2025高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第29講 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（含答案）

高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第二十九講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示閱卷人一、選擇題得分1．對于任意空間向量a，b，c，下列說法正確的是（）．A．若a⊥b，bB．a(chǎn)C．若a?b<0，則aD．a(chǎn)2．已知a=?1,3,?2，b=1,0,m，且A．?2 B．?1 C．1 D．23．若A2,2,1，B0,0,1，C2,0,0A．2305 B．305 C．24．已知a=1,1,3，b=A．11 B．10 C．9 D．85．已知向量a=0,1,1，b=1,1,0，則向量A．0,12,12 B．126．已知向量a=1?t,2t?1,0,A．5 B．6 C．2 D．37．已知A(1，0，0)，A．3 B．2 C．52 D．8．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BCA=90°,D1,A．3010 B．12 C．3015閱卷人二、多項(xiàng)選擇題得分9．已知向量a=1,1,0，b=A．向量a與向量b的夾角為πB．cC．向量a在向量b上的投影向量為(D．向量c與向量a，b共面10．如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1CA．當(dāng)λ=13B．當(dāng)λ=12時(shí)，PEC．PA+PCD．當(dāng)C1∈11．已知點(diǎn)A(?2,3,?3)，B(2,5,1)，C(1,4,0)，平面α經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)D，且與直線AB垂直，下列選項(xiàng)中敘述正確的有（）A．線段AB的長為36B．點(diǎn)P(1,2,?1)在平面α內(nèi)C．線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,4,?1)D．直線CD與平面α所成角的正弦值為212．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1CA．平面BB1B．BP的最小值為2C．若直線B1P與BD1D．若P是C1D1的中點(diǎn)，則AA閱卷人三、填空題得分13．已知A2,3,1，B4,1,2，若點(diǎn)B關(guān)于平面yOz的對稱點(diǎn)為C，則A，C兩點(diǎn)間的距離為14．已知OA⊥AB，且OA=1,1,2，其中15．設(shè)直線l的方向向量為m=2,?1,z，平面α的一個(gè)法向量為n=4,?2,?2，若直線l⊥平面16．在梯形ABCD中，AB//CD,AD=1,AB=3,CD=1,AC?AB=32，點(diǎn)M滿足AM=13閱卷人四、解答題得分17．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC（1）求證：BM⊥AB（2）若直線AB1與平面BCM所成角為π4，求點(diǎn)A18．已知點(diǎn)A0,1,?1,B2,2,1（1）求向量b同向的單位向量b0（2）若ka+b19．在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，Q為PD的中點(diǎn)，PA⊥AD，PA=AB=2，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知．（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求平面ACQ與平面ABCD夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)B到平面ACQ的距離．條件①：平面PAD⊥平面ABCD；條件②：PA⊥AB．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A、若a⊥b，b⊥c，則B、由向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知a?C、若a?b<0，則aD、由數(shù)量積的運(yùn)算律可知，等號左面與c共線，等號右面與a，兩邊不一定相等，故D錯(cuò)誤；故答案為：B.【分析】由空間向量的位置關(guān)系即可判斷A；由向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷BD；當(dāng)兩向量的夾角為π時(shí)，a?2．【答案】C【解析】【解答】解：a=?1,3,?2，b=1,0,m，則故答案為：C.【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積坐標(biāo)公式計(jì)算即可.3．【答案】A【解析】【解答】解：易知BA=2,2,0，BC=2,0,?1，

則BA在故點(diǎn)A到直線BC的距離為BA2故答案為：A.【分析】由題意易得BA=2,2,0，4．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)閍=1,1,3，b=故答案為：A.【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.5．【答案】A【解析】【解答】向量a=0,1,1，b=所以向量b在向量a上的投影向量為a?故答案為：A

【分析】本題考查空間向量的投影向量.先利用空間向量數(shù)量積求出a??b?，再根據(jù)投影向量的定義可得向量b在向量6．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閍=所以b?當(dāng)t=0時(shí)，等號成立，故b?a的最小值為故選：C.

