高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略(新高考專用)微重點(diǎn)11圓錐曲線中二級結(jié)論的應(yīng)用(3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

微重點(diǎn)11圓錐曲線中二級結(jié)論的應(yīng)用（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，知識的綜合性較強(qiáng)，因而解題時需要運(yùn)用多種基礎(chǔ)知識，采用多種數(shù)學(xué)手段，熟記各種定義、基本公式．法則固然很重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確地解題，還要掌握一些常用結(jié)論，理解各結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，正確靈活地運(yùn)用這些結(jié)論，一些復(fù)雜的問題便能迎刃而解．知識導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一焦點(diǎn)弦問題1．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線l過左焦點(diǎn)F1與橢圓(焦點(diǎn)在x軸上)交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)∠AF1F2＝α，e為橢圓的離心率，p為橢圓的焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離，則p＝eq\f(a2,c)－c＝eq\f(b2,c).(1)橢圓焦半徑公式：|AF1|＝eq\f(ep,1－e·cosα)，|BF1|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)，eq\f(1,|AF1|)＋eq\f(1,|BF1|)＝eq\f(2,ep).(2)橢圓焦點(diǎn)弦弦長公式：|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α).(3)焦點(diǎn)三角形的面積公式：P為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)且∠F1PF2＝θ，則＝b2·taneq\f(θ,2).2．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線l過左焦點(diǎn)F1與雙曲線(焦點(diǎn)在x軸上)交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)∠AF1F2＝α，e為雙曲線離心率，p為雙曲線的焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離，則p＝c－eq\f(a2,c)＝eq\f(b2,c).圖1圖2(1)若直線與雙曲線交于一支(如圖1)，則|AF1|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)，|BF1|＝eq\f(ep,1－e·cosα)，eq\f(1,|AF1|)＋eq\f(1,|BF1|)＝eq\f(2,ep).若直線與雙曲線交于兩支(如圖2)，則|AF1|＝eq\f(ep,e·cosα＋1)，|BF1|＝eq\f(ep,e·cosα－1)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|AF1|)－\f(1,|BF1|)))＝eq\f(2,ep).(2)雙曲線焦點(diǎn)弦弦長公式：若直線與雙曲線交于一支，則|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α).若直線與雙曲線交于兩支，則|AB|＝||AF1|－|BF1||＝eq\f(2ep,e2·cos2α－1).(3)焦點(diǎn)三角形的面積公式：P為雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)且∠F1PF2＝θ，則＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).3.已知直線l過焦點(diǎn)F與拋物線(焦點(diǎn)在x軸上)交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)∠AFx＝α，e為拋物線離心率，p為拋物線的焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離．(1)拋物線焦半徑公式：|AF|＝eq\f(ep,1－e·cosα)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)＝eq\f(p,1＋cosα)，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,ep)＝eq\f(2,p).(2)拋物線焦點(diǎn)弦弦長公式：|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α)＝eq\f(2p,sin2α).4．焦點(diǎn)弦定理已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線或拋物線，經(jīng)過其焦點(diǎn)F的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)，直線AB的傾斜角為α，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，則曲線的離心率滿足等式|ecosα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,λ＋1))).易錯提醒(1)要注意公式中α的含義．(2)公式中的加減符號易混淆．(3)直線與雙曲線交于一支和兩支的公式不一樣．【例1】（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，，兩點(diǎn)在上，，，則直線斜率的最小值和最大值分別是（

）A．， B．，2 C．， D．，2【變式1】（22-23高三上·四川廣安·階段練習(xí)）雙曲線的一條漸近線方程為，、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線左支上的點(diǎn)到的距離最小值為，則雙曲線方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2024·江蘇·一模）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，過F的直線交E于點(diǎn)，，E在B處的切線為，過A作與平行的直線，交E于另一點(diǎn)，記與y軸的交點(diǎn)為D，則（

