高考數(shù)學(xué)重難點培優(yōu)全攻略(新高考專用)第16講　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(3大考點+強化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

第16講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（3大考點+強化訓(xùn)練）[考情分析]直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線與圓錐曲線的相交、相切、弦長、面積以及中點弦等問題，難度中等．知識導(dǎo)圖考點分類講解考點一：弦長問題已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2).易錯提醒(1)設(shè)直線方程時，需考慮特殊直線，如直線的斜率不存在、斜率為0等．(2)涉及直線與圓錐曲線相交時，Δ>0易漏掉．(3)|AB|＝x1＋x2＋p是拋物線過焦點的弦的弦長公式，其他情況該公式不成立．【例1】（22-23高三·全國·對口高考）通過橢圓的焦點且垂直于x軸的直線l被橢圓截得的弦長等于（

）A． B．3 C． D．6【變式1】（23-24高三上·北京東城·期末）已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是；直線與雙曲線相交于，兩點，則.【變式2】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）設(shè)拋物線的焦點為F，過F且斜率為2的直線l與C交于P、Q兩點，則.【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓的一個焦點為，且過點，過原點作兩條互相垂直的射線交橢圓于、兩點，則弦長的取值范圍為．考點二：面積問題規(guī)律方法圓錐曲線中求解三角形面積的方法(1)常規(guī)面積公式：S＝eq\f(1,2)×底×高．(2)正弦面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC.(3)鉛錘水平面面積公式：①過x軸上的定點：S＝eq\f(1,2)a|y1－y2|(a為x軸上定長)；②過y軸上的定點：S＝eq\f(1,2)a|x1－x2|(a為y軸上定長)．【例2】（23-24高三下·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點為F，過點F且傾斜角為120°的直線與拋物線C交于A，B兩點，其中點A在第一象限，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知直線與橢圓交于，兩點，點關(guān)于軸的對稱點記為，且的面積為2，則橢圓恒過定點（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高三下·河北保定·開學(xué)考試）已知是左、右焦點分別為的橢圓上異于左、右頂點的一點，是線段的中點，是坐標(biāo)原點，過作的平行線交直線于點，則四邊形的面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．【變式3】（2024·山東泰安·一模）已知是雙曲線的右焦點，是左支上一點，，當(dāng)周長最小時，該三角形的面積為（

）A． B． C． D．考點三：中點弦問題已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點，AB的中點C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.若E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則k＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝eq\f(p,y0).規(guī)律方法處理中點弦問題常用的求解方法【例3】（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知拋物線，過C的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，線段AB的中點為W，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）設(shè)直線與雙曲線分別交于兩點，若線段的中點橫坐標(biāo)是，則該雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．【變式2】（22-23高二下·陜西榆林·期末）已知為雙曲線上兩點，且線段的中點坐標(biāo)為，則直線的斜率為.【變式3】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．強化訓(xùn)練一、單選題1．（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）將拋物線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到拋物線，若拋物線與拋物線交于異于原點的點，記拋物線與的焦點分別為、，且四邊形的面積為8，則（

）A．4 B．2 C． D．2．（24-25高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）設(shè)A，B為雙曲線上的兩點，若線段AB的中點為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上(頂點除外)任意一點，若的角平分線與以為直徑的圓交于點，則的面積的最大值為（

）A． B．C． D．4．（2023·四川資陽·三模）已知拋物線C：，過點的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若，則直線l的斜率是（

）A． B．4 C． D．5．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點，并且滿足，則的離心率為（

）A． B． C． D．6．（22-23高三上·江西·期末）如圖，已知拋物線E：的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，軸于點N.若四邊形的面積等于8，則E的方程為（

）A． B． C． D．7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線，直線經(jīng)過點且與雙曲線C的右支交于兩點．點為軸上一點且滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知直線l與橢圓相切于點P，與圓交于A，B兩點，圓在點A，B處的切線交于點Q，O為坐標(biāo)原點，則的面積的最大值為（

）A． B．1 C． D．2二、多選題1．（23-24高三上·遼寧撫順·期末）直線過拋物線的焦點，且與交于M，N兩點，則（

）A． B．C．的最小值為6 D．的最小值為122．（2024·云南昭通·模擬預(yù)測）已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點，下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓的長軸長為2C．若直線的方程為，則右焦點到的距離為D．若直線過點，且與軸平行，則3．（2023·河北滄州·三模）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上第一象限內(nèi)一點，且，，關(guān)于的平分線的對稱點恰好在上，則（

