電路理論基礎(chǔ)（第三版） 課件 第2章 電阻電路的等效變換

第二章電阻電路的等效變換在電路分析中常采用一些等效變換,以達(dá)到簡化電路的目的。例如,將多個(gè)電阻的串聯(lián)或并聯(lián)等效成一個(gè)電阻就是一種常用的簡化手段。本章將先闡明等效變換的理論依據(jù),然后介紹電路分析中其他一些常用的等效變換方法。2.1等效二端網(wǎng)絡(luò)2.2電壓源、電流源串并聯(lián)電路的等效變換2.3實(shí)際電源的兩種模型及其等效變換2.4電阻星形連接與三角形連接的等效變換2.1等效二端網(wǎng)絡(luò)電路中的二端網(wǎng)絡(luò)又稱為單端口網(wǎng)絡(luò)或單口網(wǎng)絡(luò),它有兩個(gè)端與電路其他部(稱為外電路)相聯(lián),它與外電路相關(guān)聯(lián)的變量只有端口電流和端口電壓。在圖2-1中,N1就是一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)。注意,N1內(nèi)部與外電路內(nèi)部之間不能有控制和受控的關(guān)系,否則N1與外電路之間除了端口變量之外,還會(huì)有其他的關(guān)聯(lián),它就不是一個(gè)真正的二端網(wǎng)絡(luò)。因此,若N1中有受控源,則其控制量只能是N1內(nèi)部某支路的或端口的電流、電壓;而且,外電路中受控源的控制量也不能在N1內(nèi)部。圖211二端網(wǎng)絡(luò)2.1等效二端網(wǎng)絡(luò)若二端網(wǎng)絡(luò)由電阻、獨(dú)立源、受控源等元件構(gòu)成,不包含儲(chǔ)能元件,則稱為二端電阻網(wǎng)絡(luò)(本章簡稱二端網(wǎng)絡(luò))。從端口上看,可將二端網(wǎng)絡(luò)視為一條廣義支路,其特性由端口伏安關(guān)系所描述。二端網(wǎng)絡(luò)對外電路的影響取決于它的端口伏安特性。如果有兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)不同,但其端口伏安特性卻完全一樣,則從外電路的角度來看,這兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)的作用相同,它們是可以相互替代的。這就是等效變換的理論依據(jù)。端口伏安特性相同的二端網(wǎng)絡(luò)稱為等效二端網(wǎng)絡(luò)。電路中一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)被其等效網(wǎng)絡(luò)替換,稱為電路的一次等效變換。等效變換后電路其他部分的工作狀態(tài)不變。必須強(qiáng)調(diào),等效僅是對外電路(未變部分)和端口而言的,而被變換的二端網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部電流、電壓變量在變換前后已沒有對應(yīng)關(guān)系。在用等效變換法分析電路時(shí),要充分注意這一點(diǎn)。2.1等效二端網(wǎng)絡(luò)要證明兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)是等效的,只需證明它們的端口伏安特性相等即可。值得注意的是,由于端口伏安特性方程與所選電流和電壓的參考方向有關(guān),因此只有當(dāng)兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)的端口電流、電壓的參考方向?qū)?yīng)相同且方程相等時(shí),它們才是等效的。

列寫某二端網(wǎng)絡(luò)的端口伏安特性時(shí),首先應(yīng)將其從整個(gè)電路中分離出來,標(biāo)出端電流和端口電壓的參考方向,然后再求解。求解時(shí),在端電流和端口電壓這兩個(gè)變量中,假設(shè)一個(gè)變量已知,從而求出另一個(gè)變量的表達(dá)式。至于是選擇端口電流還是端口電壓作為已知量,可針對具體的電路,從方便求解的角度選定。2.1等效二端網(wǎng)絡(luò)例2-1求圖2-2所示二端電路的端口伏安特性。圖2-2例2-1題圖

解

標(biāo)出端電流和端口電壓參考方向如圖2-2所示。分析可知,若該電路端口電壓已知,則兩個(gè)電阻的電流容易求得,進(jìn)而可得端電流表達(dá)式。因此,這里設(shè)端口電壓u已知,相當(dāng)于端口接一電壓源,如圖中虛線所連?？汕蟮迷摱穗娐返亩丝诜蔡匦詾?/p>

或u=8+4i

由上兩式可分別構(gòu)造出原網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)等效二端網(wǎng)絡(luò),如圖2-3(a)、(b)所示。圖2-3圖2-2的等效電路2.1等效二端網(wǎng)絡(luò)例2-2求圖2-4(a)所示二端電路的端口伏安特性。

解標(biāo)出端電流和端口電壓參考方向如圖2-4(a)所示。分析可知,若該電路端口電流已知,則用并聯(lián)電阻的分流公式,容易求得電流i1,進(jìn)而容易寫出端口電壓表達(dá)式。因此,這里設(shè)端口電流i已知,相當(dāng)于端口接一電流源,如圖中虛線所連。由分流公式得而求得端口電壓為u=5u1

