中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)提升第16講 三角形的概念和性質(zhì)(講義3考點(diǎn)+2命題點(diǎn)22種題型(含8種解題技巧))(解析版)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第四章三角形第16講三角形的概念和性質(zhì)（思維導(dǎo)圖+3考點(diǎn)+2命題點(diǎn)22種題型（含8種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一三角形的基礎(chǔ)考點(diǎn)二三角形中有關(guān)線段考點(diǎn)三與三角形有關(guān)的角04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一與三角形有關(guān)的線段?題型01三角形的穩(wěn)定性?題型02畫(huà)三角形的五線?題型03與三角形高有關(guān)的計(jì)算?題型04等面積法求高?題型05求網(wǎng)格中的三角形面積?題型06與三角形中線有關(guān)的計(jì)算?題型07與三角形重心有關(guān)的計(jì)算?題型08與三角形中位線有關(guān)的計(jì)算?題型09利用角平分線的性質(zhì)求解?題型10角平分線的判定?題型11利用垂直平分線的性質(zhì)求解?題型12垂直平分線線的判定?題型13根據(jù)作圖痕跡求解?題型14利用三角形三邊關(guān)系求解命題點(diǎn)二與三角形有關(guān)的角?題型01利用三角形內(nèi)角和定理求解?題型02三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用?題型03三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用?題型04與角度有關(guān)的折疊問(wèn)題?題型05利用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問(wèn)題?題型06利用三角形外角和定理求解?題型07三角形外角性質(zhì)與平行線的綜合應(yīng)用?題型08三角形內(nèi)角和定理與外角和定理的綜合

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航標(biāo)中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求三角形中的重要線段★★理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性；探索并證明三角形的內(nèi)角和定理，掌握它的推論；證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊；了解三角形重心的概念；探索并證明角平分線的性質(zhì)定理；理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理.三角形的三邊關(guān)系★三角形的內(nèi)角和外角★★三角形的垂直平分線★★【命題預(yù)測(cè)】在初中幾何數(shù)學(xué)中，三角形的基礎(chǔ)知識(shí)是解決后續(xù)很多幾何問(wèn)題的基礎(chǔ).所以，在中考中，與其它幾何圖形結(jié)合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.考生在復(fù)習(xí)該考點(diǎn)時(shí)，不僅要熟悉掌握其本身的性質(zhì)和應(yīng)用，還要注重轉(zhuǎn)化思想在題目中的應(yīng)用，同步聯(lián)想，其他幾何圖形在什么情況下會(huì)轉(zhuǎn)化成該考點(diǎn)的知識(shí)考察.02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一三角形的基礎(chǔ)一、三角形的相關(guān)概念三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號(hào)“Δ”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.二、三角形的分類(lèi)1）三角形按邊分類(lèi)：三角形三邊都不相等的三角形2）三角形按角分類(lèi)：三角形直角三角形三、三角形的穩(wěn)定性三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊確定之后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.【補(bǔ)充】四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.三角形三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用：1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說(shuō)明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a，b，求第三邊長(zhǎng)度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過(guò)周長(zhǎng)相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，要注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形．1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是DC的中點(diǎn)，連接AE，則圖中的直角三角形有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查直角三角形的概念．根據(jù)直角三角形的概念可以直接判斷．【詳解】解：由圖得△ABD，△ABC，△ADC，△ADE為直角三角形，共有4個(gè)直角三角形．故選：C．2．（2022·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一只手蓋住了一個(gè)三角形的部分圖形，則這個(gè)三角形不可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類(lèi)判斷即可.【詳解】解：A、當(dāng)另外兩角為50°和100°時(shí)，該三角形為鈍角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)另外兩角為90°和60°時(shí)，該三角形為直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)另外兩角為30°和120°時(shí)，該三角形為等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角均為60°，由圖可知該三角形有一個(gè)內(nèi)角為30°，故不可能為等邊三角形，符合題意.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類(lèi)，會(huì)應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類(lèi)求解是解答的關(guān)鍵.3．（2023·吉林·中考真題）如圖，鋼架橋的設(shè)計(jì)中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理是．【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】根據(jù)三角形結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定性作答即可．【詳解】解：其數(shù)學(xué)道理是三角形結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定性．故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形具有穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形形狀對(duì)結(jié)構(gòu)的影響．4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長(zhǎng)度（單位：cm），其中能搭成一個(gè)三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行分析判斷．【詳解】A、5+7=12，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；B、7+7=14<15，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；C、6+9=15<16，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；D、6+8=14>12，能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，看能否組成三角形的簡(jiǎn)便方法：看較小的兩個(gè)數(shù)的和能否大于第三個(gè)數(shù)．考點(diǎn)二三角形中有關(guān)線段類(lèi)型三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語(yǔ)言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語(yǔ)言性質(zhì)∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADC=S△ABC∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12用途舉例1）線段垂直．2）角度相等．1）線段相等．2）面積相等．角度相等．類(lèi)型三角形的中位線三角形的垂直平分線文字語(yǔ)言連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線圖形語(yǔ)言性質(zhì)∵DE是?ABC的中位線∴DE=12∵直線l是AB的垂直平分線∴PA=PB,AC=BC,∠PCA=∠PCB=90°用途舉例1）線段平行．2）線段關(guān)系．1）線段相等．2）角度相等．1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點(diǎn)．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是．【答案】2【分析】根據(jù)ΔACE的面積=ΔDCE的面積，Δ【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，根據(jù)等底同高可知，ΔACE的面積=ΔDCEΔABD的面積=ΔACD的面積=2故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用三角形的中線平分三角形面積進(jìn)行計(jì)算．2．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段BD一定是△ABC的（

）A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線【答案】B【分析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據(jù)作圖痕跡可得BD⊥AC，從而可得答案．【詳解】解：由作圖可得：BD⊥AC，∴線段BD一定是△ABC的高線；故選B3．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OB，PD=2，則點(diǎn)P到OA的距離是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=PD，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，故選：C．4．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小張想估測(cè)被池塘隔開(kāi)的A，B兩處景觀之間的距離，他先在AB外取一點(diǎn)C，然后步測(cè)出AC,BC的中點(diǎn)D，E，并步測(cè)出DE的長(zhǎng)約為18m，由此估測(cè)A，B之間的距離約為（

