高考數(shù)學(xué)重難點培優(yōu)全攻略(新高考專用)培優(yōu)點08圓錐曲線中非對稱韋達(dá)定理的應(yīng)用(2大考點+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

培優(yōu)點08圓錐曲線中非對稱韋達(dá)定理的應(yīng)用（2大考點+強(qiáng)化訓(xùn)練）在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去x或y，得到一個一元二次方程，往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理|x1－x2|，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問題中，我們會遇到涉及x1，x2的不同系數(shù)的代數(shù)式的運算，比如求eq\f(x1,x2)，eq\f(3x1x2＋2x1－x2,2x1x2－x1＋x2)或λx1＋μx2之類的結(jié)構(gòu)，我們把這種系數(shù)不對等的結(jié)構(gòu)，稱為“非對稱韋達(dá)結(jié)構(gòu)”．知識導(dǎo)圖考點分類講解考點一分式型規(guī)律方法非對稱結(jié)構(gòu)的常規(guī)處理方法有和積轉(zhuǎn)換、配湊、求根公式(暴力法)、曲線方程代換、第三定義等方法，將其轉(zhuǎn)化為對稱結(jié)構(gòu)計算．【例1】(2023·新高考全國Ⅱ)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為(－2eq\r(5)，0)，離心率為eq\r(5).(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點(－4,0)的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P.證明：點P在定直線上．【變式1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左右焦點分別為，點在的漸近線上，且滿足.(1)求的方程；(2)點為的左頂點，過的直線交于兩點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，證明：線段的中點為定點.【變式2】（23-24高三上·江蘇·開學(xué)考試）已知雙曲線．(1)求C的右支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）的個數(shù)．(2)記C的左、右頂點分別為，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P，證明：點P在定直線上．【變式3】（23-24高三上·河北唐山·階段練習(xí)）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(1)求的方程；(2)記C的右頂點為A，過點A作直線與C的左支交于兩點，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．考點二比值型規(guī)律方法比值型問題適用于x1＝λx2型，可以采用倒數(shù)相加，但有時得到的可能不是這種形式，而是x1＝λx2＋k的形式，此時采用待定系數(shù)法，例如x1＝－3x2＋4，可以轉(zhuǎn)化x1－1＝－3(x2－1)，得到eq\f(x1－1,x2－1)＝－3，繼續(xù)采用倒數(shù)相加解決．【例2】(2023·深圳模擬)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝eq\f(\r(3),3)x，且點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\r(2)))在C上．(1)求C的方程；(2)設(shè)C的上焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝7eq\o(BF,\s\up6(→))，求l的斜率．【變式1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知分別為雙曲線的左?右頂點，，動直線與雙曲線交于兩點．當(dāng)軸，且時，四邊形的面積為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)均在雙曲線的右支上，直線與分別交軸于兩點，若，判斷直線是否過定點．若過，求出該定點的坐標(biāo)；若不過，請說明理由．【變式2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓C：的左右頂點為A，B，點P為橢圓C上不同于A，B的一點，且直線PA，PB的斜率之積為．(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)為橢圓C的左焦點，直線l過點F與橢圓C交與不同的兩點M，N，且，求直線l的斜率．【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，點在C上，點P與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點的直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(異于點P)，過點F作平行于x軸的直線，直線PE與交于點D，且求直線AB的斜率．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·江西·一模）已知橢圓：的右焦點和上頂點分別為，且焦距等于4，的延長線交橢圓于點，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知點在雙曲線上，斜率為k的直線l過點且不過點P．若直線l交C于M，N兩點，且，則（

）A． B． C． D．3．（2023·河南·三模）過拋物線的焦點F作斜率為k的直線與拋物線交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（23-24高二下·吉林·開學(xué)考試）如圖，已知拋物線，圓，過圓心的直線與拋物線和圓依次交于，則的最小值為（

）A．14 B．23 C．18 D．155．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)拋物線的焦點為F，C的準(zhǔn)線與x軸交于點A，過A的直線與C在第一象限的交點為M，N，且，則直線MN的斜率為（）A． B． C． D．6．（23-24高二上·北京·期中）已知橢圓的上、下頂點為，過點的直線與橢圓相交于兩個不同的點（在線段之間），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，過橢圓的上焦點作斜率為的直線，直線交橢圓于兩點，若，則（

