高考數(shù)學二輪復習雙曲線學案含解析

PAGEPAGE8雙曲線問題考向一：雙曲線的定義與焦點三角形1、在雙曲線的定義中，要留意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的肯定值為一常數(shù)，且該常數(shù)必需小于兩定點間的距離”．若定義中的“肯定值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支．同時需留意定義的轉化應用．2、在焦點三角形中，留意定義、余弦定理的活用，常將||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立與|PF1|、|PF2|間的聯(lián)系．1.［2024?全國Ⅱ，11］已知F1、F2是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，則E的離心率為()A．eq\r(2) B．eq\f(3,2) C．eq\r(3) D．2答案A解析：解法一：由MF1⊥x軸，可得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，∴|MF1|＝eq\f(b2,a).由sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，可得cos∠MF2F1＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(2\r(2),3)，又tan∠MF2F1＝eq\f(|MF1|,|F1F2|)＝eq\f(b2,2ac)，∴eq\f(b2,2ac)＝eq\f(\f(1,3),\f(2\r(2),3))，∴b2＝eq\f(\r(2),2)ac，∵c2＝a2＋b2∴c2－a2－eq\f(\r(2),2)ac＝0e2－eq\f(\r(2),2)e－1＝0，∴e＝eq\r(2).解法二：設MF1=m，則M2a=MF所以e=2、[2014?大綱卷，9］已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F(xiàn)2，點A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3) C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(2),3)答案A解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|F1A|－|F2A|＝2a，,|F1A|＝2|F2A|，))解得|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，又由已知可得eq\f(c,a)＝2，所以c＝2a，即|F1F2|＝4a，所以cos∠AF2F1＝eq\f(|F2A|2＋|F1F2|2－|F1A|2,2|F2A||F1F2|)＝eq\f(4a2＋16a2－16a2,2×2a×4a)＝eq\f(1,4)3、[2013?湖南卷，14］設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內角為30°，則C的離心率為________．答案eq\r(3)解析：不妨設點P在雙曲線C的右支上，由雙曲線定義知|PF1|－|PF2|＝2a，①又因為|PF1|＋|PF2|＝6a，②由①②得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，因為c>a，所以在△PF1F2中，∠PF1F2為最小內角，因此∠PF1F2＝30°，在△PF1F2中，由余弦定理可知，|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos30°，即4a2＝16a2＋4c2－8eq\r(3)ac.所以c2－2eq\r(3)ac＋3a2＝0，兩邊同除以a2得，e2－2eq\r(3)e＋3＝0.解得e＝eq\r(3).考向二：雙曲線的標準方程1、［2024?全國Ⅰ，5］已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A．(－1，3) B．(－1，eq\r(3))C．(0，3) D．(0，eq\r(3))答案A解析∵原方程表示雙曲線，且焦距為4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋n>0，,3m2－n>0，,m2＋n＋3m2－n＝4，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋n<0，,3m2－n<0，,－3m2－n－m2＋n＝4，))②由①得m2＝1，n∈(－1，3)．②無解2、[2014?北京卷，11］設雙曲線C經過點(2，2)，且與eq\f(y2,4)－x2＝1具有相同漸近線，則C的方程為________；漸近線方程為________．答案eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1；y＝±2x解析依據題意，可設雙曲線C：eq\f(y2,4)－x2＝λ，將(2，2)代入雙曲線C的方程得λ＝－3，∴C的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,12)＝1.漸近線方程為y＝±2x.與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．考向三：與漸近線有關的雙曲線問題1、【2024全國Ⅰ卷理16】已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．【答案】2分析：解答本題時，通過向量關系得到和，從而可以得到，再結合雙曲線的漸近線可得進而得到從而由可求離心率.解析：如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得∴，，又OA與OB都是漸近線，得又，∴又漸近線OB的斜率為，∴該雙曲線的離心率為．解法2：如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得∴，取B(x,bax)，x2因為F1A=b，所以OA=aS?BF2、【2024年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，則△PFO的面積為A． B．C．D．【答案】A【解析】由，又P在C的一條漸近線上，不妨設為在上，則，3、［2024?全國Ⅰ，11］已知雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝()A．eq\f(3,2)B．3C．2eq\r(3)D．4答案B解析：由題意分析知，∠FON＝30°.