【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 重難點(diǎn)07 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用（新高考專用）（解析版）

重難點(diǎn)07三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角函數(shù)的圖象識(shí)別與應(yīng)用】 3【題型2三角函數(shù)圖象變換問題】 5【題型3三角函數(shù)的值域與最值問題】 9【題型4含三角函數(shù)的二次函數(shù)模型】 12【題型5含絕對(duì)值的三角函數(shù)模型】 16【題型6ω的取值與最值（范圍）問題】 19【題型7三角函數(shù)的綜合性質(zhì)的研究】 22【題型8三角恒等變換與三角函數(shù)綜合】 28三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，主要從以下幾個(gè)方面進(jìn)行考查：一、三角函數(shù)的圖象，涉及三角函數(shù)圖象變換問題以及由部分圖象確定函數(shù)解析式問題，主要以選擇題、填空題的形式考查，試題難度較低；二、利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來求解三角函數(shù)的值域、最值、單調(diào)區(qū)間、含參問題等，主要以解答題的形式考查，中等難度.三、三角恒等變換的化簡求值是高考命題的熱點(diǎn)，常與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合在一起綜合考查，如果單獨(dú)命題，多以選擇題、填空題的形式考查，難度較低；如果三角恒等變換作為工具，將其與三角函數(shù)及解三角形相結(jié)合來研究最值、范圍問題，多以解答題形式考察，此時(shí)要靈活求解，試題中等難度．【知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律】1.平移變換與伸縮變換法則(1)平移變換函數(shù)圖象的平移法則是“左加右減、上加下減”，但是左右平移變換只是針對(duì)作的變換；(2)伸縮變換①沿軸伸縮時(shí)，橫坐標(biāo)伸長或縮短為原來的（倍）（縱坐標(biāo)不變）；②沿軸伸縮時(shí)，縱坐標(biāo)伸長或縮短為原來的（倍）（橫坐標(biāo)不變）．2.三角函數(shù)的圖象變換問題的求解方法解決三角函數(shù)圖象變換問題的兩種方法分別為先平移后伸縮和先伸縮后平移.破解此類題的關(guān)鍵如下：(1)定函數(shù)：一定要看準(zhǔn)是將哪個(gè)函數(shù)的圖象變換得到另一個(gè)函數(shù)的圖象；(2)變同名：函數(shù)的名稱要變得一樣；(3)選方法：即選擇變換方法.【知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)的單調(diào)性問題的求解策略】1.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間，只需把ωx+φ看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把ω化為正數(shù).2.已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡捷.【知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)的值域與最值問題的求解策略】1.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型：(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).2.求三角函數(shù)最值的基本思路(1)將問題化為的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.(2)將問題化為關(guān)于或的二次函數(shù)的形式，借助二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.(3)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性從而求解.【知識(shí)點(diǎn)4三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性、奇偶性的求解思路】1.三角函數(shù)周期的一般求法(1)公式法；(2)不能用公式求函數(shù)的周期時(shí)，可考慮用圖象法或定義法求周期.2.三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心的求解策略