）A． B． C． D．8．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知點在雙曲線：（）上，斜率為的直線過點且不過點．若直線交于，兩點，且以線段為直徑的圓過點，則（

）A． B． C． D．二、多選題1．（23-24高三上·山東青島·期末）已知橢圓，直線與相交于兩點，，若橢圓恒過定點，則下列說法正確的是（

）A． B．C．|AB|的長可能為3 D．|AB|的長可能為42．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）雙曲線：，左、右頂點分別為，，為坐標(biāo)原點，如圖，已知動直線與雙曲線左、右兩支分別交于，兩點,與其兩條漸近線分別交于，兩點,則下列命題正確的是（

）A．存在直線，使得B．在運動的過程中，始終有C．若直線的方程為，存在，使得取到最大值D．若直線的方程為，，則雙曲線的離心率為3．（23-24高三上·遼寧大連·期末）已知橢圓左焦點，左頂點，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點（點在第一象限），則下列說法正確的是（

）A．若，則的斜率B．的最小值為C．以為直徑的圓與圓相切D．若直線的斜率為，則三、填空題1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知橢圓的左焦點為，直線與交于，兩點，若，則的離心率是.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線，過點的動直線與C交于兩點P，Q，若曲線C上存在某定點A使得為定值，則定點A的坐標(biāo)為．3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線C的焦點在y軸上，對稱中心O為坐標(biāo)原點，焦距為，且過點，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若斜率為2的直線l與C交于P，Q兩點．且，則．四、解答題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點為，直線：與的漸近線相交于點，，且的面積為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點F作直線與C的右支相交于M，N兩點，若x軸上的點G使得等式恒成立，求證：點的橫坐標(biāo)為.2．（2024·河北·一模）已知橢圓E：過點，且其離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點的斜率不為零的直線與橢圓E交于C，D兩點，A，B分別為橢圓E的左、右頂點，直線AC，BD交于一點P，M為線段PB上一點，滿足，問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由（O為坐標(biāo)原點）．3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，短軸長為，過點斜率存在且不為0的直線與橢圓有兩個不同的交點．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓左右頂點為，設(shè)中點為，直線交直線于點是否為定值？若是請求出定值，若不是請說明理由．4．（23-24高三上·福建福州·期末）已知橢圓的上、下頂點分別是A，B，點E（異于A，B兩點）在橢圓C上，直線EA與EB的斜率之積為，橢圓C的短軸長為2．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點Q是橢圓C長軸上的不同于左右頂點的任意一點，過點Q作斜率不為0的直線l，l與橢圓的兩個交點分別為P，N，若為定值，則稱點Q為“穩(wěn)定點”，問：是否存在這樣的穩(wěn)定點？若有，求出所有的“穩(wěn)定點”；若沒有，請說明理由．5．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）設(shè)橢圓，，分別是C的左、右焦點，C上的點到的最小距離為1，P是C上一點，且的周長為6．(1)求C的方程；(2)過點且斜率為k的直線l與C交于M，N兩點，過原點且與l平行的直線與C交于A，B兩點，求證：為定值．培優(yōu)點08圓錐曲線中非對稱韋達(dá)定理的應(yīng)用（2大考點+強(qiáng)化訓(xùn)練）在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去x或y，得到一個一元二次方程，往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理|x1－x2|，xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)，eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問題中，我們會遇到涉及x1，x2的不同系數(shù)的代數(shù)式的運算，比如求eq\f(x1,x2)，eq\f(3x1x2＋2x1－x2,2x1x2－x1＋x2)或λx1＋μx2之類的結(jié)構(gòu)，我們把這種系數(shù)不對等的結(jié)構(gòu)，稱為“非對稱韋達(dá)結(jié)構(gòu)”．知識導(dǎo)圖考點分類講解考點一分式型規(guī)律方法非對稱結(jié)構(gòu)的常規(guī)處理方法有和積轉(zhuǎn)換、配湊、求根公式(暴力法)、曲線方程代換、第三定義等方法，將其轉(zhuǎn)化為對稱結(jié)構(gòu)計算．【例1】(2023·新高考全國Ⅱ)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為(－2eq\r(5)，0)，離心率為eq\r(5).(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點(－4,0)的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P.證明：點P在定直線上．【解析】(1)解設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由焦點坐標(biāo)可知c＝2eq\r(5)，則由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，可得a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝4，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.(2)證明由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，顯然直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為x＝my－4，且－eq\f(1,2)<m<eq\f(1,2)，與eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1聯(lián)立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)>0，則y1＋y2＝eq\f(32m,4m2－1)，y1y2＝eq\f(48,4m2－1)，直線MA1的方程為y＝eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)，直線NA2的方程為y＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，聯(lián)立直線MA1與直線NA2的方程可得eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(y2x1＋2,y1x2－2)＝eq\f(y2my1－2,y1my2－6)＝eq\f(my1y2－2y2,my1y2－6y1)，方法一(和積轉(zhuǎn)化)因為my1y2＝eq\f(3,2)(y1＋y2)，所以eq\f(my1y2－2y2,my1y2－6y1)＝eq\f(\f(3,2)y1＋y2－2y2,\f(3,2)y1＋y2－6y1)＝eq\f(\f(3,2)y1－\f(1,2)y2,－\f(9,2)y1＋\f(3,2)y2)＝－eq\f(1,3).方法二(配湊)因為my1y2＝eq\f(3,2)(y1＋y2)，所以eq\f(my1y2－2y2,my1y2－6y1)＝eq\f(my1y2－2y1－2y2＋2y1,my1y2－6y1)＝eq\f(my1y2－2y1＋y2＋2y1,my1y2－6y1)＝eq\f(\f(3,2)y1－\f(1,2)y2,－\f(9,2)y1＋\f(3,2)y2)＝－eq\f(1,3).由eq\f(x＋2,x－2)＝－eq\f(1,3)可得x＝－1，即xP＝－1，據(jù)此可得點P在定直線x＝－1上運動．【變式1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左右焦點分別為，點在的漸近線上，且滿足.(1)求的方程；(2)點為的左頂點，過的直線交于兩點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，證明：線段的中點為定點.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助向量垂直的坐標(biāo)表示及雙曲線漸近線方程求出即可得解.（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及向量共線的坐標(biāo)表示求出的中點縱坐標(biāo)即可得解.【詳解】（1）設(shè)，，由，得，解得，即，而曲線的漸近線方程為，由點在的漸近線上，得，即，因此，所以的方程為.（2）由（1）知，設(shè)直線為，由消去y得：，則，，由三點共線，得，同理，因此，所以的中點為定點.【變式2】（23-24高三上·江蘇·開學(xué)考試）已知雙曲線．(1)求C的右支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）的個數(shù)．(2)記C的左、右頂點分別為，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P，證明：點P在定直線上．