2024年暑假班五年級(jí)奧數(shù)講義

養(yǎng)成教化培訓(xùn)學(xué)校

五年級(jí)奧數(shù)精品講義

（內(nèi)部資料）

暑假班專用

講師：趙老師

2024/7/13

奧數(shù)課堂精講內(nèi)容系列叢書

這個(gè)夏季，我陪您度過(guò)

提高成果，從這里起先

養(yǎng)成教化輔導(dǎo)學(xué)校

序言

本教輔資料于2024年秋季編寫，針對(duì)于粽營(yíng)鎮(zhèn)全部對(duì)數(shù)學(xué)

感愛(ài)好的小學(xué)六年級(jí)，集各大精品講師之長(zhǎng)，兼容教材，學(xué)生學(xué)

習(xí)資料，教輔資料，課外駕馭的學(xué)問(wèn)，特打算了一份屬于六年級(jí)

的專用教輔資料。

隨著國(guó)內(nèi)應(yīng)用數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)思維開(kāi)拓程度的不斷加深,

奧林?jǐn)?shù)學(xué)匹克（奧數(shù)）也變的日益重要。在高等教化與學(xué)前教化

日益突出的今日，您想輸在人生的起跑線上嗎？

養(yǎng)成教化教你從一個(gè)優(yōu)秀的學(xué)生變?yōu)橐粋€(gè)從數(shù)以千萬(wàn)同齡

人脫穎而出的尖子生?。?！讓您實(shí)現(xiàn)從奧數(shù)變更數(shù)學(xué)到學(xué)問(wèn)變更

命運(yùn)的大踏步跨越，能不能蛻變完全取決于您的看法。

養(yǎng)成教化奧數(shù)教輔資料分模塊為學(xué)生展示了由易到難，由

分散到綜合的階梯式授課內(nèi)容，本套教輔分精講和學(xué)測(cè)練習(xí)兩大

部分，分側(cè)重點(diǎn)為學(xué)生灌輸各種數(shù)學(xué)思維方法，讓學(xué)生真正享受

樂(lè)學(xué)，活學(xué)，精學(xué)的過(guò)程。

對(duì)于每一位學(xué)生來(lái)說(shuō)，你是自己人生的導(dǎo)師，對(duì)待自己，

我們要用和別人不一樣的方法，或者說(shuō)我們要有一套自己的學(xué)習(xí)

方式，那就是選擇奧數(shù)輔導(dǎo)班。

老師寄語(yǔ)：選擇養(yǎng)成就是選擇不一樣的數(shù)學(xué)，不一樣的

人生?。。?/p>

注：本教材需協(xié)作暑假班課堂練習(xí)題和暑假班家庭作業(yè)共同運(yùn)用

?第1Wo

循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)

【內(nèi)容概述】

循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡(jiǎn)潔的加、減運(yùn)算，涉及循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的主要

利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)算的問(wèn)題.

【典型問(wèn)題】

勵(lì)勵(lì)級(jí)數(shù)：**

1.真分?jǐn)?shù)1化為小數(shù)后，假如從小數(shù)點(diǎn)后第一位的數(shù)字起先連續(xù)若干個(gè)數(shù)字之和是

1992,那么。是多少？

1?.3.4.5

【分析與解】-=o.142857,-=0.285714,-=0.428571,-=0.571428,-=0.

77777

??

714285,-=0.857142.

7

因此，真分?jǐn)?shù)/化為小數(shù)后，從小數(shù)點(diǎn)第一位起先每連續(xù)六個(gè)數(shù)字之和都是

1+4+2+8+5+7=27,

a-

又因?yàn)?992+27=73……21,27-21=6,而6=2+4,所以一=0.857142,即4=6.

7

評(píng)注：區(qū)的特殊性，循環(huán)節(jié)中數(shù)字不變，且依次不變，只是起先循環(huán)的這個(gè)數(shù)有所變

7

更.

跳勵(lì)級(jí)數(shù)：**

北京市第十一屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽?決賽第一題第9題

2.某學(xué)生將1.23乘以一個(gè)數(shù)。時(shí)，把1.23誤看成1.23,使乘積比正確結(jié)果削減0.3.則

正確結(jié)果該是多少？

【分析與解】由題意得：1.23a-1.23?=0.3,即：0.003a=0.3,所以有：

33個(gè)3_7111

一a=—.解得。二9。，所以1.23O=1.23X90-1-——X90=——X90-111.

900109090

鐫）四級(jí)數(shù)：**

3.計(jì)算：0.1+0.125+0.3+0.16,結(jié)果保留三位小數(shù).