(1)對(duì)于可化為f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函數(shù)，如果求f(x)的對(duì)稱軸，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.(2)對(duì)于可化為f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.3.三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).若y=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).【知識(shí)點(diǎn)5含絕對(duì)值的三角函數(shù)模型】關(guān)于和，如圖，將圖像中軸上方部分保留，軸下方部分沿著軸翻上去后得到，故是最小正周期為的函數(shù)，同理是最小正周期為的函數(shù)；是將圖像中軸右邊的部分留下，左邊的刪除，再將軸右邊圖像作對(duì)稱至左邊，故不是周期函數(shù).我們可以這樣來表示：，.【題型1三角函數(shù)的圖象識(shí)別與應(yīng)用】【例1】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)f(x)=cosex-e-x-x在-2,2上的圖象大致為（A．

B．

C．

D．

【解題思路】首先判斷函數(shù)的奇偶性，即可排除C、D，再由特殊值排除B，即可判斷.【解答過程】因?yàn)閒(x)=則f(-所以fx為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除C、D又f2=cose2-e故選：A.【變式1-1】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）以下哪個(gè)選項(xiàng)是y=sinxA． B．C． D．【解題思路】先得到函數(shù)的奇偶性，再代入特殊值，選出正確答案.【解答過程】AB選項(xiàng)，fx=sinx2則f-x≠fx故AB錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，當(dāng)x∈0,π4時(shí)，fx=故選：C.【變式1-2】（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=fx部分圖象如圖所示，則函數(shù)fA．fx=xsin2x B．f【解題思路】利用函數(shù)零點(diǎn)排除B,C兩個(gè)選項(xiàng)，再由奇偶性排除A后可得正確選項(xiàng)．【解答過程】由圖像知f(x)=0，xA中函數(shù)滿足f(-D中函數(shù)滿足f(-而圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，選D．故選：D．【變式1-3】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)f(x)A．f(x)=|C．f(x)=|【解題思路】在各選項(xiàng)的函數(shù)中取特殊值計(jì)算，并與已知圖像比較，采用排除法即可做出判定.【解答過程】由題可知，圖像過點(diǎn)0,1，取x=0對(duì)于A：f(0)=|對(duì)于B：f(0)=|對(duì)于C：f(0)=|對(duì)于D：f(0)=|故可排除B、D，又由圖像可知，當(dāng)x=π2時(shí)，f對(duì)于A：fπ對(duì)于C：fπ可排除C，故選：A.【題型2三角函數(shù)圖象變換問題】【例2】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=Asinωx+φ（其中AA．向右平移π6個(gè)單位長度 B．向右平移πC．向左平移π6個(gè)單位長度 D．向左平移π【解題思路】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出fx的解析式，再逐項(xiàng)判斷即得【解答過程】由圖知，A=1，函數(shù)f(x)的最小正周期即f(x)=sin(2而|φ|<π2，則對(duì)于A，將f(x)的圖象向右平移π此函數(shù)圖象與y=g(對(duì)于B，將f(x)的圖象向右平移π此函數(shù)圖象與y=g(對(duì)于C，將f(x)的圖象向左平移π此函數(shù)圖象與y=g(對(duì)于D，將f(x)的圖象向左平移π12個(gè)單位長度，得y故選：D.【變式2-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sinx-π4，將函數(shù)fx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄v坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁．gB．gx在0,C．gx的圖象關(guān)于點(diǎn)πD．gx在π4【解題思路】通過三角函數(shù)變換即可得出函數(shù)gx的表達(dá)式，利用表達(dá)式即可得出函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性和值域【解答過程】由題意，平移后函數(shù)為：gx=2sin2B中，x∈0,π∴ht=2sint+1先增后減，即gC中，∵gπ∴函數(shù)不關(guān)于π8,0對(duì)稱，故D中，x∈π4∴sinx2-π4∈2故選：D.【變式2-2】（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預(yù)測(cè)）.函數(shù)fx=Asinωx

