彈塑性力學課件

第一章簡單應力狀態(tài)下的

彈塑性力學問題

§1.1引言§1.2材料在簡單拉壓時的實驗結(jié)果§1.3應力-應變關(guān)系簡化模型§1.4軸向拉伸時的塑性失穩(wěn)§1.5簡單桁架的彈塑性分析§1.6強化效應的影響§1.7幾何非線性的影響§1.8彈性極限曲線§1.9加載路徑的影響§1.10極限載荷曲線（面）§1.11安定問題§1.1引言

一、變形彈性變形：物質(zhì)微元的應力和應變之間具有單一的對應關(guān)系

非彈性變形：應力和應變之間不具有單一的對應關(guān)系非彈性變形塑性變形粘性變形（是指物體在除去外力后所殘留下的永久變形）（隨時間而改變，如蠕變、應力松弛等）二、塑性與脆性如果變形很小就破壞，便稱是脆性如果經(jīng)受了很大的變形才破壞，材料具有較好的韌性或延性，這時材料的塑性變形能力較強，便稱是塑性。在這種情況下，物體從開始出現(xiàn)永久變形到最終破壞之間仍具有承載能力。——采用彈性理論分析——采用塑性力學分析研究在哪些條件下可以允許結(jié)構(gòu)中某些部位的應力超過彈性極限的范圍，以充分發(fā)揮材料的強度潛力研究物體在不可避免地產(chǎn)生某些塑性變形后，對承載能力和（或）抵抗變形能力的影響研究好何利用材料的塑性性質(zhì)以達到加工成形的目的三、塑性力學目的

塑性力學是連續(xù)介質(zhì)力學的一個分支，故研究時仍采用連續(xù)介質(zhì)力學中的假設和基本方法。

四、塑性力學的方法基本方程:①幾何關(guān)系②守恒定律③本構(gòu)方程線彈性階段非線性彈性階段屈服階段強化階段頸縮階段實驗曲線加載過程實驗曲線卸載過程彈性階段：卸載沿原路返回塑性階段：卸載沿直線返回，斜率與彈性階段相同應變強化：三、兩種現(xiàn)象包氏效應：實驗曲線反向加載：單晶體，其壓縮時的屈服應力也有相似的提高(圖2（a）中的M′′點)多晶體，其壓縮屈服應力（M′點）一般要低于一開始就反向加載時的屈服應力（A′點）。這種由于拉伸時強化影響到壓縮時弱化的現(xiàn)象稱為包氏效應（Bauschingereffect）。材料經(jīng)過塑性變形得到強化圖2（a）1、在材料的彈塑性變形過程中，應力與應變之間已不再具有單一的對應關(guān)系。四、實驗總結(jié)加載路徑——σ與ε之間的關(guān)系依賴于加載路徑內(nèi)變量——宏觀參量，用來刻畫加載歷史例如，作為最簡單的近似，可以取內(nèi)變量ξ為塑性應變εp，而將簡單受拉（壓）時的應力應變關(guān)系寫為ε=σ/E+εp（1）——其中E為楊氏模量上式表明，當εP（內(nèi)變量）一定時，σ與ε之間有單一的對應關(guān)系。2.σ與ε之間的線性關(guān)系ε=σ/E+εp（1）式是有適用范圍的。對于固定的內(nèi)變量εP，σ或ε并不能隨意取值。例如，對處于圖2（a）中的M點，當加載時即應力（或應變）繼續(xù)增長時，應力應變曲線將沿AMM1方向延伸，公當卸載時即應力（或應變）減小時應力應變曲線才以（1）式的規(guī)律沿MN向下降。為了區(qū)分以上這種加載和卸載所具有的不同規(guī)律，就必須給出相應的加卸載準則。圖2（a）五、影響材料性質(zhì)的其它幾個因素1、溫度

當溫度上升時，材料的屈服應力將會降低而塑性變形的能力則有所提高。3．靜水壓力

當靜水壓力不太大時，材料體積的變化服從彈性規(guī)律而不產(chǎn)生永久的塑性體積改變。2、應變速率

如果實驗時將加載速度提高幾個數(shù)量級，則屈服應力也會相應地提高，但材料的塑性應變形能力會有所下降。當材料有較大的塑性變形時（彈性變形相對地很?。?，可近似地認為體積是不可壓的。靜水壓力對屈服應力的影響也是不大的。

§1.3應力-應變關(guān)系關(guān)系的簡化模型

類似地，上式也可用應變表示為：1．理想彈塑性模型適用：強化率較低的材料，在應變不太大時可忽略強化效應2．線性強化彈塑性模型類似地，上式也可用應變表示為：適用：材料的強化率較高且在一定范圍內(nèi)變化不大（假定拉伸和壓縮時屈服應力的絕對值和強化模量都相同）——表示圖5（a）中的線段比

3．一般加載規(guī)律對于一般的單向拉伸曲線，在不卸載時應力應變關(guān)系：注：這種模型在=0處的斜率為無窮大，近似性較差，但在數(shù)學上比較容易處理。

（8）4．冪次強化模型（其中B>0，0<m<1）其加載規(guī)律可寫為：

（9）如取就有說明：這對應于割線余率為0.7E的應力和應變，上式中有三個參數(shù)可用來刻畫實際材料的拉伸特性，而在數(shù)學表達式上也較為簡單。5．Ramberg-Osgood模型等向強化模型6.等向強化模型及隨動強化模型例如：可取適用：拉伸時的屈服應力和壓縮時的屈服應力始終是相等的?！?/p>

是刻畫塑性變形歷史的參數(shù)圖2（a）或該模型不論拉伸還是壓縮都使屈服應力提高，對應圖2（a）中的和。隨動強化模型上式在線性強化情形下也可寫為

（是塑性應變的單調(diào)遞增函數(shù)）適用：考慮包氏效應，認為拉伸屈服應力和壓縮屈服應力的代數(shù)值之差，即彈性響應的范圍始終是不變的。是一個常數(shù)（）圖2（a）該模型對應圖2（a）中的和。§1.4軸向拉伸時的塑性失穩(wěn)

一、拉伸失穩(wěn)的概念1、拉伸失穩(wěn)：注意：拉伸試件在出現(xiàn)頸縮后，試件局部區(qū)域的截面積會有明顯減少，再用名義應力和應變來描述此時的材料特性是不適當?shù)模ㄒ妶D2）在最高點以后，增加應變時應力反而下降，在通常意義下稱試件是不穩(wěn)定的。圖2（a）2、真應力3、對數(shù)應變4、截面積收縮比q=（A0-A）/A0假定材料是不可壓縮的：A0l0=Al，并認為名義應力達到最高點C時出現(xiàn)頸縮：

二、真應力則在頸縮時真應力應滿足條件拉伸失穩(wěn)分界點的斜率正好和該點的縱坐標值相等。

由結(jié)論：[1]注意到頸縮時的條件也可寫為：即拉伸失穩(wěn)點的斜率為其縱坐標值除以結(jié)論：[2][3]以截面積收縮比q為自變量則由頸縮時的條件拉伸失穩(wěn)時真應力所滿足的條件:隨著材料的變形，微裂紋和（或）孔洞的生成及匯合也將會造成材料的弱化而導致失穩(wěn)。稱之為應變?nèi)趸?。三、材料本身的失穩(wěn)現(xiàn)象例如，在低碳鋼拉伸實驗中由上屈服應力突然下降到下屈服應力的現(xiàn)象，它與材料變形的內(nèi)部微觀機制的變化有關(guān)。在許多問題（如拉伸失穩(wěn)等）中，以上兩種現(xiàn)象往往是耦合的

圖中三根桿的截面積均為A，中間第二桿的桿長為，它與相鄰的第一桿和第三桿的夾角均為θ=450，在其交匯點O處作用水平力Q和垂直向下的力P，O點將產(chǎn)生水平位移和垂直位移。二、問題的解答已知：解：如定義第根桿的名義應力為,名義應變?yōu)?則有如下平衡方程和幾何關(guān)系和協(xié)調(diào)條件為了得到問題的解，還必須補充本構(gòu)方程。我們假定材料是理想彈塑性。(1)Q=0時的彈性解和彈塑性解由彈性解:由1、應力