【分析與解】方法一：0.1+0.125+0.3+0.16

^-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666

=0.7359

20.736

方法二：0.1+0.125-0.3+0.16

11315

=--1—I-----1--------

98990

111

=—?—

188

53

~72

=0.7361

比0.736

級(jí)數(shù)：**

4.計(jì)算:0.0i+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

【分析與解】方法一：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

112-123-234-378-789-8

二-----+------------+--------------+-------------+--------------+-------------

909090909090

11121317181

二-----+------+------+------+------+------

909090909090

_216

=2.4

方法二：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89

=0-K).!+0.2+0.3+0.740.8+(0.01+0.02+0.03+0.04+0.08+0.09)

=2.1+0.01X(l+2+3+4+8+9)

=2.1+—X27

90

=2.1+0.3

=2.4

2.399997...

.9-91

評(píng)注:0.9=-=1,0.09=—

99076

勵(lì)勵(lì)級(jí)數(shù)：***

5.將循環(huán)小數(shù)0.027與0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小數(shù),那么該近

似值的最終一位小數(shù)是多少?

【分析與解0.027X0.179672

271796721

----x----------=—x口=—=0.004856

99999999937999999999999

循環(huán)節(jié)有6位，100?6=16……4,因此第100位小數(shù)是循環(huán)節(jié)中的第4位8,第1D1位

是5.這樣四舍五入后第100位為9.

?勵(lì)級(jí)數(shù)：***

八yf八皿/r5八g16666666666

6.將卜列分?jǐn)?shù)約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：-------------

66666666664

.3f161166116661166661“nt

【分析與解】找lv規(guī)律：——=-,-----=-------=-，…所以

644664466644666644

166666666661

66666666664-4

c3885°38885彳38888538888888885

評(píng)注：類似問(wèn)題還有二+2x------+3x---------+4x-----------F...H------------------

29729972999729999729999999997

@@級(jí)數(shù)：*

第四屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽?初賽第］題

05x?36y59

7.將下列算式的計(jì)算結(jié)果寫成帶分?jǐn)?shù)：

119

以Q-50.5x236x59118x59擊）'59期-常5喘

【分析與解】-------------=-—

119119

跳）四級(jí)數(shù)：**

北京市第卜屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽?決賽第二題第2題

448(),2193418556

8.計(jì)算：7—1----------

8333,2590935255

■八.4480.21934.18556

L分析與解】7---------------------1i-----------

83332590935255

628112590935255

=-------x--------x--------

83332193453811

3x7x3x99713x19935x641x11

=--------------------------X-----------------------X----------------------------

13x6412x11x9973x3x3x1993

7x5

2^3

二

6

線四級(jí)數(shù)：**

1111]]1

9.計(jì)算:8128+254+508+1016+2032+4064+8128

1]]

【分析與解】原式二8128+8128+4064-----1------1-----1----

20321016508254

-----1------1------1-----------1----

8128406420321016508254

111111

--------+---------+-----------F---------F------H---------

4064406420321016508254

=--------+---------+--------+-------+-------

203220321016508254

1111

-10161016508254

11I

=1-------+-------

508508254

I1

=--------1--------

254254

1

127

勵(lì)勵(lì)級(jí)數(shù)：**

I53219

10.計(jì)算：一x(4.85+--3.6+6.15x3-)+5.5-1.75x(1-+—)

4185L321

【分析與解】原式=J_x3.6x(4.85—1+6.15)+55—Nx*—1x2

443421

1“⑦―35+19

=—x3.6xl0+5.5-------

412

=10

鐫)四級(jí)數(shù)：**

11.計(jì)算：41.2X8.1+11X9-+537X0.19

4

【分析與解】原式二412X0.81+11X9.25+0.19X(412+125)

=412X(0.81+0.19)+11X9.25+0.19X125

=412+11X8+11X1.25+19X1.25

=412+88+1.25X30

=500+37.5

=537.5

鐫)四級(jí)數(shù)：**

255

12.計(jì)算：(9—+7—)+(±+/)

7979

【分析與解】原式=(竺+生)

7979

加3xg+*卜(鴻)=13

鐫)四級(jí)數(shù)：**

、、但1x2x3+2x4x6+4x8x12+7x14x21

13T|?____________________________________________

1X3X5+2X6X10+4X12X20+7x21x35

IX2X3X(13+234-43+73)1x2x3_2

【分析與解】原式=

1X3X5X(13+23+43+73)1x3x55

鐫)四級(jí)數(shù)：**

33

14.⑴己知等式0.知6X79+12—義口-6—+25=10.08,那么口所代表的數(shù)是多少?

510

(2)設(shè)上題答案為〃.在算式(1993.81+4)X0的O內(nèi)，填入一個(gè)適當(dāng)?shù)囊晃蛔匀粩?shù),

使乘積的個(gè)位數(shù)字達(dá)到最小值.問(wèn)。內(nèi)所填的數(shù)字是多少？

33

【分析與解】(1)設(shè)口所代表的數(shù)是“，0.126X79+12-x-6—4-25=10,08,解得:

510

%=0.03,即口所代表的數(shù)是0.03.

(2)設(shè)O內(nèi)所填的數(shù)字是y,(1993.81+0.03)Xy=1993.84Xy,有當(dāng)y為8時(shí)

1993.84Xy=1993.84

X8=15050.94,所以。內(nèi)所填的數(shù)字是8.