A．fx的最小正周期為B．φC．fx在[-1,D．將函數(shù)fx的圖象向左平移π12個(gè)單位，得到函數(shù)【解題思路】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出周期T及ω,φ【解答過程】對(duì)于A，由圖象得函數(shù)f(x)的周期T對(duì)于B，由圖象得A=2，ω=又圖象過點(diǎn)(7π12,-2又-π2<φ<π2對(duì)于C，因?yàn)?1≤x≤1π而π<23，即有2π-π6=12-π26π對(duì)于D，因?yàn)閒(x)=2sin得y=2sin[2(故選：D.【變式2-3】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖1是函數(shù)f(x)=cosπ2xA．gB．gC．方程g(x)=D．g(x)>1【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得gx，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案【解答過程】A選項(xiàng)，若g(x)=與圖2不符合，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，f(x)=cosπ再將橫坐標(biāo)縮小為原來的一半，得到gx所以g20233=sinC選項(xiàng)，由g(x)=畫出y=gxh1=0,h所以方程g(x)=log14D選項(xiàng)，由gx得2k所以g(x)>12的解集為16故選：D.【題型3三角函數(shù)的值域與最值問題】【例3】（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=2sin2x+φ0<φ<π滿足fA．-1,1 B．-2,1 C．-1,2【解題思路】先通過f0=1，且fx在0,π4上單調(diào)，確定φ的值，再通過三角函數(shù)值域的求法求解【解答過程】由f0=1得sinφ=1當(dāng)φ=π6時(shí)f當(dāng)φ=5π6時(shí)所以fx當(dāng)x∈0,π所以sin2所以fx在0,π2故選：B.【變式3-1】（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模）設(shè)函數(shù)fx=3sinπ4x-π3，若函數(shù)y=A．3 B．32 C．12 D【解題思路】根據(jù)對(duì)稱可得gx=【解答過程】在y=gx的圖象上任取一點(diǎn)x,g故點(diǎn)2-x,gx在當(dāng)0≤x≤43時(shí)，π3y=gx在區(qū)間0,故選：B.【變式3-2】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx=2sinωx+φ（ω>0，0<φ<A．0,16 BC．0,16∪【解題思路】先通過f0=1求出φ，然后求出使fx取最值時(shí)的x，再根據(jù)fx在區(qū)間π【解答過程】∵函數(shù)fx=2sinωx∴f0=2又0<φ<∴f令ωx+π6∴當(dāng)x=π3∵fx在區(qū)間π∴π3ω當(dāng)k<-1時(shí)，ω當(dāng)k=-1時(shí)，-23≤ω當(dāng)k=0時(shí)，13當(dāng)k>0時(shí)，ω綜合得ω的取值范圍是0,1故選：D.【變式3-3】（2023·四川成都·四川?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=cosωx+φω>0,0<φ<π的最小正周期為T=2πA．π9,7πC．π9,5π【解題思路】利用函數(shù)fx的基本性質(zhì)可得出fx=cos3x+π3，由x∈【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx=cosωx+所以，fx又因?yàn)楹瘮?shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)π18,0解得φ=π3+kπk當(dāng)x∈π6且函數(shù)fx在π6,所以，π≤3m+故選：D.【題型4含三角函數(shù)的二次函數(shù)模型】【例4】（2023上·黑龍江大慶·高一鐵人中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)f((1)求f(x)(2)當(dāng)a>0時(shí)，已知g(x)=alog2(【解題思路】（1）將fx化為關(guān)于cosx的類二次函數(shù)，結(jié)合換元法和二次函數(shù)性質(zhì)可求fx（2）若?x1∈[1,5],?x分別求出最值解不等式即可求出參數(shù)的取值范圍.【解答過程】（1）當(dāng)fx令t=則fx由于函數(shù)y=-t-故當(dāng)t=-1時(shí)，y取得最小值-當(dāng)t=0時(shí)，y取得最大值1-所以fx的值域?yàn)?（2）若?x1∈[1,5],?則問題轉(zhuǎn)化為：g因?yàn)閒x的值域?yàn)?fxgx在1,5當(dāng)x=1時(shí)，g所以2即a≥所以a的取值范圍為：a∈【變式4-1】（2023上·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）設(shè)m為實(shí)數(shù)，已知0<θ<π(1)當(dāng)m=0時(shí)，求滿足不等式fθ<(2)若不等式fθ≤2對(duì)任意θ∈【解題思路】（1）將m=0代入可得f（2）利用換元法將不等式fθ≤2對(duì)任意θ∈【解答過程】（1）當(dāng)m=0時(shí)，fθ=又0<θ<π（2）因?yàn)閒θ=sin2θ設(shè)x=cosθ0<x①當(dāng)x=m≤0時(shí)，g則gx<g0=-②當(dāng)0<x=m<1時(shí)，gx則gx≤g又0<m<1，所以m2③當(dāng)x=m≥1時(shí)，g則gx<g1=-1+2綜上