中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第25講 菱形的性質(zhì)與判定(練習(xí))(原卷版)

第五章四邊形第25講菱形的性質(zhì)與判定TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01利用菱形的性質(zhì)求角度??題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長??題型03利用菱形的性質(zhì)求周長??題型04利用菱形的性質(zhì)求面積??題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)??題型06利用菱形的性質(zhì)證明??題型07菱形的折疊問題??題型08添加一個條件使四邊形是菱形??題型09證明四邊形是菱形??題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度??題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長??題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長??題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積??題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題??題型15與菱形有關(guān)的新定義問題??題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題??題型17與菱形有關(guān)的動點(diǎn)問題??題型18與菱形有關(guān)的最值問題??題型19含60°角的菱形??題型20菱形與函數(shù)綜合??題型21與菱形有關(guān)的存在性問題??題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問題??題型01利用菱形的性質(zhì)求角度1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖所示，在菱形ABCD中，以點(diǎn)B為圓心，一定長為半徑畫弧分別交BC，BD于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接BP并延長交CD于點(diǎn)Q．若∠C=40°，則2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AB的垂直平分線交對角線AC于點(diǎn)F，點(diǎn)E為垂足，連接DF．若∠BAD=α，則∠CDF為（

）A．α B．32α C．180°?33．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E為菱形ABCD中AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，DE=DA，將菱形沿DE折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在BC邊上，則∠A的度數(shù)為．4．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，已知四邊形ABCD為菱形，以AB為直徑作⊙O，過點(diǎn)A作⊙O的切線交CD于點(diǎn)E．若∠ABC=50°，則∠CAE的度數(shù)為．??題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長5．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點(diǎn)M和N分別是AB和AD上一點(diǎn)，沿MN將△AMN折疊，點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)E上．若AB=4，則AM的長為（

）

A．2.4 B．2.8 C．3 D．3.26．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠AEF=90°，∠AFE=∠D，若CE=6，CF=27．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）菱形是日常生活中常見的圖形，如伸縮衣架（如圖1）等，為兼顧美觀性和實(shí)用性，活動角α的取值范圍宜為60°≤α≤120°（如圖2），亮亮選購了折疊后如圖3所示的伸縮衣架，則其拉伸長度AB的適宜范圍最接近（）A．30≤AB≤45 B．45≤AB≤45C．45≤AB≤303 D．8．（2024·山西·模擬預(yù)測）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC=60°，，對角線AC,BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，連接EF交AC于點(diǎn)G，則線段GF的長為??題型03利用菱形的性質(zhì)求周長9．（2024·云南曲靖·一模）菱形ABCD的一條對角線長為8，邊AB的長是方程x2?7x+10=0的一個根，則菱形ABCD的周長為（A．16 B．20 C．16或20 D．3210．（2024·貴州黔東南·一模）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，連接AE，EF，AF，△AEF的周長為33cm，則菱形

A．5cm B．6cm C．4311．（2024·江蘇南京·三模）如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)B，C，D在⊙O上，且AB與⊙O相切，若⊙O的半徑為1，則菱形ABCD的周長為．

12．（2024·四川樂山·二模）如圖，菱形的周長為24cm，相鄰兩個的內(nèi)角度數(shù)之比為1:2A．6cm B．63cm C．12??題型04利用菱形的性質(zhì)求面積13．（2024·江西吉安·模擬預(yù)測）已知菱形ABCD的邊長是5，兩條對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AO、BO的長分別是關(guān)于(1)求m的值；(2)求菱形ABCD的面積．14．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，已知菱形ABCD的周長為40，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AO+BO=14，則該菱形的面積等于（

）A．24 B．56 C．96 D．4815．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知：菱形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC=8，BD=6，將線段AO繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)O落在菱形ABCD的邊上，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，連接BP，CP，則△BCP的面積為．16．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）將矩形ABCD和菱形AFDE按如圖放置，若圖中矩形面積是菱形面積的2倍，則下列結(jié)論正確的是（

