材料力學(xué)之軸向拉伸與壓縮講義

軸向拉伸與壓縮

【內(nèi)容提要】

材料力學(xué)主要研究構(gòu)件在外力作用下的變形、受力與破壞、失效的規(guī)律。為設(shè)計(jì)既安全

可靠又經(jīng)濟(jì)合理的構(gòu)件，提供有關(guān)強(qiáng)度、剛度與穩(wěn)定性分析的基本理論與方法。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn)考察基本概念，掌握截面法求軸力、作軸力圖的方法，截面上應(yīng)力的計(jì)算。

【內(nèi)容講解】

一、基本概念

強(qiáng)度一一構(gòu)件在外力作用下，抵抗破壞的能力，以俁證在規(guī)定的使用條件不，不會(huì)發(fā)生

意外的斷裂或顯著塑性變形。

剛度一一構(gòu)件在外力作用下，抵抗變形的能力，以俁證在規(guī)定的使用條件入不會(huì)產(chǎn)生過(guò)

分的變形。

穩(wěn)定性一一構(gòu)件在外力作用下，保持原有平衡形式的能力，以保證在規(guī)定的使用條件下,

不會(huì)產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象。

桿件-----個(gè)方向的尺寸遠(yuǎn)大于其它兩個(gè)方向的尺寸的構(gòu)件，稱為桿件或簡(jiǎn)稱桿。

根據(jù)軸線與橫截面的特征，桿件可分為直桿與曲桿，等截面桿與變截面桿。

二、材料力學(xué)的基本假設(shè)

工程實(shí)際中的構(gòu)件所用的材料多種多樣，為便于理論分析，根據(jù)它們的主要性質(zhì)對(duì)其作

如下假設(shè)。

（一）連續(xù)性假設(shè)一一假設(shè)在構(gòu)件所占有的空間內(nèi)均毫無(wú)空隙地充滿了物質(zhì)，即認(rèn)為是密

實(shí)的。這樣，構(gòu)件內(nèi)的一些幾何量，力學(xué)量（如應(yīng)力、位移）均可用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)表示,

并可采用無(wú)限小的數(shù)學(xué)分析方法。

（二）均勻性假設(shè)一一很設(shè)材料的力學(xué)性能與其在構(gòu)件中的位置無(wú)關(guān)。按此假設(shè)通過(guò)試樣

所測(cè)得的材料性能，可用于構(gòu)件內(nèi)的任何部位（包括單元體）O

（三）各向同性假設(shè)一一沿各個(gè)方向均具有相同力學(xué)性能。具有該性質(zhì)的材料，稱為各向

同性材料。

綜上所述，在材料力學(xué)中，一般將實(shí)際材料構(gòu)件，看作是連續(xù)、均勻和各向同性的可變

形固體。

三、外力內(nèi)力與截面法

（一）外力對(duì)于所研究的對(duì)象來(lái)說(shuō)，其它構(gòu)件和物體作用于其上的力均為外力，例如載荷

與約束力。

外力可分為：表面力與體積力；分布力與集中力；靜載荷與動(dòng)載荷等。

當(dāng)構(gòu)件（桿件）承受一般載荷作用時(shí).，可將載荷向三個(gè)坐標(biāo)平面（三個(gè)平面均通過(guò)桿的軸線,

其中兩個(gè)平面為形心主慣性平面）內(nèi)分解，使之變?yōu)閮蓚€(gè)平面載荷和一個(gè)扭轉(zhuǎn)力偶作用情

況。在小變形的情況下，三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的力互相獨(dú)立，即一個(gè)坐標(biāo)平面的載荷只引起