為屈服應力————為垂直方向上的彈性極限載荷2、位移（14）（17）由（14）、（17）和（18），得——垂直向下位移載荷-位移曲線則當P由零增至Pe時，在圖9的坐標中為區(qū)間[0，1]上斜率等于1的直線段OA。若令彈塑性解:當P由零逐漸增大到Pe時，第2桿的應力也逐漸增大而達到屈服狀態(tài)：如果P的值再繼續(xù)增加，則（17）式已不再適用，相應的本構(gòu)方程應改寫為由應力應變說明：（1）這時的第2桿雖然已經(jīng)屈服而失去了進一步的承載能力，但由于它還受到第1桿和第3桿彈性變形的制約，其塑性變形不能任意增和，這種狀態(tài)稱為約束塑性變形。（2）直到P值逐漸增大到使時，三根桿將全部進入屈服階段，變形已不再受任何約束，結(jié)構(gòu)才完全喪失進一步的承載能力。這時的載荷P為——稱為塑性極限載荷由和位移當P=PS時，或注：（24）式對應于圖9中在區(qū)間[1，2]上斜率為的直線段AB當考慮塑性變形時，結(jié)構(gòu)的變形要比純彈性變形為大，但仍屬同一數(shù)量級，而相應的承載能力將會有相當?shù)奶岣?。結(jié)論

(2)卸載現(xiàn)將P的值加載到處于Pe<P<Ps范圍內(nèi)的某一值P*，然后再卸載使P的改變量△P<0。由于卸載服從彈性規(guī)律，利用（18）式的增量形式，可知應力和應變的改變量分別為卸載時的載荷-位移曲線（見圖9）與初始彈性加載時的曲線有相同的斜率。

卸載規(guī)律:

應力和應變:最終的應力和應變值可由（21）、（25）和（22）、（26）下式的疊加求得：特別地，當載荷P值全部卸除后，由△P=-P*，便得到桿中的殘余應力和殘余應變（見圖10）為：殘余應力和殘余應變:其中節(jié)點O的殘余位移為：實際上，第1桿和第3桿其變形規(guī)律始終是彈性的，如果卸去載荷并解除三桿之間約束的話，第1桿和第3桿中的彈性應變和塑性應變都等于零，而第2桿則有塑性應變。故在原有的約束下，就必然地引起內(nèi)應力而使這三根桿件的殘余應變不等于零。說明：1、殘余應力應該滿足與零外載相對應的平衡方程。2、殘余應變由（1）式可分為彈性應變和塑性應變兩部分之和：3、在超靜定結(jié)構(gòu)中殘余應變一般并不等于塑性應變?！?.6強化效應的影響本節(jié)仍討論Q=0的情形，現(xiàn)假定材料是線性強化的。不卸載時其拉伸曲線可寫為（1）當P時，桿中的應力值仍由（18）式表示（2）當P>Pe時，有將上式與（15）式和（16）式聯(lián)立，可解得（3）當P增至使時，第1桿和第3桿也開始屈服。此時的載荷值為1、如取E‘/E=1/10，則P1=1.04Ps。與理想彈塑性材料相比，相應的載荷值并沒有很大的增加。這說明采用理想彈塑性模型可得到較好的近似，而計算卻有相當?shù)暮喕?/p>

說明：2、當P小于P1時，結(jié)構(gòu)的變形仍屬于彈性變形的量級，而當P超過P1后繼續(xù)增加時，由于強化效應，結(jié)構(gòu)并不會進入塑性流動狀態(tài)，但這時的變形將會有較快的增長?！?.7幾何非線性的影響一、問題的提出求解基本方程：——是在小變形的假設下建立的當桿件的塑性變形很大時，結(jié)構(gòu)幾何尺寸的改變將會產(chǎn)生顯著的影響。這時應采用真應力和對數(shù)應變來進行討論。二、問題的解答仍考慮Q=0的情形，假定材料是剛塑性線性強化的：而且滿足不可壓條件：令則由幾何分析于是在變形后的結(jié)構(gòu)上建立的平衡方程為：其中——為變形后第2桿與第1桿（和第3桿）之間的夾角可見（33）式中有三個未知量在不卸載的情況下，由本構(gòu)方程：得到與之間的非線性關(guān)系結(jié)論：隨著的增長，的值將會由于強化效應和角的減小而提高，但也會隨著桿件截面積的收縮而下降。故當很大時，結(jié)構(gòu)將可能變成不穩(wěn)定的?！?.8彈性極限曲線本節(jié)我們將考慮前述桁架同時受垂直載荷P和水平載荷Q作用的情形。如果桁架中的三根桿件都處于彈性階段，則由（13）(14）15）和（17）各式，平衡方程幾何方程協(xié)調(diào)條件本構(gòu)方程其中，表示只作用水平力時的彈性極限載荷。可求得桿中應力為（35）式成立的條件為這相當于對P和Q的限制條件：上式對應于圖12中實線六邊形區(qū)域，其中等號則對應于該六邊形的邊界，稱為彈性極限曲線，表示至少有一根桿件已達到屈服狀態(tài)。如果作用于結(jié)構(gòu)上的載荷先是超出了彈性極限曲線，然后又完全卸回到零，那么結(jié)構(gòu)中將存在殘余應力。由于殘余應力與零外載相平衡，故可寫成（27）式的形式：其中是一個可以變化的參數(shù)，其值可由（28）式來表示。在存在殘余應力的情況下，如果再重新對結(jié)構(gòu)施加載荷而未能再次屈服，那么結(jié)構(gòu)中的應力值就應該是以上的殘余應力與（35）式的疊加。不產(chǎn)生新的塑性變形的限制條件：其中值滿足（37）式對應于圖12中虛線所構(gòu)成的六邊形區(qū)域。說明：可見在加載方向一側(cè)屈服載荷有所提高而與加載方向相反的一側(cè)屈服載荷有所降低。可用來對應變硬化和包氏效應等現(xiàn)象做一個比較形象的解釋。§1.9加載路徑的影響塑性力學的特點之一就是解對加載路徑的依賴性。[例]計算上述的理想彈塑性三桿桁架在不同加載路徑下O點的最終水平位移和垂直位移。第一種路徑（圖13（a)中的路徑1）當時第一種路徑：（Q，P）先由（0，0）線性地變化為（0，PS），再在垂直位移保持不變的條件下增加Q使達到Qe如保持δy=2δe不變而施加水平方向的載荷Q，使點O有一個水平方向的位移增量，則由幾何關(guān)系（14）式：可知第1桿和第2桿并未卸載而第3桿以彈性規(guī)律卸載于是，由（13）式可求得載荷增量為：即Q與P之間的變化規(guī)律是線性的當?shù)?桿卸載到σ3=-σs時由△σ3=-2σs得此時三桿同時屈服，即結(jié)構(gòu)再次進入塑性流動狀態(tài)。三桿的應力為：水平位移δx可由（38）式求得，垂直位移δy始終不變。因此：第二種路徑：（Q，P）由（0，0）作單調(diào)的比例如載而達到（）第二種路徑（圖13（a）中的路徑②）由于加載時始終有關(guān)系式，故將其代入（35）式可得初始彈性階段的解為：，——表明隨著P的增長，第1桿最先達到屈服。當各桿的應力此時O點的位移值為

如繼續(xù)加載，則第1桿進入屈服階段，即由和（13）式的增量形式——表明第2桿繼續(xù)受拉，第3桿繼續(xù)受壓。各桿的應力由（41）式和（43）式計算當三桿同時進入塑性狀態(tài)，即