【分析】本題考查空間向量的模長公式.根據(jù)題意，利用空間向量模的計(jì)算公式計(jì)算可得：b??a7．【答案】A【解析】【解答】依題意，AB=(?1設(shè)平面ABC的法向量n=(x，y，z)，則n則點(diǎn)D到平面ABC的距離為d=|所以點(diǎn)D到平面ABC的距離為3.故答案為：A

【分析】求出平面ABC的法向量，再由向量法可求出點(diǎn)D到平面ABC的距離.8．【答案】A【解析】【解答】以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB,CA,設(shè)BC=CA=CC1=2，則A0,2,0，A10,2,2，C10,0,2，F(xiàn)10,1,2，所以所以cosA故答案為：A.【分析】以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB,CA,CC1為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=CA=CC9．【答案】B,D【解析】【解答】解：對于A，因?yàn)閎?a=1×0+1×1+1×0=1則cos?b,a?=b對于B，因?yàn)閍?b=(1,0,?1)，

故c⊥對于C，根據(jù)投影向量的定義可知，向量a在向量b上的投影向量為：a?cos?對于D，由向量a=1,1,0，b=0,1,1，故向量c與向量a，b共面，故選項(xiàng)D正確．故答案為：BD.【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示和數(shù)量積求向量夾角公式，得出向量a與向量b的夾角，則判斷出選項(xiàng)A；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系，則判斷出選項(xiàng)B；利用數(shù)量積求投影向量的計(jì)算公式，則判斷出選項(xiàng)C；利用共面向量的判斷方法，則判斷出選項(xiàng)D，進(jìn)而找出結(jié)論正確的選項(xiàng).10．【答案】B,C【解析】【解答】解：在棱長為2的正方體ABCD?A1BA(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),DD1B=(2,2,?2),對于A，λ=13，P(23,顯然D1B?AC=2×(?2)+2×2)=0,D1B?AB1=2×2?2×2=0，即DB、EP=(2λ?1,2λ,2?2λ)，則|因此當(dāng)λ=12時(shí)，PE取得最小值C、AP=(2λ?2,2λ,2?2λ),于是|AP|+|CP|=2(2λ?2)D、取A1D1的中點(diǎn)F因?yàn)镋為邊AD的中點(diǎn)，則EF//DD1//CC1，當(dāng)C連接B1D1∩C1F=Q，連接BD∩CE=M因此MQ∩D1B=P，BB1//CC1,CC1?平面CEFC1，故答案為：BC.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明即可判斷A；利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可判斷BC；確定直線D111．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對于A，因?yàn)辄c(diǎn)A(?2,3,?3)，B(2,5,1)，所以AB=2?對于C，設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y,z，因?yàn)镈為線段AB的中點(diǎn)，所以x=?2+2則D的坐標(biāo)為(0,4,?1)，故選項(xiàng)C正確；對于B，因?yàn)辄c(diǎn)P(1,2,?1)，則PD=?1,2,0，又則PD?AB=?1,2,0?又AB⊥平面α，垂足為點(diǎn)D，即D∈平面α，所以PD?平面α，故選項(xiàng)B正確；對于D，由C(1,4,0)，D(0,4,?1)，得CD=設(shè)直線CD與平面α所成的角為β，則sinβ=故選：BCD.

【分析】由空間兩點(diǎn)間的距離公式（對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差、?縱坐標(biāo)之差和豎坐標(biāo)之差的平方和的開方）即可得到線段AB的長，判斷A；由AB⊥平面α，垂足為點(diǎn)D，PD⊥AB，即可判斷B；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，判斷C；設(shè)直線CD與平面α所成的角為β，sinβ=12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、在正方體ABCD?A1B1C1D1中，因?yàn)樗云矫鍮B1P⊥B、連接BC1，由D1C1⊥平面BB故在Rt△D1C1B中，當(dāng)點(diǎn)P與CC、如圖，以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則B(2,2,0)，B1(2,則B1P=(?2假設(shè)存在點(diǎn)P，使直線B1P與BD則|cos?B解得m=?2（舍去），或m=1，此時(shí)點(diǎn)P是C1D1D、由AA1∥BB1且AA1?平面BB則AA1到平面BB1PP是C1D1的中點(diǎn)，故P(0,1,2)設(shè)平面BB1P的法向量為m=(x,取x=1，則y=?2，z=0，故m=(1所以點(diǎn)A到平面BB1P即AA1到平面BB故答案為：ABD【分析】本題考查平面與平面垂直的判定，異面直線的夾角，直線到平面的距離.根據(jù)正方體的特征可推出BB1⊥平面ABCD，再利用面面垂直的判定定理即可判斷A；根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特征可判斷當(dāng)點(diǎn)P與C1重合時(shí)，BP取最小值，即可判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出對應(yīng)的向量，根據(jù)空間向量夾角計(jì)算公式可列出方程|8?2m|4+(m?2)2?23=155，解方程可求出13．【答案】41【解析】【解答】解：已知點(diǎn)A2,3,1、B4,1,2，則關(guān)于平面yOz的對稱點(diǎn)C?4,1,2，故答案為：41【分析】先利用對稱關(guān)系求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.14．【答案】4【解析】【解答】解：因?yàn)镺A⊥AB，故OA⊥OB?故OA?故答案為：4.【分析】由空間向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合OA?OB?15．【答案】?1【解析】【解答】解：已知m=2,?1,z，n=4,?2,?2，