這一坐標(biāo)平面內(nèi)的內(nèi)力分量，而不會(huì)引起另一坐標(biāo)平面內(nèi)的內(nèi)力分量。此即小變形條件

的疊加法。

（二）內(nèi)力與截面法

內(nèi)力在外力作用下，構(gòu)件發(fā)生變形，同時(shí)，構(gòu)件內(nèi)部相連各部分之間產(chǎn)生相互作用力，

由于外力作用，構(gòu)件內(nèi)部相連兩部分之間的相互作用力，稱為內(nèi)力。

截面法將構(gòu)件假想地截（切）開(kāi)以顯示內(nèi)力，并由平衡條件建立內(nèi)力與部分外力間的關(guān)系

或由部分外力確定內(nèi)力的方法，稱為截面法。

由連續(xù)性假設(shè)可知，內(nèi)力是作用在切開(kāi)面截面上的連續(xù)分布力。稱連續(xù)分布內(nèi)力。將連

續(xù)分布內(nèi)力向橫截面的形心C簡(jiǎn)化，得主矢與主矩。為了分析內(nèi)力，沿截面軸線建立軸，

在所切橫截面內(nèi)建立軸和軸，并將主矢與主矩沿X、y、z三軸分解，得內(nèi)力分量，以

及內(nèi)力偶矩分量。這些內(nèi)力及內(nèi)力偶矩分量與作用在保留桿段上的部分外力，形成平衡

力系，并由相應(yīng)的平衡方程，建立內(nèi)力與部分外力間的關(guān)系，或由部分外力確定內(nèi)力。

內(nèi)力分量及內(nèi)力偶矩分量，統(tǒng)稱為內(nèi)力分量。

（三）應(yīng)力正應(yīng)力與剪應(yīng)力

為了描述內(nèi)力的分布情況，引入內(nèi)力分布集度即應(yīng)力的概念。平均應(yīng)力在截面m—m上任

一點(diǎn)K的周圍取一微面枳AA,設(shè)作用于該面枳上的內(nèi)力為△「，則AA內(nèi)的平均應(yīng)力：

單元體（微體）圍繞某點(diǎn)（如K）.切取一無(wú)限小的六面體，稱為單元體（或微體）。為全面研

究一點(diǎn)處在不同方位的截面上的應(yīng)力（稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)）而切取的研究對(duì)象之一。

四、軸向拉伸與壓縮的力學(xué)模型

軸向拉伸與壓縮是桿件受力或變形的一種最基本的形式。

受力特征作用于等直桿兩端的外力或其合力的作用線沿桿件的軸線，一對(duì)大小相等、

矢向相反。

變形特征受力后桿件沿其軸向方向均勻伸長(zhǎng)（縮短）即桿件任意兩橫截面沿桿件軸

向方向產(chǎn)生相對(duì)的平行移動(dòng)。

拉壓桿以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿或軸向受力桿。作用線沿桿件軸向

的載荷，稱為軸向載荷

五、軸力軸力圖

（-）軸力

拉壓桿橫截面上的內(nèi)力，其作用線必是與桿軸重合，稱為軸入，用N_表示。是拉壓桿橫

截面上唯一的內(nèi)力分量。

軸力N符號(hào)規(guī)定拉力為正，壓力為負(fù)。

根據(jù)截面法和軸力N正負(fù)號(hào)規(guī)定，可得計(jì)算拉壓桿軸力N的法則：橫截面上的軸力N,在

數(shù)值上等于該截面的左側(cè)（或右側(cè)）桿上所有軸向外力的代數(shù)和。

無(wú)論左側(cè)或右側(cè)桿上，方向背離截面的軸向外力均取正值：反之則取負(fù)值。

（二）軸力圖

表示沿桿件軸向各橫截面上軸力變化規(guī)律的圖線。稱為軸力圖或N圖。以x軸為橫坐標(biāo)

平行于桿軸線，表不橫截面位置，以N軸為縱坐標(biāo)，表不相應(yīng)截面上的軸力值。

六、拉壓桿橫截上、斜截面上的應(yīng)力

（-）拉壓桿橫截上的應(yīng)力

（二）拉壓桿斜截面上的應(yīng)力

由拉壓桿橫截面上的應(yīng)力均勻分布，可推斷斜截面上的應(yīng)力，也為均勻分布，且其方向

必與桿軸平行。

斜截面上

剪應(yīng)力符號(hào)規(guī)定：將截面外法線，沿順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)90°,與諦方向同向的剪應(yīng)力為正。

七、材料拉壓時(shí)力學(xué)性能強(qiáng)度條件

㈠破壞（失效）許用應(yīng)力

由于脆性材料均勻性較差，且斷裂又是突然發(fā)生的，其達(dá)到極限應(yīng)力時(shí)的危險(xiǎn)性要比塑

性材料大的多，因此，在普通荷載作用下，比大，一般取=1.5-2.0；對(duì)脆性材料規(guī)

