位同學比賽結果如何，甲同學的總分為6分，排第二名，可以獲得獎勵，此時的概率.②若第一輪比賽中甲同學獲勝，第二輪比賽中甲、丙2名同學平局，第三輪比賽中乙、丙2名同學平局或乙同學獲勝，甲同學的總分為4分，排第二名，可以獲得獎勵，此時的概率.③若第一輪比賽中甲、乙2名同學平局，第二輪比賽中甲同學獲勝，第三輪比賽中當乙、丙2名同學平局時，甲同學的總分為4分，排第二名，可以獲得獎勵，此時的概率；第三輪比賽中當乙，丙同學沒有產生平局時，甲同學與第三輪比賽乙、丙中的勝者的總分均為4分，需要進行抽簽來確定排名，當甲同學抽簽獲勝時甲同學排第二名，可以獲得獎勵，此時的概率.綜上，甲同學能獲得獎勵的概率.19.若函數(shù)在上有定義，且對于任意