證明不等式的技巧 2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）考點(diǎn)精煉--證明不等式的技巧2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)備考一、單選題1．已知命題p：，，則（

）A．p是真命題，：，B．p是真命題，：，C．p是假命題，：，D．p是假命題，：，2．下列四個(gè)不等式①，②，③，④中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．以下不等式不成立的是（

）A．， B．，C． D．，4．若(a，b為變量)成立，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．5．已知正數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．6．若，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知，，給出下列不等式①；②；③；④其中一定成立的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題8．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.9．已知定義在上函數(shù)滿足：，寫出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù).10．對(duì)于任意的不等式且恒成立，則的取值范圍是．11．已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則yx．（在“>”、“<”中選一個(gè)填在橫線處）三、解答題12．已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為2，求的值．(2)當(dāng)時(shí)，證明：，．13．當(dāng)時(shí)，證明：.14．設(shè)函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性．(2)證明：．(3)當(dāng)時(shí)，證明：．15．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，證明：．(2)當(dāng)時(shí)，證明：．16．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17．已知x∈（0，1），求證：

參考答案1．A利用導(dǎo)數(shù)判斷命題的真假，再求命題的否定即可.設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，，所以命題p：，為真命題；又：，.故選：A.2．C首先證明、，利用判斷①②③，令令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可說明④.令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，所以，故①正確；對(duì)于②：因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故②正確；對(duì)于③：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故④正確；綜上可得①②④正確．故選：C3．D對(duì)于各個(gè)選項(xiàng)分別構(gòu)造函數(shù)，；，；，；，.再求導(dǎo)研究單調(diào)性，進(jìn)而用單調(diào)性性質(zhì)判定即可.對(duì)于A，令，，由，則在上單調(diào)遞增，則，不等式成立；對(duì)于B，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，不等式成立；對(duì)于C，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，不等式成立；對(duì)于D，令，，當(dāng)時(shí)，，所以不等式不成立．故選：D．4．A方法一利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)同構(gòu)，再由函數(shù)的單調(diào)性求解即可；舉反例可得C、D錯(cuò)誤；方法二利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)同構(gòu)，再由函數(shù)的單調(diào)性求解即可；舉反例可得C、D錯(cuò)誤；方法一：對(duì)于A、B，由，可得，令，則，因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，符合，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，符合，但，故D錯(cuò)誤.方法二：對(duì)于A、B由，可得，令，則，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，即，對(duì)于C，取，符合，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，符合，但，故D錯(cuò)誤.故選：A.5．A法一：由得，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以，即，所以，所以；由兩邊同除以得，令，則，所以在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，所以，即，所以，從而．法二：由得，即，所以，令，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，所以，則有；由得，即，所以，因?yàn)?，，，所以，即故．故選：A6．B不等式可化為，故考慮構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式可得，由已知，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，可得的取值范圍.不等式，可化為，設(shè)，則，即在上單調(diào)遞增，而，因?yàn)?，所以，由已知恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，即遞減；當(dāng)時(shí)，即遞增；∴，故只需，即．又，所以的取值范圍為.故選：B7．C由可得，分別構(gòu)造，和，通過求導(dǎo)，求出單調(diào)性和最值可判斷①③④；取特值可判斷②.由，，可得：，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得：，由可得：，所以，?duì)于命題①，，令，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故命題①正確；對(duì)于命題②，由可得：，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，故命題②正確；對(duì)于命題③，由，取，所以，所以，所以③錯(cuò)誤.對(duì)于命題④，因?yàn)?，所以，。令，，令，，所以在上單調(diào)遞減，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，故命題④正確.故選：C.8．不等式恒成立等價(jià)于，，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，即可得出結(jié)論．不等式恒成立，，令，，，，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，存在唯一使得，即，，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增．時(shí)，函數(shù)取得極小值，即最小值，，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．9．（答案不唯一）先證明，再證明均滿足題設(shè)要求，故可得為滿足題設(shè)要求的函數(shù).先證明：.設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故，故恒成立，故可設(shè)，則，即，而，故均滿足題設(shè)要求，特別地，取，故滿足題設(shè)要求.故答案為：（答案為不唯一）.10．原不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而得，令，利用導(dǎo)數(shù)求解最值求得，即可得解.不等式對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，，取，此時(shí)，不符合題意，因此，此時(shí)有，即，當(dāng)，即時(shí)，，不等式恒成立，當(dāng)，即時(shí)，令，于是，且，而時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，所以要使不等式恒成立，只需時(shí)，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，解得，所以a的取值范圍是.11．<根據(jù)條件可得，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明，由此可得，即得，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，得解.由，可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，一定有，所以，則，可得．又因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，，則，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所?故答案為：.12．(1)(2)證明見解析（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線斜率，求的值；（2）首先將所證明不等式兩邊取對(duì)數(shù)，變形為，再構(gòu)造不等式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明.（1），則．因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線斜率為2，所以，即．（2）當(dāng)時(shí)，，要證，即證，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，即證令，則．所以在上單調(diào)遞減，所以，所以．13．證明見解析利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來證得不等式成立.證明：令，則，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，.14．(1)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，(2)證明見解析(3)證明見解析（1）因?yàn)椋字x域?yàn)?，，由，得到，由，得到或，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.（2）因?yàn)?，易知定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.（3）由（2）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，要證明，即證明，令，則在區(qū)間上恒成立，又，所以，所以，命題得證.15．(1)證明見解析(2)證明見解析（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，?gòu)造函數(shù)，則，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以，故．（2），當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得，即．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)，滿足．故原不等式得證．16．(1)答案見解析(2)（1）依題意，得.當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，即，即.令，則有對(duì)恒成立.因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，

故只需，即對(duì)恒成立.令，則，令，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以.因此，所以.17．證明見解析用分析法證明，要證ex＜lnxlnx＋1－2x＋＞0，令g（x）＝lnx＋1－2x＋，求導(dǎo)，證明g（x）＞0即可；證明:要證，只需證ex＜lnx，又易證ex＞x＋1（0＜x＜1），∴只