利用（43）式和（14）式的增量形式便可求出對應于時的位移增量：最終位移則是上式和（42）式的疊加：結(jié)論：可知在兩種加載路徑下雖然可得到相同的應力值，但各桿的應變和O點最終位移值卻是不同的。§1.10極限載荷曲線（面）一、概念兩個不等式同時取等號時，（P，Q）的值將處于虛線六邊形的頂點。1、塑性極限載荷此時結(jié)構(gòu)變?yōu)橐粋€能產(chǎn)生塑性流動的機構(gòu)而喪失了進一步承載的能力。相應的載荷就是塑性極限載荷。2、極限載荷曲線隨著γ*的改變，這個極限載荷在（Q，P）平面上的軌跡將形成一條曲線，稱為極限載荷曲線（在多維載荷空間中則稱為極限載荷曲面）。特點：與彈性極限曲線不同，極限載荷曲線是結(jié)構(gòu)的固有屬性，它不依賴于加載歷史。作法：1、求得（Q，P）平面在第一象限內(nèi)的極限載荷曲線；2、根據(jù)Q和P的四種組合和拉、壓屈服應力相等的假設，由對稱性條件來獲得整個平面上的餓極限載荷曲線。（Q，P）平面在第一象限內(nèi)的極限載荷曲線可由以下方法求得：設加載是按比例增至極限載荷的很大時，第1桿和第2桿先達到拉伸屈服故由（13）式得其中這對應于圖a中的線段FG。1、2、當很小時，第1桿達到拉伸屈服而第3桿達到壓縮屈服：故由（13）式得其中這對應于圖a中的線段GH——此時三桿同時進入屈服狀態(tài)二、極限載荷曲線的性質(zhì)（1）極限載荷曲線（面）是唯一的，它與加載路徑無關(guān)。（2）極限載荷曲線（面）是外凸的。（3）在極限載荷曲線（面）上，與外載荷相對應的位移增量的方向指向該曲線（面）的外法向?！?.11*安定問題安定狀態(tài):

結(jié)構(gòu)始終呈彈性響應結(jié)構(gòu)在經(jīng)過有限次塑性變形而達到一定的殘余應力狀態(tài)后，外載荷的繼續(xù)作用將使該結(jié)構(gòu)在此殘余應力之上仍然作彈性響應不安定：結(jié)構(gòu)中的某些部位總是交替地產(chǎn)生異號的塑性變化，從而導致結(jié)構(gòu)的塑性循環(huán)（或稱低周疲勞）破壞；結(jié)構(gòu)中的某些部位總要產(chǎn)生同號的塑性變形，經(jīng)過多次重復導致結(jié)構(gòu)的塑性累積破壞。第三章應力和應變§3.1應力分析§3.2應變分析§3.1應力分析

一、應力張量及其分解(1)一點的應力狀態(tài)通過一點P的各個面上應力狀況的集合——稱為一點的應力狀態(tài)x面的應力：y面的應力：z面的應力：(2)應力張量一點

的應力狀態(tài)可由九個應力分量來描述，這些分量構(gòu)成一個二階對稱張量，稱為應力張量。上式中左邊是工程力學的習慣寫法，右邊是彈性力學的習慣寫法定義：寫法：采用張量下標記號的應力寫法把坐標軸x、y、z分別用x1、x2、x3表示，或簡記為xj(j=1,2,3),(3)斜截面上的應力與應力張量的關(guān)系在xj坐標系中，考慮一個法線為N的斜平面。N是單位向量，其方向作弦為則這個面上的應力向量SN的三個分量與應力張量之間的關(guān)系采用張量下標記號，可簡寫成說明：i）重復出現(xiàn)的下標叫做求和下標，相當于這稱為求和約定；ii）不重復出現(xiàn)的下標i叫做自由下標，可取i=1,2,3；(4)應力張量的分解1.靜水“壓力”：在靜水壓力作用下，應力—應變間服從彈性規(guī)律，且不會屈服、不會產(chǎn)生塑性變形。應力不產(chǎn)生塑性變形的部分產(chǎn)生塑性變形的部分反映靜水“壓力”：2.平均正應力：3.應力張量的分解：應力張量可作如下分解：用張量符號表示：其中：或應力球張量——單位球張量——應力球張量，它表示各方向承受相同拉（壓）應力而沒有剪應力的狀態(tài)。應力偏張量——應力偏張量——與單元體的體積變形有關(guān)說明：材料進入塑性后，單元體的體積變形是彈性的，只與應力球張量有關(guān)；而與形狀改變有關(guān)的塑性變形則是由應力偏張量引起的。應力張量的這種分解在塑性力學中有重要意義。二、主應力和應力不變量（1）主應力1.一點的主應力與應力主向若某一斜面上，則該斜面上的正應力稱為該點一個主應力；（2）應力主向主應力所在的平面——稱為主平面；主應力所在平面的法線方向——稱為應力主向；根據(jù)主平面的定義，SN與N重合。若SN的大小為，則它在各坐標軸上的投影為代入（3-3）式應有或即將這個行列式展開得到其中2.應力張量的不變量當坐標軸方向改變時,應力張量的分量均將改變,但主應力的大小不應隨坐標軸的選取而改變.因此,方程(3-9)的系數(shù)的值與坐標軸的取向無關(guān)，稱為應力張量的三個不變量?？梢宰C明方程（3-9）有三個實根，即三個主應力當用主應力來表示不變量時應力偏張量Sij顯然也是一種應力狀態(tài)即J1=0的應力狀態(tài)。不難證明，它的主軸方向與應力主軸方向一致，而主值（稱為主偏應力）為：應力偏張量也有三個不變量：

其中應力偏張量的第二不變量今后用得最多。再介紹它的其他幾個表達式：在第四章中將看到，在屈服條件中起重要作用。至于可以注意它有這樣的特點：不管的分量多么大，只要有一個主偏應力為零，就有。這暗示在屈服條件中不可能起決定作用。

說明：三、等斜面上的應力等斜面：通過某點做平面，該平面的法線與三個應力主軸夾角相等八面體面：滿足（3-20）式的面共有八個，構(gòu)成一個八面體，如圖所示。等斜面常也被叫做八面體面。若八面體面上的應力向量用F8表示，則按（3-3）式有設在這一點取坐標軸與三個應力主軸一致，則等斜面法線的三個方向余弦為八面體面素上的正應力為八面體面素上的剪應力為說明：八面體面上的應力向量可分解為兩個分量：i)垂直于八面體面的分量，即正應力，它與應力球張量有關(guān)，或者說與有關(guān)；ii)沿八面體面某一切向的分量，即剪應力，與應力偏張量的第二不變量有關(guān)。四、等效應力1.定義：如果假定相等的兩個應力狀態(tài)的力學效應相同，那么對一般應力狀態(tài)可以定義：——在塑性力學中稱為應力強度或等效應力注意：這里的“強度”或“等效”都是在意義下衡量的2.等效應力的特點與空間坐標軸的選取無關(guān)；各正應力增加或減少同一數(shù)值（也就是疊加一個靜水應力狀態(tài)）時數(shù)值不變，即與應力球張量無關(guān)；

全反號時的數(shù)值不變。3.空間空間指的是以的九個分量為坐標軸的九維偏應力空間；標志著所考察的偏應力狀態(tài)與材料未受力（或只受靜水應力）狀態(tài)的距離或差別的大小。聯(lián)系到（3-17）式，不難看出代表空間的中的廣義距離4.等效剪應力聯(lián)系到（3-19）式，可知或也可以定義,剪應力強度或等效剪應力:5.八面體剪應力、等效應力和等效剪應力之間的換算關(guān)系為：

說明：這些量的引入，使我們有可能把復雜應力狀態(tài)化作“等效”（在意義下等效）的單向應力狀態(tài)，從而有可能對不同應力狀態(tài)的“強度”作出定量的描述和比較。五、三向Mohr圓和Lode應力參數(shù)在平面上三點中的任意兩點為直徑端點，可作出三個Mohr圓，如圖3-3.其半徑為：——稱為主剪應力——最大剪應力1.三向Mohr圓2.Lode應力參數(shù)[分析]由圖3-4可見，若在已知應力狀態(tài)上疊加一個靜水壓力，其效果僅使三個Mohr圓一起沿軸平移一個距離，該距離等于所疊加的靜水應力，并不改變Mohr圓的大小。[結(jié)論]