鐫)四級(jí)數(shù)：**

15.求下述算式計(jì)算結(jié)果的整數(shù)部分：(,+,+,+,+'+」-)乂385

23571113

【分析與解】JMjt=(ix385+-x385+-x385+-x385+—x385+—x385

2357II13

-192.5+128.3+77+55+35+29.6

=517.4

所以原式的整數(shù)部分是517.

筆記粘貼處：

【內(nèi)容概述】

各種具有和差倍分關(guān)系的綜合應(yīng)用題，重點(diǎn)是包含分?jǐn)?shù)的問(wèn)題.基本的解題方法是將已

知條件用恰當(dāng)形式寫M或變形，并結(jié)合起來(lái)進(jìn)行比較而求出相關(guān)的量，其中要留意單位“1”

的恰當(dāng)選取.

【典型問(wèn)題】

勵(lì)四級(jí)數(shù)：**

1.有甲、乙兩個(gè)數(shù)，假如把甲數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移兩位，就是乙數(shù)的!，那么甲數(shù)是乙數(shù)的

8

多少倍？

【分析與解】甲數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，則甲數(shù)縮小到原來(lái)的設(shè)這時(shí)的甲

100

數(shù)為“1”，則乙數(shù)為1X8=8,那么原來(lái)的甲數(shù)=1X100=100,則甲數(shù)是乙數(shù)的100+8=12.5

倍.

㈱嫡級(jí)數(shù)總***迪—”

第一屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽?復(fù)賽第10題

2.有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，開(kāi)且都只有黑、臼兩色棋子.已知第一堆里的黑子和

其次堆里的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的2.假如把這三堆棋子集中在一起，

5

那么白子占全部棋子的幾分之幾？

【分析與解】如下表所示：

第一堆黑子、廠子

AX

第二堆黑子白子

第三堆黑子白子

設(shè)全部黑子為“為份，則第三堆里的黑子為“為份，那么剩下的黑子占5-2二“3”份,

而第一堆里的黑子和其次堆里的白子一樣多，將第一堆黑子和其次堆白子調(diào)換，則其次堆全

部為黑子.

所以其次堆棋子總數(shù)為“3”份，三堆棋子總數(shù)為3X3="9”份，其中黑子占“5”份，

4

則白子占剩下的9-5="4”份,那么白子占全部棋子的4+9二一

9

線四級(jí)數(shù)：**

3.甲、乙兩廠共同完成一批機(jī)床的生產(chǎn)任務(wù)，已知甲廠比乙廠少生產(chǎn)8臺(tái)機(jī)床，并且甲廠

12

的生產(chǎn)量是乙廠的一，那么甲、乙兩廠一共生產(chǎn)了機(jī)床多少臺(tái)？

13

19

【分析與解】因?yàn)榧讖S生產(chǎn)的是乙廠的土，也就是甲廠為12份，乙廠為13份，那

13

么甲廠比乙廠少1份=8臺(tái).總共=8X（12+13）=200臺(tái).

@（g）級(jí)數(shù)：**

19<M年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?初春B卷第6題

4.足球賽門票15元一張，降價(jià)后觀眾增加了一半，收入增加了五分之一，那么一張門票降

價(jià)多少元？

【分析與解】設(shè)原來(lái)人數(shù)為“1”，則現(xiàn)在有1+0.5=1.5.

原來(lái)收入為IX15=13降價(jià)后收人為15義（1+1）二】8元，那么降價(jià)后門票為184-1.5=12

5

元，則一張門票降價(jià)1572=3元.

級(jí)數(shù)：**

北京市第十屆“迎春杯’'數(shù)學(xué)竟賽?決賽第一題第1。題

3

5.李剛給軍屬王奶奶運(yùn)蜂窩煤，第一次運(yùn)了全部的三，其次次運(yùn)了50塊.這時(shí)，已運(yùn)來(lái)

8

的恰好是沒(méi)運(yùn)來(lái)的??何還有多少塊蜂窩煤沒(méi)有運(yùn)來(lái)？

【分析與解】已經(jīng)運(yùn)來(lái)的是沒(méi)有運(yùn)來(lái)的2,則運(yùn)來(lái)的是5份，沒(méi)有運(yùn)來(lái)的是7份，

5537

也就是運(yùn)來(lái)的占總數(shù)的一.則共有50+（—--）=1200塊，還剩下1200X—=700塊.

1212812

嫄勵(lì)級(jí)數(shù)4**7二

第一屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽?復(fù)賽第7題

6.有兩條紙帶，一條長(zhǎng)21厘米，一條長(zhǎng)13厘米，把兩條紙帶都剪下同樣長(zhǎng)的一段以后，

Q

發(fā)覺(jué)短紙帶剩下的長(zhǎng)度是長(zhǎng)紙帶剩下的長(zhǎng)度的一.問(wèn)剪下的一段長(zhǎng)多少厘米？

13

【分析與解】方法一：起先時(shí)，兩條紙帶的長(zhǎng)度差為21—13=8厘米.