定取二2.5?3.0,甚至更大。

㈡強(qiáng)度條件

利用上述條件，可解決以下三類問(wèn)題。

1.校核強(qiáng)度—

當(dāng)已知拉壓桿所受外力，截面尺寸和許用應(yīng)力，通過(guò)比較工作應(yīng)力與許用應(yīng)力大小，以

判斷該桿在所受外力作用下能否安全工作。

2.選擇截面尺寸

若已知拉壓桿所受外力和許用應(yīng)力，由強(qiáng)度條件確定該桿所需截面面積。對(duì)于等截面拉

壓桿，其所需橫截面面積為

3.確定承載能力

若己知拉壓桿截面尺寸和許用應(yīng)力，由強(qiáng)度條件可以確定該桿所能承受的最大軸力,

其值為

八、軸向拉壓變形軸向拉壓應(yīng)變能

當(dāng)桿件承受軸向載荷后，其軸向與橫向尺寸均發(fā)生變化，桿件沿軸向方向的變形稱為軸

向變形或縱向變形；垂直于軸向方向的變形稱為橫向變形。與此同時(shí)，桿件因變形而貯

存的能量，稱為應(yīng)變能。

（一）軸向變形與胡克定律

試驗(yàn)表明：軸向拉伸時(shí)，軸向伸長(zhǎng)，橫向尺寸減?。惠S向壓縮時(shí)，軸向縮短，橫向尺寸

增大，即橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)變恒為異號(hào)。且在比例極限內(nèi)，橫向線應(yīng)變與軸向線應(yīng)

變成正比。比例系數(shù)用表示，稱為泊松比。它是一個(gè)常數(shù)，其值隨材料而異，由試驗(yàn)測(cè)

定O

材料的彈性模量E、泊松比V與剪變模量G之間存在如下關(guān)系:

當(dāng)已知任意兩個(gè)彈性常數(shù)，即可由上式確定第三個(gè)彈性常數(shù)，可見(jiàn)各向同性材料只有兩

個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。

(三)軸向拉壓應(yīng)變能

應(yīng)變能在外力作用卜，桿件發(fā)生變形，力在相應(yīng)的位移上作功，同時(shí)在村內(nèi)貯存的能量

稱為應(yīng)變能。用W表示外力功，用U表示相應(yīng)應(yīng)變能。在線彈性范圍內(nèi)，在靜載荷作用

下，桿內(nèi)應(yīng)變能等于外力功

軸向拉壓應(yīng)變能：

【例題1】等直桿承受軸向載荷如圖，其相應(yīng)軸力圖為()。

A.(A)B.(B)C.(C)D.(D)

答案:A

3_P

"/

【例題72】播散面面枳為的9等直桿，承受軸向款荷H絕對(duì)值最大的正應(yīng)力心為（）,

"

T

A*

T

B

CD.X

:

答B(yǎng)

【例題3】剛度為E@等直桿，承受軸向載荷,位于桿內(nèi)K點(diǎn)的軸向位移＜5*為（）.

△

3Pa

A.-------

EA

4.5Pa

B----------

EA

9Pa

c.-------

EA

75Pa

D----------

EA

例國(guó)圖例題3圖

【網(wǎng)電。橫藏而為正方花的木桿，彈性模及長(zhǎng)二[xlO，Mn,箴面邊長(zhǎng)qom,桿長(zhǎng)3/=150m,中長(zhǎng)開(kāi)一長(zhǎng)為/,寬為士的

2

糟，桿的左端固定住力如圖所示）.則各后軸力的大小美系正確的是（）

A.N>N.>y.

B.N:N?N.

c.N=N?>N.

DN=N、>NQ

答案：c

【例題5]在相距2m的AB兩點(diǎn)之間，水平地懸掛一根直徑d=lmm的鋼型在中點(diǎn)C逐漸增

加荷載P。設(shè)鋼絲在斷裂前服從虎克定律，E=2x105MPa,在伸長(zhǎng)率達(dá)到0.5%時(shí)拉斷，則

斷裂時(shí)鋼絲內(nèi)的應(yīng)力和C點(diǎn)的位移分別為（）

A.26.5

B.51

C.63.6

D.47.1

答案:B

【例題7】如圖所示彈性平板上有兩條平行，且與水平線夾角為a的綱直線，而和cd,當(dāng)

平板兩端作用均布拉皮力。，平板受光后，它們的美系為（）.

▲.abffcd?a角混小

B.abHcd,a角電大

c.abftcd?a角不變

D.不平行于cd

答案人

【例題8】低碳鋼拉伸經(jīng)過(guò)冷作硬化后，以下四種指標(biāo)中得到提高為在（）。

A.強(qiáng)度極限

B.比例極限

C.斷面收縮率

D.伸長(zhǎng)率（延伸率）

答案:B

【例題