）A．∠EAF=60° B．AB=AF C．AD=2AB D．AB=EF??題型05根據(jù)菱形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)17．（2024·山西·模擬預(yù)測）如圖，O是菱形ABCD的對角線BD的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，若AD∥x軸，AD=8，∠A=60°，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A．53,5 B．53,?5 C．18．（2024·山東臨沂·三模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為?23,0，∠AOC=60°．將菱形OABC沿x軸向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形O'A'A．1?33,2 B．?23,3 19．（23-24八年級下·山西臨汾·階段練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象與正比例函數(shù)y=43(1)a=______，k=______，點(diǎn)D坐標(biāo)為______．(2)不等式kx(3)已知AB∥x軸，以AB，AD為邊作菱形ABCD，求菱形20．（2024·山東濟(jì)寧·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在第一象限，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且AC與OB互相垂直平分，D為垂足，連接OA，AB，BC．反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，與OA相交于E．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4)A．2,43C．145,??題型06利用菱形的性質(zhì)證明21．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥CD交CD于點(diǎn)E，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F，且E為AF的中點(diǎn)，連接AC，(1)求證：AC=CD；(2)求AEBE22．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖所示，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和(1)求證：四邊形ODEC是矩形；(2)當(dāng)∠ADB=60°，AD=22時，求CE23．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑畫弧交BC的延長線于點(diǎn)E，連接(1)求證：AC∥DE；(2)若AB=4，∠ABC=60°，求??題型07菱形的折疊問題24．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6，E是AB上一點(diǎn)，把四邊形ADCE沿CE折疊后得到四邊形A'D'CE，CD

A．52 B．3 C．6?33 25．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對角線BD上的點(diǎn)G處（不與B,D重合），折痕為EF，若DG=2，BG=4，則點(diǎn)E到BD的距離為．

26．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)P是邊BC上一動點(diǎn)，連接AP，將△ABP沿著AP折疊，得到△AEP，連接DE，若∠BAP=16°，則∠ADE=；若點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，AB=4，則CF的最小值為．

27．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上開展了“菱形折疊”研究活動．第一步：每人制作內(nèi)角不同，邊長都為2的菱形若干個，四個頂點(diǎn)為A，B，C，D（為保持一致，活動中，小組內(nèi)制作圖形各點(diǎn)名稱命名規(guī)則相同）；第二步：對折找到一條對角線BD并展開；第三步：將邊AB折疊到對角線BD所在直線上，頂點(diǎn)A的落點(diǎn)為F，所得折痕與邊AD交于點(diǎn)E；第四步：測量∠A，∠FDE，∠FED的度數(shù)，(1)小組長在研究大家測得的數(shù)據(jù)后仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)可以通過∠A的度數(shù)，計(jì)算得到∠FED和∠FDE的度數(shù)．如圖①，若一位同學(xué)制作的菱形中∠A=30°，請你給出此時∠FDE和∠FED的度數(shù)：∠FDE=_____________°，∠FED=_____________°；(2)若∠A<60°，請?zhí)骄俊螦的度數(shù)為多少時，△DEF為等腰三角形，并說明理由；(3)請直接寫出△DEF為直角三角形時DF的長．??題型08添加一個條件使四邊形是菱形28．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中（AD>AB），∠ABC為銳角，將△ABC沿對角線AC方向平移，得到△A'B'C'，連接AB29．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知四邊形ABCD的對角線BD垂直平分對角線AC于點(diǎn)O，要使四邊形ABCD為菱形，則可添加的條件是（添加一個條件即可，不添加其他的點(diǎn)和線）．30．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，過O的直線分別交AD、BC于點(diǎn)M、N．(1)求證：OM=ON(2)連接BM，DN．請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形BNDM為菱形．（不需要說明理由）31．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，BE是△ABC的角平分線，點(diǎn)D在AB上，且DE∥BC．(1)求證：DB=DE；(2)在BC上取一點(diǎn)F，連接EF，添加一個條件，使四邊形BDEF為菱形，直接寫出這個條件．??題型09證明四邊形是菱形32．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D分別作AC和AB的平行線，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．試判斷四邊形AEDF的形狀，并給出證明．

33．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，AF⊥CD，垂足為F，BD與AE，AF分別相交于點(diǎn)G，H，AG=AH．求證：四邊形ABCD是菱形．34．（2022九年級·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合），過點(diǎn)A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點(diǎn)F，連接EF交邊AB于點(diǎn)G，連接AC．