因?yàn)閮蓷l紙帶都剪去同樣長(zhǎng)度，所以兩條紙帶前后的長(zhǎng)度差不變.

設(shè)剪后短紙帶長(zhǎng)度為“8”份，長(zhǎng)紙帶即為“13”份，那么它們的差為13-8=5份,則每

份為8+5=1.6（厘米）.

所以，剪后短紙帶長(zhǎng)為1.6X8=12.8（厘米）,于是剪去13-12.8=0.2（厘米）.

方法二：設(shè)剪下X厘米，

]3—丫W(wǎng)

則二^二—,交叉相乘得：13X（13-x）=8X（21-X）,解得x=0.2,

21-x13

即剪下的一段長(zhǎng)（）.2厘米.

的包）級(jí)數(shù)：**

北京市第十二屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽?決蹇第二楚第2雋

7.為挖通300米長(zhǎng)的隧道，甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)分別從隧道兩端同時(shí)相對(duì)施工.第一天甲、

乙兩隊(duì)各掘進(jìn)了10米，從其次天起，甲隊(duì)每天的工作效率總是前一天的2倍，乙隊(duì)每天的

工作效率總是前一天的倍.那么，兩隊(duì)挖通這條隧道須要多少天？

2

【分析與解】如下表所示：

天數(shù)

工作鼠1234二

甲10204080ieo

乙101522.533.7550.625

當(dāng)天工作量203562.5113.75210.625

已完成工作量2055117.5231.25441.375

說(shuō)明在第五天沒(méi)有全天干活，則第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75米，

那么共用時(shí)間為4+68.754-210.625:43天.

337

8.有一塊菜地和一塊麥地.菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是13公頃.麥地的一半

和菜地的三分之一放在一起是12公頃.那么菜地是多少公頃？

【分析與解】如下表所示：

菜地■!"麥地！

=>13公頃

23

菜地3麥地2=78公頃

菜地2麥地3=>72公頃

菜地-麥地5=>12公頃

3

即5倍菜地公頃數(shù)+5倍麥地公頃數(shù)二78+72=150,所以菜地與麥地共有150+5=30（公頃）.

而菜地減去爰地，為78-72=6（公頃），所以菜地有（30+6）+2=18（公頃）.

鐫）四級(jí)數(shù)：**加

北京市第九屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽?決賽第三題第1題

3

9.春風(fēng)小學(xué)原支配栽種楊樹(shù)、柳樹(shù)和槐樹(shù)共1500棵.植樹(shù)起先后，當(dāng)栽種了楊樹(shù)總數(shù)的二

5

和30棵柳樹(shù)以后，又臨時(shí)運(yùn)來(lái)15棵槐樹(shù)，這時(shí)剩下的3種樹(shù)的棵數(shù)恰好相等.問(wèn)原支配要

栽植這三種樹(shù)各多少棵？

【分析與解】將楊樹(shù)分為5份，以這樣的一份為一個(gè)單位，則：

楊樹(shù)=5份；柳樹(shù)=2份+30棵：槐樹(shù)=2份-15棵，

則一份為（1500-30+15）4-（2+2+5）=165棵，

有:楊樹(shù)=5XI65=825棵;柳樹(shù)=165X2+30=360棵;槐樹(shù)=165X275=315棵.

?勵(lì)級(jí)數(shù)：**

北京市第十五屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽?第二題第2題

10.師徒二人共同加工170個(gè)零件，師傅加工零件個(gè)數(shù)的，比徒弟加工零件個(gè)數(shù)的_1還多

34

10個(gè).那么，徒弟一共加工了多少個(gè)零件？

【分析與解】我們用“師”表示師傅加工的零件人數(shù)，“徒”表示徒弟加工的零件個(gè)

數(shù)，有：

-“師”--“徒”=10,4“師”一3“徒”二120,而4“師”+4“徒”=170X4=680.

34

那么有7“徒”=680-120=560,“徒”=80,徒弟一共加工了80個(gè)零件.

皴儂）級(jí)數(shù)：***

1992年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?初春B卷第8題

11.一批工人到甲、乙兩個(gè)工地進(jìn)行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的

2

倍.上午去甲工地的人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3倍，下午這批工人中有工的人去甲工地，其

12

他人到乙工地.到傍晚時(shí)，甲工地的工作已做完，乙工電的工作還需4名工人再做1天.那

么這批工人共有多少名？

【分析與解】設(shè)甲工地的工作量為“1.5”，則乙工地的工作量為“1”.

甲乙

3_31_1

上午

1+3-41+3-4

717-5

下午

五1212

372

于是甲工地一成天平均用了這批工人的勺+三）+2=￡,乙工地一成天平均用了這批

2I

工人的i-±=A.

33

這批工人的土2完成了“1.5”的工作量,那么［1的這批工人完成1.54-2="0.75”的工

33

作量，于是乙工地還剩下1-0.75="0.25”的工作量，這“0.25”的工作量須要4人工作1

天.