A．18m B．24m C．36m【答案】C【分析】本題考查三角形的中位線的實(shí)際應(yīng)用，由題意，易得DE為△ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E，分別為AC,BC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴AB=2DE=36m故選：C．5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，△ABC的邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，連接BD．若AC=8，CD=5，則BD=．【答案】3【分析】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由線段垂直平分線的性質(zhì)推出BD=AD．求出AD=8?5=3，由線段垂直平分線的性質(zhì)推出BD=AD=3．【詳解】解：∵AC=8，CD=5，∴AD=8?5=3，∵D在AB的垂直平分線上，∴BD=AD=3．故答案為：3．QUOTEQUOTE考點(diǎn)三與三角形有關(guān)的角三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：1)在三角形中,已知兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個(gè)內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個(gè)銳角的度數(shù),可以求出另一個(gè)銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC．則∠1的度數(shù)為（A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握平行線的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．由三角形內(nèi)角和定理可得∠C=70°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，∴∠C=180°?∠BAC?∠B=70°,∵AD∥∴∠1=∠C=70°．故選：C．2．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖為商場(chǎng)某品牌椅子的側(cè)面圖，∠DEF=120°，DE與地面平行，∠ABD=50°，則∠ACB=（

）

A．70° B．65° C．60° D．50°【答案】A【分析】根據(jù)平行得到∠ABD=∠EDC=50°，再利用外角的性質(zhì)和對(duì)頂角相等，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：DE∥AB，∴∠ABD=∠EDC=50°，∵∠DEF=∠EDC+∠DCE=120°，∴∠DCE=70°，∴∠ACB=∠DCE=70°；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對(duì)頂角．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北張家口·一模）將一副三角板按如圖所示方式擺放，使有刻度的邊互相垂直，則∠1=（

）A．45° B．50° C．60° D．75°【答案】D【分析】本題考查了三角板中的角度計(jì)算、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)三角板可得∠2=45°,∠4=30°，再根據(jù)角的和差可得∠3=45°，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得．【詳解】解：如圖，由題意可知，∠2=45°,∠4=30°，∵兩個(gè)三角板中有刻度的邊互相垂直，∴∠3=90°?∠2=45°，∴∠1=∠3+∠4=45°+30°=75°，故選：D．4．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三角形紙片沿過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的直線剪開(kāi)后得到①②兩個(gè)三角形紙片，則一定正確的是（

）A．∠A=∠E B．∠C=∠EC．∠B=∠E+∠F D．∠D=∠A+∠B【答案】D【分析】本題主要考查了三角形三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圖形可知：∠A≠∠E，∠C≠∠E，∠B≠∠E+∠F，∵∠D相當(dāng)于△ABC的外角，∴∠D=∠A+∠B，故ABC不符合題意，D符合題意．故選：D．5．（2023·四川遂寧·中考真題）一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的比試1:2:3，這個(gè)三角形是三角形【答案】直角【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形類(lèi)別，解答此題應(yīng)明確三角形的內(nèi)角度數(shù)的和是180°，求出最大的角的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的分類(lèi)判定類(lèi)型．【詳解】解：180°×3∴這個(gè)三角形是直角三角形，故答案為：直角．04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一與三角形有關(guān)的線段?題型01三角形的穩(wěn)定性1)三角形具有穩(wěn)定性.2)四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.1．（2022·湖南永州·中考真題）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角形具有穩(wěn)定性直接得出答案．【詳解】解：三角形具有穩(wěn)定性，四邊形、五邊形、六邊形都具有不穩(wěn)定性，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的特性，牢記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．2．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）四邊形結(jié)構(gòu)在生活實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，如圖所示的升降機(jī)，通過(guò)控制平行四邊形形狀的升降桿，使升降機(jī)降低或升高，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（

）A．平行四邊形的對(duì)邊相等 B．平行四邊形的對(duì)角相等C．四邊形的不穩(wěn)定性 D．四邊形的內(nèi)角和等于360°【答案】C【分析】本題考查了四邊形的不穩(wěn)定性，根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性求解即可．【詳解】解：升降機(jī)降低或升高，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是：四邊形的不穩(wěn)定性，故選：C．3．（2021·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細(xì)木條的數(shù)量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性及多邊形對(duì)角線的條數(shù)即可得答案．【詳解】∵三角形具有穩(wěn)定性，∴要使五邊形不變形需把它分成三角形，即過(guò)五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，∵過(guò)五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可作對(duì)角線的條數(shù)為5-3=2（條），∴要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細(xì)木條的數(shù)量至少為2條，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性及多邊形的對(duì)角線，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02畫(huà)三角形的五線1．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）嘉淇剪一個(gè)銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點(diǎn)D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可．【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段AD是△ABC的高線，圖②中，線段AD是△ABC的角平分線，圖③中，線段AD是△ABC的中線，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關(guān)鍵．2．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個(gè)圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線AD平分∠BAC的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①【答案】B【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解作法、掌握角平分線的定義．利用基本作圖對(duì)三個(gè)圖形的作法進(jìn)行判斷即可．在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分∠BAC；在圖③中，利用作法得AE=AF，AM=AN，

可證明△AFM≌△AEN，有∠AMD=∠AND，可得ME=NF，進(jìn)一步證明△MDE≌△NDF，得DM=DN，繼而可證明△ADM≌△ADN，得∠MAD=∠NAD，得到AD是∠BAC的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，則AD為【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分∠BAC；在圖③中，利用作法得AE=AF，

在△AFM和△AEN中，AE=AF∠BAC=∠BAC∴△AFM≌△AENSAS∴∠AMD=∠AND，∵AM?AE=AN?AF∴ME=NF在△MDE和△NDF中∠AMD=∠AND∠MDE=∠NDF∴△MDE≌△NDFAAS∴DM=DN，∵AD=AD,AM=AN，∴△ADM≌△ADNSSS∴∠MAD=∠NAD，∴AD是∠BAC的平分線；在圖②中，利用基本作圖得到D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，則AD為BC邊上的中線．則①③可得出射線AD平分∠BAC．故選：B．3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC邊上確定一點(diǎn)D，連接BD，使得BD平分△ABC的面積．（不寫(xiě)作法、保留作圖痕跡）【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了尺規(guī)作線段的垂直平分線，三角形中線的性質(zhì)，作線段AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，連接BD即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)D即為所求作的點(diǎn)．根據(jù)作圖可知：BD為△ABC的中線，∴S△ABD4．（2023·廣東江門(mén)·一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．(1)根據(jù)要求用尺規(guī)作圖：作AB邊上的高CD交AB于點(diǎn)D；（不寫(xiě)作法，只保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4.8【分析】（1）根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線的步驟畫(huà)圖；（2）利用面積相等求解．【詳解】（1）解：如圖：CD即為所求；（2）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∵CD?AB=AC?BC，∴CD=8×6÷10=4.8．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，利用面積法計(jì)算是解題的關(guān)鍵．5．（2023·山東青島·中考真題）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．已知：△ABC．求作：點(diǎn)P，使PA=PC，且點(diǎn)P在△ABC邊AB的高上．