軸的位置與屈服及塑性變形無關(guān)，決定屈服與塑性變形的只是Mohr圓本身的大小。若將軸平移到，并使則：移軸后的三向Mohr圓正是描述應力偏張量的三向Mohr圓，如圖所示。M點是P1P2線段的中點Lode在1925年引進的參數(shù)Lode應力參數(shù)當P2點由P3移向P1時，的變化范圍是：下面三個特殊情況是常用到的：i)

單向拉伸：ii)

純剪切：iii)

單向壓縮：只由P1、P2、P3三點的相對位置決定而與坐標原點的選擇無關(guān)，故是描述應力偏張量的一個特征值。綜上所述，OO’表示了一點應力狀態(tài)的球張量部分；而以O’為坐標原點的三向Mohr圓（由和所確定）則表示了應力的偏張量部分。六、應力空間和主應力空間1.應力空間一點的應力張量有九個應力分量，以它們?yōu)榫艂€坐標軸就得到假想的九維應力空間。考慮到九個應力分量中只有六個是獨立的，所以又可構(gòu)成一個六維應力空間來描述應力狀態(tài)。一點的應力狀態(tài)可以用九維或六維應力空間中的一個點來表示。2.主應力空間（Haigh-Westergaard空間）它是以為坐標軸的假想的三維空間，這個空間中的一個點，就確定了用主應力所表示的一個應力狀態(tài)。2.主應力空間的性質(zhì)L直線：主應力空間中過原點并坐標軸成等角的直線。

其方程為顯然，L直線上的點代表物體中承受靜水應力的點的狀態(tài)，這樣的應力狀態(tài)將不產(chǎn)生塑性變形。平面：主應力空間中過原點而與L直線垂直的平面。其方程為由于平面上任一點的平均正應力為零，所以平面上的點對應于只有應力偏張量、不引起體積變形的應力狀態(tài)。主應力空間中任意一點P所確定的向量總可以分解為：這樣任意應力狀態(tài)就被分解為兩部分，分別與應力球張量和應力偏張量部分對應。小結(jié)物體內(nèi)一點的應力狀態(tài)用應力張量描述，它又可分解為應力球張量和應力偏張量兩個部分。塑性變形只與應力偏張量有關(guān)。三向Mohr應力圓和主應力空間為應力張量的分解提供了幾何形象和數(shù)學工具。

這樣取的目的是使構(gòu)成一個二階對稱張量，即應變張量?！?.2應變分析

一、位移與應變的關(guān)系1.Cauchy公式其中與工程剪應變相差一半，即

張量記法:

以記,以記。

記號約定：以下標之間的逗號表示微商如Cauchy公式的張量形式：（3-29）（3-29）式是在小變形條件建立的。二、應變張量的分解應變張量也可以分解為應變球張量和應變偏張量，即（3-31）應變球張量——它與彈性的體積改變部分有關(guān)；其中稱為平均正應變應變偏張量——只反映變形中形狀改變的那部分。二、應變張量的不變量應變偏張量的三個不變量用表示：其中分別是主應變和應變偏張量的主值。三、等效應變和Lode應變參數(shù)等斜面（八面體面）上的正應變和剪應變：等效應變和等效剪應變Lode應變參數(shù)三個特殊情況為：i)單向拉伸：則=-1.ii)純剪切：則=0.iii)單向壓縮：則=1.在一般情況下的變化范圍是四、應變率張量和應變增量張量應用小變形的Cauchy公式求得相應的應變：——應變率張量這樣定義的，不論大小都成立，但要求是對每一瞬時狀態(tài)進行計算，而不是按初始位置計算的１.應變率張量2.應變增量張量第4章塑性力學屈服條件ChinaUNIVERSITYofMining&Technology第四章屈服條件§4.1初始屈服條件§4.2兩種常用的屈服條件§4.3屈服條件的實驗驗證§4.4后繼屈服條件塑性力學§4.1初始屈服條件簡單應力狀態(tài)下的屈服極限：復雜應力狀態(tài)下，設作用于物體上的外載荷逐步增加，在其變形的初始階段，每個微元處于彈性階段。受六個應力分量、應變分量、應變速率、時間、溫度等因素的綜合影響。材料初始彈性狀態(tài)的界限稱為初始屈服條件，簡稱為屈服條件。一般地：當不考慮時間效應且接近常溫時，一、屈服條件在初始屈服前材料處于彈性狀態(tài)，應力和應變間有一一對應的關(guān)系，（4-1）式簡化為幾何意義屈服條件在以應力分量為坐標的應力空間中為一曲面。稱為屈服曲面。屈服曲面是區(qū)分彈性和塑性的分界面。當應力點位于曲面之內(nèi)，即時，材料處于彈性階段。當應力點位于曲面之上，即時，材料開始屈服，進入塑性狀態(tài)。兩點假設1、材料是初始各向同性的，即屈服條件與坐標的取向無關(guān)?？杀硎緸槿齻€主應力的函數(shù)：或應力不變量來表示：2、靜水應力不影響材料的塑性性質(zhì)。也可由應力偏張量的不變量表示：這時，屈服條件只與應力偏量有關(guān)：二、屈服曲線主應力空間中任一點P代表一個應力狀態(tài)，O平面L向量可參照L直線和π平面分解：其中對應于應力狀態(tài)的球張量部分，即靜水壓力部分。由于靜水應力不影響屈服，即屈服與否與無關(guān)。因此當P點達到屈服時，

線上的任一點也都達到屈服。屈服曲面是一個柱面，其母線平行于L直線。換言之，這柱面垂直于平面。屈服曲面與π平面相交所得的一條封閉曲線，或稱屈服軌跡。屈服曲線屈服曲線的方程：1）自原點出發(fā)的任一射線必與C相交，但不能同C相交兩次。2）由于材料是初始各向同性的，屈服條件不因坐標變換而變化，因此屈服曲線關(guān)于三軸對稱。3）對于大多數(shù)金屬材料，初始拉伸和壓縮的屈服極限相等，因此，C關(guān)于三軸的垂線也對稱。4）根據(jù)§5.2中的Drucker公設，屈服曲線C必定是外凸的。若以記在π平面上的投影，則屈服曲線C的主要性質(zhì)如下：三、π平面上的幾何關(guān)系1、O等斜面1分別在主應力空間的三根坐標軸上截取長度為1的線段。由于等斜面與π平面平行，所以：角為π平面與主應力空間的夾角，也即的夾角。2、在π平面上取x、y軸，如圖：Oxyπ平面S其中：軸在x、y軸的投影軸在x、y軸的投影軸在x、y軸的投影則屈服曲線上任一點S的坐標：當采用極坐標表示時：Oxyπ平面S其中就是§3.1中引進的Lode應力參數(shù)。三種特殊情況：1）單向拉伸2）純剪切3）單向壓縮若在以L直線為z軸的柱坐標系中寫出主應力空間中任一點的坐標。則其三個坐標分量都具有明確的物理意義：正比于等效應力，標志中間主應力的影響，代表靜水應力的大小?！?.2兩種常用的屈服條件一、Tresca屈服條件Tresca屈服條件認為:當最大剪應力達到某一極限值時，材料就開始屈服。當主應力順序為時，此屈服條件可表示為：Tresca與金屬試件簡單拉伸時試件表面能觀察到的滑移線與軸線大致成45度，以及靜水壓力不影響屈服的事實相符。在材料力學中，它也就是第三強度理論。比較π平面上任一點的坐標公式可見：在的范圍內(nèi)，屈服曲線為與y軸平行的直線段。得：（4-11）§4.2兩種常用的屈服條件一、Tresca屈服條件由對稱性拓展后，得到π平面上的一個正六邊形。如不規(guī)定（4-11）應寫成：（4-12）對于平面應力狀態(tài)，當時，上式變?yōu)樵谥鲬臻g中，他們構(gòu)成一母線平行于L直線的正六邊形柱面。（4-13）在平面上，（4-13）式給出的屈服軌跡呈斜六邊形，如圖。這相當于正六邊形柱面被的平面斜截所得的曲線。常數(shù)k一般由實驗確定：在單向拉伸時，在純剪切時，比較這二者可知，采用Treca條件就意味著1、在主應力方向和大小順序都已知時，Tresca條件很便于應用，其表達式簡單，而且還是線性的。然后可用應力偏張量的不變量的形式寫成Treca屈服條件的適用范圍2、在主應力方向已知，但其大小順序未知時，不失一般性，屈服條件可寫為：3、主應力方向未知，很難用表達式描述。Treca屈服條件一般僅適用于主應力方向已知的情況。二、Mises屈服條件Tresca條件的局限：主應力未知時表達式過于復雜；未考慮中間主應力的影響。Mises屈服條件假定屈服曲線的一般表達式具有如下的最簡單形式：由上節(jié)可知，屈服曲線上的點在π平面上投影的向徑因此，在π

