江蘇專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式推理與證明數(shù)學(xué)歸納法7.1不等關(guān)系與不等式教案含解析

PAGEPAGE1第七章不等式、推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法考試內(nèi)容等級要求基本不等式C一元二次不等式C線性規(guī)劃A合情推理與演繹推理B分析法與綜合法A反證法A數(shù)學(xué)歸納法的原理A數(shù)學(xué)歸納法的簡潔應(yīng)用B§7.1不等關(guān)系與不等式考情考向分析以理解不等式的性質(zhì)為主，在高考中主要以填空題形式考查不等式的性質(zhì)；以主觀題形式考查不等式與其他學(xué)問的綜合．屬低檔題．1．兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b,a－b＝0?a＝b,a－b<0?a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?a>b,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)<1?a<b))(a∈R，b>0)2．不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特殊提示對稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bc留意c的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n>1)a，b同為正數(shù)可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，且n>1)a，b同為正數(shù)概念方法微思索1．若a>b，且a與b都不為0，則eq\f(1,a)與eq\f(1,b)的大小關(guān)系確定嗎？提示不確定．若a>b，ab>0，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，即若a與b同號，則分子相同，分母大的反而??；若a>0>b，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，即正數(shù)大于負(fù)數(shù)．2．兩個同向不等式可以相加和相乘嗎？提示可以相加但不肯定能相乘，例如2>－1，－1>－3.題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種．(√)(2)若eq\f(a,b)>1，則a>b.(×)(3)一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù)，不等號方向不變．(×)(4)a>b>0，c>d>0?eq\f(a,d)>eq\f(b,c).(√)(5)ab>0，a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(√)題組二教材改編2．[P3練習(xí)T1]若a，b都是實數(shù)，則“eq\r(a)－eq\r(b)>0”是“a2－b2>0”的________條件．答案充分不必要解析eq\r(a)－eq\r(b)>0?eq\r(a)>eq\r(b)?a>b?a2>b2，但由a2－b2>0≠eq\r(a)－eq\r(b)>0.3．[P66練習(xí)T1]雷電的溫度大約是28000℃，比太陽表面溫度的4.5倍還要高．設(shè)太陽表面溫度為t℃，那么t應(yīng)滿意的關(guān)系式是________．答案4.5t<28000解析由題意得，太陽表面溫度的4.5倍小于雷電的溫度，即4.5t<28000.題組三易錯自糾4．若a>b>0，c<d<0，則下列肯定正確的序號為________．①eq\f(a,c)－eq\f(b,d)>0；②eq\f(a,c)－eq\f(b,d)<0；③eq\f(a,d)>eq\f(b,c)；④eq\f(a,d)<eq\f(b,c).答案④解析∵c<d<0，∴0<－d<－c，又0<b<a，∴－bd<－ac，即bd>ac，又∵cd>0，∴eq\f(bd,cd)>eq\f(ac,cd)，即eq\f(b,c)>eq\f(a,d).當(dāng)a＝5，c＝－5，b＝4，d＝－4時，易知①②不正確．5．設(shè)a，b∈R，則“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的____________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析若a>2且b>1，則由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分條件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，則“a>2且b>1”不肯定成立，如a＝6，b＝eq\f(1,2).所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要條件．6．若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍是__________．答案(－π，0)解析由－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，α<β，得－π<α－β<0.題型一比較兩個數(shù)(式)的大小例1(1)若a<0，b<0，則p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)與q＝a＋b的大小關(guān)系為________．答案p≤q解析(作差法)p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，因為a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，則p－q＝0，故p＝q；若a≠b，則p－q<0，故p<q.綜上，p≤q.(2)若P＝eq\r(a＋3)－eq\r(a＋2)，Q＝eq\r(a＋2)－eq\r(a＋1)(a>0)，則P，Q的大小關(guān)系是________．答案P<Q解析Q－P＝(eq\r(a＋2)－eq\r(a＋1))－(eq\r(a＋3)－eq\r(a＋2))＝eq\f(1,\r(a＋2)＋\r(a＋1))－eq\f(1,\r(a＋3)＋\r(a＋2))>0，所以P<Q.(3)若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，則a，b，c的大小關(guān)系為________．答案c<b<a解析方法一易知a，b，c都是正數(shù)，eq\f(b,a)＝eq\f(3ln4,4ln3)＝log8164<1，所以a>b；eq\f(b,c)＝eq\f(5ln4,4ln5)＝log6251024>1，所以b>c.即c<b<a.方法二對于函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(lnx,x)，y′＝eq\f(1－lnx,x2)，易知當(dāng)x>e時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．因為e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.(4)已知a>b>0，比較aabb與abba的大?。狻遝q\f(aabb,abba)＝eq\f(aa－b,ba－b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b，又a>b>0，故eq\f(a,b)>1，a－b>0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b>1，即eq\f(aabb,abba)>1，又abba>0，∴aabb>abba，∴aabb與abba的大小關(guān)系為aabb>abba.思維升華比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④結(jié)論．