【答案】見(jiàn)解析【分析】作AC的垂直平分線和AB邊上的高，它們的交點(diǎn)為P點(diǎn)．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P為所作．

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．?題型03與三角形高有關(guān)的計(jì)算①有高首先想到面積，可以考慮等面積法求高線.②高相等，面積之比等于底邊之比.1．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是中線，AD=4，S△ABC=12，則BE的長(zhǎng)為（A．1.5 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本題考查了三角形的高線和中線的意義，根據(jù)S△ABC=12和AD=4求出BC=6，根據(jù)【詳解】解：∵S△ABC=1∴BC=6∵AE是中線，∴BE=故選：B2．（2024親水縣三模）如圖，已知△ABC的面積為48，AB=AC=8，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF=2DE，則DE長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】如圖所示，連接AD，根據(jù)三角形面積公式得到12AB?DE+1【詳解】解：如圖所示，連接AD，∵S△ABC∴12∵AB=AC=8，DF=2DE，∴4DE+8DE=48，∴DE=4，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積計(jì)算，將△ABC的面積看作是兩個(gè)小三角形的面積之和是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽·中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過(guò)程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD=12BC+AB2?AC

【答案】1【分析】根據(jù)公式求得BD，根據(jù)CD=BC?BD，即可求解．【詳解】解：∵AB=7,BC=6，AC=5，∴BD=12∴CD=BC?BD=6?5=1,故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東青島·中考真題）【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱(chēng)為等高三角形．例如：如圖①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分別是【性質(zhì)探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B則S△ABC∵AD=∴S△ABC【性質(zhì)應(yīng)用】(1)如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)．若BD=3,DC=4，則S△ABD(2)如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，則S△BEC(3)如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，則【答案】(1)3:4(2)12；(3)a【分析】（1）由圖可知△ABD和△ADC是等高三角形，然后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)即可得到答案；（2）根據(jù)BE:AB=1:2，S△ABC=1和等高三角形的性質(zhì)可求得S△BEC，然后根據(jù)CD:BC=1:3（3）根據(jù)BE:AB=1:m，S△ABC=a和等高三角形的性質(zhì)可求得S△BEC，然后根據(jù)CD:BC=1:n，和等高三角形的性質(zhì)可求得【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，則S△ABD=∵AE=AE，∴S△ABD（2）解：∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC∴S△BEC∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE∴S△CDE（3）解：∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC∴S△BEC∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE∴S△CDE【點(diǎn)睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質(zhì)以及應(yīng)用性質(zhì)解題，熟練掌握等高三角形的性質(zhì)并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04等面積法求高等面積法是一種方程思想，即用兩種不同的方法表示同一個(gè)三角形的面積，那么這兩個(gè)表示的面積是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情況下:一種是利用面積公式表示三角形面積,另一種是利用割補(bǔ)法表示三角形的面積.1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A，B，C都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則△ABC中邊BC上的高為（

）A．54 B．2105 C．10【答案】B【分析】本題考查了勾股定理、面積法以及三角形面積公式等知識(shí)，由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再由三角形面積求出△ABC中邊BC上的高即可．熟練掌握勾股定理和面積法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)△ABC中邊BC上的高為?，由勾股定理得：BC=1∵S△ABC∴12∴?=2即△ABC中邊BC上的高為210故選：B．2．（2024·上海寶山·一模）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的?？空続的距離為15km，與公路上另一?？空綛的距離為20km，?？奎c(diǎn)A、B之間的距離為25km，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開(kāi)鑿隧道修通一條公路到C處，且CD⊥AB．則修建公路CD【答案】12【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應(yīng)用，以及三角形的面積公式等知識(shí)，通過(guò)計(jì)算可得出AC2+BC2=AB2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到【詳解】解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km∴AC∴∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴S△ABC∴CD=AC?BC∴修建的公路CD的長(zhǎng)是12km故答案為：12．3．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別3和4，這個(gè)直角三角形斜邊兒上的高為．【答案】125或【分析】本題主要考查勾股定理，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．可分兩種情況：若3，4是直角三角形的兩條直角邊；若3為直角三角形的直角邊，4為斜邊，利用勾股定理分別求解直角三角形的第三邊，利用三角形的面積可求解斜邊上的高．【詳解】解：若3，4是直角三角形的兩條直角邊，則斜邊長(zhǎng)為：32∴斜邊上的高為：3×45若3為直角三角形的直角邊，4為斜邊，則另一條直角邊長(zhǎng)為：42∴斜邊上的高為：3×7綜上所述，這個(gè)直角三角形斜邊上的高為125或3故答案為：125或4．（2023·四川樂(lè)山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D為AB邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，DF∥AC，分別交AC、BC于點(diǎn)E

(1)求證：四邊形ECFD是矩形；(2)若CF=2，CE=4，求點(diǎn)C到【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)證明∠CED=∠CFD=90°，再利用四邊形內(nèi)角和為360°，證明∠EDF=90°，即可由矩形判定定理得出結(jié)論；（2）先由勾股定理求出EF=C【詳解】（1）證明：∵DE∥BC，∴四邊形ECFD為平行四邊形，∵∠C=90°，∴四邊形ECFD是矩形．（2）解：∵∠C=90°，CF=2，∴EF=設(shè)點(diǎn)C到EF的距離為h，∵S∴2×4=2∴?=答：點(diǎn)C到EF的距離為45【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握矩形的判定定理和利用面積法求線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．QUOTE?題型05求網(wǎng)格中的三角形面積1）利用割補(bǔ)法求三角形的面積.2）皮克定理：三角形的面積=內(nèi)點(diǎn)數(shù)+邊點(diǎn)數(shù)÷2-11．（2024恩施市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A?3,?1，B1,3，C2,?3，則三角形ABC

