凸函數(shù)定義及其應(yīng)用

PAGE3目錄摘要 IIIAbstract IV第一章引言 1第二章凸函數(shù)的定義及性質(zhì) 22.1定義 22.2凸函數(shù)的分析性質(zhì) 2第三章關(guān)于凸函數(shù)的六個(gè)等價(jià)定義 6第四章凸函數(shù)在不等式中的應(yīng)用 94.1Jensen不等式 94.2一般不等式 104.3Cauchy不等式 114.4Holder不等式 12第五章結(jié)束語(yǔ) 14參考文獻(xiàn) 15致謝 16第一章引言凸函數(shù)是一類(lèi)常見(jiàn)的重要函數(shù)，有著十分廣泛的應(yīng)用，比如凸函數(shù)與連續(xù)性，可導(dǎo)性之間的聯(lián)系，凸函數(shù)在不等式證明方面的應(yīng)用，使得在函數(shù)逼近，誤差估計(jì)方面有著重要作用。不同數(shù)學(xué)教材中常常會(huì)給出不同的定義。凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)乃至函數(shù)論等數(shù)學(xué)分支研究的重要內(nèi)容之一，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用凸函數(shù)的性質(zhì)是證明不等式的一種重要的方法與手段.對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的形數(shù)結(jié)合能力、邏輯推理能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，具有重要的實(shí)際意義.因此，掌握好凸函數(shù)的概念、性質(zhì)以及應(yīng)用是我們每一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)工作者必須具備的基本素質(zhì)。許多數(shù)學(xué)文獻(xiàn)對(duì)于凸函數(shù)的定義往往僅介紹一種，其性質(zhì)的介紹也不很完整，本文就凸函數(shù)的定義與等價(jià)定義、凸函數(shù)的性質(zhì)及其在不等式證明中的應(yīng)用進(jìn)行系統(tǒng)的闡述。第二章凸函數(shù)的定義及性質(zhì)在很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析與證明中，我們都需要用到凸函數(shù)，例如數(shù)學(xué)分析、函數(shù)論、泛函分析、最優(yōu)理論當(dāng)中。常用的凸函數(shù)有兩種，一種叫上凸函數(shù)，即曲線位于每一點(diǎn)切線的下方或曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線上方的函數(shù)；另一種叫下凸函數(shù)，即曲線每一點(diǎn)切線或曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線下方的函數(shù)。2.1定義上面對(duì)上、下凸函數(shù)做了直觀的描述，現(xiàn)在我們用數(shù)學(xué)分析式子給出精確定義。定義2.1.1如果函數(shù)在上連續(xù)，對(duì)上任意不同的兩點(diǎn)有，則稱在[a,b]是上凸的，即為上的上凸函數(shù)。定義2.1.2如果函數(shù)在上連續(xù)，對(duì)上任意不同的兩點(diǎn)有，則稱在[a,b]是下凸的，即為上的下凸函數(shù)。注（1）若將定義2.1.1中的改為“>”，則稱為區(qū)間上的嚴(yán)格上凸函數(shù)。（2）若將定義2.1.2中的改為“<”，則稱為區(qū)間上的嚴(yán)格下凸函數(shù)。2.2凸函數(shù)的幾個(gè)分析性質(zhì)引理2.2.1若直線過(guò)點(diǎn)的直線方程為，則有，其中定理2.2.2若在上為下凸函數(shù)，則有，其中(1)證明由下凸函數(shù)的定義，第二個(gè)不等式顯然成立，又（此處與引理2.2.1定義相同）故定理2.2.3若在上為下凸函數(shù)，任取，有（2）證明：由下凸函數(shù)的定義（3）由得同樣通過(guò)不等式的變換可以得到（2）的第二部分。即（2）得證。定理2.2.4若在上為下凸函數(shù)，則在上有界。證明任取,則有令相應(yīng)地令故在上有界。定理2.2.5若在上為下凸函數(shù)，則在上連續(xù).證任取,取充分小，使，由定理2.2.3，當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有故故，所以在上連續(xù)。定理2.2.6若在上為下凸函數(shù)，則在上可積，且（4）證由定理2.2.5，在上最多除外連續(xù)，故在上可積，將等分為個(gè)小區(qū)間，取有又故有第三章關(guān)于凸函數(shù)的六個(gè)等價(jià)定義定義3.1.1設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，在區(qū)間內(nèi)連續(xù)若對(duì)任意，有則稱在區(qū)間內(nèi)的上凸函數(shù)。