廣東省三校2025屆高三下學(xué)期二月第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省三校2025屆高三下學(xué)期二月第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因所以，所以.故選：D.2.函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】和都是增函數(shù)，所以函數(shù)為增函數(shù)，且，，，，所以函數(shù)在區(qū)間存在唯一零點，所以函數(shù)的一個零點所在區(qū)間為.故選：B.3.已知為橢圓上一動點，分別為其左右焦點，直線與的另一交點為的周長為16.若的最大值為6，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，則由題設(shè)得，解得，所以橢圓的離心率為.故選：C.4.某醫(yī)院對該院歷年來新生兒體重情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)新生兒體重X服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.2 B.0.7 C.0.8 D.0.9【答案】B【解析】因為,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，且，所以，所以.故選：B.5.若一扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】扇形的圓心角為，半徑為，則扇形的面積.故選：B.6.三棱錐中，，平面，，，則直線和直線所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，將三棱錐放到長方體中，由題意知，∥，所以或其補角是直線和直線所成角，因為，，所以，，，.故選：C.7.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無味、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如圖所示．若此正八面體的棱長為，則下列說法正確的是（）A.正八面體的體積為B.正八面體的表面積為C.正八面體的外接球體積為D.正八面體的內(nèi)切球表面積為【答案】D【解析】把正八面體補形為如圖所示正方體，因為正八面體棱長為，則正方體的棱長為選項A，正八面體的體積，設(shè)四棱錐的高為，則，所以，A錯誤；選項B，正八面體的表面積為八個面面積和，故，B錯誤；選項C，正八面體的外接球半徑為正方體棱長的一半，故，所以外接球體積，C錯誤；選項D，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則根據(jù)正八面體體積相等，，所以所以內(nèi)切球表面積為.D正確.故選：D.8.已知曲線在處的切線方程是，則與分別為（）A.3，3 B.3，－1C.－1，3 D.－2，－2【答案】D【解析】由題意得，.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則A的大小可能為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】依題可得，即，則或，因為，所以或或．故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)B.是周期函數(shù)C.D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】易知的定義域為，又，所以是奇函數(shù)，A正確；由，所以是周期函數(shù)，B正確；由，C錯誤；當(dāng)時，，且單調(diào)遞增，此時，時，，且單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由是奇函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，D正確.故選：ABD.11.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).現(xiàn)已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增C.若方程有實根，則D.設(shè)定義域為的函數(shù)關(guān)于中心對稱，若，且與的圖象共有2022個交點，記為，則的值為4044【答案】ACD【解析】對于A:由解析式可知是奇函數(shù)，故A正確；對于B:特殊值法，即，若，則在上不是單調(diào)遞增，故B錯誤.對于C:令，分離參數(shù)后，故，C正確；對于D:由A可知，當(dāng)時，關(guān)于中心對稱，且關(guān)于中心對稱，所以這2022個交點關(guān)于對稱，故，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，，，則______.【答案】【解析】∵，，，∴由余弦定理可得：，∴解得：.故答案為：.13.在的展開式中，含的項的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開式中，含的項的系數(shù)是.故答案為：.14.若圓與軸相切，則實數(shù)的值是_____.【答案】【解析】由，可得，方程表示圓，則可得圓心為，半徑為，由圓與軸相切，則可得，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處取到極值.（1）求的值；（2）當(dāng)時，證明；（3）如果，，滿足，那么稱比更靠近，當(dāng)且時，試比較和哪個更靠近，并說明理由.（1）解：由，求導(dǎo)，由，則，解得：，的值為1；（2）證明：由題意可知：不等式左邊為，設(shè)，則.，恒成立，∴在單調(diào)遞增；，∴，（3）解：設(shè)，，∵，，∴在上為減函數(shù)，又，∴當(dāng)時，;當(dāng)時，.在上為增函數(shù)，又，∴時，，∴在上為增函數(shù)，∴.①當(dāng)時，，設(shè)，則，∴在上為減函數(shù)，∴，∴，∴，∴，∴比更靠近.②當(dāng)時，，設(shè)，則，令,則，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減，∴，∴，∴比更靠近.綜上，在，時，比更靠近.16.某運動產(chǎn)品公司生產(chǎn)了一款足球，按行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)這款足球產(chǎn)品可分為一級正品?二級正品?次品共三個等級.根據(jù)該公司測算：生產(chǎn)出一個一級正品可獲利100元，一個二級正品可獲利50元，一個次品虧損80元.該運動產(chǎn)品公司試生產(chǎn)這款足球產(chǎn)品2000個，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，如下表：等級一級正品二級正品次品頻數(shù)1000800200（1）求這2000個產(chǎn)品的平均利潤是多少；（2）該運動產(chǎn)品公司為了解人們對這款足球產(chǎn)品的滿意度，隨機調(diào)查了100名男性和100名女性，每位對這款足球產(chǎn)品給出滿意或不滿意的評價，得到下面的列聯(lián)表：滿意不滿意總計男性3268100女性6139100總計93107200問：能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為男性和女性對這款足球產(chǎn)品的評價有差異？附：，其中0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）依題意可得平均利潤為（元）.（2）假設(shè)：男性和女性對這款足球產(chǎn)品的評價無差異，依題意可得，所以能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為男性和女性對這款足球產(chǎn)品的評價有差異.17.已知數(shù)列的前項和為，，.（1）當(dāng)為何值時，數(shù)列是等比數(shù)列？（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，，點在直線上，在（1）的條件下，若不等式對于但成立，求實數(shù)的最大值.解：（1）由，得，兩式相減得，即，所以，由及，得，因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以只需要，解得，此時，數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）得，因為點在直線上，所以，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以，當(dāng)時，，滿足該式，所以，不等式，即，令，則，兩式相減得，所以，由恒成立，即恒成立，又，故當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則的最小值為，所以實數(shù)的最大值是.18.已知圓的圓心坐標(biāo)為，且被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若動圓與圓相外切，又與軸相切，求動圓圓心的軌跡方程；（3）直線與圓心軌跡位于軸右側(cè)的部分相交于兩點，且，證明直線必過一定點，并求出該定點.解：（1）設(shè)圓的方程為，，由圓心到直線的距離為，由弦長公式可得，解得，可得圓的方程為；（2）設(shè)的坐標(biāo)為，由動圓與圓相外切，又與軸相切，，當(dāng)；當(dāng)，故可得動圓圓心的軌跡方程為或；（3）設(shè)代入拋物線，消去得，設(shè)，，則，，∴，令，∴，∴，∴直線過定點.19.平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：（）左、右焦點分別為，，離心率為，經(jīng)過且傾斜角為（）的直線l與C交于A，B兩點（其中點A在x軸上方），且的周長為8.現(xiàn)將平面沿x軸向上折疊，折疊后A，B兩點在新圖象中對應(yīng)的點分別記為，，且二面角為直二面角，如圖所示.（1）求折疊前C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時，折疊后，求平面與平面夾角的余弦值；（3）探究是否存在使得折疊后的周長為？若存在，求的值；若不存在，說明理由.解：（1）由題意得：，解得.故折疊前橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)時，直線的方程為：，聯(lián)立，解得，，以原來的軸為軸，軸正半軸所在直線為軸，軸負半軸所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則：，，，，故，，設(shè)平面的法向量為，則，即.取，則，，故，.平面的一個法向量為，故.設(shè)平面與平面的夾角為，則.即平面與平面所成角的余弦值為