(1)求證：△AEF∽△DAC；(2)如果FE平分∠AFB，連接CG，求證：四邊形AGCE為菱形．35．（2024·湖南·二模）如圖，BD是?ABCD的對角線，在△ABD和△CDB中，DE，BF分別是邊AB，CD的中線，EF⊥BD．(1)求證：四邊形DEBF是菱形；(2)求證：△ABD是直角三角形．??題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度36．（2024·河南南陽·二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點(diǎn)，連接OD，OB，若OD∥BC，且OD=BC，則∠BOD的度數(shù)是（A．60° B．115° C．130° D．120°37．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在⊙O中，作正方形ABCD和等邊△CDE，其中點(diǎn)A、B、E三點(diǎn)在⊙O上，則劣弧AE所對的圓心角為（

）A．135° B．150° C．120° D．105°38．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在對角線BD上，點(diǎn)F在邊BC上，連接AE，EF，DE=BF，

(1)如圖①，求證△AED≌(2)如圖②，若AB=AD，AE≠ED，過點(diǎn)C作CH∥AE交BE于點(diǎn)H，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖②中四個角（??題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長39．（2023·廣東深圳·三模）如圖，在ABCD中，以點(diǎn)D為圓心，CD的長為半徑作弧交AD于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)C，G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，作射線DE交BC于點(diǎn)F，交CG于點(diǎn)O，若AB=13，GC=24，則DF的長為（）A．10 B．9 C．12 D．6.540．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=6，BC=4，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在邊AB上，將△BDE沿直線DE翻折，點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)F處，若DF∥AB，則CD的長為（

）A．1.6 B．2 C．2.4 D．341．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若AB=5，BD=2，求OE42．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點(diǎn)，延長邊CD到點(diǎn)F，使DF=DC，過點(diǎn)F作EF∥AC，交OD的延長線于點(diǎn)E，連接OF，(1)求證：△ODC≌△EDF；(2)連接AF，若OD=DC且∠BEC=45°，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中長度為2OA??題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求周長43．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，(1)求證：四邊形OCED是菱形；(2)若BC=3，OA=1344．（2024·山東青島·二模）如圖，四邊形ABCD是正方形，BE∥DF，分別交對角線AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接ED，

(1)求證：四邊形BEDF是菱形：(2)若AE=2，CE=6，求菱形BEDF的周長和面積．45．（2024·江西撫州·一模）如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB=AC，∠DAC是△ABC的一個外角，AE平分∠DAC．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)如圖2，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AE于點(diǎn)F，若AF=BC．①請判斷四邊形ABCF的形狀，并說明理由；②當(dāng)AB=2時，求圖中陰影部分的周長．??題型13根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積46．（2024·吉林長春·一模）如圖，矩形AEBO的對角線AB、OE交于點(diǎn)F，延長AO到點(diǎn)C，使OC=OA，延長BO到點(diǎn)D，使OD=OB，連接AD、DC、BC．(1)求證:四邊形ABCD是菱形．(2)若OE=20，∠BCD=60°，則菱形ABCD的面積為47．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）定理證明：

（1）如圖1，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求證：PA=PB；定理應(yīng)用：（2）如圖2，△ABC是⊙O的內(nèi)接等腰三角形，AB=AC=2，∠D=60°，DC是⊙O的切線，若DA∥BC，求四邊形48．（2024·貴州貴陽·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，D為AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC，且DE=BC，連接CD(1)請你選擇一位同學(xué)的說法，并進(jìn)行證明；(2)若BC=2，連接AE，EC，求△AEC的面積．49．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)M在BA的延長線上，點(diǎn)N在BC的延長線上，AD平分∠CAM，CD∥AB．(1)如圖1，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)如圖2，當(dāng)∠ABC=60°時，連接BD，交AC于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DE⊥BD，交BN于點(diǎn)E，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中與△CDE面積相等的4個三角形．??題型14根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題50．（2024·內(nèi)蒙古·二模）如圖．在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF=BC，連接AF，DF，AF分別交CD，BD于點(diǎn)G，O，則下列結(jié)論：①四邊形ACFD是平行四邊形