平面Mises屈服條件可用一個圓來表示。在主應力空間中是一個母線平行于L直線的圓柱面。常數(shù)C一般由實驗確定：在單向拉伸時，在純剪切時，比較這二者可知，采用Mises條件就意味著（4-16）二、Mises屈服條件Tresca條件的局限：主應力未知時表達式過于復雜；未考慮中間主應力的影響。Mises屈服條件假定屈服曲線的一般表達式具有如下的最簡單形式：常數(shù)C一般由實驗確定：在單向拉伸時，在純剪切時，比較這二者可知，采用Mises條件就意味著確定常數(shù)C以后，Mises屈服條件可寫成以下常用的形式：（4-16）或π平面上Mises圓同Tresca六邊形的幾何關(guān)系1、如果假定在簡單拉伸時兩種屈服條件相重合，則Tresca六邊形將內(nèi)接于Mises圓。單向拉伸純剪切Mises圓內(nèi)接Tresca六邊形外接Tresca六邊形Mises:Tresca:2、如果假定在純剪切時兩種屈服條件相重合，則Tresca六邊形將外切于Mises圓。Mises:Tresca:單向拉伸時，相對偏差最大，為15.5%。純剪切時，Tresca六邊形同Mises圓之間的相對偏差最大，為對于平面應力狀態(tài)，當時，有：二、Mises屈服條件MisesTresca由于上式中右端常數(shù)由單向拉伸實驗確定，所以右圖中Mises橢圓外接于Tresca斜六邊形。在平面上，這是一個橢圓。為主應力空間中的Mises圓柱面被平面斜截所得。Mises屈服條件的物理解釋：1、Hencky(1924)認為，Mises條件用物體形狀改變的彈性能來衡量屈服。若單位體積內(nèi)的體積改變能和形狀改變能分別記為即，Mises條件認為單位體積的形狀改變能達到

時材料發(fā)生屈服。事實上，彈性體的變形能可分為體積改變所積蓄的能量和形狀改變所積蓄的能量兩部分之和。設單位體積的變形能為若按簡單拉伸試驗確定Mises屈服條件中的常數(shù)C，則2、Nadai(1933)認為，當八面體的剪切應力即當達到一定數(shù)值時，材料就屈服。3、Ros和Eichinger(1930)提出，在空間應力狀態(tài)下，通過物體內(nèi)一點作任意平面，這些任意取向的平面上的剪應力的均方值為：因此，Mises條件意味著時材料屈服。4、西安交通大學材料力學教研室的研究者們指出，三個極值剪應力的均方根值為把Mises屈服條件看作是用三個極值剪應力的均方根值來衡量屈服與否的準則。§4.3

屈服條件的實驗驗證試驗一、薄圓管受拉力P和內(nèi)壓p的作用。如果則可取由此求得Lode應力參數(shù)為

（4-27）單向拉伸純剪切此時：減去靜水應力后：在的范圍內(nèi)改變拉力P和內(nèi)壓p的比值時，就可以得到范圍內(nèi)的任意應力狀態(tài)。Lode（1925）試驗：對于Mises屈服條件，代入Mises屈服條件畫在圖上為一曲線；

得到：（4-28）Mises在的范圍內(nèi)改變拉力P和內(nèi)壓p的比值時，就可以得到范圍內(nèi)的任意應力狀態(tài)。Lode（1925）試驗：對于Tresca屈服條件，畫在圖上為一直線；

Lode用銅、鐵、鎳等金屬薄管用出的實驗結(jié)果，同（4-28）式給出的曲線比較接近。可見，Mises屈服條件更適合于金屬材料。MisesTresca§4.3

屈服條件的實驗驗證試驗二、薄圓管受拉力P和扭矩T的作用。相應的主應力因而Lode應力參數(shù)是單向拉伸純剪切只要P≥0，改變P與T/R之比便可得到的任意應力狀態(tài)。Taylor—Quinney(1931)試驗：對于Mises屈服條件改寫成：（4-30）對于Tresca屈服條件改寫成：（4-31）（4-30）和（4-31）在圖上都是橢圓，但長短軸的比值不同。Taylor和Quinney用銅、鋁、鋼薄管進行了試驗，結(jié)果也同Mises屈服條件比較接近。1、實驗表明，多數(shù)金屬材料的屈服性態(tài)接近Mises屈服條件。Tresca屈服條件與Mises屈服條件的適用范圍：2、在應用上，主應力方向已知時用Tresca條件較方便。主應力方向未知時用Mises條件較方便。而無論何種情形，二者的相對偏差不會超過15.5%。3、在實際問題中，并不限制使用何種屈服條件，二者都可用。§4.4后繼屈服條件理想塑性材料:（初始）屈服曲面是固定不變的，是材料未經(jīng)受任何塑性變形時的彈性響應的界限。應力狀態(tài)不能落在屈服曲面之外。強化材料：材料發(fā)生塑性變形后，其后繼彈性范圍的邊界隨加載歷史發(fā)生變化。后繼彈性范圍的邊界，稱為后繼屈服條件，也叫加載條件。在應力空間中對應的幾何物，稱為后繼屈服曲面，或加載曲面。后繼屈服條件與材料塑性變形的歷史有關(guān)。以參數(shù)來刻劃材料的塑性加載歷史，則后繼屈服條件可表示為：（4-32）實際材料的加載曲面的演化規(guī)律非常復雜，在應用中使用簡化模型。1、等向強化（各向同性強化）模型認為后繼屈服曲面（加載曲面）就是屈服曲面在應力空間的相似擴大。等向強化模型的表達式可寫成：（4-33）其中f是初始屈服函數(shù)，是的單調(diào)遞增函數(shù)。在加載過程中K逐漸加大。從幾何上看，后繼屈服曲面（加載面）與初始屈服曲面形狀相似，中心位置也不變。屈服面加載面A加載面B123后繼屈服曲面對加載歷史的依賴性只表現(xiàn)在：后繼屈服曲面僅由加載路徑中所曾達到的最大應力點所決定。如右圖所示Mises初始屈服面及其后繼屈服面。在復雜應力狀態(tài)下通常參數(shù)K有以下兩種取法：（1）

K

取為等效塑性應變增量的函數(shù)函數(shù)可根據(jù)材料的拉伸（或剪切）試驗得出，且取（2）K取為塑性比功dWp

的函數(shù)對于Mises屈服條件，后繼屈服函數(shù)為函數(shù)F可根據(jù)材料的拉伸（或剪切）試驗得出，且取2、隨動強化模型等向強化模型未考慮包氏效應，在分析應力作反復變化的問題時，往往誤差較大。隨動強化模型認為：后繼屈服曲面就是初始屈服曲面隨著塑性變形的過程而在應力空間作剛性移動，而其大小和形狀都沒有改變。隨動強化模型的表達式可寫成：其中f