）A．的實軸長為2B．的離心率為C．的面積為D．的平分線所在直線的方程為三、填空題1．（23-24高三上·河南周口·階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線C：的焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，，若，則．2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）過點作斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標(biāo)為.3．（2024·黑龍江·二模）已知雙曲線的離心率為，其左?右焦點分別為，過作的一條漸近線的垂線并交于兩點，若，則的周長為.四、解答題1．（2023·河南·三模）已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在軸的正半軸上，圓經(jīng)過拋物線的焦點.(1)求的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知傾斜角為的直線l與雙曲線C：交于A，B兩點，且線段的中點的縱坐標(biāo)為4，求直線l的方程．3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）橢圓的離心率為，右頂點為A，設(shè)點O為坐標(biāo)原點，點B為橢圓E上異于左、右頂點的動點，面積的最大值為．求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；4．（2024·云南貴州·二模）已知橢圓的方程，右焦點為，且離心率為(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)是橢圓的左、右頂點，過的直線交于兩點（其中點在軸上方），求與的面積之比的取值范圍.5．（2024·云南曲靖·一模）已知斜率為的直線交拋物線于、兩點，線段的中點的橫坐標(biāo)為．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于、兩點，分別在點、處作拋物線的切線，兩條切線交于點，則的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及此時對應(yīng)的直線的方程；若不存在，請說明理由．第16講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（3大考點+強化訓(xùn)練）[考情分析]直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線與圓錐曲線的相交、相切、弦長、面積以及中點弦等問題，難度中等．知識導(dǎo)圖考點分類講解考點一：弦長問題已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2).易錯提醒(1)設(shè)直線方程時，需考慮特殊直線，如直線的斜率不存在、斜率為0等．(2)涉及直線與圓錐曲線相交時，Δ>0易漏掉．(3)|AB|＝x1＋x2＋p是拋物線過焦點的弦的弦長公式，其他情況該公式不成立．【例1】（22-23高三·全國·對口高考）通過橢圓的焦點且垂直于x軸的直線l被橢圓截得的弦長等于（

）A． B．3 C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程寫出一條過焦點且垂直于x軸的直線，代入橢圓方程求交點縱坐標(biāo)，即可得弦長.【詳解】由題設(shè)，不妨設(shè)過焦點且垂直于x軸的直線，代入橢圓方程得，可得，故被橢圓截得的弦長等于.故選：B【變式1】（23-24高三上·北京東城·期末）已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是；直線與雙曲線相交于，兩點，則.【答案】【分析】由已知可判斷雙曲線為焦點在軸上的雙曲線，可知，，表示漸近線方程即可；由可求的值，從而得到交點坐標(biāo)，即可得到距離.【詳解】由雙曲線：知雙曲線的焦點在軸，且，，即，，所以雙曲線的漸近線方程為；當(dāng)時，，設(shè)，則，所以.故答案為：；.【變式2】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）設(shè)拋物線的焦點為F，過F且斜率為2的直線l與C交于P、Q兩點，則.【答案】【分析】由題意求出直線l的方程，聯(lián)立方程組，由拋物線的焦點弦公式求解即可.【詳解】拋物線的焦點為，過F且斜率為2的直線l方程為：，設(shè)，，聯(lián)立得：，則，所以.故答案為：.【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓的一個焦點為，且過點，過原點作兩條互相垂直的射線交橢圓于、兩點，則弦長的取值范圍為．【答案】【分析】先求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，對直線的斜率是否同時存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線分別與兩坐標(biāo)軸重合時，直接求出的值；當(dāng)直線的斜率都存在時，設(shè)直線，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】由題意焦點在軸上面，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)直線分別與兩坐標(biāo)軸重合時，；當(dāng)直線的斜率都存在時，設(shè)直線，聯(lián)立，可得，所以，同理可得，所以，因為，則，令，令，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，又因為，，則，此時，則.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.考點二：面積問題規(guī)律方法圓錐曲線中求解三角形面積的方法(1)常規(guī)面積公式：S＝eq\f(1,2)×底×高．(2)正弦面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC.(3)鉛錘水平面面積公式：①過x軸上的定點：S＝eq\f(1,2)a|y1－y2|(a為x軸上定長)；②過y軸上的定點：S＝eq\f(1,2)a|x1－x2|(a為y軸上定長)．【例2】（23-24高三下·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點為F，過點F且傾斜角為120°的直線與拋物線C交于A，B兩點，其中點A在第一象限，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程可得韋達(dá)定理，即可根據(jù)焦點弦求解，進(jìn)而可得，即可求解面積.【詳解】根據(jù)題意得直線，由得設(shè)，則，故，解得，代入（*）式，解得．將代入直線的方程中，解得，故，故選:B．【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知直線與橢圓交于，兩點，點關(guān)于軸的對稱點記為，且的面積為2，則橢圓恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角形面積公式可推出三角形坐標(biāo)公式，結(jié)合直線與橢圓聯(lián)立后的韋達(dá)定理，可求出定點.【詳解】設(shè)，∵