【答案】14【分析】利用割補(bǔ)法求解即可，【解答】解：S△ABC＝5×6﹣×3×7﹣×2×7＝30﹣6﹣3﹣5＝16．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A3,?1、B1,?4、C3,?3，將△ABC向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到△A'B'C'，其中點(diǎn)A，B(1)請(qǐng)畫(huà)出△A(2)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為_(kāi)________；△【答案】(1)見(jiàn)解析(2)C'2,0，【分析】本題主要考查了作圖-平移作圖，點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律，以及割補(bǔ)法求三角形面積．（1）先將A、B、C向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)描出來(lái)，再順次連接為A'，B'，（2）按照平移規(guī)律求解即可得點(diǎn)C'的坐標(biāo)為．再根據(jù)網(wǎng)格利用割補(bǔ)法求△【詳解】（1）解：如圖，△A'B'C'為所求，（2）解：點(diǎn)C'的坐標(biāo)為C△B'BC故答案為：C'2,0，3．（2024浙江模擬預(yù)測(cè)）正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，作△ABC，使AB=5，AC=10，BC=17，并求【答案】作圖見(jiàn)解析；S【分析】本題考查的是勾股定理，格點(diǎn)三角形，三角形的面積，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理畫(huà)出圖形即可．利用割補(bǔ)法求出三角形的面積即可．【詳解】解：如圖，△ABC為所求作的三角形．根據(jù)勾股定理得：AB=3AC=1BC=4S△ABC4．（2024洛陽(yáng)市模擬）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．(1)求四邊形ABCD的面積；(2)求∠BCD的度數(shù)．【答案】(1)17.5(2)∠BCD=90°【分析】本題考查勾股定理和逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（1）利用網(wǎng)格割補(bǔ)法求面積進(jìn)行求解即可；（2）先用勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）四邊形ABCD的面積=5×7?1（2）解：連接BD，根據(jù)勾股定理得AB=12+CD=12+∵BC=25，CD=5，∴BC∴∠BCD=90°．?題型06與三角形中線有關(guān)的計(jì)算1．（2024珠海區(qū)模擬）在△ABC，AB=20，BC=18，BD是AC邊上的中線，若△ABD的周長(zhǎng)為45，△BCD的周長(zhǎng)是（

）A．47 B．43 C．38 D．25【答案】B【分析】本題主要考查三角形的中線以及三角形的周長(zhǎng)，掌握三角形的中線的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)△ABD的周長(zhǎng)為45，可得BD+CD=25，再結(jié)合三角形中線的定義，即可求解．【詳解】解：∵△ABD的周長(zhǎng)為45，∴AB+BD+AD=45，∵BD是AC邊上的中線，∴CD=AD，∵AB=20，∴BD+CD=45?AB=25，∵BC=18，∴△BCD的周長(zhǎng)是BC+BD+CD=43．故選：B．2．（2024·山西太原·三模）如圖示，BE是△ABC的中線，點(diǎn)D是AB邊靠近頂點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，連接CD，交BE于點(diǎn)F，則DFCF等于（

A．12 B．13 C．14【答案】B【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中線的性質(zhì)，作EH∥AB，交CD于點(diǎn)H，證明△CEH∽△CAD，結(jié)合三角形中線的性質(zhì)，得到EH=12AD，CH=DH=12CD，根據(jù)題意得到BD=1【詳解】解：作EH∥AB，交CD于點(diǎn)∴△CEH∽△CAD，∵BE是△ABC的中線，∴CHCD=CEAC∵點(diǎn)D是AB邊靠近頂點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴BD=1∴BD=EH，∵EH∥∴△EHF∽△BDF，∴DF即DF=HF=12DH=∴DFCF故選：B．3．（2024·云南昆明·二模）如圖，AD，CE是△ABC的兩條中線，連接ED．若S△ABC=16，則陰影部分的面積是（

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查的是三角形的中線，熟記三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分計(jì)算即可．【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，S△ABC∴S∵E是AB的中點(diǎn)，∴S故選：B4．（2024南寧市模擬）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，若S△ABC=12，則陰影部分的面積為（A．10 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】本題考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．利用角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分得到S△EBD=12S【詳解】解：∵點(diǎn)D是△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，∴S△EBD=1∴S△EBD∴陰影部分的面積為6，故選：C．?題型07與三角形重心有關(guān)的計(jì)算1．（2023·浙江·中考真題）如圖，點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，PE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交EP于點(diǎn)F，若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）

A．15 B．18 C．24 D．36【答案】B【分析】連接BD,根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知：P在BD上，由三角形中線平分三角形的面積可知：S△ABC=2S△BDC，證明【詳解】解：如圖，連接BD，

∵點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，P在BD上，∴S△ABCBP:PD=2:1，∵DF∥∴△DFP～△BEP∴S∵EF∥∴△BEP～△BCD，∴S設(shè)△DFP的面積為m，則△BEP的面積為4m，△BCD的面積為9m，∵四邊形CDFE的面積為6，∴m+9m?4m=6，∴m=1，∴△BCD的面積為9，∴△ABC的面積是18．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2024·黑龍江綏化·中考真題）已知：△ABC．(1)尺規(guī)作圖：畫(huà)出△ABC的重心G．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法和證明）(2)在（1）的條件下，連接AG，BG．已知△ABG的面積等于5cm2，則△ABC的面積是______【答案】(1)見(jiàn)解析(2)15【分析】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，尺規(guī)畫(huà)垂線；（1）分別作BC,AC的中線，交點(diǎn)即為所求；（2）根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可得S△ABGS【詳解】（1）解：如圖所示作法：①作BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D②作AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)F③連接AD、BF相交于點(diǎn)G④標(biāo)出點(diǎn)G，點(diǎn)G即為所求（2）解：∵G是△ABC的重心，∴AG=∴S∵△ABG的面積等于5cm∴S又∵D是BC的中點(diǎn)，∴S故答案為：15．3．（2024·山東青島·一模）三角形的重心定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為三角形的重心．三角形重心的一個(gè)重要性質(zhì)：重心與一邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的13下面是小亮證明性質(zhì)的過(guò)程：已知：如圖，在△ABC中，D，E分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，AD，求證：OE證明：連接ED，∵D，E分別是邊BC，∴DE∥AC,DE∴△ACO∴∴

性質(zhì)應(yīng)用：(1)如圖1，在△ABC中，點(diǎn)G是△ABC的重心，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，若AG=4，則AE=______；