是初始屈服函數(shù)，是后繼屈服曲面中心在應力空間中的位置，它是的函數(shù)。（4-39）特別地，假定材料是線性強化的，后繼屈服函數(shù)是Mises屈服條件下3、組合強化模型將等向強化模型同隨動強化模型結(jié)合起來，就構(gòu)成更一般的組合強化模型。組合強化模型的表達式可寫成：具體到π平面上考察Mises屈服圓，那么在加載過程中后繼屈服曲線始終是一個圓，但其半徑和圓心位置都不斷發(fā)生變化。等向強化初始屈服面組合強化隨動強化第5章塑性力學塑性本構(gòu)變形ChinaUNIVERSITYofMining&Technology第五章塑性本構(gòu)關(guān)系§5.1彈性本構(gòu)關(guān)系§5.2Drucker公設§5.3加載、卸載準則§5.4增量理論（流動理論）§5.5全量理論（形變理論）§5.6巖土力學中的Coulomb屈服條件和流動法則塑性力學§5.1彈性本構(gòu)關(guān)系在彈性階段，材料的本構(gòu)關(guān)系即廣義Hooke定律：張量寫法：其中其中（5-1）（5-2）為平均正應力。將三個正應變相加，得：（5-3）記：平均正應變體積彈性模量則平均正應力與平均正應變的關(guān)系：（5-4）（5-5）（5-2）式用可用應力偏量和應變偏量表示為包含5個獨立方程（5-2）由（5-5）由等效應力和等效應變的關(guān)系：或可得：（5-8）當應力從加載面（后繼屈服面）卸載時，應力和應變的全量不滿足廣義Hooke定律，但它們的增量仍滿足廣義Hooke定律。（5-9）Mises屈服條件的物理解釋中將彈性應變能分解為體積應變能和形狀改變比能。這里，由彈性本構(gòu)關(guān)系將三者表示為：§5.2Drucker公設兩類力學量外變量：能直接從外部可以觀測得到的量。如總應變，應力等。內(nèi)變量：不能直接從外部觀測的量。如塑性應變，塑性功等。內(nèi)變量只能根據(jù)一定的假設計算出來。關(guān)于塑性應變和塑性功的假設：1、材料的塑性行為與時間，溫度無關(guān)。2、應變可分解為彈性應變和塑性應變。3、材料的彈性變形規(guī)律不因塑性變形而改變。根據(jù)以上假設，內(nèi)變量可以由外變量表示出來。對于各向同性材料：（5-12）這樣，內(nèi)變量也可以由外變量表示出來。將總功分解為彈性功和塑性功。對于各向同性材料：（5-13）（5-14）Drucker公設:對于處于在某一狀態(tài)下的材料質(zhì)點（或試件），借助一個外部作用，在其原有的應力狀態(tài)之上，緩慢地施加并卸除一組附加應力，在這附加應力的施加和卸除的循環(huán)內(nèi)，外部作用所做的功是非負的。單元體在應力狀態(tài)下處于平衡。在單元體上施加一附加力，使應力達到，剛好在加載面上，即開始發(fā)生塑性變形。繼續(xù)加載至，在這期間，將產(chǎn)生塑性應變。最后，將應力又卸回到。完成應力循環(huán)。應力循環(huán)的過程：圖5-1以表示應力循環(huán)過程中任一時刻的瞬時應力狀態(tài)。按Drucker公設，附加應力在應力循環(huán)中所作的功非負。（5-17）在應力循環(huán)中，應力在彈性應變上的功為0，即（5-18）故（5-17）式寫成（5-19）在整個應力循環(huán)中，只在應力從到的過程中產(chǎn)生塑性應變。當為小量時，上述積分變?yōu)椋海?-20）這就是圖5-1所示的陰影部分面積。兩個重要的不等式：當處于加載面的內(nèi)部，即，由于是高階小量，則（5-20）當正處于加載面上，即，則（5-21）由此可對屈服面形狀與塑性應變增量的特性導出兩個重要的結(jié)論。1、屈服曲面的外凸性。2、塑性應變增量向量與加載面的外法線方向一致——正交性法則。

當處于加載面上，Drucker公設導致的（5-21）通常叫作Drucker穩(wěn)定性條件。1、屈服曲面的外凸性。oA0AoA0A圖中，A0和A分別表示應力狀態(tài)和。向量代表。用表示。則（5-20）為（5-22）可見，應力增量向量與塑性應變增量向量之間的夾角必須小于900屈服曲面必須是凸的。如果屈服面是凹的，則5-22式不滿足。2、塑性應變增量向量與加載面的外法線方向一致——正交性法則。A0Ann——加載面在A點的外法向。如果與n不重合，則總可以找到A0，使5-22式不成立。因此，必須與加載面的外法線重合。的外法線方向即其梯度方向?？杀硎緸椋海?-23）§5.3加載、卸載準則Drucker穩(wěn)定性條件：由于與外法線n同向，上式改寫成：只有當應力增量指向加載面外部時，材料才能產(chǎn)生塑性變形。（5-25）（5-26）判斷能否產(chǎn)生新的塑性變形，需判斷：（1）是否在上。（2）是否指向的外部。加卸載準則加載：指材料產(chǎn)生新的塑性變形的應力改變。卸載：指材料產(chǎn)生從塑性狀態(tài)回到彈性狀態(tài)的應力改變。、理想材料的加卸載準則

理想材料的加載面與初始屈服面是一樣的。由于屈服面不能擴大，所以當應力點達到屈服面上，應力增量不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切線。n加載卸載nlnm加載加載卸載對于Tresca屈服面：加載卸載第6章塑性力學簡單的彈塑性問題ChinaUNIVERSITYofMining&Technology第六章簡單的彈塑性問題§6.1彈塑性邊值問題的提法§6.2薄壁筒的拉扭聯(lián)合變形§6.5柱體的彈塑性自由扭轉(zhuǎn)§6.6受內(nèi)壓的厚壁圓筒§6.7旋轉(zhuǎn)圓盤塑性力學§6.1彈塑性邊值問題的提法一、彈塑性全量理論邊值問題i)

在V內(nèi)的平衡方程:ii)

在V內(nèi)幾何關(guān)系（應變-位移關(guān)系）:iii)

在V內(nèi)全量本構(gòu)關(guān)系:(6-3)邊界Su上給定位移，要求應力，應變，位移，它們滿足設在物體V內(nèi)給定體力，在應力邊界ST上給定面力Ti，在位移以下方程和邊條件：v)

在上位移邊界條件：二、彈塑性增量理論的邊值問題i)

在V內(nèi)的平衡方程其中是外法線的單位向量；由此可見，彈塑性邊值問題的全量理論提法同彈性邊值問題的提法基本相同，不同僅在于引入了非線性的應力-應變關(guān)系（6-3）式。iv)

在上的應力邊界條件:ii)

在V內(nèi)的幾何關(guān)系（應變位移的增量關(guān)系）：iii)

在V內(nèi)的增量本構(gòu)關(guān)系：彈性區(qū)：塑性區(qū)：（6-9）(a)

對于理想塑性材料，屈服函數(shù)為，則彈性區(qū)：塑性區(qū)：（6-10）（b）對于等向強化材料，后繼屈服函數(shù)為，則iv）在ST

上的應力邊界條件：v）在Su上的位移邊界條件：vi）彈塑性交界處的連接條件：如果交界面的法向為ni，則在上有：(a)法向位移連續(xù)條件(b)應力連續(xù)條件上標（E）和（P）分別表示彈性區(qū)和塑性區(qū)?！?.2

薄壁筒的拉扭聯(lián)合變形考察薄壁圓筒承受拉力P

和扭矩T

聯(lián)合作用的彈塑性變形問題。采用圓柱坐標，取z

軸與筒軸重合。設壁厚為h

，筒的內(nèi)外平均半徑為R

，則筒內(nèi)應力為：

其余應力分量均為0。因此，不但應力狀態(tài)是均勻的，而且每一種外載（拉、扭）只與一個應力分量有關(guān)，調(diào)整P

和T

之間的比值，即可得到應力分量間的不同比例。假設材料是不可壓縮的（v=1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下無量綱量：在彈性階段，無量綱化的Hooke定律給出(6-16)進入塑性以后，Mises屈服條件：可化為：下面按增量理論和全量理論求解這個問題，比較兩種結(jié)果的異同。對理想彈塑性材料，增量本構(gòu)方程是Prandtl-Reuses關(guān)系，于是：無量綱化后得到：消去得：一、按增量理論求解(6-19)(6-20)由（6-18）式知故從（6-21）式中消去和，就有：同樣地，如果已知某時刻的初始狀態(tài)（應力狀態(tài)和應變狀態(tài)）及從該時刻起的變形路徑則積分（6-22）或（6-23）式就可得到關(guān)系或關(guān)系。保持常數(shù)的階段ab