）A． B．C． D．面積的最小值為16【變式3】已知雙曲線x2－y2＝2，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為()A．2B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)考點(diǎn)二等角的性質(zhì)1．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，過長軸上任意一點(diǎn)N(t,0)的弦的端點(diǎn)A，B與對應(yīng)的點(diǎn)Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,t)，0))的連線所成的角被焦點(diǎn)所在的直線平分，即∠OGA＝∠OGB(如圖1)．圖1圖2圖32．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過實(shí)軸所在直線上任意一點(diǎn)N(t,0)的弦的端點(diǎn)A，B與對應(yīng)點(diǎn)Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,t)，0))的連線所成的角被焦點(diǎn)所在的直線平分，即∠NGA＝∠NGB(如圖2)．3．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過拋物線對稱軸上任意一點(diǎn)N(a,0)的一條弦的端點(diǎn)A，B與對應(yīng)點(diǎn)G(－a,0)的連線所成角被對稱軸平分，即∠OGA＝∠OGB(如圖3)．規(guī)律方法根據(jù)等角性質(zhì)，存在某定點(diǎn)滿足條件，快速算出此點(diǎn)的坐標(biāo)，這給算出準(zhǔn)確答案提供了依據(jù)．【例2】（23-24高三上·天津南開·階段練習(xí)）已知橢圓C：，若橢圓的焦距為4且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．(1)求橢圓方程；(2)求面積的最大值，并求此時直線的方程；(3)若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，說明理由．【變式1】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知雙曲線E：的右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為．(1)求雙曲線E的方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．【變式2】（23-24高二下·河北秦皇島·開學(xué)考試）已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合．(1)求拋物線的方程；(2)已知動直線過點(diǎn)，交拋物線于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：；(3)是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由．【變式3】橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，過點(diǎn)P(0,1)的動直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時，直線l被橢圓C截得的線段長為2eq\r(6).(1)求橢圓C的方程；(2)在y軸上是否存在異于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q，使得直線l變化時，總有∠PQA＝∠PQB？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點(diǎn)三切線、切點(diǎn)弦方程1．已知點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓(或雙曲線)上任一點(diǎn)，則過點(diǎn)P與圓錐曲線相切的切線方程為橢圓中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，雙曲線中eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.2．若點(diǎn)P(x0，y0)是橢圓(或雙曲線)外一點(diǎn)，過點(diǎn)P(x0，y0)作橢圓(或雙曲線)的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB的直線方程是橢圓中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，雙曲線中eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.規(guī)律方法運(yùn)用聯(lián)想，由過已知圓上和圓外的點(diǎn)的切線方程聯(lián)想到過圓錐曲線上和圓錐曲線外的切線方程，觸類旁通，實(shí)現(xiàn)知識的內(nèi)遷，使知識更趨于系統(tǒng)化，取得事半功倍的效果．【例3】（2024·湖北·二模）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線為．

(1)若直線與軸的交點(diǎn)為，求證：；(2)過點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：．【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則線段長度的最小值為．【變式2】(2023·錦州模擬)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)))，且離心率為eq\f(\r(6),3).F為橢圓E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l：x＝3上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接AB，AF，BF.(1)求證：直線AB過定點(diǎn)M，并求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)記△AFM，△BFM的面積分別為S1和S2，當(dāng)|S1－S2|取最大值時，求直線AB的方程．【變式3】過點(diǎn)Q(－1，－1)作已知直線l：y＝eq\f(1,4)x＋1的平行線，交雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1于點(diǎn)M，N.(1)證明：Q是線段MN的中點(diǎn)；(2)分別過點(diǎn)M，N作雙曲線的切線l1，l2，證明：三條直線l，l1，l2相交于同一點(diǎn)；(3)設(shè)P為直線l上一動點(diǎn)，過P作雙曲線的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，證明：點(diǎn)Q在直線AB上．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2024·山東濟(jì)南·一模）與拋物線和圓都相切的直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·廣東·模擬預(yù)測）拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．93．（2022·河南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，一條漸近線方程為，過雙曲線C的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，若的周長為36，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．4．（2023·河南·二模）已知動點(diǎn)P在雙曲線C：上，雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為，，則下列結(jié)論：①C的離心率為2；

②C的焦點(diǎn)弦最短為6；③動點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值；④當(dāng)動點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時，的最大值為．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2024·全國·一模）新材料是現(xiàn)代高新技術(shù)的基礎(chǔ)和先導(dǎo)，亦是提升傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)技術(shù)能級的關(guān)鍵．某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點(diǎn)處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液—固兩相交線）的一部分．設(shè)圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為，，則（

）附：橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為．A． B．C． D．和的大小關(guān)系無法確定6．（23-24高二上·北京東城·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓上恰好有個不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，在點(diǎn)處的切線交軸于，交軸于，若，則直線的斜率為（

）A．－2 B． C． D．8．（2024·四川南充·二模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為．過點(diǎn)傾斜角為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（在軸的上方），則下列說法中正確的有（

）個．①②③若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則的面積為④當(dāng)時，內(nèi)切圓的面積為A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題1．（2024·河南·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，，過的直線與的右支交于點(diǎn)，若，則（

）A．的漸近線方程為 B．C．直線的斜率為 D．的坐標(biāo)為或2．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，設(shè)它們在第一象限的交點(diǎn)為，且，則（

