材料力學公式總結(jié)

材料力學重點及其公式

材料力學的任務〔1〕強度要求；〔2〕剛度要求；〔3〕穩(wěn)定性要求。

變形固體的根本假設［1）連續(xù)性假設；〔2〕均勻性假設；［3［各向同性假設；〔4〕小變形假設。

外力分類：外表力、體積力；靜載荷、動載荷。

內(nèi)力：構(gòu)件在外力的作用下，內(nèi)部相互作用力的變化量，即構(gòu)件內(nèi)部各局部之間的因外力作用而引起的

附加相互作用力

截面法：〔1〕欲求構(gòu)件某一截面上的內(nèi)力時，可沿該截面把構(gòu)件切開成兩局部，棄去任一局部，保存另

一局部研究［2）在保存局部的截面上加上內(nèi)力，以代替棄去局部對保存局部的作用?！?〕根據(jù)平衡條

件，列平衡方程，求解截面上和內(nèi)力。

應力：P=lim"=更正應力、切應力。變形與應變：線應變、切應變。

桿件變形的根本形式〔1）拉伸或壓縮；〔2〕剪切；〔3〕扭轉(zhuǎn)；〔4〕彎曲；〔5〕組合變形。

靜載荷：載荷從零開始平緩地增加到最終值，然后不再變化的載荷。

動載荷：載荷和速度隨時間急劇變化的載荷為動載荷。

失效原因：脆性材料在其強度極限外破壞，塑性材料在其屈服極限久時失效。二者統(tǒng)稱為極限應力理

H=—M=—=MM

想情形。塑性材料、脆性材料的許用應力分別為：小,勺，，強度條件：

,等截面桿八

軸向拉伸或壓縮時的變形：桿件在軸向方向的伸長為：△/=《―/,沿軸線方向的應變和橫截面上的應

力分別為0=2=1橫向應變?yōu)椋骸?=華=竺心，橫向應變與軸向應變的關系為：

/AAhh

￡=-外。

胡克定律：當應力低于材料的比例極限時，應力與應變成正比，即。=氏，這就是胡克定律。E為彈

性模量。將應力與應變的表達式帶入得：△/=士NI

EA

靜不定：對于桿件的軸力，當未知力數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，僅利用靜力平衡方程無法解出全部未知

力。

圖軸扭轉(zhuǎn)時的應力變形幾何關系一圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設二0牛。物理關系——胡克定律

.Gyp=GpM力學關系7=]2金[4=]夕2G黑=92aA圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力：

TTT

rmax=—/?=—;圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件：rmax=^-<[r],可以進行強度校核、截面設計和確定許

可載荷。

圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形：（P=[看；等直桿：。二V

圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度條件：8'=半=/，d1ax二乒<切']

dxGlp.GIp

彎曲內(nèi)力與分布載荷q之間的微分關系/0=4。）；絲垃=以。；等華L/E）

axdxdx~dx

Q、M圖與外力間的關系

a）梁在某一段內(nèi)無載荷作用，剪力圖為一水平直線，彎矩圖為一斜直線。

b）梁在某一段內(nèi)作用均勻載荷，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線.

c）在梁的某一截面。絲3=Q（X）=0,剪力等于零,彎矩有一最大值或最小值。

dx

d]由集中力作用截面的左側(cè)和右側(cè)，剪力Q有一突然變化，彎矩圖的斜率也發(fā)生突然變化形成一個轉(zhuǎn)

折點。

梁的正應力和剪應力強度條件4皿=智V[M，"naxVH

W

提高彎曲強度的措施：梁的合理受力（降低最大彎矩Mma、，合理放置支座,合理布置載荷，合理設計截

面形狀

塑性材料：口』=k],上、下對稱，抗彎更好，抗扭差。脆性材料：口/V[5],采用T字型或上

下不對稱的工字型截面。

等強度梁：截面沿桿長變化，恰使每個截面上的正應力都等于許用應力，這樣的變截面梁稱為等強度梁

用疊加法求彎曲變形：當梁上有幾個載荷共同作用時，可以分別計算梁在每個載荷單獨作用時的變形，

然后進行疊加，即可求得梁在幾個載荷共同作用時的總變形。

簡單超靜定梁求解步驟：(1)判斷靜不定度；〔2〕建立根本系統(tǒng)〔解除靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)部和外部多余約