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意開始求整點通項,再應(yīng)用等差數(shù)列求和個數(shù)計算即可得；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標(biāo)分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計算可得，即交點的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點在定直線上.【詳解】（1）因為雙曲線方程為，令時,整點時為,整點個數(shù)為,區(qū)域內(nèi)部（不含邊界）整點為個.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點在定直線上運動.【點睛】關(guān)鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.【變式3】（23-24高三上·河北唐山·階段練習(xí)）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(1)求的方程；(2)記C的右頂點為A，過點A作直線與C的左支交于兩點，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由已知求出雙曲線參數(shù)，即可得方程；（2）法1：討論直線MN的斜率存在性，設(shè)直線方程聯(lián)立雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理及垂直關(guān)系列方程求所設(shè)直線中的參數(shù)關(guān)系，代入直線方程確定定點即可；法2：設(shè)直線MN方程為，聯(lián)立雙曲線得到，結(jié)合直線垂直關(guān)系、韋達(dá)定理求參數(shù)m，進(jìn)而確定定點.【詳解】（1）由題意，所以雙曲線方程；（2）法1：由（1）知，當(dāng)直線MN斜率存在時，設(shè)直線MN方程為，聯(lián)立方程組，，即，設(shè)，由韋達(dá)定理可得因為，所以，，，，或，將代入直線，此時直線MN過定點，不合題意；將代入直線，此時直線MN過定點，當(dāng)直線MN的斜率不存在時，不妨設(shè)直線方程為，因為，所以為等腰直角三角形，此時M點坐標(biāo)為，所以（舍）或，此時MN過定點，綜上可知，直線MN恒過定點.因為，此時存在以AP為斜邊的直角三角形，所以存在定點Q為AP中點滿足，此時．法2：由（1）知，設(shè)直線MN方程為，聯(lián)立方程組，，，兩邊同時除以，得，設(shè)，因為，所以，，，即，由韋達(dá)定理得，代入直線，直線過定點．因為，此時存在以AP為斜邊的直角三角形，所以存在定點Q為AP中點滿足，此時．【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)含參的直線MN方程，聯(lián)立雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理及已知垂直關(guān)系求得直線方程中參數(shù)關(guān)系或參數(shù)值為關(guān)鍵.考點二比值型規(guī)律方法比值型問題適用于x1＝λx2型，可以采用倒數(shù)相加，但有時得到的可能不是這種形式，而是x1＝λx2＋k的形式，此時采用待定系數(shù)法，例如x1＝－3x2＋4，可以轉(zhuǎn)化x1－1＝－3(x2－1)，得到eq\f(x1－1,x2－1)＝－3，繼續(xù)采用倒數(shù)相加解決．【例2】(2023·深圳模擬)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝eq\f(\r(3),3)x，且點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\r(2)))在C上．(1)求C的方程；(2)設(shè)C的上焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝7eq\o(BF,\s\up6(→))，求l的斜率．【解析】解(1)由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知，其漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，所以eq\f(\r(3),3)＝eq\f(a,b)，可得b2＝3a2，將點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\r(2)))代入雙曲線C的方程可得eq\f(2,a2)－eq\f(3,b2)＝1，解得a2＝1，b2＝3，所以雙曲線C的方程為y2－eq\f(x2,3)＝1.(2)由(1)可知，上焦點F(0,2)，設(shè)直線l的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線l的方程為y＝kx＋2，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2－\f(x2,3)＝1，,y＝kx＋2，))整理得(3k2－1)x2＋12kx＋9＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(12k,3k2－1)，x1x2＝eq\f(9,3k2－1)，又eq\o(AF,\s\up6(→))＝7eq\o(BF,\s\up6(→))，即(－x1,2－y1)＝7(－x2,2－y2)，可得x1＝7x2，方法一因為eq\f(x1,x2)＝7，所以eq\f(x1,x2)＋eq\f(x2,x1)＝eq\f(x1＋x22,x1x2)－2＝eq\f(50,7)，即eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12k,3k2－1)))2,\f(9,3k2－1))－2＝eq\f(50,7)，解得k＝±eq\f(2\r(5),5)，所以直線l的斜率為±eq\f(2\r(5),5).方法二eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝8x2＝－\f(12k,3k2－1)，,x1x2＝7x\o\al(2,2)＝\f(9,3k2－1)，))即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3k,23k2－1)))2＝eq\f(9,73k2－1)，解得k＝±eq\f(2\r(5),5)，所以直線l的斜率為±eq\f(2\r(5),5).方法三利用焦點弦定理(此方法只能在小題中使用)：|ecosα|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(λ－1,λ＋1))).由題意得eq\o(AF,\s\up6(→))＝－7eq\o(FB,\s\up6(→))，則λ＝－7，e＝2，α為直線l的傾斜角，則有|2cosα|＝eq\f(4,3)，解得|cosα|＝eq\f(2,3)，則k＝tanα＝±eq\f(2\r(5),5).【變式1】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知分別為雙曲線的左?右頂點，，動直線與雙曲線交于兩點．當(dāng)軸，且時，四邊形的面積為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)均在雙曲線的右支上，直線與分別交軸于兩點，若，判斷直線是否過定點．若過，求出該定點的坐標(biāo)；若不過，請說明理由．【答案】(1)(2)直線恒過定點【分析】（1）首先求點的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)表示梯形的面積，即可求解雙曲線方程；（2）首先根據(jù)條件設(shè)，并利用方程聯(lián)立求點的坐標(biāo)，并求直線的方程，化簡后即可求定點坐標(biāo).【詳解】（1）由知，．當(dāng)軸時，根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點在第一象限，則由，可得．代入雙曲線的方程，得．因為四邊形的面積為，所以．解得．所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因為，所以可設(shè)．直線的方程為，直線的方程為．又雙曲線的漸近線方程為，顯然直線與雙曲線的兩支各交于一點，直線與雙曲線的右支交于兩點，則有解得．由消去，得．設(shè)點，則．解得．所以．由消去，得．設(shè)點，則．解得．所以．當(dāng)直線不垂直于軸時，．所以直線的方程為．所以，也即．顯然直線恒過定點．當(dāng)直線垂直于軸時，由，得．此時．直線的方程為，恒過定點．綜上可知，直線恒過定點．【點睛】思路點睛：一般求直線過定點問題，需求出直線方程，轉(zhuǎn)化為含參直線過定點問題.【變式2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓C：的左右頂點為A，B，點P為橢圓C上不同于A，B的一點，且直線PA，PB的斜率之積為．(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)為橢圓C的左焦點，直線l過點F與橢圓C交與不同的兩點M，N，且，求直線l的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為，根據(jù)結(jié)合點在橢圓上求出的關(guān)系，再根據(jù)橢圓的離心率公式即可得解；（2）先求出橢圓方程，設(shè)直線的方程為，，根據(jù)求出的關(guān)系，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，進(jìn)而可求得，即可得解.【詳解】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為，因為，所以，整理得，即，故；（2）因為為橢圓的左焦點，則，故橢圓方程為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，設(shè)，則，因為，即，所以，所以，則，所以，所以，解得，所以直線l的斜率為．

