2021屆湖北省龍泉中學(xué)、荊州中學(xué)、宜昌一中高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(教師版含解析)

龍泉中學(xué)?荊州中學(xué)?宜昌一中2020年秋季學(xué)期高三九月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：1.設(shè)全集，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用對(duì)數(shù)不等式的解法化簡(jiǎn)集合M，再根據(jù)全集求補(bǔ)集.【詳解】由題意，又，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2.己知，，則下列各式成立的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊值法，逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)：因函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)樵趩握{(diào)遞增函數(shù)，所以，，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，，可取，，，此時(shí)，，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，，可取，，，此時(shí)，，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.3.已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得函數(shù)的定義域，再運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的定義域求解方法可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋越獾?，所以函?shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)需滿足且，解得且，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域，以及復(fù)合函數(shù)的定義域的求解方法，屬于基礎(chǔ)題.4.《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說(shuō)，河圖?洛書是中國(guó)古代流傳下來(lái)的兩幅神秘圖案，蘊(yùn)含了深?yuàn)W的宇宙星象之理，被譽(yù)為“宇宙魔方”，是中華文化陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源.河圖的排列結(jié)構(gòu)如圖所示，一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八同道居左，四與九為友居右，五與十相守居中，其中白圈數(shù)為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)數(shù)為陰數(shù)，若從陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為3的概率為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題目意思，先計(jì)算從陰數(shù)與陽(yáng)數(shù)中各取一個(gè)的所有可能情況，再用列舉法寫出其差的絕對(duì)值為3的可能情況，再根據(jù)古典概型概率計(jì)算方法求解.【詳解】由題意可知陽(yáng)數(shù)有，，，，共5個(gè)，陰數(shù)有，，，，共5個(gè)，故從陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)共有種可能結(jié)果，若使陰數(shù)與陽(yáng)數(shù)的差的絕對(duì)值為，，，則可能為：，，，，，，，共7種情況；故從陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對(duì)值為3的概率為：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查概率的實(shí)際應(yīng)用，考查利用列舉法求解古典概型的概率，較簡(jiǎn)單.5.設(shè)p：實(shí)數(shù)滿足，q：實(shí)數(shù)滿足，則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分類討論求出集合，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行求解即可【詳解】本題考查充分必要條件，不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力.，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，，，因?yàn)?，所以的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了一元二次方程的解法，考查了對(duì)數(shù)不等式的解法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6.已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為()A.4 B.8 C.9 D.13【答案】C【解析】【分析】先判斷是上的奇函數(shù)，可得，再利用基本不等式即可求最小值.【詳解】因，所以，可得：是上的奇函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求函數(shù)的最小值，涉及奇函數(shù)的定義，屬于中檔題.7.若函數(shù)對(duì)，，同時(shí)滿足：(1)當(dāng)時(shí)有；(2)當(dāng)時(shí)有，則稱為函數(shù).下列函數(shù)中是函數(shù)的為()①②③④A.①② B.②③ C.③④ D.①④【答案】D【解析】【分析】由題意可得滿足是上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，稱為函數(shù)，由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，分別判斷①、②、③、④的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得所求結(jié)論．【詳解】由(1)當(dāng)時(shí)有，即為，則為上的奇函數(shù)；由(2)當(dāng)時(shí)有，即為，，可得為上的增函數(shù)，則函數(shù)為上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)．由①，定義域?yàn)椋?即為奇函數(shù)，又，可得為上的增函數(shù)，故①是函數(shù)；②，定義域，時(shí)，，可得為奇函數(shù)，又在，上單調(diào)遞增，但在上不為增函數(shù)，比如，故②不是函數(shù)；③，定義域?yàn)?，，可得為偶函?shù)，故③不是函數(shù)；④，定義域?yàn)椋?，可得為奇函?shù)，又在上單調(diào)遞增，故④是函數(shù).故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義，主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，考查邏輯推理與運(yùn)算求解能力.8.定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】，∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，