(2)如圖2，在△ABC中，中線AE，CF相交于點(diǎn)G，若△ABC的面積為48，則

(3)如圖3，在△ABC中，若BF=1nAB，BE=1nBC，

【答案】(1)6(2)8(3)n?1【分析】本題主要考查了三角形重心性質(zhì)的應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)重心與一邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的13（2）在△ABC中，點(diǎn)G是△ABC的重心，S△AEC=（3）如圖：連結(jié)EF，先證△BEF∽△BCA可得EFAC=1n，可得EF∥【詳解】（1）解：在△ABC中，點(diǎn)G是△ABC的重心，∴EGAE∵AG=4，∴EG=2，∴AE=AG+EG=4+2=6．故答案為：6．（2）解：在△ABC中，中線AE，CF相交于點(diǎn)G，G為∴CE=1∴S△∴GE=1∴S△故答案為：8．（3）解：如圖：連結(jié)EF．

∵BF=1∵∠B=∠B，∴△BEF∽∴EFAC=1∴EF∥∴△EFG∽∴EFAC∴EGAE∴S△∵BE=1∴CE=n?1∴S△∴S△故答案為：n?1n?題型08與三角形中位線有關(guān)的計(jì)算1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，CD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AC，DC的中點(diǎn)，EF=3，則BD的長(zhǎng)為．【答案】6【分析】此題考查了三角形的中線和中位線，先利用中位線性質(zhì)求得AD，再由中線知BD=AD即可解答，熟練掌握中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn)E、F分別是AC、DC的中點(diǎn)，∴EF是△ACD的中位線，∴EF=1∴AD=2EF=6，∵CD是△ABC的中線，∴BD=AD=6，故答案為：6．2．（2024·湖南·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．【答案】D【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由三角形中位線性質(zhì)可判斷A、C；由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別為邊∴DE∥BC，BC=2DE，故∵DE∥∴△ADE∽△ABC，故∵△ADE∽∴S△ADE∴S△ADE=1故選：D．3．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，D，E，F(xiàn)分別是AB，【答案】9【分析】本題考查了三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．根據(jù)三角形的中位線定理得出DE=1【詳解】解：∵AB=4，BC=6，AC=8，D，E，∴DE=1∴△DEF的周長(zhǎng)=DE+EF+DF=4+2+3=9，故答案為：9．4．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，四邊形ABCD各邊中點(diǎn)分別是E,F,G,H，若對(duì)角線AC=24,BD=18，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是．【答案】42【分析】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，熟記三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中位線定理分別求出EF、FG、GH、HE，根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD各邊中點(diǎn)分別是E、F、G、H，∴EF、FG、GH、HE分別為△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位線，∴EF=12AC=12×24=12，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為：12+9+12+9=42，故答案為：42．?題型09利用角平分線的性質(zhì)求解1．（2024·云南·中考真題）已知AF是等腰△ABC底邊BC上的高，若點(diǎn)F到直線AB的距離為3，則點(diǎn)F到直線AC的距離為（

）A．32 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由等腰三角形“三線合一”得到AF平分∠BAC，再角平分線的性質(zhì)定理即可求解．【詳解】解：如圖，∵AF是等腰△ABC底邊BC上的高，∴AF平分∠BAC，∴點(diǎn)F到直線AB，AC的距離相等，∵點(diǎn)F到直線AB的距離為3，∴點(diǎn)F到直線AC的距離為3．故選：C．2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長(zhǎng)為（）A．2 B．23 C．4 D．4+23【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH＝EC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADE的度數(shù)，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得DE的長(zhǎng)度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，如圖所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖南益陽(yáng)·中考真題）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交射線AB，AC于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)?shù)亩ㄩL(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線AE，交BD于點(diǎn)I，連接CI，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．I到AB，AC邊的距離相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的內(nèi)心D．I到A，B，C三點(diǎn)的距離相等【答案】D【分析】根據(jù)作圖先判斷AE平分∠BAC，再由三角形內(nèi)心的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：A.由作圖可知，AE是∠BAC的平分線，∴I到AB，AC邊的距離相等，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B.∵BD平分∠ABC，三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，∴CI平分∠ACB，故選項(xiàng)正確，不符合題意；C.由上可知，I是△ABC的內(nèi)心，故選項(xiàng)正確，不符合題意，D.∵I是△ABC的內(nèi)心，∴I到AB，AC，BC的距離相等，不是到A，B，C三點(diǎn)的距離相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查尺規(guī)作圖，涉及三角形內(nèi)心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握基本的尺規(guī)作圖和三角形內(nèi)心的性質(zhì)．4．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE=12，DF=5，則點(diǎn)E到直線AD的距離為．