②BD2+FD2=BF2

51．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)M,N是邊AD,AB上任意兩點(diǎn)，將菱形ABCD沿MN翻折，點(diǎn)A恰巧落在對角線BD上的點(diǎn)E處，下列結(jié)論：①△MED∽△ENB；②若∠DME=15°，則∠ENB=105°；③若菱形邊長為4，M是AD的中點(diǎn)，連接MC，則MC=23；④若DE:BE=2:5，則AM:AN=3:4，其中正確結(jié)論是52．（2024·天津河西·二模）已知菱形ABCD，AB=10cm，∠A=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在菱形ABCD的四條邊上，AH=AE=CG=CF．連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．有下列結(jié)論：①四邊形EFGH是矩形；②AE長有兩個不同的值，使得四邊形EFGH的面積都為10cm2

A．0 B．1 C．2 D．353．（2024·山東棗莊·二模）如圖，OABC是平行四邊形，對角線OB在y軸正半軸上，位于第一象限的點(diǎn)A和第二象限的點(diǎn)C分別在雙曲線y=k1x和y=k2x的一個分支上，分別過點(diǎn)A、C作x軸的垂線段，垂足分別為點(diǎn)M和點(diǎn)N，給出如下四個結(jié)論：①AMCN=k1k2；②陰影部分的面積是12A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①④54．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，動點(diǎn)P在邊BC上（不與點(diǎn)C重合），連接AP，AP的垂直平分線交AP于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接FP，CE，OE，現(xiàn)有以下結(jié)論：①點(diǎn)A，E之間的距離為定值；②FP=2FE；③CEBC的值可以是13；④∠EOF=30°或150°．其中正確的是??題型15與菱形有關(guān)的新定義問題55．（2024·山東菏澤·一模）將菱形的兩個相鄰的內(nèi)角記為m°和n°m>n，定義mn為菱形的“接近度”，則當(dāng)“接近度”為56．（2023·江蘇鹽城·一模）定義：若四邊形中某個頂點(diǎn)與其它三個頂點(diǎn)距離相等，則這個四邊形叫做等距四邊形，這個頂點(diǎn)叫做這個四邊形的等距點(diǎn)．

(1)判斷：一個內(nèi)角為60°的菱形________等距四邊形．（填“是”或“不是”）(2)如圖2，在5×5的網(wǎng)格圖中有A、B兩點(diǎn)，請?jiān)诖痤}卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找出C、D兩個格點(diǎn)，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形以A為等距點(diǎn)的“等距四邊形”，畫出相應(yīng)的“等距四邊形”（互不全等），并寫出該等距四邊形的端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對角線長．端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對角線長為________．(3)如圖，在海上A，B兩處執(zhí)行任務(wù)的兩艘巡邏艇，根據(jù)接到指令A(yù)，B兩艇同時出發(fā)，A艇直接回到駐地O，B艇到C島執(zhí)行某項(xiàng)任務(wù)后回到駐地O（在C島執(zhí)行任務(wù)的時間忽略不計(jì)），已知A，B，C三點(diǎn)到O點(diǎn)的距離相等，AO∥BC，BC=100km，tanA=32，若A艇速度為65km57．（2024·湖南長沙·一模）定義：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．(1)若?ABCD是圓的“奇妙四邊形”，則?ABCD是_________（填序號）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖1，已知⊙O的半徑為R，四邊形ABCD是⊙O的“奇妙四邊形”．求證：AB(3)如圖2，四邊形ABCD是“奇妙四邊形”，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，∠APD=∠BPC=90°，∠ADP=∠PBC，BD=4，且AB=3DC．當(dāng)DC的長度最小時，求58．（2024·四川達(dá)州·一模）數(shù)學(xué)活動：某數(shù)學(xué)興趣小組想探究任意四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀與原四邊形的邊、對角線的關(guān)系；定義：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．[操作]如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H得到中點(diǎn)四邊形EFGH．[猜想]（1）填空：任意一個四邊形的中點(diǎn)四邊形是___________________；[證明]（2）請補(bǔ)全以下求證內(nèi)容，并完善證明過程；已知：點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H得到中點(diǎn)四邊形EFGH．求證：______________________．證明：[應(yīng)用]（3）如圖2，在四邊形ABCD中，AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為P，Q，M，N，在AB上取一點(diǎn)E，連接DE，CE，△ADE和△BCE恰好是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為2時，求四邊形MNPQ的周長．??題型16與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題59．（2024·廣東汕尾·模擬預(yù)測）如圖，已知菱形ABC1D1的邊長AB=1cm，∠D1AB=60°，連接對角線AC1，以AC1為邊作第二個菱形AC1C60．（2024·山東泰安·二模）含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，……，按如圖所示的方式放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A1，A2，A3，……，和點(diǎn)B1A．3×22022,C．3×22024,61．（23-24九年級上·山東青島·期中）如圖，依次連接第一個矩形各邊上的中點(diǎn)，得到一個菱形，在依次連接菱形各邊上的中點(diǎn)得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個矩形的面積是1，則第n個矩形的面積是．62．（2024·河南鄭州·三模）綜合實(shí)踐【問題】