而甲、乙工地的工作量為1.5+1=2.5,那么需2.5+0.25X4=40人工作1天.

所以原來(lái)這批工人共有40-4=36人.

再⑥級(jí)數(shù)：**=

北京市第三屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽?預(yù)賽填空題第5題

12.有一個(gè)分?jǐn)?shù)，假如分子加1,這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于1；假如分母加b這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于」.問(wèn)

23

原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？

1

【分析與解】假如分子加1,則分?jǐn)?shù)為上，設(shè)這時(shí)的分?jǐn)?shù)為：—x,則原來(lái)的分?jǐn)?shù)為

22x

r—1r-1|

—,分母加1后為：-----二一，交叉相乘得：3（x-l）=2x+l,解得工=4,則原分?jǐn)?shù)為

2x2x+l3

3

8,

虢）。級(jí)數(shù)：**

第五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽?初賽第12題

13.圖2-1是某市的園林規(guī)劃圖，其中草地占正方形的,，竹林占圓形的9,正方形和圓

47

形的公共部分是水池.已知竹林的面積比草地的面積大450平方米.問(wèn)水池的面積是多少平

方米？

圖2-1

【分析與解】因?yàn)樗厥钦叫蔚?，是圓的!，則正方形是水池的4倍，圓是水

47

池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，則水池二450?3=150平方米.

①魅級(jí)數(shù)：**

1995年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?決賽民族賽Q題

14.唐僧師徒四人吃了很多饅頭，唐僧和豬八戒共吃了總數(shù)的唐僧和沙僧共吃了總數(shù)

2

的!，唐僧和孫悟空共吃了總數(shù)的那么唐僧吃了總數(shù)的幾分之幾？

34

【分析與解】唐+豬」、唐+沙」、唐+孫」.（兩邊同時(shí)加減）唐+豬+唐+沙+唐+

234

孫=2唐+（唐+豬+沙+孫）=2唐+1='+—+1=1.則：2唐=-!-,唐=」-.

234121224

唐僧吃了總數(shù)的」

24

皴賦）級(jí)數(shù)：***

1g97年全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?初賽B卷第11題

15.小李和小張同時(shí)起先制作同一種零件，每人每分鐘能制作1個(gè)零件，但小李每制作3

個(gè)零件要休息1分鐘，小張每制作4個(gè)零件要休息1.5分鐘.現(xiàn)在他們要共同完成制作300

個(gè)零件的任務(wù)，須要多少分鐘？

【分析與解】方法一：先估算出大致所需時(shí)間，然后再進(jìn)行調(diào)整.

因?yàn)樾±?、小張的工作效率大致相等，那么完成時(shí)小李完成300+2=150個(gè)零件左右；

小李完成150個(gè)零件須要150+3X4=20（）分鐘；

在200分鐘左右，198分鐘是5.5的整數(shù)倍，此時(shí)乙生產(chǎn)198?5.5X4=144個(gè)零件，并

且剛休息完，所以在2分鐘后，即200分鐘時(shí)完成144+2=146個(gè)零件；

那么在200分鐘時(shí)，小李、小張共生產(chǎn)150+146=296個(gè)零件，還剩下4個(gè)零件未完成，

所以再需2分鐘，小李生產(chǎn)2個(gè)零件，小張生產(chǎn)2個(gè)零件，正好完成.

所以共需202分鐘才能完成.

方法二：把休息時(shí)間包括進(jìn)去，小李每4分鐘做3個(gè)，小張每5.5分鐘做4個(gè).

則在44分鐘內(nèi)小李做了：44+4X3=33個(gè)，小張做了：44+5.5X4=32個(gè)，他們一共做

了：33+32=65個(gè).

3004-65=4……40,也就是他們共同做了4個(gè)44分鐘即：44X4=176分鐘后,還剩下40

個(gè)零件沒(méi)有做完.

而22=4+4+4+4+4+2=5.5X4,所以22分鐘內(nèi)小李做了:3+3+3+3+3+2=17個(gè)，小張做了：

4X2=16個(gè)，那么還剩下：40-17-16=7個(gè)，4分鐘內(nèi)小李做3個(gè)，小張做4個(gè)，共做4+3=7

個(gè)，即這40個(gè)零件還須要26分鐘.

所以共用時(shí)間：44X4+26=202分鐘.

筆記粘貼處：

第三講“牛吃草”問(wèn)題（略講內(nèi)容）

有這樣的問(wèn)題.如：牧場(chǎng)上有一片勻速生長(zhǎng)的草地，可供27頭牛吃6

周，或供23頭牛吃9周.那么它可供21頭牛吃幾周？這類問(wèn)題稱為“牛

吃草”問(wèn)題。

解答這類問(wèn)題，困難在于草的總量在變，它每天，每周都在勻稱他生

長(zhǎng)，時(shí)間愈長(zhǎng)，草的總量越多.草的總量是由兩部分組成的：①某個(gè)時(shí)間

期限前草場(chǎng)上原有的草量；②這個(gè)時(shí)間期限后草場(chǎng)每天（周）生長(zhǎng)而新增

的草量.因此，必需設(shè)法找出這兩個(gè)量來(lái)。

下面就用開(kāi)頭的題目為例進(jìn)行分析.