，m的取值范圍為-1,2【變式4-2】（2023下·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）已知fx=(1)求當(dāng)t=1時(shí)，求f(2)求gt(3)當(dāng)-12≤t≤1時(shí)，要使關(guān)于t【解題思路】（1）若t=1，代入計(jì)算求f（2）分類討論，求gt（3）令ht=gt-kt，欲使gt【解答過程】（1）當(dāng)t=1時(shí)，f∴f（2）∵x∈π24令sin2x-所以y=u2當(dāng)t<-12,故最小值為當(dāng)u=-12當(dāng)-12≤t≤1,y故最小值為當(dāng)u=t時(shí)，當(dāng)t>1,y=u故最小值為當(dāng)u=1時(shí)，y綜上所述，gt（3）設(shè)ht=gt-kt=-∴h-12=12所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為kk≥-5或【變式4-3】（2023上·吉林長春·高一?？计谀┮阎瘮?shù)f(（1）求f(（2）設(shè)常數(shù)ω>0，若函數(shù)f(ωx)在區(qū)間（3）若函數(shù)g(x)=12f(2【解題思路】（1）化簡函數(shù)f(（2）求出函數(shù)的增區(qū)間，根據(jù)[-π（3）化簡g(x【解答過程】（1）f=sin對(duì)稱中心為(kπ,0)（2）∵f(ωx解得-π∴f(ωx∵f(ωx∴當(dāng)k=0時(shí)，有[-∴{ω>0-π2ω≤-（3）g(令sinx-cos∴y∵t∵x∈[-π4,①當(dāng)a2<-2時(shí)，即a令-2a-②當(dāng)-2≤aymax=a24-a③當(dāng)a2>1時(shí)，即a>2時(shí)，在t由a2-1=2，得a=6．因此【題型5含絕對(duì)值的三角函數(shù)模型】【例5】（2023·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=A．π是f(x)的一個(gè)周期 BC．函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-5,1] D．函數(shù)f【解題思路】對(duì)于A，根據(jù)fπ4+π≠fπ4即可判斷；對(duì)于B，當(dāng)x∈0,2π3將fx化簡，然后檢驗(yàn)即可；對(duì)于C，求出函數(shù)f【解答過程】因?yàn)閒π4+當(dāng)x∈0,2π3，f(x)=cosx-2sinx=因?yàn)?π是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，可取一個(gè)周期f(x)=cosx-2sinx=515cosx-25sinx=5cos因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以在區(qū)間[-2π,2π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)可通過區(qū)間[0,2π]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由y=sin|x故選:C.【變式5-1】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·呼市二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=|A．fx是偶函數(shù) B．fx是周期為C．fx在區(qū)間π,3π2上單調(diào)遞減【解題思路】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)f-x=fx即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)fx+π=fx即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，x∈π,3π2，【解答過程】對(duì)選項(xiàng)A，fx=|cosf-所以fx為偶函數(shù)，故A正確對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)閟inx所以f所以fx所以fx的周期為π，故B正確對(duì)選項(xiàng)C，x∈π,因?yàn)閤-π4∈3π4故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，當(dāng)x∈0,π因?yàn)閤-π4∈-當(dāng)x∈π2因?yàn)閤+π4∈3因?yàn)閒x是周期為π的函數(shù)，所以fxmax=1故選：D.【變式5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)f(①f(x)是偶函數(shù)

②f(x)在區(qū)間（π2,π③f(x)在[-π,π]有4個(gè)零點(diǎn)