，∴．由得，故，則，化簡得，故橢圓恒過定點．故選：．【變式2】（23-24高三下·河北保定·開學(xué)考試）已知是左、右焦點分別為的橢圓上異于左、右頂點的一點，是線段的中點，是坐標(biāo)原點，過作的平行線交直線于點，則四邊形的面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形，由幾何關(guān)系易判斷，求出，進(jìn)而得解.【詳解】如圖，因為為線段的中點，為中點，所以為中位線，，又因為，所以四邊形為平行四邊形，，由幾何關(guān)系易得，設(shè)，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以.故選：D【變式3】（2024·山東泰安·一模）已知是雙曲線的右焦點，是左支上一點，，當(dāng)周長最小時，該三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線的定義，確定周長最小時，的坐標(biāo)，即可求出周長最小時，該三角形的面積．【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，由雙曲線定義知，，的周長為，由于是定值，要使的周長最小，則最小，即、、共線，，，直線的方程為，即代入整理得，解得或（舍），所以點的縱坐標(biāo)為，.故選：D.【點睛】方法點睛：解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.考點三：中點弦問題已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點，AB的中點C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.若E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則k＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝eq\f(p,y0).規(guī)律方法處理中點弦問題常用的求解方法【例3】（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）已知拋物線，過C的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，線段AB的中點為W，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)，代入拋物線方程兩式相減可得，進(jìn)而求得，由求得值.【詳解】設(shè)，則兩式相減，可得，所以，即，所以，所以，代入直線，得，所以，所以，解得.故選：B【變式1】（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）設(shè)直線與雙曲線分別交于兩點，若線段的中點橫坐標(biāo)是，則該雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立直線與雙曲線方程，借助中點橫坐標(biāo)列式求解即得.【詳解】由線段的中點橫坐標(biāo)是，得線段的中點縱坐標(biāo)是，設(shè)，由消去x得，，因此，整理得，顯然成立，所以該雙曲線的離心率.故選：A【變式2】（22-23高二下·陜西榆林·期末）已知為雙曲線上兩點，且線段的中點坐標(biāo)為，則直線的斜率為.【答案】/2.25【分析】利用點差法和兩點坐標(biāo)求直線斜率公式化簡計算即可.【詳解】設(shè)，則兩式相減得，由線段的中點坐標(biāo)為，即，.故答案為：【變式3】（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合“點差法”，即可直線的斜率，得到答案.【詳解】設(shè)，代入拋物線，可得，兩式相減得，所以直線的斜率為，又因為的中點為，可得，所以，即直線的斜率為.故選：C.強化訓(xùn)練一、單選題1．（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）將拋物線繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到拋物線，若拋物線與拋物線交于異于原點的點，記拋物線與的焦點分別為、，且四邊形的面積為8，則（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】依題意可得拋物線的方程為，聯(lián)立求出點坐標(biāo)，最后由求出.【詳解】由拋物線的性質(zhì)可知拋物線的方程為，由，解得或，即，又，，所以，解得或（舍去）.故選：C