）A．雙曲線的實(shí)軸長為 B．雙曲線的離心率為C．雙曲線的漸近線方程為 D．雙曲線在點(diǎn)處切線的斜率為3．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知，是曲線上不同的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．的最小值為1B．C．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則D．對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使得曲線在，兩點(diǎn)處的切線垂直三、填空題1．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知雙曲線：焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上且軸，的面積為，點(diǎn)為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是2．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）過點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為.3．（2023·浙江嘉興·二模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，連接并延長交于點(diǎn)，連接，若存在點(diǎn)使成立，則的取值范圍為.四、解答題1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線：的左、右頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)且與雙曲線C的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時，為等腰直角三角形，求雙曲線的離心率．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）求雙曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知是雙曲線外一點(diǎn)，過P引雙曲線的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求直線AB的方程．3．（2024·福建·模擬預(yù)測）在中，，，的平分線交AB于點(diǎn)D，.平面α過直線AB，且與所在的平面垂直.(1)求直線CD與平面所成角的大小；(2)設(shè)點(diǎn)，且，記E的軌跡為曲線Γ.（i）判斷Γ是什么曲線，并說明理由；（ii）不與直線AB重合的直線l過點(diǎn)D且交Γ于P，Q兩點(diǎn)，試問：在平面α內(nèi)是否存在定點(diǎn)T，使得無論l繞點(diǎn)D如何轉(zhuǎn)動，總有？若存在，指出點(diǎn)T的位置；若不存在，說明理由.4．（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點(diǎn)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；(2)若點(diǎn)不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點(diǎn)作曲線的切線，其交點(diǎn)為.已知點(diǎn)，若三點(diǎn)不共線，探究是否成立？請說明理由.5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，依次連接四個頂點(diǎn)得到的圖形的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)過直線上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求證：直線過定點(diǎn)．微重點(diǎn)11圓錐曲線中二級結(jié)論的應(yīng)用（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，知識的綜合性較強(qiáng)，因而解題時需要運(yùn)用多種基礎(chǔ)知識，采用多種數(shù)學(xué)手段，熟記各種定義、基本公式．法則固然很重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確地解題，還要掌握一些常用結(jié)論，理解各結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，正確靈活地運(yùn)用這些結(jié)論，一些復(fù)雜的問題便能迎刃而解．知識導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一焦點(diǎn)弦問題1．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線l過左焦點(diǎn)F1與橢圓(焦點(diǎn)在x軸上)交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)∠AF1F2＝α，e為橢圓的離心率，p為橢圓的焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離，則p＝eq\f(a2,c)－c＝eq\f(b2,c).(1)橢圓焦半徑公式：|AF1|＝eq\f(ep,1－e·cosα)，|BF1|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)，eq\f(1,|AF1|)＋eq\f(1,|BF1|)＝eq\f(2,ep).(2)橢圓焦點(diǎn)弦弦長公式：|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α).(3)焦點(diǎn)三角形的面積公式：P為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)且∠F1PF2＝θ，則＝b2·taneq\f(θ,2).2．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線l過左焦點(diǎn)F1與雙曲線(焦點(diǎn)在x軸上)交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)∠AF1F2＝α，e為雙曲線離心率，p為雙曲線的焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離，則p＝c－eq\f(a2,c)＝eq\f(b2,c).圖1圖2(1)若直線與雙曲線交于一支(如圖1)，則|AF1|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)，|BF1|＝eq\f(ep,1－e·cosα)，eq\f(1,|AF1|)＋eq\f(1,|BF1|)＝eq\f(2,ep).若直線與雙曲線交于兩支(如圖2)，則|AF1|＝eq\f(ep,e·cosα＋1)，|BF1|＝eq\f(ep,e·cosα－1)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,|AF1|)－\f(1,|BF1|)))＝eq\f(2,ep).(2)雙曲線焦點(diǎn)弦弦長公式：若直線與雙曲線交于一支，則|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α).若直線與雙曲線交于兩支，則|AB|＝||AF1|－|BF1||＝eq\f(2ep,e2·cos2α－1).(3)焦點(diǎn)三角形的面積公式：P為雙曲線上異于實(shí)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)且∠F1PF2＝θ，則＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).3.已知直線l過焦點(diǎn)F與拋物線(焦點(diǎn)在x軸上)交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)∠AFx＝α，e為拋物線離心率，p為拋物線的焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離．(1)拋物線焦半徑公式：|AF|＝eq\f(ep,1－e·cosα)＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(ep,1＋e·cosα)＝eq\f(p,1＋cosα)，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,ep)＝eq\f(2,p).(2)拋物線焦點(diǎn)弦弦長公式：|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq\f(2ep,1－e2·cos2α)＝eq\f(2p,sin2α).4．焦點(diǎn)弦定理已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線或拋物線，經(jīng)過其焦點(diǎn)F的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)，直線AB的傾斜角為α，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，則曲線的離心率滿足等式|ecosα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,λ＋1))).易錯提醒(1)要注意公式中α的含義．(2)公式中的加減符號易混淆．(3)直線與雙曲線交于一支和兩支的公式不一樣．【例1】（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，，兩點(diǎn)在上，，，則直線斜率的最小值和最大值分別是（

）A．， B．，2 C．， D．，2【答案】D【分析】利用焦半徑公式求得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線斜率的情況，由此得解.【詳解】由題意知，設(shè)，，則由，得，得，代入C：，得，所以或；由，得，得，代入C：，得，所以或；所以直線斜率有四種情況，則直線斜率的最小值為，最大值為.故選：D.【變式1】（22-23高三上·四川廣安·階段練習(xí)）雙曲線的一條漸近線方程為，、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線左支上的點(diǎn)到的距離最小值為，則雙曲線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出雙曲線左支上的點(diǎn)到的距離最小值，可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出該雙曲線的方程.【詳解】雙曲線左支上一點(diǎn)為，則，且，則，則，由已知可得，解得，因此，雙曲線方程為.故選：B.【變式2】（2024·江蘇·一模）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，過F的直線交E于點(diǎn)，，E在B處的切線為，過A作與平行的直線，交E于另一點(diǎn)，記與y軸的交點(diǎn)為D，則（