④f(其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【解題思路】化簡函數(shù)fx【解答過程】∵f-x=sin-x+sin-x=sinx+sinx=fx,?∴fx為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)π2<x<π時(shí)，fx=2sinx，它在區(qū)間π2?,?π單調(diào)遞減，故②錯(cuò)誤．當(dāng)0≤x≤π【變式5-3】（2023下·山東威?！じ咭恍？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2sinA．fxB．fx的圖像關(guān)于直線xC．fx的值域?yàn)镈．fx在-2π【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷A，對(duì)給定函數(shù)式按x<0及x≥0兩段化簡，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)利用反證法判斷B，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，判斷C，D.【解答過程】函數(shù)fx=2sin因?yàn)閒-所以fπ6=2所以fπ所以fx不是偶函數(shù)，A當(dāng)x<0時(shí)，f當(dāng)x≥0時(shí)，f若函數(shù)fx的圖像關(guān)于直線x=π又f-π2所以函數(shù)fx的圖像不關(guān)于直線x=πx<0時(shí)，fx=x≥0時(shí)，fx=3sinx-π≤x函數(shù)在[-2π,2π]故選：C.【題型6ω的取值與最值（范圍）問題】【例6】（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx=3cosωx+φ(ω>0)A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【解題思路】根據(jù)f-π4=3,fπ2=0可得ω【解答過程】由題意，在fx=3cos∴3cos-π4兩式相減得3π4所以ω=43k2因?yàn)閤∈-π3令ωx+φ=t由題意知y=3cost故-π3ω所以-π3ω兩式相加得-π6ω又ω=所以，當(dāng)n=0時(shí)，ω=23；當(dāng)n=1時(shí)，ω=2；當(dāng)n=2時(shí)，ω=10所以ω的取值有5個(gè).故選：B.【變式6-1】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx=2sinωx-π6(ωA．0,23 B．1,53 C．【解題思路】利用整體法，結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)對(duì)x∈0,π【解答過程】當(dāng)0<x<π3時(shí)，因?yàn)橐驗(yàn)楹瘮?shù)fx在0,π3上存在最值，則ω當(dāng)2π3<因?yàn)楹瘮?shù)fx在2則2π所以2πω3-π所以32k-又因?yàn)棣?gt;0，則k當(dāng)k=0時(shí)，0<當(dāng)k=1時(shí)，1≤當(dāng)k=2時(shí)，5又因?yàn)棣?gt;2，因此ω的取值范圍是5故選：C．【變式6-2】（2023上·浙江杭州·高三統(tǒng)考期中）設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,φ≤π2．若xA．334 B．394 C．607【解題思路】直接利用-π3ω+φ=k1ππ3ω+φ【解答過程】由已知得-π3ω則ω=其中k=因?yàn)棣铡墚?dāng)k'=-1當(dāng)k'=0時(shí)，因?yàn)閒x在區(qū)間π所以π2解得0<ω即0<3所以-1當(dāng)k=6時(shí)，ω=39當(dāng)k=5時(shí)，ω=33所以ω的最大值為334故選：A.【變式6-3】（2023·天津河西·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fx=2sinωx+①著對(duì)于任意x∈R，都有f②若對(duì)于任意x∈R，都有f③當(dāng)φ=π3時(shí)，fx在0,④當(dāng)a=-3時(shí)，若對(duì)任意的φ∈R，函數(shù)fx在A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解題思路】①結(jié)合三角函數(shù)的值域來處理恒成立問題；②根據(jù)題干可得到函數(shù)的周期，結(jié)合三角函數(shù)的最小正周期和周期的關(guān)系進(jìn)行判斷；③根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解；④由于φ的任意性，類比y=sin【解答過程】對(duì)于①，若fx≤1恒成立，只需要fxmax≤1，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可知，只需要a對(duì)于②，fx+π=fx說明周期是T=π，但不能說明最小正周期是T=π，最小正周期的倍數(shù)是π均符合題意，例如對(duì)于③，φ=π3時(shí)，當(dāng)x∈0,π2，ωx+π3∈對(duì)于④，a=-3時(shí)，fx=2sinωx+φ-3，當(dāng)x∈0,π2，ωx+φ∈φ,π故選：C.