備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第3節(jié)-隨機事件與概率

第3節(jié)隨機事件與概率1.理解樣本點和有限樣本空間的含義.2.理解隨機事件與樣本點的關系.3.了解隨機事件的并、交與互斥的含義.4.掌握隨機事件概率的運算法則.5.會用頻率估計概率.1.有限樣本空間與隨機事件(1)隨機試驗對的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗,簡稱,常用字母表示.

(2)有限樣本空間把隨機試驗E的每個可能的稱為樣本點,全體樣本點的稱為試驗E的樣本空間.一般地,用表示樣本空間,用表示樣本點,如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為.(3)隨機事件、必然事件、不可能事件①一般地,隨機試驗中每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的來表示,把樣本空間Ω的稱為隨機事件,簡稱事件,并把只包含一個樣本點的事件稱為,隨機事件一般用大寫字母A,B,C,…表示.

②Ω作為自身的子集,包含了所有的樣本點,在每次試驗中總有發(fā)生,所以Ω總會發(fā)生,稱Ω為必然事件.

③空集不包含任何樣本點,在每次試驗中都,稱為不可能事件.

2.事件的關系與運算定義符號表示包含關系一般地,若事件A發(fā)生,則事件B發(fā)生,則稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)(或)

相等關系特別地,如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即BA且AB,則稱事件A與事件B相等

AB

并事件(和事件)事件A與事件B有一個發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中,或者在事件B中,我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)

(或)

交事件(積事件)事件A與事件B發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中,也在事件B中,我們稱這個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)

(或)

互斥事件如果事件A與事件B不能同時發(fā)生,也就是說是一個不可能事件,即,則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)

A∩B=對立事件如果事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生,即,且,那么稱事件A與事件B互為對立A∪B=Ω,且A∩B=互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件,但也可以同時不發(fā)生;對立事件是特殊的互斥事件,特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生,即有且僅有一個發(fā)生.兩個事件互為對立事件的前提是互斥事件.3.概率的基本性質(zhì)(1)性質(zhì)1:對任意的事件A,都有.

(2)性質(zhì)2:的概率為1,不可能事件的概率為,即P(Ω)=1,P()=0.

(3)性質(zhì)3:如果事件A與事件B互斥,那么.

(4)性質(zhì)4:如果事件A與事件B互為對立事件,那么.

(5)性質(zhì)5:如果A?B,那么.

(6)性質(zhì)6:設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有.

概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽視只有當A∩B=,即事件A,B互斥時,P(A∪B)=P(A)+P(B),此時P(A∩B)=0.4.頻率的穩(wěn)定性(1)在任何確定次數(shù)的隨機試驗中,一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性.(2)一般地,隨著試驗次數(shù)n的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的.因此,我們可以用估計概率P(A).

若事件A1,A2,…,An彼此互斥,則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).1.下列說法正確的是()A.某廠一批產(chǎn)品的次品率為5%,則任意抽取其中20件產(chǎn)品一定會發(fā)現(xiàn)一件次品B.氣象部門預報明天下雨的概率是90%,說明明天該地區(qū)90%的地方要下雨,其余10%的地方不會下雨C.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,那么前9個病人都沒有治愈,第10個人就一定能治愈D.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,連續(xù)出現(xiàn)5次正面向上,第6次出現(xiàn)反面向上的概率與正面向上的概率仍然都為50%2.(必修第二冊P233練習T1改編)某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學去參加演講比賽,事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”()A.是互斥事件,不互為對立事件B.互為對立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也互為對立事件D.既不是互斥事件也不互為對立事件3.(2020·新高考Ⅰ卷)某中學的學生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學生喜歡足球或游泳,60%的學生喜歡足球,82%的學生喜歡游泳,則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%4.某人進行打靶練習,共射擊10次,其中有2次中10環(huán),有3次中9環(huán),有4次中8環(huán),有1次未中靶.假設此人射擊1次,則其中靶的概率約為;中10環(huán)的概率約為.

5.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件,設事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的不是一等品”的概率為.

事件的關系1.從裝有兩個白球和兩個黃球的口袋中任取2個球,以下給出了四組事件:①至少有1個白球與至少有1個黃球;②至少有1個黃球與都是黃球;③恰有1個白球與恰有1個黃球;④恰有1個白球與都是黃球.其中互斥而不對立的事件共有()A.0組 B.1組 C.2組 D.3組2.設條件甲:“事件A與事件B互為對立事件”,結(jié)論乙:“概率滿足P(A)+P(B)=1”,則甲是乙的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.一袋中裝有5個大小形狀完全相同的小球,其中紅球3個,白球2個,從中任取兩個小球,若事件“兩個小球全是紅球”的概率為310,則概率是7A.恰有一個紅球 B.兩個小球都是白球C.至多有一個紅球 D.至少有一個紅球4.連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚子彈,設A={兩次都擊中目標},B={兩次都沒擊中目標},C={恰有一次擊中目標},D={至少有一次擊中目標},其中彼此互斥的事件是,互為對立事件的是.

對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生,而對于對立事件除不能同時發(fā)生外,其并事件應為必然事件,這些也可類比集合進行理解,具體應用時,可把所有試驗結(jié)果寫出來,看所求事件包含哪幾個試驗結(jié)果,從而斷定所給事件的關系.隨機事件的頻率與概率(2021·江蘇南通調(diào)研)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25℃,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20℃,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.利用概率的統(tǒng)計定義求隨機事件的概率隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生雖然不能事先確定,但是在大量重復試驗的情況下,它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性,可以用事件發(fā)生的頻率去“測量”,因此可以通過計算事件發(fā)生的頻率去估算概率.此類題目的求解方法:先利用頻率的計算公式計算出頻率值,然后根據(jù)概率的定義確定頻率的穩(wěn)定值即為概率.[針對訓練](2021·遼寧沈陽調(diào)研)電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到數(shù)據(jù)如表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,估計這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)隨機選取1部電影,估計這部電影沒有獲得好評的概率;(3)電影公司為增加投資回報,擬改變投資策略,這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大?(只需寫出結(jié)論)互斥事件、對立事件的概率某超市有獎銷售中,購滿100元商品得1張獎券,多購多得.1000張獎券為一個開獎單位,設特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個.設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A,B