）A． B．C． D．面積的最小值為16【答案】ACD【分析】A選項，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之積，從而求出；B選項，求導(dǎo)，得到切線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到；C選項，求出，，結(jié)合焦半徑公式求出，C正確；D選項，作出輔助線，結(jié)合B選項，得到，表達(dá)出，利用基本不等式求出最小值，從而得到面積最小值.【詳解】A選項，由題意得，準(zhǔn)線方程為，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，故，A正確；B選項，，直線的斜率為，故直線的方程為，即，聯(lián)立，得，故，所以B錯誤；C選項，由直線的方程，令得，又，所以，故，故，又由焦半徑公式得，所以C正確；D選項，不妨設(shè)，過B向作垂線交于M，根據(jù)B選項知，，故，根據(jù)直線的方程，當(dāng)時，，故，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的面積最小值為16，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．【變式3】已知雙曲線x2－y2＝2，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為()A．2B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)【答案】D【解析】方法一設(shè)θ＝∠F1PF2＝60°，則＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ，而cosθ＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)，且||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1||PF2|＝eq\f(2b2,1－cosθ)，故＝eq\f(b2sinθ,1－cosθ)＝2eq\r(3).方法二雙曲線焦點(diǎn)三角形的面積＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝2eq\r(3).考點(diǎn)二等角的性質(zhì)1．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，過長軸上任意一點(diǎn)N(t,0)的弦的端點(diǎn)A，B與對應(yīng)的點(diǎn)Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,t)，0))的連線所成的角被焦點(diǎn)所在的直線平分，即∠OGA＝∠OGB(如圖1)．圖1圖2圖32．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過實(shí)軸所在直線上任意一點(diǎn)N(t,0)的弦的端點(diǎn)A，B與對應(yīng)點(diǎn)Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,t)，0))的連線所成的角被焦點(diǎn)所在的直線平分，即∠NGA＝∠NGB(如圖2)．3．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過拋物線對稱軸上任意一點(diǎn)N(a,0)的一條弦的端點(diǎn)A，B與對應(yīng)點(diǎn)G(－a,0)的連線所成角被對稱軸平分，即∠OGA＝∠OGB(如圖3)．規(guī)律方法根據(jù)等角性質(zhì)，存在某定點(diǎn)滿足條件，快速算出此點(diǎn)的坐標(biāo)，這給算出準(zhǔn)確答案提供了依據(jù)．【例2】（23-24高三上·天津南開·階段練習(xí)）已知橢圓C：，若橢圓的焦距為4且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．(1)求橢圓方程；(2)求面積的最大值，并求此時直線的方程；(3)若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)面積最大值為，直線或(3)存在，【分析】（1）由焦距是4求出，將代入橢圓方程求出，得到答案；（2）根據(jù)題意設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，由，代入運(yùn)算化簡，利用不等式求出面積的最大值；（3）根據(jù)題意有，轉(zhuǎn)化為，由第二問代入運(yùn)算得解.【詳解】（1）由題意，，將點(diǎn)代入橢圓方程得，解得，，所以橢圓的方程為.（2）根據(jù)題意知直線的斜率不為0，設(shè)直線，，，聯(lián)立，消去整理得，，，且，，令，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，等號成立，所以面積的最大值為，此時直線的方程為或.（3）在軸上存在點(diǎn)使得，理由如下：因為，所以，即，整理得，即，即，則，又，解得，所以在軸上存在點(diǎn)使得.【變式1】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知雙曲線E：的右焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為．(1)求雙曲線E的方程；(2)是否存在過點(diǎn)的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，．【分析】（1）根據(jù)漸近線方程和求的值，即可得到雙曲線E的方程；（2）假設(shè)存在直線l，由得，取的中點(diǎn)，則，進(jìn)而得；又利用得，于是聯(lián)立方程組可得的坐標(biāo)，從而得到直線的斜率并得出直線的方程.【詳解】（1）因為雙曲線E的一條漸近線方程為，所以，又，因此，又，，；則E的方程為．（2）假設(shè)存在過點(diǎn)的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且使得，設(shè)，，中點(diǎn)為，又，由可知為等腰三角形，，且直線l不與x軸重合，于是，即，因此，，（Ⅰ）點(diǎn)在雙曲線上，所以，①②化簡整理得：，，即，可得，（Ⅱ）聯(lián)立（Ⅰ）（Ⅱ）得：，，，解得（舍去），適合題意，則；由得，所以直線l的方程為：，即．【變式2】（23-24高二下·河北秦皇島·開學(xué)考試）已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合．(1)求拋物線的方程；(2)已知動直線過點(diǎn)，交拋物線于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：；(3)是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析(3)存在，【分析】（1）由題意，設(shè)拋物線方程由，得由此能求出拋物線的方程；（2）設(shè)，，由于為中點(diǎn)，則,故當(dāng)軸時由拋物線的對稱性知，當(dāng)不垂直軸時，設(shè)，由，得，由此能夠證明.（3）設(shè)存在直線滿足題意，則圓心，過作直線的垂線，垂足為，故，由此能夠推出存在直線：滿足題意．【詳解】（1）由題意，可設(shè)拋物線方程為．由，得．拋物線的焦點(diǎn)為，．拋物線的方程為（2）證明：設(shè)，，由于為中點(diǎn)，則，故當(dāng)軸時，由拋物線的對稱性知，一定有，當(dāng)不垂直軸時，設(shè)，由，得，則則，則，綜上證知，，（3）設(shè)存在直線滿足題意，則圓心，過作直線的垂線，垂足為，，即

，當(dāng)時，，此時直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值因此存在直線：滿足題意.