【題型7三角函數(shù)的綜合性質(zhì)的研究】【例7】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx=sinωx+φ在區(qū)間π6(1)求y=(2)若fπ4=【解題思路】（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間，以及fπ3=-（2）先根據(jù)單調(diào)區(qū)間求出ω的可能取值，然后根據(jù)fπ4=32得到ω和【解答過程】（1）因?yàn)閒x在區(qū)間π且fπ3=-fπ所以fπ所以y=fx（2）由題設(shè)，fx的最小正周期T≥2×2故ω=2πT≤2由5π12,0所以5π12ω因?yàn)閒π4=32，所以π4ω若π4ω+φ=π即ω=-2+6不存在整數(shù)k1，k2，使得若π4ω+φ=2即ω=-4+6不存在整數(shù)k1，k3，使得ω=1，當(dāng)k此時(shí)φ=2π得φ=【變式7-1】（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=(1)求ω值；(2)再從條件①.條件②、條件③三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.確定f(x)的解析式.設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-2sin2x，求g(x)的單調(diào)增區(qū)間.條件①：【解題思路】（1）根據(jù)周期公式，即可求解；（2）分別選擇條件，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，求φ，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，代入公式，即可求解.【解答過程】（1）由條件可知，2πω=（2）由（1）可知，f(若選擇條件①：fx所以2×0+φ=π所以fxgx令-π解得：-π所以函數(shù)gx的遞增區(qū)間是-若選擇條件②：f(x)圖象過點(diǎn)π6,1則π3+φ=π所以fx所以g=32令-π解得：-5π所以g(x)如選擇條件③：f(x)所以2×5π12+φ=k所以fx所以g=32令-π解得：-5π所以g(x)【變式7-2】（2023上·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x（1）求tanθ（2）若f(x)的最小值為-6，求（3）在（2）的條件下，設(shè)函數(shù)g(x)=λf(ωx)-fωx+π2，其中【解題思路】（1）根據(jù)f(x)是偶函數(shù)，轉(zhuǎn)化為(4tanθ（2）由（1）得到f(x)=5sinθ(cosx-1)，根據(jù)f（3）由（2）得到g(x)=3λcosωx-3λ+3【解答過程】（1）因?yàn)閒(x)=5cos所以(4tanθ-3)所以tanθ（2）由（1）知f(x)=5因?yàn)槠渥钚≈禐?6所以sinθ所以f(x當(dāng)cosx=1時(shí)，f(x)取得最大值0（3）由（2）知：g(=3λ=3λ因?yàn)間(x)在x=所以g-所以3λcos-所以λ=tanωπ即ω=又因?yàn)棣?gt;0,ω所以λ=tanωπ當(dāng)ω=1時(shí)，gg(π6)=6sin當(dāng)ω=4時(shí)，gg(π6)=6sin4×當(dāng)ω=7時(shí)，gg(π6)=6sin7×g(2π3)=6所以λ+ω的最小值為【變式7-3】（2023·江蘇常州·江蘇?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f((1)若fx1≤fx(2)已知0<ω<5，函數(shù)f(x)圖象向右平移π6個(gè)單位，得到函數(shù)gx的圖象，x=π3是gx的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)g(3)已知函數(shù)h(x)=acos(2x-π6)-2【解題思路】（1）由fx1≤fx≤fx2，x1-x2min=π2可求得函數(shù)fx的最小正周期，進(jìn)而確定參數(shù)【解答過程】（1）∵f(x)=2又∵fx1≤fx≤fx故T=2π當(dāng)ω=1時(shí)，fx=2sin2x+當(dāng)ω=-1時(shí)，fx=2sin-2x綜上所述，fx的對(duì)稱中心為-π12（2）∵函數(shù)fx圖象向右平移π6個(gè)單位，得到函數(shù)∴g(又∵x=π3g(π3∴π3ω+解得ω=3+6kk由0<ω<5∴g(x)=2令gx=0即6x-5π6=-π6+2k若函數(shù)gx在[m,n]（m,要使n-m最小，須m、n恰好為gx（3）由（2）知g(x)=2sin6x-5π6當(dāng)x2∈[0,π當(dāng)x1∈[0,π由{y|y=h(x故實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,8【題型8三角恒等變換與三角函數(shù)綜合】【例8】（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)f(x)=6(1)求ω的值及函數(shù)f((2)若fx0=83【解題思路】(1)化簡f(x)，根據(jù)最小正周期求出ω，再求f(x)單調(diào)減區(qū)間；(2)由fx0＝835求出sin?【解答過程】（1）由已知可得，fx∵f(x)的最小正周期T＝∴fx由π2＋2∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[23＋8k，14（2）∵fx0＝83即sin?由x0∈-∴cos?