束后所得到的靜定結(jié)構(gòu)〕；(3)建立相當系統(tǒng)〔作用有原靜不定梁載荷與多余約束反力的根本系統(tǒng)〕；(4

〕求解靜不定問題。

二向應力狀態(tài)分析一解析法

(Tv+<7V(T,-crv

(1)任意斜截面上的應力baJ='o+ncos2dz-r人Jsin2a;

一巴

r=—-----sin2a+Tcosla

u2r)v

0m

[2]極值應力正應力：tg2a0=一一巴一,ax]二%±卜二%)2+蠟

%-巴bminj2V2

切應力：依"1=吃』，7T=±J

7mmJ'

〔3〕主應力所在的平面與剪應力極值所在的平面之間的關系

7T7T

。與四之間的關系為：2%=2%+^,%=%+(,即：最大和最小剪應力所在的平面與主平面的

乙I

夾角為45°

扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合[1)外力向柏牛截面形心簡化〔2〕畫內(nèi)力圖確定危險截面〔3)確定危險點并建立

強度條件

按第三強度理論,強度條件為：a,-%&口]或<[a],對于圓軸,叱=2W,其強度

條件為：人<團。按第四強度理論,強度條件為：

W

[(弓一6)2+(6-6)2+(a.-a,)2]<[cr],經(jīng)化簡得出：Ver2+3r2<[cr],對于圓軸,其強

JM-+0.7572

度條件為：-——"------W匕］0

歐拉公式適用范圍〔1〕大柔度壓桿〔歐拉公式〕：即當424,其中4=Jp時，b”攀［2

〕中等柔度壓桿〔經(jīng)驗公式〕：即當人工444，其中入二巴盧時，(rer=a-bA(3)小柔度壓桿

b

F

〔強度計算公式〕：即當4<%時，5丁=凌w巴。

21

壓桿的穩(wěn)定校核〔1)壓桿的許用壓力：［尸］=之，［p］為許可壓力，凡，為工作平安系數(shù)。⑵壓桿的

穩(wěn)定條件：夕工［同

提高壓桿穩(wěn)定性的措施：選擇合理的截面形狀，改變壓桿的約束條件，合理選擇材料

=9S49jw

外力偶*卜Li矩計算公式〔P功率，n轉(zhuǎn)速〕

d'M⑸M⑸*)

彎矩、剪力和荷載集度之間的關系式dx‘一1

軸向拉壓桿橫截面上正應力的計算公式4〔桿件橫截面軸力內(nèi)，橫截面面積2,拉應力為正)

朝向拉壓桿斜截面上的正應力與切應力計算公式〔夾角刁從￥軸正方向逆時針轉(zhuǎn)至外法線的方位角為

oa

3=P.crcDi2a=-(14-cos2a)q=pjina=crcoyina=—mla

縱向變形和橫向變形〔拉伸前試樣標距I,拉伸后試樣標距II；拉伸前試樣直徑d,拉伸后試樣直徑dl

j垃=h-IM=d、-d

AZ

縱向線應變和橫向線應變一了,一彳泊松比，=一位

&=需0=曲

胡克定律

受多個力作用的桿件縱向變形計算公式」，￡4

承受軸向分布力或變截面的桿件，縱向變形計算公式

軸向拉壓桿的強度計算公式

同=?■

許用應力n脆性材料q=5,塑性材料,=s

<5=土」x100%

延伸率/

~—xlOO%

截面收縮率A

剪切胡克定律〔切變模量G,切應變g}『二G，

拉壓彈性模量E、泊松比以和切變模量G之間關系式2(1+V)

j=也

圓截面對圓心的極慣性矩〔a)實心圓’32

如口=史(］々)