【變式3】橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，過點(diǎn)P(0,1)的動直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時，直線l被橢圓C截得的線段長為2eq\r(6).(1)求橢圓C的方程；(2)在y軸上是否存在異于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q，使得直線l變化時，總有∠PQA＝∠PQB？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解(1)∵e＝eq\f(\r(2),2)，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,2)，∴a2＝2c2＝b2＋c2，∴b2＝c2，a2＝2b2，橢圓方程化為eq\f(x2,2b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，由題意知，橢圓過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)，1))，∴eq\f(6,2b2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得b2＝4，a2＝8，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2y2＝8，,y＝kx＋1，))得(2k2＋1)x2＋4kx－6＝0，Δ＝16k2＋24(2k2＋1)>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－4k,2k2＋1)，,x1x2＝\f(－6,2k2＋1)，))假設(shè)存在定點(diǎn)Q(0，t)(t≠1)符合題意，∵∠PQA＝∠PQB，∴kQA＝－kQB，∴kQA＋kQB＝eq\f(y1－t,x1)＋eq\f(y2－t,x2)＝eq\f(x2y1＋x1y2－tx1＋x2,x1x2)＝eq\f(x2kx1＋1＋x1kx2＋1－tx1＋x2,x1x2)＝eq\f(2kx1x2＋1－tx1＋x2,x1x2)＝2k＋(1－t)eq\f(－4k,－6)＝eq\f(2k4－t,3)＝0，∵上式對任意實(shí)數(shù)k恒等于零，∴4－t＝0，即t＝4，∴Q(0,4)，當(dāng)直線l的斜率不存在時，A，B(不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方)兩點(diǎn)分別為橢圓的上下頂點(diǎn)(0,2)，(0，－2)，顯然此時∠PQA＝∠PQB，綜上，存在定點(diǎn)Q(0,4)滿足題意．考點(diǎn)三切線、切點(diǎn)弦方程1．已知點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓(或雙曲線)上任一點(diǎn)，則過點(diǎn)P與圓錐曲線相切的切線方程為橢圓中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，雙曲線中eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.2．若點(diǎn)P(x0，y0)是橢圓(或雙曲線)外一點(diǎn)，過點(diǎn)P(x0，y0)作橢圓(或雙曲線)的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB的直線方程是橢圓中eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，雙曲線中eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.規(guī)律方法運(yùn)用聯(lián)想，由過已知圓上和圓外的點(diǎn)的切線方程聯(lián)想到過圓錐曲線上和圓錐曲線外的切線方程，觸類旁通，實(shí)現(xiàn)知識的內(nèi)遷，使知識更趨于系統(tǒng)化，取得事半功倍的效果．【例3】（2024·湖北·二模）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線為．

(1)若直線與軸的交點(diǎn)為，求證：；(2)過點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線方程求得，，即可得，得證；（2）寫出過點(diǎn)的的垂線方程，解得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，再由相似比即可得，即證得.【詳解】（1）易知拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；設(shè)直線的方程為聯(lián)立得，可得，所以；不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，對于；可得的斜率為所以的方程為，即為令得直線的方程為，令得．又，所以即得證．（2）方法1：由（1）中的斜率為可得過點(diǎn)的的垂線斜率為，所以過點(diǎn)的的垂線的方程為，即，如下圖所示：