【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，點在C上，點P與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點的直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(異于點P)，過點F作平行于x軸的直線，直線PE與交于點D，且求直線AB的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意知雙曲線焦點在軸上，設(shè)雙曲線方程為，將代入雙曲線方程，然后根據(jù)直線斜率公式即可得到關(guān)于的兩個方程，即可求解.（2）由題意設(shè)直線方程為，，，與雙曲線聯(lián)立后根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以表示出與，分直線的斜率是否存在兩種情況進(jìn)行討論，通過直線的方程表示出點的坐標(biāo)，由已知條件可知點為中點，進(jìn)而可將點坐標(biāo)及直線斜率用表示，通過之前求得的與即可進(jìn)行求解.【詳解】（1）第一步：根據(jù)點P在雙曲線上得a，b的關(guān)系式由題意設(shè)雙曲線C的方程為()，由點在C上，得．①第二步：根據(jù)直線的斜率公式得a，b的關(guān)系式設(shè)C的上、下焦點分別為，，則，解得，所以．②第三步：聯(lián)立方程解得，的值由①②得，，第四步：得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）第一步：設(shè)直線方程，聯(lián)立方程得根與系數(shù)的關(guān)系由題意可知，直線EF的斜率不為0，設(shè)直線EF的方程為，，，聯(lián)立，得方程組整理得所以，，解得，所以，，則．第二步：用，表示點D的坐標(biāo)當(dāng)直線PE的斜率不存在時，易得，，，，此時直線AB的斜率為．當(dāng)直線PE的斜率存在時，直線PE的方程為，所以點D的坐標(biāo)為，由，可得，第三步：用，表示點B的坐標(biāo)由，得點B為DF的中點，所以，則，第四步：根據(jù)斜率的計算公式求直線AB的斜率．所以．故直線AB的斜率為．【點睛】解決直線與雙曲線的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、雙曲線的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·江西·一模）已知橢圓：的右焦點和上頂點分別為，且焦距等于4，的延長線交橢圓于點，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得出直線的方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求出點的橫坐標(biāo)，再結(jié)合即可求出的值，進(jìn)而求出橢圓的離心率.【詳解】由題意可知：，，則直線的方程為：，設(shè)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，整理化簡可得：，則，又因為，所以，則有，解得：，所以，又，所以橢圓的離心率為，故選：.2．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知點在雙曲線上，斜率為k的直線l過點且不過點P．若直線l交C于M，N兩點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點在雙曲線求出雙曲線方程，根據(jù)可得，利用韋達(dá)定理代入即可求解.【詳解】因為點在雙曲線上，所以解得，所以雙曲線.設(shè)，，聯(lián)立整理得，所以，所以，，因為，所以，即，所以，整理得解得或，當(dāng)時，直線過點，不滿足題意，所以，故選:A.3．（2023·河南·三模）過拋物線的焦點F作斜率為k的直線與拋物線交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線方程消元后利用韋達(dá)定理得到坐標(biāo)之間的關(guān)系式，結(jié)合條件，解出即可.【詳解】由題知拋物線的焦點,則直線方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，則，，則，又因為，所以，所以，解得，故選：B.4．（23-24高二下·吉林·開學(xué)考試）如圖，已知拋物線，圓，過圓心的直線與拋物線和圓依次交于，則的最小值為（