【答案】6013/【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)可得點(diǎn)D到AC的距離等于點(diǎn)D到AB的距離DE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)勾股定理求出AD，最后根據(jù)等面積法求解即可．【詳解】解：∵AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，DF=5，∴DE=DF=5，又AE=12，∴AD=A設(shè)點(diǎn)E到直線AD的距離為x，∵12∴x=AE?DE故答案為：6013【點(diǎn)睛】本題考查了角平分定理，勾股定理等知識(shí)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．?題型10角平分線的判定1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)I到Rt△ABC三邊的距離相等，則∠AIB的度數(shù)為【答案】135°/135度【分析】本題考查角平分線的判定，根據(jù)點(diǎn)I到Rt△ABC三邊的距離相等，得出點(diǎn)I在△ABC【詳解】解：∵點(diǎn)I到Rt△ABC∴點(diǎn)I在△ABC的角平分線上，即AI與BI都是△ABC的角平分線，∴∠IAB=12∠CAB∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠IAB+∠IBA=1∴∠AIB=180°?∠IAB+∠IBA∴∠AIB的度數(shù)為135°．故答案為：135°．2．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知在銳角△ABC中，∠BAC的平分線AD交邊BC于D，∠ACB的平分線CF交邊AB于F，AD與CF交于O，連接BO并延長(zhǎng)交AC于E(1)尺規(guī)規(guī)范作圖，寫(xiě)出已知(2)求證：BE平分∠ABC(3)求證：BD【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理、三角形面積公式、角平分線的判定定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的作法結(jié)合題意畫(huà)出圖形即可；（2）作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OG⊥AB于G，由角平分線的性質(zhì)定理得出OG=OM，即可判定出BE平分∠ABC；（3）由△ABD和△ACD等高，得出S△ABD:S△ACD=BD:CD，作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，由角平分線的性質(zhì)定理可得：DP=DQ，得出S△ABD:【詳解】（1）解：如圖所示：已知：△ABC為銳角三角形，DA平分∠BAC，CF平分∠ACB，AD與CF交于O，連接BO并延長(zhǎng)交AC于E；（2）證明：如圖，作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OG⊥AB于G，∵DA平分∠BAC，ON⊥AC，OG⊥AB，∴OG=ON，同理可得：OM=ON，∴OG=OM，∴BE平分∠ABC；（3）證明：∵△ABD和△ACD等高，∴S△ABD如圖：作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q，由角平分線的性質(zhì)定理可得：DP=DQ，∵S△ABD=1∴S△ABD∴BD:CD=AB:AC，即BDCD同理可得：CEAE=BC∴BDCD3．（2024·江西贛州·二模）【課本再現(xiàn)】思考我們知道，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，反過(guò)來(lái)，角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理；角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．【定理證明】（1）為證明此逆定理，某同學(xué)畫(huà)出了圖形，并寫(xiě)好“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過(guò)程．已知：如圖1，在∠ABC的內(nèi)部，過(guò)射線BP上的點(diǎn)P作PD⊥BA，PE⊥BC，垂足分別為D，E，且PD=PE．求證：BP平分∠ABC．【知識(shí)應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，過(guò)內(nèi)部一點(diǎn)P，作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，且PD=PE=PF，∠A=120°，連接PB，PC．①求∠BPC的度數(shù)；②若PB=6，PC=23，求BC【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①150°；②2【分析】此題考查了全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)和勾股定理，判斷出角平分線并用角平分線的性質(zhì)求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）此問(wèn)只需證明△BDP≌△BEP即可（2）①判斷出PD、PE、PF是角平分線，用平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和是180°即可求出∠BPC的度數(shù)；②由①得∠BPC=150°構(gòu)造特殊直角三角形△PCH從而求出CH,PH,在Rt△BCH中用勾股定理即可求出BC【詳解】解：（1）證明：∵PD⊥BA，PE⊥BC，∴∠PDB=∠PEB=90°．在Rt△PDB與RtPB=PBPD=PE∴Rt∴∠PBD=∠PBE；即BP平分∠ABC．（2）①∵PD=PE=PF，∴由（1）中定理得：∠CBP=12∠ABC∴∠BPC=180°?=180°?1②過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BP于點(diǎn)H．∵∠BPC=150°，∴∠CPH=30°．∵PC=23∴CH=3∴PH=CP?cos∵BP=6，∴BC=BH?題型11利用垂直平分線的性質(zhì)求解已知垂直平分線，立馬得到以下三個(gè)結(jié)論:1）垂直；2）平分；3）連垂直平分線上某點(diǎn)和線段兩端，那么這兩個(gè)距離相等.1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于點(diǎn)D，若△ACD的周長(zhǎng)為50A．25?cm B．45?cm C．50?cm【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD，進(jìn)而可得△ACD的周長(zhǎng)=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=50cm【詳解】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴△ACD的周長(zhǎng)=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=50cm故選：C．54．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，扇形AOB的半徑為2，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)P，∠BOP=35°，則AB的長(zhǎng)l=．（結(jié)果保留

【答案】79π【分析】本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握弧長(zhǎng)公式．由等腰三角形的性質(zhì)求出∠AOB的度數(shù)，由弧長(zhǎng)公式即可計(jì)算．【詳解】解：由作圖知∶OP垂直平分AB，∵OA=OB,∴∠AOB=2∠BOP=2×35°=70°,∵扇形的半徑是2，∴故答案為∶792．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=40°，∠C=90°，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠EBC=．

【答案】10°/10度【分析】由∠C=90°，∠A=40°，求得∠ABC=50°，根據(jù)線段的垂直平分線、等邊對(duì)等角和直角三角形的兩銳角互余求得．【詳解】解：∵∠C=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠EBA=∠A=40°，∴∠EBC=∠ABC?∠EBA=10°，故答案為：10°．【點(diǎn)睛】此題考查了直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)，熟記直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線.若AB=5，AC=8，則△ABD的周長(zhǎng)是.

【答案】13【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD=CD，即可求解．【詳解】解：∵DE是BC的垂直平分線．∴BD=CD，∴AC=AD+CD=AD+BD，∴△ABD的周長(zhǎng)=AB+AD+BD=AB+AC=5+8=13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?題型12垂直平分線線的判定1）根據(jù)線段垂直平分線的定義，也就是經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，使用這種方法必須滿足兩個(gè)條件：一是垂直，二是平分；2）可以證明直線上有兩個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，可以判定這兩點(diǎn)所在的直線就是這條線段的垂直平分線.1．（2024·四川樂(lè)山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，AB=AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，若DE:AD=1:4，則BE:AB=（

）．A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，圓的基本性質(zhì)，先證明AO垂直平分BC，再利用勾股定理用OB分別表示出BE，【詳解】解：如圖所示，連接OB，∵⊙O為△ABC的外接圓，∴OB=OC，∵AB=AC，∴AO垂直平分BC，∴AD⊥BC，∵DE:AD=1:4，∴DE=1∴OE=1∴AE=3在Rt△OBE中，由勾股定理得BE=在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=∴BE:AB=1：故選：A．2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平行四邊形ABCD，AB≤BC．用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點(diǎn)P，使得PA+PC=BC，則下列做法正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定，作圖-線段垂直平分線等知識(shí)，證明PA=PB，則可知點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，由此求解即可解答．【詳解】解：∵PA+PC=BC，PB+PC=BC，∴PA=PB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴只有選項(xiàng)D中的作圖方法符合題意．故答案為：D．3．（2024·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ABC=∠ADC=90°，若BD=BC，則BC的長(zhǎng)為（

）A．45 B．35 C．53【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，線段垂直平分線的判定以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的判定以及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OD、OB，延長(zhǎng)BO交CD于點(diǎn)M，由勾股定理得AC=10，利用中線的性質(zhì)得OD=OC=OB=12AC=5，再證BM⊥CD，CM=DM=【詳解】解：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OD、OB，延長(zhǎng)BO交CD于點(diǎn)M，∵AD=6，CD=8，∠ADC=90°，∴AC=A∵∠ABC=∠ADC=90°，O是CD的中點(diǎn)，∴OD=OC=OB=1∴點(diǎn)O在線段CD的垂直平分線上，∵BD=BC，∴點(diǎn)B在線段CD的垂直平分線上，∴BM⊥CD，CM=DM=12∴OM=O∴BM=OB+OM=8，∴BC=B故選∶A．?題型13根據(jù)作圖痕跡求解1．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖，∠AOB=60°，點(diǎn)C在OB上，OC=23，P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，點(diǎn)P到OA的距離為