∴區(qū)間上存在，

滿足∴方程在區(qū)間有兩個(gè)不相等的解，

令，

則，解得∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A．二?多項(xiàng)選擇題：9.某地某所高中2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.5倍，為了更好地對(duì)比該?？忌纳龑W(xué)情況，統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考升學(xué)情況，得到如下柱圖：則下列結(jié)論正確的是()A.與2016年相比，2019年一本達(dá)線人數(shù)有所增加B.與2016年相比，2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了0.5倍C.與2016年相比，2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同D.與2016年相比，2019年不上線的人數(shù)有所增加【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)柱狀圖給定的信息，作差比較，即可求解.【詳解】依題意，設(shè)2016年高考考生人數(shù)為，則2019年高考考生人數(shù)為，由，所以A項(xiàng)正確；由，所以B項(xiàng)不正確；由，所以C項(xiàng)不正確；由，所以D項(xiàng)正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)別和應(yīng)用，其中解答中熟記柱狀圖表表示的含義是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10.若，則()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法解決，對(duì)于A：通過(guò)給賦值即可作出判斷；對(duì)于B和C：通過(guò)給賦值和，得到兩個(gè)等式作差得到結(jié)果，進(jìn)而作出判斷；對(duì)于D：，通過(guò)給賦值得到結(jié)果即可作出判斷.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于常考題.11.已知定義的奇函數(shù)，滿足，若，則()A. B.4是的一個(gè)周期C. D.的圖像關(guān)于對(duì)稱【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于，(3)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，即4是的一個(gè)周期，故正確；對(duì)于，，故正確；對(duì)于，的圖象關(guān)于對(duì)稱，故正確.【詳解】對(duì)于，(3)(1)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，而，，即4是的一個(gè)周期，故正確；對(duì)于，是奇函數(shù)，，又的一個(gè)周期為4，(2)，(3)，，，故正確；對(duì)于，，，的圖象關(guān)于對(duì)稱，故正確；故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性、函數(shù)周期性和對(duì)稱性判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．12.已知正數(shù)，，滿足，下列結(jié)論正確的有()A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)，求得，，，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和基本不等式判斷各選項(xiàng)．【詳解】設(shè)，則，，，，，又，所以，，而，所以，A錯(cuò)；則，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，這個(gè)等式不可能成立，因此等號(hào)不能取到，，即，C正確；因?yàn)椋?，即，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，考查基本不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是由題設(shè)指數(shù)式改寫為對(duì)數(shù)式，實(shí)質(zhì)就是表示出變量，然后證明各個(gè)不等式．三?填空題13.若“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題轉(zhuǎn)化為命題“，”為真命題，即恒成立，故可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題轉(zhuǎn)化為命題“，”為真命題，即恒成立，又上單調(diào)遞減，所以，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查特稱命題的否定與不等式恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想.14.已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_________.【答案】【解析】【分析】由已知求得函數(shù)在上的解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，得到(1)，再由直線方程點(diǎn)斜式得答案．【詳解】為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，利用導(dǎo)數(shù)研究在曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于基礎(chǔ)題．15.5人并排站成一行，甲乙兩人之間恰好有一人的概率是__________.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】【分析】利用捆綁法求出甲乙兩人之間恰好有一人的排法，再求出5人并排站成一行的排法，利用古典概率公式計(jì)算即可.【詳解】甲乙兩人之間恰好有一人的排法共有種，5人并排站成一行的排法共有種，所以甲乙兩人之間恰好有一人的概率是故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了捆綁法，涉及古典概率公式，屬于中檔題.16.已知函數(shù)，則方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為_______；若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_________.【答案】(1).3(2).【解析】【分析】用導(dǎo)數(shù)求出在的時(shí)單調(diào)性，極值，確定函數(shù)的變化趨勢(shì)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)圖象，方程的的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此分析可得．【詳解】由得，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，時(shí)，取得極大值，時(shí)，，所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是，，且時(shí)，，時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖，作直線，由圖可知：直線與函數(shù)的圖象，在時(shí)無(wú)交點(diǎn)，或時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，或時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)．因?yàn)?，所以直線與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，方程有三個(gè)實(shí)根，易知有兩個(gè)解，，由得，由得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意，時(shí)，有一個(gè)解，由題意要有兩解，所以或，所以或，綜上，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查方程解的個(gè)數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，解題方法是數(shù)形結(jié)合思想，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)圖象與直線，由它們交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出結(jié)論．四?解答題：17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①，，成等差數(shù)列.②，，成等差數(shù)列中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列的橫線上，并解答.在公比為2的等比數(shù)列中，____________(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】條件選擇見解析(1)；(2).【解析】【分析】(1)若選①，根據(jù)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，建立等量關(guān)系，求得，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；若選②，根據(jù)，，成等差數(shù)列，建立等量關(guān)系，求得，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；(2)將代入，求得，，裂項(xiàng)之后求和得結(jié)果.