(b)空心圓3232

T

3Tp

圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點切應力計算公式〔扭矩T,所求點到圓心距離/-)4

TT

=—&n=---

圓截面周邊各點處最大切應力計算公式4%

扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)%-無，6)實心圓*一寸(b)空心圓啊-a*)

T

薄壁圓管〔壁厚Ro/10,Ro為圓管的平均半徑〕扭轉(zhuǎn)切應力計算公式2喝6

77

很二西

圓軸扭轉(zhuǎn)角7與扭矩7；桿長/、扭轉(zhuǎn)剛度GHp的關系式

8=

同一材料制成的圓軸各段內(nèi)的比矩不同或各段的直徑不同〔如階梯軸〕時或

|71

等直圓軸豌條件

塑性材料m=(°5~°句15；脆性材料m=3~1期【5

—=4⑸或⑼

扭轉(zhuǎn)圓軸的剛度條件

受內(nèi)壓圓筒形薄壁容器橫截面和縱截面上的應力計算公式4<5,16

aa-a.

a--K-------+---K------cos2a-r,iin2a

平面應力狀態(tài)下斜截面應力的一般公式22

名一巴

T=---i-iin2a-l-Tcoi2a

-2,r

平面應力狀態(tài)的三個主應力

tan2.=—

主平面方位的計算公式

面內(nèi)最大切應力

受扭圓軸外表某點的三個主應力0!=T,0]=0,5

三向應力狀態(tài)最大與最小正應方=5,4*=5

_q-巧

三向應力狀態(tài)最大切應力J-2

……士一小弓=口)-V(q+RI5二口［-儀5+卬1弓=曰5-W5+5)1

廣義胡克XE律匕匕匕

°n=5

%=q-M5+5)

(=1-5

4=出K5-5一+(5-引’+<%一聞”

四種強度理論的相當應力丫2

一種常見的應力狀態(tài)的強度條件%=J『+4'4同6"JJ+S?〈同

N4”

yc-------------Q=-----------

組合圖形的形心坐標計算公式

任意截面圖形對一點的極慣性矩與以該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和的關系式

截面圖形對軸z和軸y的慣性半徑

平行移軸公式〔形心軸式與平行軸zl的距離為a,圖形面積為A)14=兀+『'

純彎曲梁的正應力計算公式

橫力彎曲最大正應力計算公式

甲」眩正」七甲=可心=史

矩形、圓形、空心圓形的彎曲截面系數(shù)”一五2一6二x~642~32

x64232'"

幾種常見截面的最大彎曲切應力計算公式〔口2為中性軸一則的橫截面對中性軸z的靜矩，b為橫截

,一2

Txa>=

面在中性軸處的寬度〕.人

矩形截面梁最大彎曲切應力發(fā)生在中性軸處2bh2A

工字形截面梁腹板上的彎曲切應力近似公式

3勺

軋制工字鋼梁最大彎曲切應力計算公式/,S3)

4F,4死

圓形截面梁最大彎曲切應力發(fā)生在中性軸處3(2/4)3A

^**1=2

圓環(huán)形薄壁截面梁最大彎曲切應力發(fā)生在中性軸處2?

彎曲正應力強度條件/mu

幾種常見截面梁的彎曲切應力強度條件

彎曲梁危險點上既有正應力。又有切應力T作用時的強度條件“尸+4〃“1°1或

ati=+3/3=q

梁的撓曲線近似微分方程

峪肥=

梁的轉(zhuǎn)角方程公

梁的撓曲線方程T?！?…

軸向荷載與橫向均布荷載聯(lián)合作用時桿件截面底部邊緣和頂部邊緣處的正應力計算公式

4MI_fjL土A?！?/p>

聯(lián)廠下可

展］=土/土絲

偏心拉伸〔壓縮〕'匕

彎扭組合變形時圓截面桿按第三和第四強度理論建立的強度條件表達式