小張、小王、小袁在《解析與檢測》中發(fā)現(xiàn)這樣一道題：如圖1，在矩形ABCD中，O為對角線BD的中點(diǎn)，∠ABD=60°，動點(diǎn)E在線段OB上，動點(diǎn)F在線段OD上，點(diǎn)E,F同時從點(diǎn)O出發(fā)，分別向終點(diǎn)B,D運(yùn)動，且始終保持OE=OF．點(diǎn)E關(guān)于AD,AB的對稱點(diǎn)為E1,E2；點(diǎn)F關(guān)于BC,CD的對稱點(diǎn)為【探究】（1）小張覺得在點(diǎn)E,F運(yùn)動的過程中，四邊形E1E2（2）小王覺得小張說的不全面，于是三人繼續(xù)探索：①小王看到四邊形E1E2F1F2的四邊分別經(jīng)過了原矩形的四個頂點(diǎn)，并說道：在圖1中，連接DE1和D②小王發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)E,F在點(diǎn)O時，四邊形E1E2F1F2為菱形；點(diǎn)E,F分別運(yùn)動到終點(diǎn)B,D時，四邊形E1E2F1F【應(yīng)用】（3）經(jīng)過探索，三人得出了四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是菱形、平行四邊形、矩形、平行四邊形、菱形的結(jié)論．如圖3，在原題的基礎(chǔ)上，將條件∠ABD=60°變?yōu)锳B=6??題型17與菱形有關(guān)的動點(diǎn)問題63．（2024·貴州·模擬預(yù)測）綜合與探究：在四邊形ABCD中，P為對角線BD上的動點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上．(1)【動手操作】如圖①，若四邊形ABCD為正方形，P為對角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)時，連接PE，PF，根據(jù)題意在圖①中畫出PE，PF，則∠EPF為________________度；(2)【問題探究】如圖②，四邊形ABCD為菱形，∠ADC=120°，P為對角線AC，BD的交點(diǎn)，且∠EPF=60°，探究線段DE，DF(3)【問題解決】如圖③，在（2）的條件下，若點(diǎn)P在對角線BD上，菱形ABCD的邊長為8，PA=7，DF=1，求DE的長．64．（2024·湖南長沙·二模）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一動點(diǎn)（且與點(diǎn)B、C不重合），連接AE交BD于點(diǎn)G．(1)若AE⊥BC，∠BAE=18°，求∠BGE的度數(shù)；(2)若AG=BG，求證BE(3)過點(diǎn)G作GM∥BC交AB于點(diǎn)M，記．S△AMG為S1，S四邊形DGEC為S①求證：1BE②求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．65．（22-23九年級上·福建三明·期中）如圖1，點(diǎn)O是?ABCD的對角線AC，BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作OH⊥AB，OM⊥BC，垂足分別為H，M，若OH≥OM，我們稱λ=OHOM是(1)如圖2，當(dāng)λ=1，求證：?ABCD是菱形；(2)如圖3，當(dāng)∠ABC=90°，且AB=OB，求?ABCD的λ值；(3)如圖4，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)．沿線段BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，動點(diǎn)Q自C出發(fā)，沿線段CA向終點(diǎn)A運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，運(yùn)動速度均為每秒1個單位，連結(jié)PQ，以PQ、AQ為鄰邊作?AQPE，若?AQPE的中心距比λ=10．求點(diǎn)P??題型18與菱形有關(guān)的最值問題66．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知菱形ABCD的面積為123，E是邊BC上的中點(diǎn)，P是對角線BD上的動點(diǎn)，連接AE，若AE平分∠BAC，則PE+PC的最小值為67．（2024·吉林長春·二模）如圖，在菱形ABCD中，AC=16，BD=12，E是CD邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E分別作EF⊥OC于點(diǎn)F,EG⊥OD于點(diǎn)G，連接FG．(1)求證：四邊形OGEF為矩形．(2)求GF的最小值．68．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，M，N分別是AD，AC上的兩個動點(diǎn)，則DN+MN的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．269．（2024·江西九江·二模）課本再現(xiàn)如圖1，四邊形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．（1）求AB，AC的長．應(yīng)用拓展（2）如圖2，E為AB上一動點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到DF，連接EF．①直接寫出點(diǎn)D到EF距離的最小值；②如圖3，連接OF，CF，若△OCF的面積為6，求BE的長．??題型19含60°角的菱形70．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF．(1)求證：AE=AF；(2)若∠B=60°，求71．（2024·浙江臺州·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為菱形，過點(diǎn)D分別作AB,BC的垂線，垂足為E,F．(1)求證△ADE≌△CDF；(2)若∠EDF=60°,DE=3，求AB72．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0，∠BCD=120°，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A．?2,2 B．?2,3 C．3,2 73．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E為對角線BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，且DF=3．若△DEF為等腰三角形，則菱形ABCD的邊長為??題型20菱形與函數(shù)綜合74．（2024·遼寧大連·二模）如圖1，△ABC中，∠ABC=60°，D是BC邊上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），DE∥AB交AC于點(diǎn)E，EF∥BC交AB于點(diǎn)F．設(shè)BD的長為x，四邊形【初步感知】（1）經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖像，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是2,3，請根據(jù)圖像信息，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．