聯(lián)立，解得的縱坐標(biāo)為要證明，因為四點(diǎn)共線，只需證明（*）．，．所以（*）成立，得證.方法2：由知與軸平行，①又的斜率為的斜率也為，所以與平行，②，由①②得，即得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)點(diǎn)法，從而得到，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而轉(zhuǎn)化為證明即可.【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則線段長度的最小值為．【答案】/【分析】設(shè)，由圓的切線方程可得方程為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】圓的圓心，半徑．設(shè)，故方程為，弦心距，當(dāng)時，取得最大值為，則取得最小值．故答案為：.【變式2】(2023·錦州模擬)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)))，且離心率為eq\f(\r(6),3).F為橢圓E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l：x＝3上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接AB，AF，BF.(1)求證：直線AB過定點(diǎn)M，并求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)記△AFM，△BFM的面積分別為S1和S2，當(dāng)|S1－S2|取最大值時，求直線AB的方程．【解析】(1)證明如圖，由題意可得b＝eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，又因為a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝2，橢圓E的方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，過點(diǎn)P且切點(diǎn)在A處的橢圓E的切線方程為eq\f(x1x,6)＋eq\f(y1y,2)＝1，同理，過點(diǎn)P且切點(diǎn)在B處的橢圓E的切線方程為eq\f(x2x,6)＋eq\f(y2y,2)＝1.因為點(diǎn)P在直線PA，PB上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1,2)＋\f(y1y0,2)＝1，,\f(x2,2)＋\f(y2y0,2)＝1，))所以直線AB的方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y0y,2)＝1，則直線AB過定點(diǎn)M(2,0)．(2)解設(shè)直線AB的方程為x＝ty＋2，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋2，,\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，))得(t2＋3)y2＋4ty－2＝0，故y1＋y2＝－eq\f(4t,t2＋3)，y1y2＝－eq\f(2,t2＋3)，|S1－S2|＝2||y1|－|y2||＝2|y1＋y2|＝eq\f(8|t|,t2＋3)＝eq\f(8,|t|＋\f(3,|t|))≤eq\f(8,2\r(3))＝eq\f(4\r(3),3)，當(dāng)且僅當(dāng)|t|＝eq\f(3,|t|)，即t＝±eq\r(3)時取等號，此時直線AB的方程為x＝±eq\r(3)y＋2.【變式3】過點(diǎn)Q(－1，－1)作已知直線l：y＝eq\f(1,4)x＋1的平行線，交雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1于點(diǎn)M，N.(1)證明：Q是線段MN的中點(diǎn)；(2)分別過點(diǎn)M，N作雙曲線的切線l1，l2，證明：三條直線l，l1，l2相交于同一點(diǎn)；(3)設(shè)P為直線l上一動點(diǎn)，過P作雙曲線的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，證明：點(diǎn)Q在直線AB上．【解析】證明(1)直線MN的方程為y＝eq\f(1,4)(x－3)．代入雙曲線方程eq\f(x2,4)－y2＝1，得3x2＋6x－25＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩根，故x1＋x2＝－2.于是，y1＋y2＝eq\f(1,4)(x1＋x2－6)＝－2.故Q(－1，－1)是線段MN的中點(diǎn)．(2)雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1過點(diǎn)M，N的切線方程分別為l1：eq\f(x1,4)x－y1y＝1，l2：eq\f(x2,4)x－y2y＝1.兩式相加并將x1＋x2＝－2，y1＋y2＝－2代入得y＝eq\f(1,4)x＋1.這說明，直線l1，l2的交點(diǎn)在直線l：y＝eq\f(1,4)x＋1上，即三條直線l，l1，l2相交于同一點(diǎn)．(3)設(shè)P(x0，y0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，則PA，PB的方程分別為eq\f(x3,4)x－y3y＝1和eq\f(x4,4)x－y4y＝1.因為點(diǎn)P在兩條直線上，所以eq\f(x3,4)x0－y3y0＝1，eq\f(x4,4)x0－y4y0＝1.這表明，點(diǎn)A，B都在直線eq\f(x0,4)x－y0y＝1上，即直線AB的方程為eq\f(x0,4)x－y0y＝1.又y0＝eq\f(x0,4)＋1，代入整理得eq\f(x0,4)(x－y)－(y＋1)＝0，顯然，無論x0取什么值(即無論P(yáng)為直線l上哪一點(diǎn))，點(diǎn)Q(－1，－1)都在直線AB上．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2024·山東濟(jì)南·一模）與拋物線和圓都相切的直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出拋物線的切線方程，再由圓的切線性質(zhì)列式計算即得.【詳解】設(shè)直線與拋物線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，求導(dǎo)得，因此拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，依題意，此切線與圓相切，于是，解得或，所以所求切線條數(shù)為3.故選：D2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】利用拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)結(jié)合基本不等式計算即可.【詳解】由題意可知，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，所以，而.當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.故選：D3．（2022·河南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，一條漸近線方程為，過雙曲線C的右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于A，B兩點(diǎn)，若的周長為36，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，則雙曲線方程為，，，可得直線為，代入雙曲線方程中，利用弦長公式求出，再由雙曲線的定義和的周長為36，可求出，從而可求出雙曲線的方程【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以，則雙曲線方程為，，，所以直線為，設(shè)，由，得，則，所以，因為，，所以，因為的周長為36，所以，所以，得，所以雙曲線方程為，故選：C4．（2023·河南·二模）已知動點(diǎn)P在雙曲線C：上，雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為，，則下列結(jié)論：①C的離心率為2；

②C的焦點(diǎn)弦最短為6；③動點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值；④當(dāng)動點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時，的最大值為．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①由性質(zhì)可得；②用特殊值可判定；③設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)計算化簡即可，④利用雙曲線的焦半徑辦公計算即可.【詳解】由題意可得，即①正確；顯然當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)弦過左、右焦點(diǎn)時，該弦長為實(shí)軸，長度為2＜6，即②錯誤；易知雙曲線的漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)，則，且到兩條雙曲線的距離之積為是定值，故③正確；對于④，先推下雙曲線的焦半徑公式：對雙曲線上任意一點(diǎn)及雙曲線的左右焦點(diǎn)，則，同理，所以，此即為雙曲線的焦半徑公式.設(shè)點(diǎn)，由雙曲線的焦半徑公式可得，故，其中，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，故④錯誤；綜上正確的是①③兩個.故選：B5．（2024·全國·一模）新材料是現(xiàn)代高新技術(shù)的基礎(chǔ)和先導(dǎo)，亦是提升傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)技術(shù)能級的關(guān)鍵．某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點(diǎn)處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液—固兩相交線）的一部分．設(shè)圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為，，則（