2．（24-25高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）設(shè)A，B為雙曲線上的兩點，若線段AB的中點為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用點差法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】設(shè)，則有，兩式相減，得，因為線段AB的中點為，所以，因此由，即直線AB的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因為，所以線段AB存在，故選：C3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上(頂點除外)任意一點，若的角平分線與以為直徑的圓交于點，則的面積的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】延長交的延長線于點D，連接，根據(jù)題意可求得點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，結(jié)合圖形，即可求出的面積的最大值.【詳解】設(shè)雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，由題可知，，的實半軸長，虛半軸長，則，如圖，延長交的延長線于點，

因為點在以為直徑的圓上，則，又為的角平分線，所以，則為的中點.連接，在中，又因為為的中點，則是的中位線，因為是雙曲線右支上(頂點除外)任意一點，由雙曲線的定義知，故|，所以，故點的軌跡是以原點為圓心，以為半徑的圓，軌跡方程為，顯然，當(dāng)點的坐標(biāo)為或時，的面積取得最大值，最大值.故選：C.4．（2023·四川資陽·三模）已知拋物線C：，過點的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若，則直線l的斜率是（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】利用點差法求解即可.【詳解】設(shè)，則作差得.因為，所以P是線段AB的中點，所以，則直線l的斜率.故選：A5．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點為，離心率為．傾斜角為的直線與交于兩點，并且滿足，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，用弦長公式表示出，用兩點間的距離公式結(jié)合點在橢圓上的條件表示出，代入題干條件即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，消去，得，注意到，則.于是，同理，.因此.的傾斜角為，∴直線的斜率，根據(jù)弦長公式，可得.由，可得，故.．故選：A6．（22-23高三上·江西·期末）如圖，已知拋物線E：的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，軸于點N.若四邊形的面積等于8，則E的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求出的坐標(biāo)，然后得的方程，令，得的坐標(biāo)，利用直角梯形的面積求出，可得拋物線方程.【詳解】易知，直線AB的方程為，四邊形OCMN為直角梯形，且.設(shè)，，，則，所以，所以，，∴.所以MC直線方程為，∴令，∴，∴.所以四邊形OCMN的面積為，∴.故拋物線E的方程為.故選：B.7．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線，直線經(jīng)過點且與雙曲線C的右支交于兩點．點為軸上一點且滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的中點，可得的直線方程，求出可得點坐標(biāo)可得，再求出、點到直線的距離，再由求出，然后由可得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由已知直線的斜率存在，且，，設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，，整理得，設(shè)，所以，，則的中點，所以的直線方程為，令，得，可得，所以，，點到直線的距離，所以，所以.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是求出、點到直線的距離，再由勾股定理求出，然后求.8．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知直線l與橢圓相切于點P，與圓交于A，B兩點，圓在點A，B處的切線交于點Q，O為坐標(biāo)原點，則的面積的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由，，，四點共圓，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系得出相交弦方程，再由與橢圓相切，可得過的切線方程，從而得出，，再由橢圓的參數(shù)方程和向量的運算，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】設(shè)，，由，，可得四點，，，共圓，可得以為直徑的圓，方程為，聯(lián)立圓，相減可得的方程為，又與橢圓相切，若不與軸垂直時，當(dāng)時，可化為，設(shè)，在的切線方程為，即，同理可得時，在的切線方程為，若軸時，在點處的切線方程為，滿足故過的切線方程為，即為，由兩直線重合的條件可得，，由于在橢圓上，可設(shè)，，，即有，，可得，且，，即有，當(dāng)即或或或時，的面積取得最大值．故選：．【點睛】關(guān)鍵點睛：在求面積的最大值時，關(guān)鍵在于利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)出點的坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合三角恒等變換以及正弦函數(shù)的性質(zhì)得出面積的最大值.二、多選題1．（23-24高三上·遼寧撫順·期末）直線過拋物線的焦點，且與交于M，N兩點，則（