）A．14 B．23 C．18 D．15【答案】A【分析】設(shè)點，分析可知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用拋物線的焦半徑公式以及基本不等式可求得的最小值.【詳解】易知拋物線的焦點為，設(shè)點，圓的半徑為1，由拋物線的定義可得，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，則，由韋達(dá)定理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)或時，等號成立，因此的最小值為14，故A正確.故選：A.5．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)拋物線的焦點為F，C的準(zhǔn)線與x軸交于點A，過A的直線與C在第一象限的交點為M，N，且，則直線MN的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，通過根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的焦半徑公式，建立方程，即可求解，【詳解】根據(jù)題意可得拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，則有，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，可得，則，得，故，設(shè)，，到準(zhǔn)線距離為，到準(zhǔn)線距離為，又，有，即，得，，又，解得，，又，解得.故選：A6．（23-24高二上·北京·期中）已知橢圓的上、下頂點為，過點的直線與橢圓相交于兩個不同的點（在線段之間），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意畫出圖形，分直線的斜率不存在和存在兩種情況求解，當(dāng)直線斜率不存在時，求得，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，由判別式大于0求得的范圍，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系寫出數(shù)量積，由得范圍求得的范圍．【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，，，此時；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率為，設(shè),則直線方程為，聯(lián)立，得，，得．，．．，，，則，綜上，的取值范圍是．故選：D．7．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，過橢圓的上焦點作斜率為的直線，直線交橢圓于兩點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)和長軸是短軸長的2倍可設(shè)橢圓方程，再聯(lián)立直線和橢圓方程通過韋達(dá)定理可求解出斜率，從而求得.【詳解】因為長軸長是短軸長的2倍，所以，而，則.設(shè)，直線的方程為代入橢圓方程可得，整理得，即.，.，，所以，則，即，化簡得，解得，因為，所以.故選：A.8．（2023·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知點在雙曲線：（）上，斜率為的直線過點且不過點．若直線交于，兩點，且以線段為直徑的圓過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點在雙曲線上求出雙曲線方程，根據(jù)線段為直徑的圓過點可得，利用韋達(dá)定理代入即可求解.【詳解】因為點在雙曲線：（）上，所以由解得，所以雙曲線，設(shè)，，，聯(lián)立整理得，因為直線交于，兩點，所以，，所以，，，，因為線段為直徑的圓過點，所以，所以，即，所以，整理得，解得或，當(dāng)時，直線過點，不滿足題意；當(dāng)時，滿足且；所以，故選：A二、多選題1．（23-24高三上·山東青島·期末）已知橢圓，直線與相交于兩點，，若橢圓恒過定點，則下列說法正確的是（

