2025高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)鞏固卷16 空間向量與立體幾何(六大考點(diǎn))（原卷版）

空間向量與立體幾何(六大考點(diǎn))考點(diǎn)01：法向量的秒殺方法1、眼神法：給定一個(gè)幾何體中，若所求平面的法向量直接可以從圖中看出，則此平面垂線的方向向量即為平面的法向量．方法2、待定系數(shù)法：步驟如下：①設(shè)出平面的法向量為．②找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，．③根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于的方程組④解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量．注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí)，方程組有無數(shù)多個(gè)解，只需給中的一個(gè)變量賦于一個(gè)值，即可確定平面的一個(gè)法向量；賦的值不同，所求平面的法向量就不同，但它們是共線向量．方法三：口訣：求誰不看誰，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）向量，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則向量是平面的一個(gè)法向量.1．若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則（

）A． B． C． D．2．已知為平面的一個(gè)法向量，，則下列向量是平面的一個(gè)法向量的是（

）A． B． C． D．3．已知，，，則平面的法向量與的夾角的余弦值為（

）A． B．或C． D．或4．已知點(diǎn)，則下列向量可作為平面的一個(gè)法向量的是（

）A． B． C． D．5．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則平面的一個(gè)法向量為（

）A． B． C． D．6．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E為棱的中點(diǎn)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.則平面ABE的一個(gè)法向量為（

）

A． B．C． D．7．已知，若平面的一個(gè)法向量為，則（

）A． B． C． D．8．已知直線，的方向向量分別為，，且直線，均平行于平面，平面的單位法向量為（

）A． B．C． D．或9．已知，，，則平面的一個(gè)法向量是（

）A． B． C． D．10．已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，則該平面的一個(gè)法向量為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)02：空間直角坐標(biāo)系構(gòu)建策略①：利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系②：利用線面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系③：利用面面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系④：利用正棱錐的中心與高所在的直線，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系⑤：利用底面正三角形，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系⑥：利用底面正方形的中心，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系11．已知三棱錐中，平面，，，為上一點(diǎn)且滿足，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的大小；12．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．13．如圖，三棱臺(tái)中，為等邊三角形，，平面ABC，點(diǎn)M，N，D分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)D到平面的距離．14．如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)滿足，點(diǎn)是棱上的一個(gè)點(diǎn)(包括端點(diǎn))．(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．15．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面平面是的中點(diǎn)，.

(1)求證：.(2)若?面直線與所成的角為，求四棱錐的體積.16．如圖，為正方體．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．17．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E在線段上，且，分別為、、的中點(diǎn).求證：

(1)平面平面；(2)平面平面.18．如圖，直三棱柱中，，，，，是的中點(diǎn)．(1)求直線的一個(gè)方向向量；(2)求證：．19．在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，O為CD的中點(diǎn)，二面角A-CD-P為直二面角.(1)求證：；(2)求直線PC與平面PAB所成角的正弦值；(3)求平面POB與平面PAB夾角的余弦值.20．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)．求證：平面．考點(diǎn)03：坐標(biāo)處理距離問題結(jié)論1：《點(diǎn)線距離》《異面直線求距離問題》 推導(dǎo)過程：已知直線的方向向量是，點(diǎn)則直線與直線夾角為θ，則結(jié)論2：《點(diǎn)面距離》 提示：分別是平面外及平面上的兩點(diǎn)，是平面的法向量結(jié)論3：《線面距離》 提示：分別是直線上及平面上的任意兩點(diǎn)，是平面的法向量結(jié)論4：《面面距離》 提示：分別是平面1及平面2的任意兩點(diǎn)，是平面2的法向量結(jié)論5：《點(diǎn)點(diǎn)距離》提示：與,的距離為21．如圖的外接圓的直徑，垂直于圓所在的平面，BD//CE，，BC=BD=1，為上的點(diǎn).

(1)證明：；(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.22．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，E為PD中點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求直線與平面所成角的余弦值．23．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．(1)求四棱錐的表面積(2)若點(diǎn)在棱上，且到平面的距離為，求點(diǎn)到直線的距離．24．如圖，在四棱柱中，平面，底面是平行四邊形，．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離．25．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，為線段的中點(diǎn)，，為線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：；(2)當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離.26．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，PB=PD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成角的大小為.①求二面角的余弦值；②求點(diǎn)F到平面的距離.27．如圖，在三棱柱中，棱的中點(diǎn)分別為在平面內(nèi)的射影為D，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且，點(diǎn)F在棱上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)）．(1)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；(2)求銳二面角的余弦值的取值范圍．28．如圖，在四面體中，平面，點(diǎn)在線段上.