【延伸探究】（2）①當(dāng)四邊形BDEF的面積為94時，求BD②當(dāng)四邊形BDEF的面積最大時，求△CDE的面積．（3）如圖3，當(dāng)四邊形BDEF是菱形時，求BD的長度．75．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,3．點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位沿x軸向右移動，過點(diǎn)M且垂直O(jiān)A的直線與菱形的兩邊分別交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)△OPQ的面積為S，則S與點(diǎn)M移動的時間tA． B．C． D．76．（2024·湖北武漢·三模）如圖1，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，點(diǎn)F為(1)E為邊AD上一點(diǎn)，連接EF，將△DEF沿EF進(jìn)行翻折，點(diǎn)D恰好落在BC邊的中點(diǎn)G處，①求DE的長；②tan∠GFC=(2)如圖2，延長CD到M，使DM=DF，連接BM與AF，BM與AF交于點(diǎn)N，連接DN，設(shè)DF=xx>0，DN=y，求y關(guān)于x77．（2024·甘肅平?jīng)觥ざ＃┤鐖D，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于點(diǎn)A(2,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，AD=5(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)請?jiān)趫D1中將線段CD向右平移至點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，CD平移后對應(yīng)線段所在直線交拋物線于點(diǎn)E，連接CE，判斷四邊形AECD的形狀，并說明理由；(3)在（2）的條件下，如圖2，連接DE，交y軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥CD于點(diǎn)M，點(diǎn)N從E點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動，連接CN、MN，求△CMN周長的最小值．??題型21與菱形有關(guān)的存在性問題78．（2024·山東泰安·二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A?2,0，點(diǎn)B4,0，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線CD∥x(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)E是拋物線上的點(diǎn)，求滿足∠ECD+∠CAO=90°的點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M在y軸上，且位于點(diǎn)C的上方，點(diǎn)N在直線BC上，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N使四邊形CMPN為菱形，如果存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．如果不存在，請說明理由．79．（23-24九年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，已知直線y=43x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．80．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，二次函數(shù)y=?x2+(m?1)x+m（其中m>1）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC，點(diǎn)D(1)填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∠ABC=°；(2)記△ACD的面積為S1，△ABD的面積為S2，試探究(3)若在第一象限內(nèi)的拋物線上存在一點(diǎn)E，使得以B、D、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則m=．81．（2024·河南開封·一模）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A0,3，B1,0，C2,3(1)求k的值．(2)點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，且BD⊥AC于點(diǎn)E，DE=BE(3)是否存在除點(diǎn)D外可與A，B，C三點(diǎn)共同組成菱形的點(diǎn)P？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．??題型22與菱形有關(guān)的材料閱讀類問題82．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）閱讀與思考下面是小逸同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．作矩形的最大內(nèi)接菱形的方法頂點(diǎn)在矩形邊上的菱形叫做矩形的內(nèi)接菱形，在實(shí)踐活動課上，數(shù)學(xué)老師提出來一個問題“如何從一張矩形紙片中翻作出一個最大的內(nèi)接菱形”實(shí)踐小組成員經(jīng)過思考后，分別給了3種不同的方法．方法一：通過折，將矩形紙片橫對折后再豎對折，沿對角線剪一刀將到一個直角三角形，展開后就是菱形EHGF（如圖1）．則四邊形EHGF是矩形ABCD的內(nèi)接菱形．方法二：通過疊，取兩個大小一樣的矩形紙片，讓兩矩形的長兩兩相交，重疊的部分形成四邊形AECF．則四邊形AECF也是矩形ABCD的內(nèi)接菱形，（如圖2）方法三：通過尺規(guī)作圖，作矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線EF，與AD邊交于點(diǎn)E．與BC邊交于點(diǎn)F，連接AF，CE，則四邊形AECF是矩形ABCD的內(nèi)接菱形．實(shí)踐小組通過三種方法得到的菱形進(jìn)行分析，討論，計(jì)算，對比，從而得出矩形的最大內(nèi)接菱形．任務(wù)：(1)填空：通過“方法一”能得到的菱形，它的依據(jù)是_______．(2)尺規(guī)作圖：請你在圖3中完成日記中的“方法三”的作圖過程，（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)若矩形AB=4，BC=10，請你根據(jù)日記中三種方法，計(jì)算此矩形的內(nèi)接菱形的面積最大值為______．83．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）閱讀短文，解決問題．