(2)作商法：①作商；②變形；③推斷商與1的大小關(guān)系；④結(jié)論．(3)函數(shù)的單調(diào)性法．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，則M，N的大小關(guān)系為________．答案M>N解析因為M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>0，且a≠7，則77aa和7aa7的大小關(guān)系為________．答案77aa>7aa7解析eq\f(77aa,7aa7)＝77－aaa－7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a，則當(dāng)a>7時，0<eq\f(7,a)<1,7－a<0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a>1，∴77aa>7aa7；當(dāng)0<a<7時，eq\f(7,a)>1,7－a>0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a>1，∴77aa>7aa7.綜上，77aa>7aa7.題型二不等式的性質(zhì)1．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2中，正確的不等式有________．(填序號)答案①④解析因為eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，所以b<a<0，a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，|a|<|b|，在b<a兩邊同時乘以b，因為b<0，所以ab<b2.因此正確的是①④.2．已知a，b，c滿意c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中肯定成立的是________．(填序號)①ab>ac；②c(b－a)<0；③cb2<ab2；④ac(a－c)>0.答案①解析由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.由b>c，得ab>ac肯定成立．3．設(shè)a>b>1，c<0，給出下列三個結(jié)論：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中全部正確結(jié)論的序號是________．答案①②③解析由不等式性質(zhì)及a>b>1，知eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又c<0，∴eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，①正確；構(gòu)造函數(shù)y＝xc，∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是單調(diào)遞減的，又a>b>1，∴ac<bc，②正確；∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴l(xiāng)ogb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正確．思維升華常用方法：一是用性質(zhì)逐個驗證；二是用特殊值法解除．利用不等式的性質(zhì)推斷不等式是否成立時要特殊留意前提條件．題型三不等式性質(zhì)的應(yīng)用命題點1應(yīng)用性質(zhì)推斷不等式是否成立例2已知a>b>0，給出下列四個不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)；④a3＋b3>2a2b.其中肯定成立的不等式為________．(填序號)答案①②③解析由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函數(shù)f(x)＝2x在R上是增函數(shù)，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴eq\r(a)>eq\r(b)，∴(eq\r(a－b))2－(eq\r(a)－eq\r(b))2＝2eq\r(ab)－2b＝2eq\r(b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0，∴eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)，③成立；若a＝3，b＝2，則a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．命題點2求代數(shù)式的取值范圍例3已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.引申探究1．若將本例條件改為－1<x<y<3，求x－y的取值范圍．解∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4.又∵x<y，∴x－y<0，∴－4<x－y<0，故x－y的取值范圍為(－4,0)．2．若將本例條件改為－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍．解設(shè)3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2).))即3x＋2y＝eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，∴－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(x＋y)<10,1<eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(3,2)，∴－eq\f(3,2)<eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(23,2)，即－eq\f(3,2)<3x＋2y<eq\f(23,2)，∴3x＋2y的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(23,2))).思維升華(1)推斷不等式是否成立的方法①逐一給出推理推斷或反例說明．②結(jié)合不等式的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行推斷．(2)求代數(shù)式的取值范圍一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關(guān)系的運算求得整體范圍．跟蹤訓(xùn)練2(1)若a<b<0，則下列不等式肯定成立的是________．(填序號)①eq\f(1,a－b)>eq\f(1,b)； ②a2<ab；③eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1)； ④an>bn(n∈N*)．答案③解析(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐個檢驗，可知①②④項均不正確；③項，eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1)?|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)?|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|?|b|<|a|，∵a<b<0，∴|b|<|a|成立，故填③.(2)設(shè)a>b>c>0，x＝eq\r(a2＋b＋c2)，y＝eq\r(b2＋c＋a2)，z＝eq\r(c2＋a＋b2)，則x，y，z的大小關(guān)系是________．(用“>”連接)答案z>y>x解析方法一由題易知，x>0，y>0，z>0，又y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.同理，z>y，∴z>y>x.