【詳解】(1)選①：因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，所以，解得，所以.選②：因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，所以，解得，所以；(2)因?yàn)?，所以，所以，，所?【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三數(shù)成等差數(shù)列的條件，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.18.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)(且)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求不等式對(duì)恒成立時(shí)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由求出值，代入檢驗(yàn)是奇函數(shù)即可；(2)由得，確定函數(shù)是上的減函數(shù)，利用奇函數(shù)與減函數(shù)的性質(zhì)可把不等式變形為，然后根據(jù)一元二次不等式恒成立得結(jié)論．【詳解】(1)∵是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，∴，∴.經(jīng)檢驗(yàn)：時(shí)，(且)是奇函數(shù).故；(2)(且)∵，∴，又，且，∴而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故判斷在上單調(diào)遞減，不等式化為，∴，∴恒成立，∴，解得.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查不等式恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是由奇偶性與單調(diào)性把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立，利用判別式即可得解．19.為調(diào)研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為1∶4，且成績(jī)分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文獲獎(jiǎng)，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中，，構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.(1)求，，的值；(2)填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下認(rèn)為“獲獎(jiǎng)”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400(3)從獲獎(jiǎng)的學(xué)生中任選2人，求至少有一個(gè)文科生的概率.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)，，；(2)列聯(lián)表答案見解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲獎(jiǎng)”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)；(3).【解析】【分析】(1)利用頻率分布直方圖中，頻率和為列出關(guān)于，，的方程，然后再根據(jù)，，成公比為的等比數(shù)列，得到關(guān)于，，的方程組，求解，，即可；(2)先根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出獲獎(jiǎng)的人數(shù)，根據(jù)樣本中文科生與理科生的比例為得出文理科的人數(shù)，補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算的值，然后判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下認(rèn)為“獲獎(jiǎng)”與“學(xué)生的文理科”有關(guān);(3)計(jì)算出從獲獎(jiǎng)的學(xué)生中任選2人的基本事件總數(shù)，再計(jì)算至少有一個(gè)文科生所包含的基本事件數(shù)，利用古典概率模型概率的計(jì)算公式求解即可.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知，，因?yàn)?，，?gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以，解得，所以，.故，，.(2)獲獎(jiǎng)的人數(shù)為人，因?yàn)閰⒖嫉奈目粕c理科生人數(shù)之比為1∶4，所以400人中文科生的數(shù)量為，理科生的數(shù)量為.由表可知，獲獎(jiǎng)的文科生有6人，所以獲獎(jiǎng)的理科生有人，不獲獎(jiǎng)的文科生有人.于是可以得到列聯(lián)表如下：文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)61420不獲獎(jiǎng)74306380合計(jì)80320400所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲獎(jiǎng)”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).(3)獲獎(jiǎng)的學(xué)生一共20人，其中女生6人，男生14人，從中任選2人，至少1名女生的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查計(jì)算進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查古典概型概率的計(jì)算，難度一般.20.一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切．(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程．(2)設(shè)過(guò)圓心的直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，(為圓的圓心)的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，可得，由橢圓定義知是以為焦點(diǎn)的橢圓，從而可得動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)當(dāng)最大時(shí)，也最大，內(nèi)切圓的面積也最大，表示出三角形的面積，利用換元法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，可求得最值.【詳解】試題解析：(1)設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，即可求得結(jié)論.由題意，動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，，由橢圓定義知在為焦點(diǎn)的橢圓上，且，，動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為.(2)如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，與直線的切點(diǎn)為，則三角形的面積，當(dāng)最大時(shí)，也最大，內(nèi)切圓的面積也最大，設(shè)，則，由，得，解得，，令，則，且，有，令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，有，，即當(dāng)時(shí)，有最大值，得，這時(shí)所求內(nèi)切圓面積為存在直線，的內(nèi)切圓的面積最大值為.21.某電子公司新開發(fā)一電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個(gè)系統(tǒng)G有3個(gè)電子元件組成，各個(gè)電子元件能否正常工作的概率均為，且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立.若系統(tǒng)C中有超過(guò)一半的電子元件正常工作，則G可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費(fèi)用為500元.(1)求系統(tǒng)不需要維修的概率；(2)該電子產(chǎn)品共由3個(gè)系統(tǒng)G組成，設(shè)E為電子產(chǎn)品需要維修的系統(tǒng)所需的費(fèi)用，求的分布列與期望;(3)為提高G系統(tǒng)正常工作概率，在系統(tǒng)內(nèi)增加兩個(gè)功能完全一樣的其他品牌的電子元件，每個(gè)新元件正常工作的概率均為，且新增元件后有超過(guò)一半的電子元件正常工作，則C可以正常工作，問(wèn):滿足什么條件時(shí)，可以提高整個(gè)G系統(tǒng)的正常工作概率?【答案】(1)；(2)見解析；(3)當(dāng)時(shí)，可以提高整個(gè)系統(tǒng)的正常工作概率.【解析】【分析】(1)由條件，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功的次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率公式以及概率加法公式求得系統(tǒng)不需要維修的概率；(2)設(shè)為維修維修的系統(tǒng)的個(gè)數(shù)，根據(jù)題意可得，從而得到，利用公式寫出分布列，并求得期望；(3)根據(jù)題意，當(dāng)系統(tǒng)有5個(gè)電子元件時(shí)，分析得出系統(tǒng)正常工作對(duì)應(yīng)的情況，分類得出結(jié)果，求得相應(yīng)的概