【答案】1【分析】首先利用垂直平分線的性質(zhì)得到OQ=12OC=3，利用角平分線，求出∠BOP，再在【詳解】如圖所示，

由尺規(guī)作圖痕跡可得，PQ是OC的垂直平分線，∴OQ=1∴∠BOP=1設(shè)PQ=x，則PO=2x，∵PQ∴x2∴x=1，∴PQ=1，由尺規(guī)作圖痕跡可得，PO是∠AOB的平分線，∴點(diǎn)P到OA的距離等于點(diǎn)P到OB的距離，即PQ的長(zhǎng)度，∴點(diǎn)P到OA的距離為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線和垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，數(shù)形結(jié)合思想是關(guān)鍵．2．（2023·四川南充·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠CAB的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫(huà)射線AP與BC

A．∠CAD=∠BAD B．CD=DE C．AD=53 D．【答案】C【分析】由作圖方法可知，AD是∠BAC的角平分線，則由角平分線的定義和性質(zhì)即可判定A、B；利用勾股定理求出BC，利用等面積法求出CD=3，由此求出AD、BD即可判斷C、D．【詳解】解：由作圖方法可知，AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD=∠BAD，故A結(jié)論正確，不符合題意；∵∠C=90°，∴CD=DE，故B結(jié)論正確，不符合題意；在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=∵S△ABC∴12∴12∴CD=3，∴AD=A∴CD:BD=3:5，故D結(jié)論正確，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質(zhì)和定義，角平分線的尺規(guī)作圖，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線PQ交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接CD．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

A．直線PQ是AC的垂直平分線 B．CD=C．DE=12BC【答案】D【分析】根據(jù)直線PQ是AC的垂直平分線、平行線分線段成比例、三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．由作圖過(guò)程可知，直線PQ是AC的垂直平分線，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B．由作圖過(guò)程可知，直線PQ是AC的垂直平分線，∴點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AD=CD，在△ABC中，∠ACB=90°，∴DE∥∴ADBD即點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD=1故選項(xiàng)正確，不符合題意；C．∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=1故選項(xiàng)正確，不符合題意；D．∵DE∥∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∴S△ADE故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、垂直平分線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．4．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分別以頂點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN分別與BC，AC交于點(diǎn)E和點(diǎn)F；以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB，AC于點(diǎn)H和點(diǎn)G，再分別以點(diǎn)H，點(diǎn)G為圓心，大于12HG的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP①∠C=30°；②AP垂直平分線段BF；③CE=2BE；④S△BEF其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．由作圖可知MN垂直平分線段AC、AE平分∠BAC，進(jìn)而證明∠C=∠EAC=∠BAE=30°可判定①；再說(shuō)明AB=AF可得AP垂直平分線段BF可判定②；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AC=2AB，AE=2BE可判定③，根據(jù)三角形的面積公式即可判定【詳解】解：由作圖可知MN垂直平分線段AC，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C，由作圖可知AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∵∠ABC=90°，∴∠C=∠CAE=∠BAE=30°，故①正確，∴AC=2AB，∵AF=FC，∴AB=AF，∴AP垂直平分線段BF，故②正確，∵AE=2BE，∴EC=2BE，故③正確，∴S△∵AF=FC，∴S△∴S△BEF=1故選：D．?題型14利用三角形三邊關(guān)系求解若滿足：最短的線段長(zhǎng)+中間的線段長(zhǎng)＞最長(zhǎng)的線段長(zhǎng)，即可構(gòu)成三角形.1．（2023·山東·中考真題）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．1<AB<7 B．SC．△ABC內(nèi)切圓的半徑r<1 D．當(dāng)AB=7時(shí)，△ABC【答案】C【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系、三角形面積、內(nèi)切圓半徑的計(jì)算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．【詳解】解：∵BC=3,AC=4，∴4?3<AB<4+3即1<AB<7，故A說(shuō)法正確；當(dāng)BC⊥AC時(shí)，S△ABC若以BC為底，高≤AC=4，∴S△ABC設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則12∵S△ABC∴r2AB+BC+AC≤6∵1<AB<7，BC=3,AC=4∴8<AB+BC+AC<14，∴r<12當(dāng)AB=7時(shí)，B∴△ABC是直角三角形，故D說(shuō)法正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形面積，三角形內(nèi)切圓半徑以及勾股定理的逆定理，掌握內(nèi)切圓半徑與圓的面積周長(zhǎng)之間的關(guān)系r=2S2．（2023·福建·中考真題）若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解即可．【詳解】解：由題意，得4?3<m<4+3，即1<m<7，故m的值可選5，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解答的關(guān)鍵．3．（2022·西藏·中考真題）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是三角形兩邊的長(zhǎng)，則該三角形第三邊長(zhǎng)可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．8【答案】B【分析】由實(shí)數(shù)與數(shù)軸與絕對(duì)值知識(shí)可知該三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4．然后由三角形三邊關(guān)系解答．【詳解】解：由題意知，該三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4．不妨設(shè)第三邊長(zhǎng)為a，則4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，絕對(duì)值，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊，4．（2022·湖南益陽(yáng)·中考真題）如圖1所示，將長(zhǎng)為6的矩形紙片沿虛線折成3個(gè)矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題實(shí)際上是長(zhǎng)為6的線段圍成一個(gè)等腰三角形，求腰的取值范圍．【詳解】解：長(zhǎng)為6的線段圍成等腰三角形的兩腰為a．則底邊長(zhǎng)為6﹣2a．由題意得，2a>6?2a6?2a>0解得32＜a所給選項(xiàng)中分別為：1，2，3，4．∴只有2符合上面不等式組的解集，∴a只能取2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊之間的關(guān)系、解不等式組，解題的關(guān)鍵是把把三棱柱的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形三邊的問(wèn)題．命題點(diǎn)二與三角形有關(guān)的角1）三角形的內(nèi)角和為180°；2）直角三角形中兩銳角和為90°；3）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.?題型01利用三角形內(nèi)角和定理求解1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，△ABC≌△CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，則∠DCE的度數(shù)為．【答案】100°/100度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，先利用全等三角形的性質(zhì)，求出∠CED=∠ACB=45°，再利用三角形內(nèi)角和求出∠DCE的度數(shù)即可．【詳解】解：由△ABC≌△CDE，∠D=35°，∴∠CED=∠ACB=45°，∵∠D=35°，∴∠DCE=180°?∠D?∠CED=180°?35°?45°=100°，故答案為：100°2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)E，再分別以B、E為圓心，大于12BE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部交于點(diǎn)F，作射線AF【答案】10°/10度【分析】本題主要考查角平分線的作法及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出AF平分∠BAC，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：因?yàn)椤螧=50°，所以∠BAC=180°?50°?30°=100°，根據(jù)題意得：AF平分∠BAC，所以∠BAF=1因?yàn)锳D為高，所以∠BDA=90°，所以∠BAD=180°?50°?90°=40°,所以∠DAF=∠BAF?∠BAD=50°?40°=10°，故答案為：10°．3．（2023·新疆·中考真題）如圖，在△ABC中，若AB=AC，AD=BD，∠CAD=24°，則∠C=°