上，設在a點有由于在ab上例如對于實驗中經(jīng)常采用的階梯變形路徑（圖6-1），考慮方程（6-22）變?yōu)椋簣D6-1積分并利用a點的已知條件，得出：類似地，對于階段bc

,二、按全量理論求解由于假設了材料不可壓，由（5-63）式化后得應力-應變關(guān)系為將(6-26)式按(6-16)式無量綱在本問題中用分量寫出來就是：，故在圖6-2中，有三條不同的加載路徑從原點O到達點C在彈性范圍內(nèi)，，屈服條件（6-18）在應變空間中寫出就是?？梢妶D中的陰影區(qū)域是彈性范圍。路徑①沿OBC。在B點有在BC段上有解出在C點類似地，對路徑②，即階梯變形路徑OAC可求得三、算例和比較（1）用增量理論求解OCABD①②③剛到達屈服，同時滿足由此得出在D點時的應力為：不難證明沿

DC

段皆有，即應力值不變，在C點也就仍為（2）用全量理論求解代入（6-27）式得出亦即C點的應變i）由于加載路徑不同，雖然最終變形一樣，但最終應力卻不同；ii）只有在比例加載的條件下，增量理論和全量理論的結(jié)果才一致。

由以上的結(jié)果可知：路徑③是比例加載路徑ODC，其上。在到達D點時，

實驗觀察證實，在塑性狀態(tài)下仍可采取材料力學和彈性力學中關(guān)于扭轉(zhuǎn)的假定，即柱體在彈塑性自由扭轉(zhuǎn)狀態(tài)下，截面只在自身平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，但可以發(fā)生軸向自由翹曲。§6.5柱體的彈塑性自由扭轉(zhuǎn)

考慮任意截面形狀的長柱體，在扭轉(zhuǎn)力矩T作用下的自由扭轉(zhuǎn)問題。以表示柱體單位長度的扭轉(zhuǎn)角，則小變形時的位移分量為從小應變下的Cauchy公式得出應變?yōu)椋阂?、研究范圍和基本方?6-84)其中是截面的翹曲函數(shù)假定截面是單連通的，取柱體的軸線為

z

軸。此式與材料的本構(gòu)關(guān)系無關(guān)，不論是彈性還是塑性時都成立。在進入塑性之后，恒有按照增量本構(gòu)關(guān)系，從剛進入塑性開始，可以推知進而在變形的一切階段均有(6-85)(6-86)在彈性時按Hooke定律求得：

即在塑性階段不為零的應力分量仍只有其中為合剪應力?？梢?，在扭轉(zhuǎn)時柱體各點的應力狀態(tài)始終是純剪切，這是一個簡單加載過程。且主應力為：二、彈性扭轉(zhuǎn)和薄膜比擬或由（6-86）式得到的應力分量表示的協(xié)調(diào)方程同時，只有一個平衡方程從（6-85）式中消去翹曲函數(shù)，得協(xié)調(diào)方程因此，可以引進彈性應力函數(shù)，使有則平衡方程自動滿足，而協(xié)調(diào)方程（6-90）化為在彈性力學中，研究了和Poisson方程（6-93）并導致以下結(jié)論)合剪應力大?。篿ii）柱體截面的周界也是

=const曲線族之一，對單連通截面可令周界上iv）扭矩T與的關(guān)系可按St.Venant

條件求得：ii）合剪應力的方向沿=const曲線的切向，也就是與的梯度方向相垂直。其中A為柱體的一個截面。v）Prandtl薄膜比擬：將薄膜張于與柱體截面邊界形狀相同的邊框上，加均勻壓力，則與薄膜的高度成正比，的大小與薄膜的斜率成正比，扭矩T與薄膜曲面下的體積成正比。達到，就算達到了彈性極限狀態(tài)，相應的截面上有一點的扭矩為彈性極限扭矩。以半徑為

a

的圓柱體為例，帶入方程（6-93）得于是在截面邊緣上最大令處導出

在塑性階段，平衡方程（6-91）不變，并仍可由引入應力函數(shù)來滿足，此時

三、全塑性扭轉(zhuǎn)和沙堆比擬當材料進入塑性時，因此，按彈性考慮，只要

這樣，只從平衡方程、屈服條件和應力邊條件就能夠求出理想塑性體內(nèi)的應力分布。這種情況叫做塑性力學中的靜定問題。則或即對于理想塑性材料，是常數(shù)，（6-99）式說明在截面上保持斜率不變。由此，Nadai提出下述沙堆比擬：將一個水平的底面做成截面的形狀，在其上堆放干沙，由于沙堆的靜止摩擦角為常數(shù)，則沙將形成一個斜率為常數(shù)的表面。因此，這表面可用來代表塑性應力函數(shù)，只相差一個可由屈服應力和沙堆摩擦角決定的比例因子。就是截面的塑性極限扭矩。這時，我們不用（也不再有）應力協(xié)調(diào)方程，而代之以屈服條件

仍以半徑為a的圓柱體為例，它處于全塑性扭轉(zhuǎn)狀態(tài)時，，按（6-100）式求出高度就應為表面必然是一個圓錐，既然斜率是與（6-96）式相比可知對圓柱體

沙堆比擬的思想，不僅可直接應用于實驗，也可用來指導計算三角形、矩形、任意正多角形等規(guī)則截面的柱體的塑性極限扭矩，因為這只需計算某些等斜“屋頂”下的體積。剪應力方向平行于邊界，大小為。同時我們也看到，一般來說，在截面內(nèi)部，沙堆會出現(xiàn)尖頂和棱線，在這些點和線的兩側(cè)剪應力不連續(xù)。從沙堆比擬中看出，沙堆的梯度垂直于邊界，等線平行于邊界，每點的合它們是彈性區(qū)域收縮時的極限。當彈性區(qū)域收縮時，從不同方向擴展過來的兩個塑性區(qū)域相遇，因此會造成剪應力間斷。

如果截面邊界上有凸角（如三角形截面和矩形截面的頂點），從彈性力學知道，在凸角處剪應力等于零，因而盡管T增大，這里始終處于彈性階段。所以，作為彈性區(qū)域收縮極限的剪應力間斷線必定通過這樣的凸角。反之，如果截面邊界上有凹角，從彈性力學知道，這里剪應力無限大，因而一開始就進入塑性階段，棱線就一定不經(jīng)過這里。四、彈塑性扭轉(zhuǎn)和薄膜-玻璃蓋比擬當時，柱體的截面上會存在一部分彈性區(qū)、一部分塑性區(qū)，的模為常數(shù)）。因此，提出的數(shù)學問題如下：（這是由于應力分量在上應該連續(xù)）。的性質(zhì)（滿足Poisson方程）和的性質(zhì)（梯度其上應力函數(shù)分別具有，在彈性區(qū)內(nèi)滿足方程（6-93），在塑性區(qū)內(nèi)滿足（6-99），尋求應力函數(shù)，在彈塑性區(qū)域交界線在截面邊界上都要連續(xù)Nadai指出，彈塑性交界線可以聯(lián)合應用薄膜比擬和沙堆比擬來求解。在一塊水平平板上，挖一個具有截面形狀的孔，復蓋以薄膜。在薄膜的上面，放上一個按沙堆比擬形狀作成的等傾玻璃蓋。a)如若壓力較小時，薄膜的變形不受“屋蓋”的影響，這是彈性扭轉(zhuǎn)的情況。b)隨著壓力的增加，薄膜逐漸貼到屋蓋上，貼附的區(qū)域就是塑性區(qū)域。此時，在貼附區(qū)域以外的自由薄膜仍滿足Poisson方程，所以仍是彈性區(qū)。由此可以確定彈塑性交界線的形狀。在圓截面情形，由于對稱性，可設的一個圓。在彈性區(qū)：有