方法二令a＝3，b＝2，c＝1，則x＝eq\r(18)，y＝eq\r(20)，z＝eq\r(26)，故z>y>x.1．下列命題中，正確的序號是________．①若a>b，c>d，則ac>bd；②若ac>bc，則a>b；③若eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，則a<b；④若a>b，c>d，則a－c>b－d.答案③解析①取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知①錯誤；②當(dāng)c<0時，ac>bc?a<b，所以②錯誤；③因為eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，所以c≠0，又c2>0，所以a<b，③正確；④取a＝c＝2，b＝d＝1，可知④錯誤，故填③.2．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)，g(x)的大小關(guān)系是________．答案f(x)>g(x)解析f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，則f(x)>g(x)．3．對于0<a<1，給出下列四個不等式：①loga(1＋a)<logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))；②loga(1＋a)>logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))；③a1＋a<；④a1＋a>.其中正確的不等式是________．(填序號)答案②④解析當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y＝logax與y＝ax均為(0，＋∞)上的減函數(shù)．∵0<a<1，∴1＋a<1＋eq\f(1,a)，∴②④正確．4．若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范圍是________．答案(9,30)解析∵c＝a＋b≤3a且c＝a＋b≥eq\f(3a,2)，∴9<eq\f(3a,2)≤a＋b≤3a<30.5．設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則s，t的大小關(guān)系為________．答案t≤s解析s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.6．若α，β滿意－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則2α－β的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))解析∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<2α<π.∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(3π,2).又α－β<0，α<eq\f(π,2)，∴2α－β<eq\f(π,2).∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2).7．已知a＋b>0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關(guān)系是________．答案eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)解析eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).8．已知有三個條件：①ac2>bc2；②eq\f(a,c)>eq\f(b,c)；③a2>b2，其中能成為a>b的充分條件的是________．答案①解析由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分條件；②當(dāng)c<0時，a<b；③當(dāng)a<0，b<0時，a<b，故②③不是a>b的充分條件．9．已知a，b，c，d均為實數(shù)，有下列命題：①若ab>0，bc－ad>0，則eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；②若ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，則bc－ad>0；③若bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，則ab>0.其中正確的命題是________．(填序號)答案①②③解析∵ab>0，bc－ad>0，∴eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＝eq\f(bc－ad,ab)>0，∴①正確；∵ab>0，又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，∴bc－ad>0，∴②正確；∵bc－ad>0，又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，∴ab>0，∴③正確．故①②③都正確．10．設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，則T1與T2的大小關(guān)系為________．答案T1<T2解析T1－T2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0.故T1<T2.11．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)；(2)已知c>a>b>0，求證：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).證明(1)∵bc≥ad，bd>0，∴eq\f(c,d)≥eq\f(a,b)，∴eq\f(c,d)＋1≥eq\f(a,b)＋1，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(由a>b>0?\f(1,a)<\f(1,b)，,c>0))?eq\f(c,a)<eq\f(c,b)?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(c－a,a)<\f(c－b,b)，,c－a>0，,c－b>0))?eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).12．已知1<a<4,2<b<8，試求a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．解因為1<a<4,2<b<8，所以－8<－b<－2.所以1－8<a－b<4－2，即－7<a－b<2.又因為eq\f(1,8)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)<eq\f(a,b)<eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)<eq\f(a,b)<2.13．設(shè)實數(shù)x，y滿意0<xy<4，且0<2x＋2y<4＋xy，則x，y的取值范圍是________．答案0<x<2且0<y<2解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy>0，,x＋y>0，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，))由2x＋2y－4－xy＝(x－2)·(2－y)<0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，,y>2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<2，,0<y<2，))又xy<4，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<2，,0<y<2.))14．