若平行四邊形的四個頂點(diǎn)都在三角形的邊上，且有一個角與三角形的一個角重合，另一個頂點(diǎn)在三角形的這個重合角的對邊上，我們就稱這個平行四邊形是該三角形的“相依四邊形”．例如：如圖1，在平行四邊形AEFD中，∠BAC與∠DAE重合，點(diǎn)F在BC上，則稱平行四邊形AEFD為△ABC的“相依四邊形”．(1)如圖1，平行四邊形AEFD為△ABC的“相依四邊形”，AF平分∠BAC，判斷四邊形AEFD的形狀，并進(jìn)行證明．(2)在（1）的條件下，如圖2，∠B=90°．①若AC=6，F(xiàn)C=6，求四邊形AEFD②如圖3，M，N分別是DF，AC的中點(diǎn)，連接MN，若84．（2024·山西晉城·二模）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．利用尺規(guī)在銳角三角形紙片上作菱形在數(shù)學(xué)興趣課上，老師提出一個問題：利用尺規(guī)在銳角三角形紙片ABC上作菱形AEDF，且點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在BC，勤學(xué)小組展示了他們的作法：如圖1，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，兩弧分別交AB，AC邊于點(diǎn)G，H；分別以點(diǎn)G，H為圓心，大于12GH的長為半徑畫弧，在△ABC內(nèi)部交于點(diǎn)L；連接AL并延長，交BC邊于點(diǎn)D；以點(diǎn)B為圓心，任意長為半徑畫弧，兩弧分別交AB，BC邊于點(diǎn)M，N；以點(diǎn)D為圓心，BN長為半徑畫弧，交BC邊于點(diǎn)P；以點(diǎn)P為圓心，MN長為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)Q；連接DQ并延長，交AC邊于點(diǎn)F；以點(diǎn)A為圓心，AF長為半徑畫弧，交AB邊于點(diǎn)E；連接勤學(xué)小組進(jìn)行了以下證明：證明：根據(jù)尺規(guī)作圖，得AD平分∠BAC，∠FDC=∠B，AE=AF．∴∠BAD=∠CAD，F(xiàn)D∥∴∠ADF=∠BAD．∴∠ADF=∠CAD．∴AF=DF．（依據(jù)1）∴AE=DF．∴四邊形AEDF是平行四邊形．（依據(jù)2）又∵AE=AF，∴四邊形AEDF是菱形．善思小組也展示了他們的作法：如圖2，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC邊于點(diǎn)R，S；分別以點(diǎn)R，S為圓心，大于12RS的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)T；連接AT并延長，交BC邊于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)A，D為圓心，大于12AD的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)W，V；連接WV，分別交AB，AD，AC于點(diǎn)E，任務(wù)：(1)填出證明過程中的依據(jù)．依據(jù)1：____________；依據(jù)2：____________．(2)請根據(jù)善思小組的作法，求證：四邊形AEDF是菱形．(3)如圖3，請你在銳角三角形紙片ABC上用尺規(guī)再設(shè)計(jì)一種不同的方法作菱形AEDF．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形OAB的邊OB在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，OA的長度是一元二次方程x2?5x?6=0的根，動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿折線OA?AB運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿折線OB?BA運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，相遇時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒（0<t<3.6），△OPQ的面積為(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，當(dāng)S=63時，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N2．（2024·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=x2+2x+c（c是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)?2,?2．點(diǎn)A、B是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為m、?m，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為?5m，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，連結(jié)AB(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求證：當(dāng)m取不為零的任意實(shí)數(shù)時，tan∠CAB(3)作AC的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)D，以AD為邊、AC為對角線作菱形ADCE，連結(jié)DE．①當(dāng)DE與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形ADCE的面積；②當(dāng)此拋物線在菱形ADCE內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時，直接寫出m的取值范圍．3．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠C=120°．點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），△AEB關(guān)于AE的軸對稱圖形為△AEF．(1)當(dāng)∠BAF=30°時，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB=6+63，⊙O為△AEF的外接圓，設(shè)⊙O的半徑為r①求r的取值范圍；②連接FD，直線FD能否與⊙O相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由．4．（2023·海南·中考真題）如圖1，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=6，∠ABC=60°，點(diǎn)P為線段BO上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，O重合），連接CP并延長交邊AB于點(diǎn)G，交DA的延長線于點(diǎn)H．

