分析力學(xué)解題指導(dǎo)

但是拉氏方程的物理圖象不如牛頓力學(xué)直觀，這是它的不足之處。在應(yīng)用拉格朗日方程解題時一般方法是：首先正確判斷力學(xué)體系的自由度，并選擇適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)；。判斷是否是保守力場，從而決定選用方程類別；是保守力場時采用，不是保守力場，或力場性質(zhì)不明及不易判斷情況下要采用一般形式的拉格朗日方程：求出的速度一定要采用絕對速度。這是動能表達(dá)式中所需要的。在保守系力場中，確定體系勢能時應(yīng)先確定零勢面。按廣義坐標(biāo)建立個方程后，馬上檢查是否存在循環(huán)坐標(biāo)（拉氏函數(shù)中不顯含某一廣義坐標(biāo)，此為循壞坐標(biāo)），馬上就可以寫出它的第一積分；若采用一般形式的拉格朗日方程，就要求廣義力。廣義力的求法是：按定義求：其中是作用在力學(xué)體系的第個質(zhì)點(diǎn)上的主動力，是第個指點(diǎn)的位矢。在完整系中，廣義力與廣義坐標(biāo)相對應(yīng)，它們的個數(shù)都等于自由度數(shù)。廣義力還可以寫成：將坐標(biāo)變換式代入上式，計算后求得。按虛功求：虛功原理用廣義力與廣義位移表示為：故僅給廣義坐標(biāo)中之一的變化，其余個獨(dú)立坐標(biāo)不變，這樣可求得所有主動力在相應(yīng)上所做元功之和。令則同理，可求出，或在約束條件許可下，彼此獨(dú)立。當(dāng)都不為零時，前的系數(shù)即為各廣義力。據(jù)題意讀者可選擇上述任一方法求出廣義力來。檢查方程數(shù)目是否與自由度相符，用高等數(shù)學(xué)知識解之。(三)哈密頓正則方程哈密頓把拉氏函數(shù)中的廣義速度用廣義動量代替，并寫成，這樣做的目的是通過引入新函數(shù)的方法達(dá)到把個二階微分方程組降到個一階微分方程。雖然方程數(shù)目增加了一倍，但方程的階數(shù)卻從二階降到一階，因此簡化了計算工作，而且為量子力學(xué)的應(yīng)用開辟了方便之門。由于正則方程形式簡單并且對稱，廣義動量在物理學(xué)中的應(yīng)用又比廣義速度更重要，所以哈密頓正則方程被認(rèn)為是從經(jīng)典物理過渡到近代物理的最方便形式。應(yīng)用哈密頓正則方程建立力學(xué)體系運(yùn)動微分方程的方法和基本步驟，建議按照下列順序進(jìn)行。首先要判斷力學(xué)體系的約束類型，分析主動力的性質(zhì)。只有力學(xué)系統(tǒng)具有完整、理想約束，且為保守力系時才可以運(yùn)用正則方程；確定自由度并選擇廣義坐標(biāo)；寫出拉氏函數(shù)，并注意到零勢面的確定；正確寫出力學(xué)體系的哈密頓函數(shù)；一般情況可采用兩種方法：①采用勒讓德變換：②在體系是穩(wěn)定的約束情況下：。正則方程存在廣義能量積分即，也就是說，在穩(wěn)定約束時，哈密頓函數(shù)可以直接等于力學(xué)體系的動能和勢能（總能量）。不管用哪種方法得到哈氏函數(shù)，都必須表示成廣義坐標(biāo)和廣義動量有時還含有時間的函數(shù)。否則，不符題意，從而導(dǎo)出錯誤結(jié)論。體系是否為穩(wěn)定約束的判別，主要以判別體系的動能是否是廣義速度的二次齊次函數(shù)為依據(jù)。若動能是廣義速度的二次齊次式，則體系為穩(wěn)定的，即。當(dāng)動能不是廣義速度的二次齊次式，體系就不穩(wěn)定。5,要注意是否存在廣義坐標(biāo)積分，如果存在循環(huán)坐標(biāo)，就可把與之對應(yīng)的動量積分表示出來：；這時廣義動量守恒，正則方程就存在廣義積分，即為哈密頓動力學(xué)中廣義動量守恒原理。這和拉氏函數(shù)中不含有某個廣義坐標(biāo)是完全等價的。又為循環(huán)坐標(biāo)。存在循環(huán)坐標(biāo)對問題的求解將帶來方便。顯然，廣義動量積分的多少與廣義坐標(biāo)的選擇有著密切的關(guān)系，而如何尋求更多的循環(huán)坐標(biāo)，則是一個重要的技巧問題。6，將哈密頓函數(shù)代入正則方程中，經(jīng)過運(yùn)算、整理就得出力學(xué)體系的運(yùn)動微分方程組。然后，檢查方程數(shù)是否符合個（四）哈密頓原理矢量力學(xué)中的基礎(chǔ)是牛頓運(yùn)動方程；而哈密頓原理是和牛頓運(yùn)動定律等價的原理，并且常常被用來推導(dǎo)其他的原理、定律及方程，甚至牛頓定律也可以認(rèn)為是哈密頓原理的必然結(jié)果。所以，人們常常把拉格朗日函數(shù)對時間的積分求變分為完整系統(tǒng)動力學(xué)普通原理。即哈密頓原理的特殊價值，在于它使我們有了可以用同一的方式來處理不同物理領(lǐng)域的定律（力學(xué)、電動力學(xué)、統(tǒng)計物理、量子力學(xué)......）。這就開辟了極為廣闊的推廣范圍，可以說只要能寫出拉格朗日函數(shù)就可以用哈密頓原理求出體系的運(yùn)動方程。用哈密頓原理解題步驟是：1，判斷力學(xué)體系的約束類型，確定是否是保守力系？2，確定自由度并選擇廣義坐標(biāo)；3，寫出拉格朗日函數(shù)；動能，勢能為廣義坐標(biāo)標(biāo)，廣義速度的函4，直接代入主函數(shù)中。5，對主函數(shù)求極值即求出力學(xué)體系的真實(shí)運(yùn)動來。注意，這兒應(yīng)用的是等時變分的概念：6,經(jīng)過運(yùn)算而得到運(yùn)動微分方程。（五）正則變換正則變換理論是研究和求解力學(xué)問題的一個有力工具。每當(dāng)直接積分運(yùn)動微分方程有困難時，我們便可試圖引入彝族有利于解決問題的新變量。也就是說，井陘坐標(biāo)和動量的變換，使新的哈密頓函數(shù)中能出現(xiàn)一些新的坐標(biāo)，從而可以很方便地直接積分。正則變換的解題關(guān)鍵，在于母函數(shù)的選擇，由于母函數(shù)的不同就可進(jìn)行不同形式的正則變換，其方法和步驟是：1，確定自由度，選擇廣義坐標(biāo)；2，寫出廣義坐標(biāo)和廣義動量為函數(shù)的哈密頓函數(shù)來3，選擇一個適當(dāng)?shù)哪负瘮?shù)來；4，利用所設(shè)母函數(shù)寫出正則變換方程：5，由得到新的哈氏函數(shù)6，按新變量求解，因?yàn)槎际腔ハ嗒?dú)立的，所以，，在新變數(shù)中，諸為循環(huán)坐標(biāo)，得到上述新的正在方程.7，再用舊變量寫出體系的運(yùn)動方程來?？傊鉀Q分析力學(xué)諸問題，若按照上述一定之