）附：橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為．A． B．C． D．和的大小關(guān)系無法確定【答案】A【分析】理解題意，根據(jù)測量水滴角的圓法和橢圓法,以及運(yùn)用圓和橢圓的切線方程的表示即可得出結(jié)論.【詳解】由題意知，圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓的一部分．設(shè)圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為，；由題意可知，若將水滴軸截面看成圓的一部分，圓的半徑為R，如圖1，則有,解得，所以；若將水滴軸截面看成橢圓的一部分，如圖2，切點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為，此時橢圓的切線方程的斜率設(shè)為，則；將切點(diǎn)坐標(biāo)為代入切線方程可得，解得，所以；因為短半軸,所以即，所以.故選：A.6．（23-24高二上·北京東城·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓上恰好有個不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分等腰三角形以為底或一腰兩種情況討論，在第一種情況下，直接確定點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)，在第二種情況下，分析可知，在每個象限內(nèi)均存在點(diǎn)，使得或，設(shè)點(diǎn)在第一象限，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得出關(guān)于、的不等式，即可求出該橢圓離心率的取值范圍.【詳解】如下圖所示：

（1）當(dāng)點(diǎn)與橢圓短軸的頂點(diǎn)重合時，是以為底邊的等腰三角形，此時，有個滿足條件的等腰；（2）當(dāng)構(gòu)成以為一腰的等腰三角形時，以為底邊為例，則或，此時點(diǎn)在第一或第四象限，由對稱性可知，在每個象限內(nèi)，都存在一個點(diǎn)，使得是以為一腰的等腰三角形，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，其中，則，或，由可得，所以，，解得，由可得，所以，，解得，綜上所述，該橢圓的離心率的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.7．（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，在點(diǎn)處的切線交軸于，交軸于，若，則直線的斜率為（

）A．－2 B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程可先含參表示N，T坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義可判定為等腰三角形，根據(jù)其性質(zhì)計算即可.【詳解】易知，設(shè)，則在點(diǎn)處的切線方程為，所以，顯然N為中點(diǎn)，由拋物線定義可知，即為以F為頂點(diǎn)的等腰三角形，所以，即，所以直線的斜率為.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題通過設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的切線方程含參表示N，T坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義可判定為等腰三角形，根據(jù)其性質(zhì)計算即可.解析幾何問題首先是幾何題，所以利用幾何特征可減少計算量，提高效率.8．（2024·四川南充·二模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為．過點(diǎn)傾斜角為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（在軸的上方），則下列說法中正確的有（

）個．①②③若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則的面積為④當(dāng)時，內(nèi)切圓的面積為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先推導(dǎo)出橢圓的焦半徑公式及相關(guān)性質(zhì)，從而判斷①②③，得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由求出，即可判斷④.【詳解】在中，由余弦定理，即，整理得，同理可得，所以，，

對于橢圓，則、、，所以，，故①錯誤；，故②正確；所以，，又，又，所以，故③錯誤；當(dāng)時直線的方程為，由，消去整理得，顯然，所以，，又，，則，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以，解得，所以內(nèi)切圓的面積，故④正確；

故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出橢圓焦半徑公式（傾斜角形式），利用結(jié)論直接解決問題.二、多選題1．（2024·河南·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，，過的直線與的右支交于點(diǎn)，若，則（

）A．的漸近線方程為 B．C．直線的斜率為 D．的坐標(biāo)為或【答案】ABD【分析】利用雙曲線的焦距求出的值，結(jié)合雙曲線的漸近線方程，可判斷A選項；利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義求出、的值，可判斷B選項；利用直線斜率的定義可判斷C選項；利用雙曲線焦半徑公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，且，解得，又因為，故雙曲線的漸近線方程為，A對；對于B選項，因為點(diǎn)在右支上，則，①又因為，則，②聯(lián)立①②可得，，所以，，B對；對于C選項，若點(diǎn)在第一象限，則直線的斜率為，若點(diǎn)在第四象限，由對稱性可知，直線的斜率為.綜上所述，直線的斜率為，C錯；對于D選項，設(shè)點(diǎn)，則，且，可得，所以，，解得，則，可得，即點(diǎn)，D對.故選：ABD.2．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，設(shè)它們在第一象限的交點(diǎn)為，且，則（