(1)當(dāng)點(diǎn)G恰好為AB的中點(diǎn)時，求證：△AGH≌△BGC；(2)求線段BD的長；(3)當(dāng)△APH為直角三角形時，求HPPC(4)如圖2，作線段CG的垂直平分線，交BD于點(diǎn)N，交CG于點(diǎn)M，連接NG，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，∠CGN的度數(shù)是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，請說明理由．5．（2023·江蘇·中考真題）對于平面內(nèi)的一個四邊形，若存在點(diǎn)O，使得該四邊形的一條對角線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定角度后能與另一條對角線重合，則稱該四邊形為“可旋四邊形”，點(diǎn)O是該四邊形的一個“旋點(diǎn)”．例如，在矩形MNPQ中，對角線MP、NQ相交于點(diǎn)T，則點(diǎn)T是矩形MNPQ的一個“旋點(diǎn)”．

(1)若菱形ABCD為“可旋四邊形”，其面積是4，則菱形ABCD的邊長是_______；(2)如圖1，四邊形ABCD為“可旋四邊形”，邊AB的中點(diǎn)O是四邊形ABCD的一個“旋點(diǎn)”．求∠ACB的度數(shù)；(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AC=BD，AD與BC不平行．四邊形ABCD是否為“可旋四邊形”？請說明理由．6．（2023·寧夏·中考真題）綜合與實(shí)踐問題背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為36°的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．

探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，折痕交AC于點(diǎn)D，連接DE，DB，則∠BDE=_______°，設(shè)AC=1，BC=x，那么AE=______（用含x的式子表示）；（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：底BC腰AC拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD=72°，AB=1．求這個菱形較長對角線的長．

1．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AO∥BC，連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)D．分別以點(diǎn)A,C為圓心，以大于12AC的長為半徑作弧，并使兩弧交于圓外一點(diǎn)M．直線OM交BC于點(diǎn)E，連接A．AB=AD C．∠AOD=∠BAC D．四邊形AOCE為菱形2．（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，連接AE，AF，EF，EF交AC于點(diǎn)G．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若CECF=B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，則EFC．若EF∥BD，CE=CFD．若AB=AD，AE=AF，則EF3．（2024·上海·中考真題）四邊形ABCD為矩形，過A、C作對角線BD的垂線，過B、D作