從上面的線段圖可以看出23頭牛9周的總草量比27頭牛6周的總草

量多，多出部分相當(dāng)于3周新生長(zhǎng)的草量.為了求出一周新生長(zhǎng)的草量，

就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化.27頭牛6周吃草量相當(dāng)于27X6=162頭牛一周吃草量（或

一頭牛吃162周）.23頭牛9周吃草量相當(dāng)于23X9=207頭牛一周吃草量

（或一頭牛吃207周）.這樣一來(lái)可以認(rèn)為每周新生長(zhǎng)的草量相當(dāng)于

（207-162）4-（9-6）=15頭牛一周的吃苴量。

須要解決的其次個(gè)問(wèn)題是牧場(chǎng)上原有草量是多少？用27頭牛6周的

總吃草量減去6周新生長(zhǎng)的草量（即15X6=90頭牛吃一周的草量）即為

牧場(chǎng)原有草量。

所以牧場(chǎng)上原有草量為27X6-15X6=72頭牛一周的吃草量（或者為

23X9-15X9=72）。

牧場(chǎng)上的草21頭牛幾周才能吃完呢？解決這個(gè)問(wèn)題相當(dāng)于把21頭牛

分成兩部分.一部分看成專吃牧場(chǎng)上原有的草.另一部分看成專吃新生長(zhǎng)

的草.但是新生的草只能維持15頭牛的吃草量，且始終可保持平衡（前面

已分析過(guò)每周新生的草恰夠15頭牛吃一周）.故分出15頭牛吃新生長(zhǎng)的

草，另一部分21-15=6（頭）牛去吃原有的草.所以牧場(chǎng)上的草夠吃72?

6=12（周），也就是這個(gè)牧場(chǎng)上的草夠21頭牛吃12周.問(wèn)題得解。

例2一只船發(fā)覺(jué)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi).假如10人

淘水，3小時(shí)淘完；如5人淘水8小時(shí)淘完.假如要求2小時(shí)淘完，要支

配多少人淘水？

分析與解答這類問(wèn)題，都有它共同的特點(diǎn)，即總水量隨漏水的延長(zhǎng)而增

加.所以總水量是個(gè)變量.而單位時(shí)間內(nèi)漏進(jìn)船的水的增長(zhǎng)量是不變的.船

內(nèi)原有的水量（即發(fā)覺(jué)船漏水時(shí)船內(nèi)已有的水量）也是不變的量.對(duì)于這

個(gè)問(wèn)題我們換一個(gè)角度進(jìn)行分析。

假如設(shè)每個(gè)人每小時(shí)的淘水量為“1人單位”.則船內(nèi)原有水量與3

小時(shí)內(nèi)漏水總量之和等于每人每小時(shí)淘水量X時(shí)間X人數(shù)，即1X3X10

=30.

船內(nèi)原有水量與8小時(shí)漏水量之和為1X5X8=40。

每小時(shí)的漏水量等于8小時(shí)與3小時(shí)總水量之差+時(shí)間差，即（40-30）

+（8-3）=2（即每小時(shí)漏進(jìn)水量為2個(gè)單位，相當(dāng)于每小時(shí)2人的淘水

量）。

船內(nèi)原有的水量等于10人3小時(shí)淘出的總水量-3小時(shí)漏進(jìn)水量.3

小時(shí)漏進(jìn)水量相當(dāng)于3X2=6人1小時(shí)淘水量.所以船內(nèi)原有水量為30-（2

X3）=24o

假如這些水（24個(gè)單位）要2小時(shí)淘完，則需24+2=12（人），但

與此同時(shí),每小時(shí)的漏進(jìn)水量又要支配2人淘出，因此共需12+2=14（人）。

從以上這兩個(gè)例題看出，不管從哪一個(gè)角度來(lái)分析問(wèn)題，都必需求出

原有的量及單位時(shí)間內(nèi)增加的量，這兩個(gè)量是不變的量.有了這兩個(gè)量，

問(wèn)題就簡(jiǎn)潔解決了。

例312頭牛28天可以吃完10公畝牧場(chǎng)上全部牧草，21頭牛63天可以

吃完30公畝牧場(chǎng)上全部牧草.多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場(chǎng)上全