）A． B．C．的最小值為6 D．的最小值為12【答案】BD【分析】先根據(jù)題意及直線過定點即可判斷A，B；再根據(jù)拋物線的性質(zhì)知直線垂直于軸，取得最小值，進(jìn)而即可判斷C，D．【詳解】對于A，B，由直線與軸的交點坐標(biāo)為，則，即，故A錯誤，B正確；對于C，D，當(dāng)直線垂直于軸，即時，取得最小值，且最小值為．故C錯誤，D正確．故選：BD．2．（2024·云南昭通·模擬預(yù)測）已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點，下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓的長軸長為2C．若直線的方程為，則右焦點到的距離為D．若直線過點，且與軸平行，則【答案】AC【分析】求出的值后，可直接計算出離心率和長軸長，從而判斷出A,B；利用點到直線的距離公式計算可判斷C；根據(jù)通徑公式進(jìn)行計算，或者聯(lián)立直線和橢圓方程，利用弦長公式進(jìn)行求解可判斷D.【詳解】由題意知，對于A選項：,則A正確；對于B選項：長軸為：,故B錯誤；對于選項：的方程為，所以右焦點到的距離為，故C正確；對于選項：方法過且與軸平行，為通徑，.方法過且與軸平行，的方程為，由，故D錯誤，故選：AC.3．（2023·河北滄州·三模）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上第一象限內(nèi)一點，且，，關(guān)于的平分線的對稱點恰好在上，則（

）A．的實軸長為2B．的離心率為C．的面積為D．的平分線所在直線的方程為【答案】ACD【分析】求出雙曲線的解析式，即可求出實軸長和離心率，求出焦點即可得出面積，利用傾斜角即可求出的平分線所在直線的方程.【詳解】由題意，在中，∵關(guān)于的平分線的對稱點恰好在上，∴，，三點共線，且，∵，∴.設(shè)，，根據(jù)雙曲線定義可得，，解得，，即，∴.在中，根據(jù)勾股定理可得，，解得，∴的實軸長為2，所以A正確；又，，∴的離心率為，所以B不正確；的面積為，∴C正確；∵，∴，∵，易得的平分線的傾斜角為，∴的平分線所在直線的方程為，即，所以D正確.故選：ACD.三、填空題1．（23-24高三上·河南周口·階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線C：的焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，，若，則．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合直線的兩點式方程與拋物線方程聯(lián)立，求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，再結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因為，所以，設(shè)，垂足為，因為，所以，把代入中，得，負(fù)值舍去，所以點A坐標(biāo)為，因此直線的方程為：，與拋物線方程，聯(lián)立，得，或，把代入拋物線方程中，得，所以，故答案為：2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）過點作斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標(biāo)為.【答案】【分析】求出直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立求解即得.【詳解】直線l的方程為，由消去y得，顯然，即直線與橢圓相交，設(shè)交點，則，于是線段中點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，所以線段的中點坐標(biāo)為.故答案為：3．（2024·黑龍江·二模）已知雙曲線的離心率為，其左?右焦點分別為，過作的一條漸近線的垂線并交于兩點，若，則的周長為.【答案】【分析】設(shè)方程，根據(jù)求得方程，再由雙曲線定義求的周長.【詳解】由，得，則雙曲線，，漸近線，不妨設(shè)直線，，聯(lián)立方程消去得，則，可得，解得，可得，由雙曲線的定義可得，則，可得，所以的周長.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：在雙曲線中，直線過焦點，，則的周長.四、解答題1．（2023·河南·三模）已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在軸的正半軸上，圓經(jīng)過拋物線的焦點.(1)求的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點，求面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)焦點位置設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，把焦點坐標(biāo)代入圓的方程，求解即可；（2）設(shè)兩點坐標(biāo)，直線與拋物線聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系，表示出弦長，利用導(dǎo)數(shù)求拋物線過兩點的切線，求出交點，點到直線距離得三角形的高，根據(jù)面積的表達(dá)式求最小值.【詳解】（1）由題意，設(shè)的方程為，因為圓經(jīng)過拋物線的焦點，所以，解得，所以的方程為.（2）如圖所示，

設(shè)，則，聯(lián)立方程組整理得，所以，且，所以.由，可得，則，所以拋物線的過點A的切線方程是，將代入上式整理得，同理可得拋物線的過點的切線方程為由解得，所以，所以到直線的距離，所以的面積，當(dāng)時，，所以面積的最小值為.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知傾斜角為的直線l與雙曲線C：交于A，B兩點，且線段的中點的縱坐標(biāo)為4，求直線l的方程．【答案】【分析】利用點差法求解，檢驗判別式即可.【詳解】設(shè)，，中點的坐標(biāo)為，則①，②，②－①得，，即，又，所以，所以直線l的方程為，即.聯(lián)立，得，則，綜上，直線l的方程為.3．（2023高三·全國·專