(1)當(dāng)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；(2)若二面角的余弦值為，求的值.29．如圖所示的多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截而得到的，其中，，，．(1)求到平面的距離．(2)與平面平行嗎？請(qǐng)說明理由．30．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，．(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．考點(diǎn)04：坐標(biāo)處理角度問題結(jié)論1：異面直線所成角 ①能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用結(jié)論求解②不能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，取基底的思想，在由公式求出關(guān)鍵是求出及與結(jié)論2：線面角 提示：是線與平面法向量的夾角，是線與平面的夾角結(jié)論3：二面角的平面角 提示：是二面角的夾角，具體取正取負(fù)完全用眼神法觀察，若為銳角則取正，若為鈍角則取負(fù).31．如圖，在四棱錐中，，底面為正方形，，分別為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．32．如圖，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，平面．(1)求證：；(2)若，．（i）求證：平面；（ii）設(shè)平面平面，求二面角的正弦值．33．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，為等邊三角形，平面平面，．點(diǎn)在線段上．

(1)若，在上找一點(diǎn)，使得四點(diǎn)共面，并說明理由；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)若直線與平面所成的角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．34．如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，，平面平面.

(1)求證：平面；(2)若，點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為.①求證：；②設(shè)是直線上的點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.35．如圖，直三棱柱的體積為6，的面積為4．(1)求到平面的距離；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，求平面與平面夾角的正弦值．36．如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為梯形，，，，，，，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.(1)證明：平面.(2)求二面角的正弦值.37．如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長(zhǎng)為2的正方形，，底面，M、N分別為、的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面所成角的余弦值.38．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是邊長(zhǎng)為8的正三角形，，且，點(diǎn)G，H分別是BC，BF的中點(diǎn)．(1)設(shè)AE與平面DGH相交于點(diǎn)M，求的值；(2)求平面BDM與平面CDM夾角的余弦值．39．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).(1)求證：.(2)當(dāng)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面的距離.(3)在棱AB上是否存在點(diǎn)M，使平面與平面AMC所成的角為？若存在，求出AM的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.40．如圖，平行六面體的體積為，，，，．(1)求點(diǎn)A到平面的距離；(2)求二面角的正弦值．考點(diǎn)05：坐標(biāo)處理平行問題線線平行：兩個(gè)向量存在一定的倍數(shù)關(guān)系線面平行：先求平面的法向量，然后法向量與線垂直即可面面平行：先求其中一平面的法向量，然后讓法向量與另一個(gè)平面垂直即可41．如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點(diǎn)，.(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.42．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，DC，PB的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)求直線GC與平面PCD所成角的正弦值.43．如圖，在棱長(zhǎng)均為2的四棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交平面于點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)已知：條件①平面，條件②，條件③平面平面，從這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得四棱柱存在且唯一確定，并求二面角的余弦值．44．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PAD；(2)求平面PAB與平面BMD所成銳二面角的余弦值．45．如圖1，在五邊形中，，，且，將沿折成圖2，使得，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若與平面所成的角為，求二面角的正弦值．46．如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，E為中點(diǎn)，與交點(diǎn)為O．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)若，求點(diǎn)C到平面的距離．47．已知四棱錐分別為的中點(diǎn)，平面.(1)若，證明：平面；(2)若，二面角的大小為，求.48．如圖，在三棱柱中，平面平面，，分別為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.考點(diǎn)06：

坐標(biāo)處理垂直問題線線垂直：兩個(gè)向量乘積等于0線面垂直：線與平面中任意兩條相交直線乘積等于0面面垂直：求兩個(gè)平面的法向量，然后兩個(gè)法向量乘積等于0即可49．如圖所示，是的直徑，點(diǎn)是上異于的動(dòng)點(diǎn)，平面，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，二面角的正弦值為，求.50．如圖，在平行六面體中，，(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.51．如圖，在平行四邊形中，，，為邊上的點(diǎn)，，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且三棱柱的體積為.(1)證明：平面平面PAE；(2)求平面與平面夾角的余弦值.52．在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，．

(1)求證：平面AEF；(2)當(dāng)，，時(shí)，求平面AEF與平面所成二面角的余弦值．53．在三棱錐P—ABC中，，，E為AC的中點(diǎn)，．

(1)求證：平面平面ABC；(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離．54．如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.55．如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.

(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AC=BC=PA，M是PB的中點(diǎn)，求AM與