故f＝2＝2【變式8-1】（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)fx=5sinθ(1)求sinθ(2)設(shè)gx=λfωx-fωx+π2,λ>0,ω>0，且【解題思路】（1）先化簡fx，fx為偶函數(shù)，且fx的最小值為-6，求得所以sinθ=（2）先化簡gx，再利用已知條件：gx它的圖像關(guān)于直線x=π6對(duì)稱和點(diǎn)2【解答過程】（1）fx∴4tan∵fx的最小值為（2）由（1）得fx所以gx==3λ由gx的圖像關(guān)于直線x=π可知，g(-∴3λcos∴ωπ3=k∴λ∵λ>0，∴k∴g∵0≤x≤π∵gx在0,π∴ω≤4，∴經(jīng)檢驗(yàn)，ω=4∴λ【變式8-2】（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2cos2ωx+23sinωxcosωx+a(ω>0,a∈R)，再從條件(1)函數(shù)fx(2)已知gx=f2x-π6，若【解題思路】（1）利用三角恒等變換化簡fx（2）先求出gx的解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可確定m的取值范圍，即可得最大值【解答過程】（1）由題意，函數(shù)f=2sin若選①：fx的最大值為1，則2+1+a=1若選②：fx的一條對(duì)稱軸是直線x=-π12若選③：fx的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π則函數(shù)fx的最小正周期T=2π所以只能選擇條件①③作為已知，此時(shí)fx（2）由題意，gx當(dāng)x∈0,m若gx在區(qū)間0,m上的最小值為g0所以0<m≤π3，所以【變式8-3】（2023·寧夏銀川·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=cos2ωx再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇能確定函數(shù)f(x條件①：函數(shù)f(x)條件②：函數(shù)f(x)條件③：函數(shù)f(x)(1)求f((2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間0,t（t>0）上有且僅有【解題思路】（1）利用三角恒等變換化簡f(x)，選擇①②：由周期得出ω，由f(0)=12得出m，進(jìn)而求出f(x)的解析式及最小值；選擇①③：由周期得出ω，由f(x)的最大值為32得出m，進(jìn)而求出f(x（2）因?yàn)閤∈[0,t]，所以【解答過程】（1）由題可知，f(x)=選擇①②：因?yàn)門=2π又因?yàn)閒(0)=1+m=所以f(當(dāng)2x+π6=2所以函數(shù)f(x)選擇①③：因?yàn)門=2π又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為m所以f(當(dāng)2x+π6=2所以函數(shù)f(x)選擇②③：因?yàn)閒(0)=1+m=又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為m+3（2）選擇①②：f因?yàn)閤∈[0,t]，所以又因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,t（所以π≤2t+π6選擇①③：f因?yàn)閤∈[0,t]，所以又因?yàn)閒(x)在區(qū)間0,t（又sinx=-12時(shí)，所以7π6≤2t+π1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx的一條對(duì)稱軸為直線x=2，一個(gè)周期為4，則fxA．sinπ2xC．sinπ4x【解題思路】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在x=2處的函數(shù)值，排除不合題意的選項(xiàng)即可確定滿足題意的函數(shù)解析式【解答過程】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項(xiàng)中T=2ππ2C選項(xiàng)中T=2ππ4排除選項(xiàng)CD，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值sinπ2×2=0對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值cosπ2故選：B.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知sinα-β=1A．79 B．19 C．-1【解題思路】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α【解答過程】因?yàn)閟in(α-β)=則sin(所以cos(2故選：B.3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)y=fx的圖象由函數(shù)y=cos2x+πA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得fx=-sin2x，再作出fx與y【解答過程】因?yàn)閥=cos2x+π6而y=12x-作出fx與y

考慮2x=-3π2,2x當(dāng)x=-3π4時(shí)，當(dāng)x=3π4時(shí)，當(dāng)x=7π4時(shí)，f所以由圖可知，fx與y=1故選：C.4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)y=3x-3A． B．C． D．【解題思路】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【解答過程】令fx則f-所以fx為奇函數(shù)，