）A． B．C．|AB|的長可能為3 D．|AB|的長可能為4【答案】AC【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求出定點，再逐項判斷即得.【詳解】由消去得：，點在橢圓內(nèi)，必有，設(shè)，則，而，，由，得，即，整理得，因此，整理得，于是橢圓恒過定點，且，顯然，，A正確，B錯誤；，而，則，，因此，C正確，D錯誤.故選：AC【點睛】結(jié)論點睛：直線l：y=kx+b上兩點間的距離；直線l：x=my+t上兩點間的距離.2．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）雙曲線：，左、右頂點分別為，，為坐標(biāo)原點，如圖，已知動直線與雙曲線左、右兩支分別交于，兩點,與其兩條漸近線分別交于，兩點,則下列命題正確的是（

）A．存在直線，使得B．在運動的過程中，始終有C．若直線的方程為，存在，使得取到最大值D．若直線的方程為，，則雙曲線的離心率為【答案】BD【分析】根據(jù)與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個交點可對A項判斷；設(shè)直線：分別與雙曲線聯(lián)立，漸近線聯(lián)立，分別求出和坐標(biāo)，從而可對B、C項判斷；根據(jù)，求出，從而可對D項判斷.【詳解】對于A項：與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個交點，故A項錯誤；對于B項：設(shè)直線:，與雙曲線聯(lián)立，得：，設(shè)，，由根與系數(shù)關(guān)系得：，，所以線段中點，將直線：，與漸近線聯(lián)立得點坐標(biāo)為，將直線：與漸近線聯(lián)立得點坐標(biāo)為所以線段中點，所以線段與線段的中點重合，所以，故B項正確；對于C項：由B項可得，，因為為定值，當(dāng)越來越接近漸近線的斜率時，趨向于無窮，所以會趨向于無窮，不可能有最大值，故C項錯誤；對于D項：聯(lián)立直線與漸近線，解得，聯(lián)立直線與漸近線，解得由題可知，，所以即，解得，所以，故D項正確.故選：BD.3．（23-24高三上·遼寧大連·期末）已知橢圓左焦點，左頂點，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點（點在第一象限），則下列說法正確的是（