【答案】52【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=【詳解】解：∵AB=AC，AD=BD，∴∠B=∴∠B=∵∠B+∴∠B+∠C+解得：∠C=52°故答案為：52．【點(diǎn)睛】題目主要考查等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合圖形，找出各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）將一個(gè)含30°角的三角尺和直尺如圖放置，若∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：如圖所示，由題意得∠3=∠1=50°，∠5=90°，∠2=∠4，∴∠2=∠4=180°?90°?∠3=90°?50°=40°，故選：B．?題型02三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用1．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖是某機(jī)械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中AB∥CD，DE⊥BC,∠ABC=70°，則∠EDC等于（

）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)．首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BCD=∠ABC=70°，再根據(jù)垂直與三角形的內(nèi)角和即可求出∠EDC．【詳解】解：∵AB∥CD，∠ABC=70°，∴∠BCD=∠ABC=70°，∵DE⊥BC，∴∠CED=90°，∴∠EDC=90°?70°=20°故選：B．2．（2024·山西·中考真題）如圖1是一個(gè)可調(diào)節(jié)的電腦桌，它的工作原理是利用液體在封閉的管路中傳遞力和能量．圖2是將其正面抽象成的圖形，其中桌面AB與底座CD平行，等長(zhǎng)的支架AD,BC交于它們的中點(diǎn)E，液壓桿FG∥BC．若∠BAE=53°，則∠GFD的度數(shù)為（

）A．127° B．106° C．76° D．74°【答案】D【分析】題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意得出AE=BE,∠BAE=∠ABE=53°，確定∠AEB=74°，再由對(duì)頂角及平行線的性質(zhì)即可求解【詳解】解：∵等長(zhǎng)的支架AD,BC交于它們的中點(diǎn)E，∠BAE=53°，∴AE=BE,∠BAE=∠ABE=53°，∴∠AEB=180°?∠ABE?∠BAE=74°，∴∠AEB=∠CED=74°，∵FG∥BC，∴∠GFD=∠CED=74°，故選：D3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，AB∥CD，∠C=33°，OC=OE．則∠A=【答案】66【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠E=∠C=33°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得∠DOE=66°，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵OC=OE，∠C=33°，∴∠E=∠C=33°，∴∠DOE=∠E+∠C=66°，∵AB∥∴∠A=∠DOE=66°，故答案為：66．4．（2024·山東·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若OA∥CB，∠ACB=25°，則∠CAB=【答案】40°/40度【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用圓周角定理求出∠AOB的度數(shù)，利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理求出∠OAB的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)求出∠OAC的度數(shù)，即可求解．【詳解】解∶連接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2∠ACB=50°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=1∵OA∥∴∠OAC=∠ACB=25°，∴∠CAB=∠OAB?∠OAC=40°，故答案為：40°．QUOTE?題型03三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．現(xiàn)分別作出BC邊上的高AD和∠A的平分線AE．則∠DAE的度數(shù)為（

A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】C【分析】此題主要考查了角的計(jì)算，關(guān)鍵是正確作出輔助線．首先計(jì)算出∠BAE的度數(shù)，再計(jì)算出∠BAD的度數(shù)，利用角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】如圖所示；分別作出BC邊上的高AD和∠A的平分線AE．

在△ABC中，∠BAC=180°?∠B?∠ACB=180°?40°?110°=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1在Rt△ADB中，∠BAD=90°?∠B=50°∴∠DAE=∠DAB?∠BAE=35°，故選：C．2．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的平分線CF交于點(diǎn)F．若將△ABC沿DE翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，則（

）A．∠A=∠1+∠2 B．∠3=90°+C．∠A=180°?∠1+∠2 D．【答案】D【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)角平分線的定義，推出∠BCF=12∠ACB，∠CBF=【詳解】解：∵BF，CF分別是∠ABC，∴∠3=180°?∠BCF?∠CBF=180°?1由翻折可知∠AED=∠FED，∠ADE=∠FDE，∴∠1+∠2=180°?2∠AED+180°?2∠ADE=360°?2∠AED+∠ADE=360°?2∴∠A=1∴∠3=90°+1故選：D．3．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是邊AB上的高，AE是∠CAB的平分線，則【答案】100°/100度【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)、角平分線的定義．先求出∠ACD=50°，結(jié)合高的定義，得∠DAC=40°，因?yàn)榻瞧椒志€的定義得∠CAE=20°，運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)，即可作答．【詳解】解：∵∠BCD=30°，∴∠ACD=50°，∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=40°，∵AE是∠CAB的平分線，∴∠CAE=1∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=20°+80°=100°．故答案為：100°．4．（2023·陜西西安·二模）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD為∠ACB的平分線，CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠ECD度數(shù)為（

）A．5° B．8° C．10° D．12°【答案】C【分析】依據(jù)直角三角形，即可得到∠BCE=40°，再根據(jù)∠A=30°,CD平分∠ACB,即可得到∠BCD的度數(shù),再根據(jù)∠DCE=∠BCD?∠BCE進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠B=50°,CE⊥AB,∴∠BCE=40°,又∵∠A=30°,CD平分∠ACB,∴∠BCD=1∴∠DCE=∠BCD?∠BCE=50°?40°=10°,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．?題型04與角度有關(guān)的折疊問(wèn)題1．（2020·湖南邵陽(yáng)·中考真題）將一張矩形紙片ABCD按如圖所示操作：（1）將DA沿DP向內(nèi)折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A1（2）將DP沿DA1向內(nèi)繼續(xù)折疊，使點(diǎn)P落在點(diǎn)P1處，折痕與邊AB若P1M⊥AB，則∠DPA．135° B．120° C．112.5° D．115°【答案】C【分析】由折疊前后對(duì)應(yīng)角相等且∠P1MA=90°可先求出∠DMP1【詳解】解：∵折疊，且∠P∴∠DMP1=∠DMA=∵折疊，∴∠MDP∴在ΔDP1