右圖顯示了矩形截面柱體在彈塑性扭轉(zhuǎn)是線的變化，其中黃線以外是塑性區(qū)域。從實驗中可以看出，對一般截面的柱體，線的變化是非常復雜的。在分析計算時通常只能采用數(shù)值計算方法一步一步地將近似求出。c)最后薄膜將全部貼附在玻璃蓋上，彈性區(qū)域退化為棱線。在塑性區(qū)：由處的剪應力連續(xù)，要求由此定出彈塑性交界線的半徑為則對有(6-106)(6-105)(6-108)(6-107)彈塑性邊界隨扭矩變化的規(guī)律：或即彈塑性扭轉(zhuǎn)后的卸載也相當于在反方向作用一個等值的彈性扭矩。仍以圓柱體扭轉(zhuǎn)為例，加載時的扭轉(zhuǎn)角可由（6-107）式求出為而卸載時的回彈角是因此，單位長度的殘余扭轉(zhuǎn)角為也可寫出回彈比與所加扭矩的關(guān)系為五、卸載、回彈和殘余應力(6-109)(6-110)(6-111)(6-112)其中卸載后的殘余應力分布可計算出為:其分布下圖所示。(6-113)T加載卸載殘余應力該問題可簡化為平面應變問題，采用柱坐標(r,θ,z),則：在軸對稱條件下：應力邊界條件為:而筒兩端的端面條件：§6.6受內(nèi)壓的厚壁圓筒這里P是端面的軸向拉力。一、研究對象和基本方程考慮一個內(nèi)徑為

a，外徑為b的長圓柱厚壁筒在均勻內(nèi)壓

p作用下的彈塑性變形。上式中u為徑向位移。幾何關(guān)系平衡方程在彈性范圍內(nèi)，本構(gòu)關(guān)系上Hooke定律:二、彈性解(6-123)（6-119）至（6-123）式構(gòu)成厚壁筒的彈性問題，其解為：(6-124)其中現(xiàn)在討論在什么條件下是中間主應力。由于可知若要是中間主應力，以下條件應成立：或即如果圓筒兩端是自由的，則；如果圓筒兩端是封閉的，則可見這兩種情況都符合（6-126）條件，能保證是中間主應力。采用Tresca屈服條件。當r=a

時屈服：即屈服將首先發(fā)生在內(nèi)壁，此時(6-126)(6-125)相應的內(nèi)壓即為厚壁筒的彈性極限壓力

b）當彈性無限空間內(nèi)的圓柱形孔洞受到內(nèi)壓作用時（例如對于有壓隧洞），其內(nèi)表面開始屈服時的壓力值只與周圍的材料的性質(zhì)有關(guān)，而與孔洞的半徑無關(guān)。說明：a)若在彈性范圍內(nèi)設計,對給定的a值,要提高筒所能承受的內(nèi)壓,就必須增加壁厚,但pe的值不可能超過。在設計高壓圓筒（如炮管）時應采取其他措施（如下面將要介紹的經(jīng)過局部塑性變形使之產(chǎn)生有利的殘余應力，以及裝配有預應力的套筒等）來加以增強。(6-127)當時，筒的內(nèi)壁首先屈服。當時，塑性區(qū)便由r=a逐漸向外擴張。設彈性區(qū)和塑性區(qū)的交界處r=c，下面分別對彈性區(qū)和塑性進行計算。（1）彈性區(qū)三、彈塑性解（理想塑性材料）得出應力分布為(6-129)將內(nèi)層塑性區(qū)對外層彈性區(qū)的壓應力看作作用于內(nèi)徑為c外徑為b的彈性圓筒上的內(nèi)壓力。利用彈性解的結(jié)果：在r=c處，材料剛達到屈服，對外層彈性筒來說，(6-127)中的應為。(6-124)中的應寫成進而根據(jù)彈性區(qū)的本構(gòu)方程求出（2）塑性區(qū)平衡方程為同時，仍假定為中間主應力，采用Tresca屈服條件：將（6-132）代入（6-131）式得積分一次，并利用邊界條件定常數(shù)，則(6-130)(6-131)(6-132)可見塑性區(qū)內(nèi)的應力只與厚壁筒內(nèi)表面的邊界條件有關(guān)，而與彈性區(qū)的應力場無關(guān)。從而確定c

與p

的關(guān)系:（3）彈塑性邊界的確定)應滿足的連續(xù)條件，即根據(jù)彈塑性區(qū)交界處((6-133)(6-133)將（6-134）式代回（6-133）式得出當c=b時，塑性區(qū)擴展到整個圓筒，對應的外載

p為厚壁筒的塑性極限壓力:塑性極限壓力卻是無限的，即時在塑性極限狀態(tài)下，周向應力的最大值發(fā)生在筒外壁，它恰等于(6-135)可見，彈性極限壓力是有限的，即時（4）塑性極限狀態(tài)(5)塑性區(qū)內(nèi)的位移和應力厚壁筒塑性區(qū)應力所在的屈服面是即這說明，在全部筒壁內(nèi)即必是彈性的，且為常數(shù)。在塑性區(qū)內(nèi)求和是靜定問題，但是要求和，就必須用到本構(gòu)關(guān)系。于是，相關(guān)連的流動法則給出范圍內(nèi)于是在下面用與Tresca屈服條件相關(guān)連的流動法則來解和現(xiàn)在端面條件（6-122）可以寫成將（6-130）和（6-137）給出的和代入得到

開口圓筒ii.封閉圓筒，iii.無窮長圓筒，即平面應變情形，此式與彈性解完全相同。這說明在完全卸去外載P

和p時，軸向殘余應變必為零。于是于是于是之一。例如：，根據(jù)圓筒的端面條件，總可確定其中和（6-138）式中有三個參量：不難驗證，當確是中間主應力。故有積分得出其中常數(shù)C1可由r=c處的位移連續(xù)條件定出為求位移時利用體積變化的彈性公式計算比較方便，即可見剛達到PS時，筒的變形相對筒本身的幾何尺寸還是小的其中設厚壁筒內(nèi)壓力增加到后實行完全卸載，卸載應力可按彈性解計算，即四、卸載和殘余應力(6-141)例如，取則在筒內(nèi)壁(6-142)殘余應力分布在上式中p*與c間的關(guān)系由（6-134）式確定，即上面計算殘余應力的公式，只有在完全卸去載荷后，筒內(nèi)處處都不在相反方向發(fā)生塑性變形時才有效。下面來計算保證完全卸載后不出現(xiàn)反號塑料性變形條件下的最大內(nèi)壓為了不發(fā)生反向屈服，要求(6-144)其最大值在內(nèi)壁處，等于于是，從（6-143）式得到(6-143)可見，對一個反復受內(nèi)壓作用的圓筒來說，當則完全卸載后不會在相反方向引起新的塑性變形。解出但卸載時會發(fā)生反向屈服，在反復加載（如炮筒反復承受發(fā)射炮彈時的高壓）的條件下筒就會發(fā)生塑性循環(huán)（低周疲勞）破壞。因此，采用大于2.22的b/a值實際意義不大。這時可以把工作內(nèi)壓p提高到之上而筒仍處于約束塑性狀態(tài)，另一方面，內(nèi)壓值

又不能大于塑料性極限壓力ps。令：——安定狀態(tài)假設材料不可壓，即變形前后體積不變的條件可寫成從而得出這說明，當計及幾何尺寸改變時，由理想塑性材料制成的厚壁筒承受內(nèi)壓的塑性極限狀態(tài)是不穩(wěn)定的。五、幾何變形對承載能力的影響當筒壁很厚時，徑向位移可能很大，以致不能忽略幾何尺寸的影響。設變形后的內(nèi)、外半徑分別