）A．雙曲線的實(shí)軸長為 B．雙曲線的離心率為C．雙曲線的漸近線方程為 D．雙曲線在點(diǎn)處切線的斜率為【答案】ABD【分析】A選項，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)左焦點(diǎn)為，故，由向量數(shù)量積為0得到向量垂直，進(jìn)而由勾股定理求出，求出，得到A正確；B選項，由離心率公式直接求解；C選項，求出，由雙曲線漸近線公式進(jìn)行求解；D選項，設(shè)出點(diǎn)處切線方程，聯(lián)立雙曲線方程，由根的判別式等于0求出切線斜率.【詳解】A選項，由題意得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)左焦點(diǎn)為，則，，因為，所以，由勾股定理得，兩邊平方得，故，則，故，解得，雙曲線的實(shí)軸長為，A正確；B選項，因為，所以雙曲線的離心率為，B正確；C選項，因為，故雙曲線的漸近線方程為，C錯誤；D選項，聯(lián)立與，可得，，故，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，不是雙曲線的切線，舍去，設(shè)在點(diǎn)處切線方程為，聯(lián)立得，化簡得，由得，解得，故雙曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，D正確.故選：ABD3．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知，是曲線上不同的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．的最小值為1B．C．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則D．對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使得曲線在，兩點(diǎn)處的切線垂直【答案】AD【分析】根據(jù)題中曲線表達(dá)式去絕對值化簡，根據(jù)幾何意義判斷A，舉出反例判斷B，數(shù)形結(jié)合判斷C，根據(jù)圖形特征以及切線概念判斷D.【詳解】當(dāng)時，原方程即，化簡為，軌跡為橢圓.將代入，則，則此時，即此部分為橢圓的一半.同理當(dāng)時，原方程即，化簡為.將代入，則或，則此時，即此部分為圓的一部分.作出曲線的圖形如下：

對于A，最小值表示曲線上一點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離的平方，當(dāng)時，最小值為，當(dāng)時取得，當(dāng)時，最小值為，當(dāng)時取得，則最小值為，故A正確；對于B，當(dāng)時，，顯然B選項錯誤；對于C，直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)時，直線經(jīng)過橢圓下頂點(diǎn)，如圖，

顯然，存在，使得直線與曲線有兩個公共點(diǎn)，故C錯誤；對于D，如圖，對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點(diǎn)，

則曲線在點(diǎn)處的切線斜率可以取任何非零實(shí)數(shù)，曲線在橢圓部分切線斜率也可以取到任何非零實(shí)數(shù)，使得兩切線斜率為負(fù)倒數(shù)，所以對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使得曲線在，兩點(diǎn)處的切線垂直，故D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查解析幾何的綜合問題，此類問題常見的處理方法為：（1）幾何法：通過圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線與圖形關(guān)系進(jìn)而求解；（2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，通過坐標(biāo)的運(yùn)算與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用方程聯(lián)立與韋達(dá)定理等知識，用坐標(biāo)運(yùn)算求解答案.三、填空題1．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知雙曲線：焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上且軸，的面積為，點(diǎn)為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】【分析】先計算雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由焦半徑公式計算即可.【詳解】由題意可知，代入雙曲線方程有，又的面積為，即，所以雙曲線方程為：，設(shè)，則，同理，因為，則，故答案為：.2．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）過點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為.【答案】【分析】分析可知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，將切線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，由可得出關(guān)于的方程，可知方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，求出的取值范圍，即可求得該雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時，直線的方程為，由可得，故直線與雙曲線相交，不合乎題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，聯(lián)立可得，因為過點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則，可得，由題意可知，關(guān)于的二次方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，所以，，可得，又因為，即，因此，關(guān)于的方程沒有的實(shí)根，所以，且，解得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：.3．（2023·浙江嘉興·二模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，連接并延長交于點(diǎn)，連接，若存在點(diǎn)使成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，所以存在點(diǎn)使等價于由可求的最小值，求得的范圍，從而得到的取值范圍.【詳解】設(shè)，則.顯然當(dāng)靠近右頂點(diǎn)時，，所以存在點(diǎn)使等價于，在中由余弦定理得，即，解得，同理可得，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.由得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求離心率范圍關(guān)鍵是建立的不等式，此時將問題轉(zhuǎn)化為，從而只需求的最小值，求最小值的方法是結(jié)合焦半徑性質(zhì)使用基本不等式求解.四、解答題1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線：的左、右頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)且與雙曲線C的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時，為等腰直角三角形，求雙曲線的離心率．【答案】【分析】根據(jù)題意得，即，化簡即可.【詳解】由軸時，為等腰直角三角形，可得，所以，即，故，結(jié)合，解得．故雙曲線C的離心率為.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）求雙曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知是雙曲線外一點(diǎn)，過P引雙曲線的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求直線AB的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由雙曲線上一點(diǎn)的切線方程，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別表示出直線的方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程為，所以雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡可得.（2）設(shè)切點(diǎn)，則，，又點(diǎn)在直線上，代入可得，，所以點(diǎn)均在直線上，所以直線的方程為，即.3．（2024·福建·模擬預(yù)測）在中，，，的平分線交AB于點(diǎn)D，.平面α過直線AB，且與所在的平面垂直.(1)求直線CD與平面所成角的大??；(2)設(shè)點(diǎn)，且，記E的