因?yàn)橹本€l⊥平面α所以所以24=?1故答案為：?1【分析】利用線面垂直可得m∥n，利用向量坐標(biāo)成倍數(shù)即可求解.16．【答案】2π3；【解析】【解答】解：AC?解得：cos∠DAB=?12，因?yàn)?<∠DAB<π以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

由∠DAB=2π3，AB//CD則A(0,0),直線BD的方程為：3x+7y?33=0，兩直線聯(lián)立解得x=因N為線段AC延長線上的動(dòng)點(diǎn)，故可設(shè)N(12于是，NP=(因t>1，故當(dāng)t=76時(shí)，NP?故答案為：2π3；23【分析】利用向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積定義化簡計(jì)算求得∠DAB=2π3；以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)N(12t,17．【答案】（1）證明：因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AB,AC?所以AA1⊥AB,AA1⊥AC，又因?yàn)锳(0,0,0),ABM=(?1,a,1),AB1=(1,0,1)所以BM⊥AB（2）解：設(shè)平面BCM的法向量為n=(x,y,z)BM=(?1,a,1),所以有n?因?yàn)橹本€AB1與平面BCM所成角為所以cos?解得a=12，即n=(1,1,12)，

因?yàn)閏os<【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合線面垂直的定義，從而得出線線垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，則得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而證出BM⊥AB（2）利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式，從而得出直線AB1與平面BCM所成角，進(jìn)而得出空間向量夾角公式，則得出平面BCM的法向量，再結(jié)合數(shù)量積求點(diǎn)到平面的距離公式，從而得出空間點(diǎn)A1（1）因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AB,AC?所以AA1⊥AB,AA(0,0,0),ABM=(?1,a,1),AB所以BM⊥AB（2）設(shè)平面BCM的法向量為n=(x,y,z)BM=(?1,a,1),所以有n?因?yàn)橹本€AB1與平面BCM所成角為所以cos?解得a=12，即n=(1,1,所以點(diǎn)A1到平面BCMcos<【點(diǎn)睛】18．【答案】（1）解：因?yàn)閎=OB=所以，與b同向的單位向量為b0（2）解：因?yàn)閗a+b又ka+b⊥3a?b，所以ka+b?3【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，分別求得b→=2,2,1，b→=3（2）分別求得ka→+（1）因?yàn)閎=OB=所以，與b同向的單位向量為b0（2）因?yàn)閗a+b又ka所以ka+b?19．【答案】（1）證明：選①、因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，且交線為AD，PA?平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB,AD,AP兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP分別所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則P0,0,2，A0,0,0，Q0,1,1所以AC=2,2,0，由（1）知平面ABCD的法向量AP=設(shè)平面ACQ的法向量為n=x,y,z，則即x+y=0y+z=0，令y=1，則n設(shè)平面ACQ與平面ABCD夾角的為θ，則cosθ=所以平面ACQ與平面ABCD夾角的余弦值為33（3）解：由（2）可得B2,0,0，AB所以點(diǎn)B到平面ACQ的距離為AB?【解析】【分析】（1）選擇條件①，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理或線面垂直的判定定理證PA⊥平面ABCD即可；（2）由（1）知PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB,AD,AP兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面ACQ與平面ABCD夾角的余弦值即可；（3）利用向量法求得點(diǎn)B到平面ACQ的距離即可.（1）若選①，由于平面PAD⊥平面ABCD，且交線為AD，PA?平面PAD，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.若選②，由于PA⊥AB，PA⊥AD，