若對(duì)任意，有則稱在區(qū)間內(nèi)的下凸函數(shù)。定義3.1.2設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義若對(duì)任意，有則稱在區(qū)間內(nèi)的上凸函數(shù)。若對(duì)任意，有則稱在區(qū)間內(nèi)的下凸函數(shù)。定義3.1.3設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義若對(duì)任意，有則稱在區(qū)間內(nèi)的上凸函數(shù)。若對(duì)任意，有則稱在區(qū)間內(nèi)的下凸函數(shù)。定義3.1.4設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若對(duì)任意，對(duì)任意有則稱在區(qū)間內(nèi)的上凸函數(shù)。若對(duì)任意，對(duì)任意有則稱在區(qū)間內(nèi)的下凸函數(shù)。定義3.1.5設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若對(duì)任意，且有則稱在區(qū)間內(nèi)的上凸函數(shù)。若對(duì)任意，且有則稱在區(qū)間內(nèi)的下凸函數(shù)。定義3.1.6設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，在區(qū)間內(nèi)連續(xù)若對(duì)任意有則稱在區(qū)間內(nèi)的上凸函數(shù)。若對(duì)任意有則稱在區(qū)間內(nèi)的下凸函數(shù)。第四章凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用在現(xiàn)代科技中，常常需要運(yùn)用不等式的知識(shí)對(duì)一些量的大小進(jìn)行估計(jì)，因而不等式也就顯得很重要。由于凸函數(shù)的定義是由不等式給出的，基于此，凸函數(shù)對(duì)證明某些特殊的不等式是頗為行之有效的。4.1Jensen不等式Jensen不等式（5）定理4.1.1設(shè)均為正數(shù)，則對(duì)任意有（6）這是Jensen不等式的另一種形式。證設(shè)，則，為下凸函數(shù)。（I）當(dāng)時(shí)，即，令由Jensen不等式的（5）得將上式兩邊次方，并令即得（6）式。（II）當(dāng)時(shí)，即，類(lèi)似可證，只要注意到兩邊次方后不等式反向即可。（III）當(dāng)時(shí)，即，證明完全同（I）。（IV）當(dāng)之一為0時(shí)，不妨設(shè)，則存在；，于是定理4.1.2若均在上可積且，，且在上為下凸的，則（7）這是Jensen不等式的積分形式。證由于在上可積。在上是下凸的從而連續(xù)，且因此在區(qū)間上可積，又因，總存在，對(duì)于任意分法，當(dāng)時(shí)，積分和，將區(qū)間n等分，使得，那么，由Jensen不等式（5）得：將上式取極限：，由于得連續(xù)性和的可積即得（7）式4.2一般不等式例4.2.1對(duì)任意不等的正數(shù)和均有證設(shè)，顯然為下凸函數(shù)，由下凸函數(shù)的性質(zhì)知，對(duì)任意不等的有，即令，代入上式即得的結(jié)論.例4.2.2設(shè)，則證設(shè)，則，從而為凸函數(shù)，于是由Jensen不等式（5）得兩邊同除以（-1）再取以為底的指數(shù)再次方即得。4.3Cauchy不等式定理4.3.1對(duì)任意正數(shù)都有（8）證設(shè)，，則，所以為下凸函數(shù)，由Jensen不等式（5）得：，即取，代入上式得：兩邊開(kāi)平方即得（8）。4.4Holder不等式定理4.4.1對(duì)于任意正數(shù)和一對(duì)滿足的實(shí)數(shù)都有(I)若，則（9）(II)若，則證設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，從而為下凸函數(shù)，由Jensen不等式（5）得：，即取代入上式得兩邊次方，并取即得（9）式。當(dāng)證明類(lèi)似。定理4.4.2設(shè)均為正數(shù)，均為正數(shù)且，則（10）證平均不等式由平均不等式第二部分得于是有=從而得到（10）式。選擇不同的凸函數(shù)，利用基本不等式和Jensen不等式還可以證明許多其他有趣的不等式，在此就不再詳細(xì)陳述了。參考文獻(xiàn)[1]華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上）.北京：高等教育出版社.[2]斐禮文主編.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京：高等教育出版社.1993年5月第一版.[3]嚴(yán)子謙，尹景學(xué)，張然.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社.2004年5月第一版.[4]歐陽(yáng)光中，姚永龍，周淵.數(shù)學(xué)分析[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社.2002年