部牧草（每公畝牧場(chǎng)上原有草量相等，且每公畝牧場(chǎng)上每天生長(zhǎng)草量相

等）？

分析解題的關(guān)鍵在于求出一公畝一天新生長(zhǎng)的草量可供幾頭牛吃一天，

一公畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。

12頭牛28天吃完10公畝牧場(chǎng)上的牧草.相當(dāng)于一公畝原來(lái)的牧草加

上28天新生長(zhǎng)的草可供33.6頭牛吃一天（12X28+10=33.6）。

21頭牛63天吃完30公畝牧場(chǎng)上的牧草，相當(dāng)于一公畝原有的苴加

±63夭新生長(zhǎng)的草可供44.1頭牛吃一天：63X21+30=44.1）。

一公畝一天新生長(zhǎng)的牧草可供0.3頭牛吃一天，即

（44.1-33.6）-T-（63-28）=0.3（頭）。

一公畝原有的牧草可供25.2頭牛吃一天，即

33.6-0.3X28=25.2（頭）°

72公畝原有牧草可供14.4頭牛吃126天.即

72X25.2=126-14.4（頭）。

72公畝每天新生長(zhǎng)的草量可供21.6頭牛吃一天.即

72X0.3=21.6（頭）o

所以72公畝牧場(chǎng)上的牧草共可以供36（=14.4+21.6）頭牛吃126

天.問(wèn)題得解。

解.：一公畝一天新生長(zhǎng)草量可供多少頭牛吃一天？

（63X214-30-12X284-10）+（63-28）=0.3（頭）。

一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天？

12X284-10-0.3X28=25.2（頭）。

72公畝的牧草可供多少頭牛吃126天？

72X25.24-126+72X0.3=36（頭）。

答：72公畝的牧草可供36頭牛吃126天。

例4一塊草地，每天生長(zhǎng)的速度相同.現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃2。天,

或者供80只羊吃12天.假如一頭牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草

量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？

分析由于1頭牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天

的吃草量和15頭牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量與20頭牛每天

吃草量相等。

解：60只蘭每天吃草量相當(dāng)多少頭牛每天的吃草量？

604-4=15（頭）o

草地原有草量與20天新生長(zhǎng)草量可供多少頭牛吃一天？

16X20=320（頭）。

80只羊12天的吃草量供多少頭牛吃一天？

（804-4）X12=240（頭）。

每天新生長(zhǎng)的草夠多少頭牛吃一天？

（320-240）+（20-12）=10（頭）。

原有草量夠多少頭牛吃一天?

320-（20X10）=120（頭）。

原有草量可供10頭牛與60只羊吃幾天？

1204-（604-4+10-10）=8（天）。

答：這塊草場(chǎng)可供10頭牛和60只羊吃8天。

例5一水庫(kù)原有存水量確定，河水每天勻稱入庫(kù).5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可

抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，須要多少臺(tái)

同樣的抽水機(jī)？

解：水庫(kù)原有的水與20天流入水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？20X

5=100（臺(tái)）。

水庫(kù)原有的水與15天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？6X15=90

（臺(tái)）。

每天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1大？

（100-90）+（20-15）=2（臺(tái)）。

原有的水匕供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天？

100-20X2=60（臺(tái)）。

若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺(tái)？

604-6+2=12（臺(tái)）o

答：若6天抽完，共需12臺(tái)抽水機(jī)。

例6有三片草場(chǎng)，每畝原有草量相同，草的生長(zhǎng)速度也

設(shè)第三片草場(chǎng)（24畝）可供x頭牛18周吃完，則由每頭牛每周吃草

量可列出方程為：

x=36

答：第三片草場(chǎng)可供36頭牛18周食用。

這道題列方程時(shí)引入a、b兩個(gè)協(xié)助未知數(shù).在解方程時(shí)不確定要求出

其數(shù)值，在本題中只需求出它們的比例關(guān)系即可。

筆記粘貼處:

?第4講。

數(shù)的整除

【內(nèi)容概述】

能被2,3,4,5,8,9,11整除的數(shù)的數(shù)字特征，以及與此相關(guān)的整數(shù)的組成與補(bǔ)填問(wèn)題，

乘積末尾零的個(gè)數(shù)的計(jì)算.

L整數(shù)a除以整數(shù)b(bHO),所得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除(也

可以說(shuō)b能整除a),記作b|a.如:15+5=3,所以15能被5整除(5能整除15),記作5I

15.反之，則稱為不能整除，用“才”表示，如7115.

假如整數(shù)a能被整數(shù)b(b^O)整除，則稱a是b的倍數(shù),b是a的約數(shù).如15是5的倍數(shù)，

5是15的約數(shù).

特殊的，留意O+b=O(bWO),所以說(shuō)零能被任何非零整數(shù)整除，零也是任何非零整數(shù)的

倍數(shù).

還有0+1=0,所以說(shuō)1能整除任何整數(shù)，1是任何整數(shù)的約數(shù).

因?yàn)檎谡麛?shù)范圍內(nèi)考察，所以以下所指之?dāng)?shù)不特加說(shuō)明均指整數(shù).

2.整除的性質(zhì)：

性質(zhì)1.假如c|a,c|b,那么c|(a±b).

假如a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被C整除.

性質(zhì)2.假如be|a,那么b|a,cIa.

假如b與c的積能整除a,那么b與c都能整除a.

性質(zhì)3.假如bIa,c|a,且b、c互質(zhì)，那么beIa.