）A．若，則的斜率B．的最小值為C．以為直徑的圓與圓相切D．若直線的斜率為，則【答案】BCD【分析】對于A，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及即可驗算；對于B，由弦長公式、韋達(dá)定理可得為定值，結(jié)合基本不等式之“乘1法”即可判斷；對于C，結(jié)合橢圓定義以及兩點間距離公式即可判斷C；對于D，由韋達(dá)定理以及斜率公式即可判斷D.【詳解】易知：，對于A，若，顯然直線的斜率存在且大于0，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，化簡整理得，顯然又，故，由，解得，又，故，A錯誤；對于B，由點在軸的上方，顯然，又，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，B正確；對于C，設(shè)，的中點為，則，又，由橢圓定義知：，即，又的圓心為，半徑為2，故以（）為直徑的圓與圓相切，C正確；對于D，，，D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點睛：判斷B選項的關(guān)鍵是首先得出為定值，判斷C選項的關(guān)鍵是結(jié)合橢圓定義以及圓相切的條件，從而即可順利得解.三、填空題1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）已知橢圓的左焦點為，直線與交于，兩點，若，則的離心率是.【答案】【分析】依題意，設(shè)，因為，則有，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理得到，從而得到離心率.【詳解】設(shè)，因為，所以，所以.聯(lián)立整理得，則，，從而，整理得，故，故答案為：.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線，過點的動直線與C交于兩點P，Q，若曲線C上存在某定點A使得為定值，則定點A的坐標(biāo)為．【答案】【分析】先列出直線和雙曲線聯(lián)立，再得到的表達(dá)式，要使得為定值，則需滿足各項對應(yīng)的系數(shù)成比例，求出點坐標(biāo).【詳解】設(shè)，若直線斜率不存在，此時為軸，與雙曲線沒有交點，所以可令，，，則，由，可得，易知，則，，所以，所以，即，將代入，得，則，從而，解得或，當(dāng)，時，此時不在雙曲線上，舍去；當(dāng)，時，此時在雙曲線上，滿足題意；綜上，.故答案為：3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線C的焦點在y軸上，對稱中心O為坐標(biāo)原點，焦距為，且過點，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若斜率為2的直線l與C交于P，Q兩點．且，則．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線上的點，結(jié)合雙曲線的定義可求得雙曲線方程；設(shè)直線，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求得參數(shù)m，再根據(jù)弦長公式即可求得．【詳解】由已知，可設(shè)焦點坐標(biāo)為根據(jù)雙曲線的定義可知：即，解得：，又，解得故雙曲線的方程為：；設(shè)直線聯(lián)立方程組，可得：，，，解得，因此．四、解答題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點為，直線：與的漸近線相交于點，，且的面積為.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點F作直線與C的右支相交于M，N兩點，若x軸上的點G使得等式恒成立，求證：點的橫坐標(biāo)為.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）首先求點的坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)表示的面積，即可求解雙曲線方程；（2）首先由幾何關(guān)系確定，再利用坐標(biāo)表示，代入韋達(dá)定理，即可求解.【詳解】（1）雙曲線的漸近線方程為，直線與漸近線的交點坐標(biāo)為，不妨設(shè)，，，則，即，所以，且，得，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由可知，，根據(jù)正弦定理可知，，而，所以，所以，則，所以,設(shè)直線，，聯(lián)立，得，，，，，，所以，即，則，解得：，所以點的橫坐標(biāo)為2．（2024·河北·一模）已知橢圓E：過點，且其離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點的斜率不為零的直線與橢圓E交于C，D兩點，A，B分別為橢圓E的左、右頂點，直線AC，BD交于一點P，M為線段PB上一點，滿足，問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明