所以∠MON＝60°，又因為△OMN是直角三角形，不妨取∠NMO＝90°，則∠ONF＝30°，于是FN＝OF＝2，F(xiàn)M＝eq\f(1,2)OF＝1，所以|MN|＝3.4、［2024?全國Ⅲ，11］設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，O是坐標原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝eq\r(6)|OP|，則C的離心率為()A.eq\r(5)B．2C.eq\r(3)D.eq\r(2)答案C解析一：由題可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a.在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝eq\f(|PF2|,|OF2|)＝eq\f(b,c)，∵在△PF1F2中，cos∠PF2O＝eq\f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2||F1F2|)＝eq\f(b,c)，∴eq\f(b2＋4c2－\r(6)a2,2b·2c)＝eq\f(b,c)?c2＝3a2，∴e＝eq\r(3).解析二：由題可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a.過F1作漸近線的垂線，垂足為Q.因為P、Q關于原點對稱，|QF1|＝b，|QO|＝a，|PQ|＝2a.在Rt△PQF1中，Qb2+4a2∴e＝eq\r(3).5、［2024?全國Ⅰ，15］已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________．答案eq\f(2\r(3),3)解析：如圖，由題意知點A(a，0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，∴點A到l的距離d＝eq\f(ab,\r(a2＋b2)).又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN為等邊三角形，∴d＝eq\f(\r(3),2)MA＝eq\f(\r(3),2)b，即eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),2)b，∴a2＝3b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3).考向四：雙曲線的離心率問題1、［2015?全國Ⅱ，11］已知A，B為雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A．eq\r(5) B．2 C．eq\r(3) D．eq\r(2)答案D解析：設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，不妨設點M在雙曲線的右支上，如圖，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x軸于H，則∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝eq\r(3)a，所以M(2a，eq\r(3)a)．將點M的坐標代入雙曲線方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得a＝b，所以e＝eq\r(2).2、【2024年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設F為雙曲線C：的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點．若，則C的離心率為A． B． C．2 D．【答案】A解析：設與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，∴，，又點在圓上，，即．，故選A．考向五：與其他學問交匯的雙曲線問題1、［2024?全國Ⅱ，9］若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為()A．2 B．eq\r(3) C．eq\r(2) D．eq\f(2\r(3),3)答案A解析：設雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，圓的圓心為(2，0)，半徑為2，由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為eq\r(22－12)＝eq\r(3).依據點到直線的距離公式得eq\f(|2b|,\r(a2＋b2))＝eq\r(3)，解得b2＝3a2.所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2.2、［2013?天津卷，5］已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為eq\r(3)，則p＝()A．1 B．eq\f(3,2) C．2 D．3答案C解析：由已知得雙曲線離心率e＝eq\f(c,a)＝2，得c2＝4a2，∴b2＝c2－a2＝3a2，即b＝eq\r(3)a.又雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，拋物線的準線方程為x＝－eq\f(p,2)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(bp,2a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(bp,2a)))，于是|AB|＝eq\f(bp,a).由△AOB的面積為eq\r(3)可得eq\f(1,2)·eq\f(bp,a)·eq\f(p,2)＝eq\r(3)，所以p2＝4eq\r(3)·eq\f(a,b)＝4eq\r(3)·eq\f(a,\r(3)a)＝4，解得p＝2或p＝－2(舍去)，故選C.3、［2013?山東卷，11］拋物線C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p>0)的焦點與雙曲線C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝()A．eq\f(\r(3),16) B．eq\f(\r(3),8) C．eq\f(2\r(3),3) D．eq\f(4\r(3),3)答案D解析：設拋物線C1的焦點為F，則Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).設雙曲線C2的右焦點為F1，則F1(2，0)．直線FF1的方程為y＝－eq\f(p,4)x＋eq\f(p,2)，設Meq