假如b、c都能整除，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整除a.

性質(zhì)4.假如cIb,bIa,那么cIa.

假如c能整除b,b能整除a,那么c能整除a.

3.一些質(zhì)數(shù)整除的數(shù)字特征(約數(shù)只有1和它本身的數(shù)，稱為質(zhì)數(shù))：

(1)能被2整除的數(shù)，其末位數(shù)字只能是0,2,4,6,8：

(2)能被3整除的數(shù)，其各位的數(shù)字和能被3整除；

(3)能被5整除的數(shù)，其末位數(shù)字只能是0,5：

(4)能被7整除的數(shù)，其末三位與前面隔開(kāi)，末三位與前面隔出數(shù)的差(大減小)能被7

整除(即qponmcba能被7整除，7Icba-qponm或7Iqponm-cba)；

(5)能被11整除的數(shù)，其木三位與前面隔開(kāi)，木三位與前面隔出數(shù)的差(大減小)能被

11整除（即qponmcba能被11整除11Icba-qponm或11Iqponmcba）或者,

其奇數(shù)位數(shù)字之和偶數(shù)位數(shù)字之和所得的差能被11整除;

qponmcba表示這是一個(gè)多位數(shù)，而不是q與p、。、c、b、a等數(shù)的乘積，下同.

4.對(duì)于合數(shù)，先把合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再一個(gè)一個(gè)的考察.這樣就化歸為質(zhì)數(shù)整除問(wèn)題，對(duì)

于分解質(zhì)因數(shù)，詳見(jiàn)《質(zhì)數(shù)、合數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)》.

5.對(duì)于一些特殊的合數(shù)的推斷方法.

能被4整除的數(shù)，末兩位數(shù)能被4整除；

能被8整除的數(shù)，末三位數(shù)能被8整除；

能被25整除的數(shù)，末兩位數(shù)能被25整除；

能被125整除的數(shù)，末三位能被125整除；

能被9整除的數(shù)，其數(shù)字和確定是9的倍數(shù).

范例1在公元9世紀(jì)，有個(gè)印度數(shù)學(xué)家一一花拉子米寫有一本《花拉子米算術(shù)》，他

們計(jì)算時(shí)通常是在一個(gè)鋪有沙子的土板上進(jìn)行，由于膽怯以前的計(jì)算過(guò)程丟失而常常檢

驗(yàn)加法運(yùn)算是否正確.所以后來(lái)人把這種算法稱為“土盤算法”.

如：1234+1898+18922+678967+178902=889923.他們看1234的數(shù)字和為，10除以9余

1,1898的數(shù)字和除以9余8,18922的數(shù)字和除以9余4,678967的數(shù)字和除以9余7,178902

的數(shù)字和除以9余0,余數(shù)的和除以9余2；而等式的右邊889923除以9的余數(shù)為3.所以

上面的加法算式確定是錯(cuò)誤的.

為什么呢？

6.若干個(gè)數(shù)相乘，求其末尾有多少個(gè)連續(xù)的0,只要把這個(gè)乘積中的因數(shù)2與5的個(gè)數(shù)分

別找出來(lái)，其中較少的因數(shù)個(gè)數(shù)就是積的末尾連續(xù)的0的個(gè)數(shù).

范例2試求1981X1982X1983X1984X1985X-X2024這25個(gè)數(shù)相乘，積的末尾有多少

個(gè)連續(xù)的“0”？

【分析與解】其中1985,199(),1995,2000,2024含有因數(shù)5分別有1,1,1,3,

1個(gè)，所以共有1+1+1+3+1=7個(gè)因數(shù)5；

其中1982,1984,1986,1988,1990,1992,1994,1996,1998,2000,2024,2024含有

因數(shù)2,分別有1,6,1,2,1,3,1,2,1,4,1,2個(gè),所以共有1+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2=25

個(gè)因數(shù)2.

其中因數(shù)5較少，含有7個(gè)，所以題中25個(gè)數(shù)的乘積末尾連續(xù)的0的個(gè)數(shù)為7.

評(píng)注：多數(shù)狀況下，若干個(gè)連續(xù)的數(shù)相乘，需求其末尾連續(xù)0的個(gè)數(shù).因?yàn)橐驍?shù)2的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)多于因數(shù)5的

個(gè)數(shù)，所以只考慮因數(shù)5的個(gè)數(shù)即可.

7.還有一種很重要的方法：試除法.如【典型問(wèn)題】1、2、3、5、6等類問(wèn)題都可以運(yùn)用試

除法.

假如一個(gè)數(shù)能同時(shí)被多個(gè)整數(shù)整除，那么確定能被這些數(shù)的最小公倍數(shù)整除，而求多個(gè)

數(shù)的最小公倍數(shù)，則可以采納如下兩種方法：

①短除法

求兩個(gè)或以上數(shù)的最小公倍數(shù)，可以運(yùn)用短除法.

范例3試求120、180、300的最小公倍數(shù).

【分析與解】

301120180300

2|4610

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