+(3+3)i1=5i+2i=7i由上式可得原二端電路的等效電路如圖2-4(b)所示。圖2-4

例2-2題圖例2-1的結(jié)果表明一個(gè)含獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò)可等效成一個(gè)電壓源與電阻的串聯(lián)網(wǎng)絡(luò),或者等效成一個(gè)電流源與電阻的并聯(lián)網(wǎng)絡(luò);例2-2的結(jié)果表明一個(gè)不含獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò)可等效成一個(gè)電阻。這些結(jié)論具有普遍性,本書第4章將進(jìn)一步討論。在工程實(shí)踐中,有時(shí)會(huì)遇到電源串并聯(lián)使用的情況,例如,將多個(gè)電源串聯(lián)使用,以提高輸出電壓;將多個(gè)電源并聯(lián)使用,以提高帶負(fù)載的能力,等等。電路分析時(shí),可對電源的串并聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化。2.2.1電壓源的串聯(lián)和并聯(lián)1.電壓源的串聯(lián)

圖2-5(a)所示是n個(gè)電壓源的串聯(lián),若將其看做一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò),則對于任意端口電流i,在圖示參考方向下,根據(jù)KVL可求得其端口特性方程為

u=us1+us2+…+usn

（2-1）由上式可見,該二端網(wǎng)絡(luò)可等效成一個(gè)電壓源,如圖2-5(b)所示。等效電壓源的電壓為

us=us1+us2+…+usn

（2-2）圖2-5電壓源的串聯(lián)及其等效電路2.2電壓源、電流源串并聯(lián)電路的等效變換2.電壓源的并聯(lián)電壓相等的電壓源可作極性一致的并聯(lián),圖2-6(a)所示是兩個(gè)電壓源的并聯(lián),其中us1=us2。該二端網(wǎng)絡(luò)可與圖2-6(b)所示電壓源等效,等效電壓源的電壓為us=us1=us2

（2-3）圖26電壓源的并聯(lián)及其等效電路工程上,電壓不等或極性相反的實(shí)際電壓源不能并聯(lián)使用,否則將損壞電源。當(dāng)某電路模型中出現(xiàn)兩個(gè)電壓不等或極性相反的理想電壓源并聯(lián)時(shí),它們組成的回路將不滿足KVL,該電路無解。2.2電壓源、電流源串并聯(lián)電路的等效變換3.電壓源與二端網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)圖2-7(a)所示電路中,電壓源與二端網(wǎng)絡(luò)N1并聯(lián),構(gòu)成一個(gè)新的二端網(wǎng)絡(luò)。N1可由電阻、獨(dú)立源和受控源等元件構(gòu)成,但它的等效網(wǎng)絡(luò)不是理想電壓源支路。圖2-7(a)、(b)所示的兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)是等效的,因?yàn)樗鼈兊亩丝谔匦苑匠叹鶠?/p>

u=us(對于任意端電流i)（2-4）圖2-7電壓源與二端網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)及其等效電路圖2-7(a)、(b)兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)中,電壓源的電壓雖然相等,但流過兩個(gè)電壓源的電流一般并不相等。如前所述,兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)等效是指其端口特性相同,對外電路等效,對內(nèi)則沒有等效關(guān)系。2.2電壓源、電流源串并聯(lián)電路的等效變換2.2.2電流源的串聯(lián)和并聯(lián)1.電流源的并聯(lián)圖2-8(a)所示是n個(gè)電流源并聯(lián)的二端網(wǎng)絡(luò)。對于任意端電壓u,在圖示參考方向下,根據(jù)KCL可求得其端口特性方程為

i=is1+is2+…+isn

（2-5）

由上式可見,該二端網(wǎng)絡(luò)可等效成圖2-8(b)所示的電流源。等效電流源的電流為

is=is1+is2+…+isn

（2-6）圖2-8電流源的并聯(lián)及其等效電路2.2電壓源、電流源串并聯(lián)電路的等效變換2.電流源的串聯(lián)電流相等的電流源可作方向一致的串聯(lián)。圖2-9(a)所示是兩個(gè)電流源的串聯(lián),其中is1=is2。該二端網(wǎng)絡(luò)可與圖2-9(b)所示電流源等效,其中

is=is1=is2

（2-7）

工程上,電流不等的實(shí)際電流源不能串聯(lián)使用,也不能將兩個(gè)相等的電流源作反方向串聯(lián),否則將損壞電源。當(dāng)某電路模型中出現(xiàn)兩個(gè)電流不等的理想電流源串聯(lián)時(shí),KCL將不成立,該電路無解。圖2-9電流源的串聯(lián)及其等效電路2.2電壓源、電流源串并聯(lián)電路的等效變換3.電流源與二端網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)

電流圖2-10(a)所示電路中,電流源與二端網(wǎng)絡(luò)N1串聯(lián),構(gòu)成一個(gè)新的二端網(wǎng)絡(luò)。N1可由電阻、獨(dú)立源和受控源等元件構(gòu)成,但它的等效網(wǎng)絡(luò)不是理想電流源支路。圖2-10(a)可等效成一個(gè)如圖2-10(b)所示的電流源。這兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)有相同的端口特性方程:i=is(對于任意端口電壓u)（2-8）圖2-10電流源與二端網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)及其等效電路2.2電壓源、電流源串并聯(lián)電路的等效變換2.2電壓源、電流源串并聯(lián)電路的等效變換例2-3求圖2-11(a)、(b)所示兩個(gè)二端電路的最簡等效電路。圖2-11例2-3題圖解將圖2-11(a)所示二端電路逐步化簡,可求得其最簡等效電路為一個(gè)3A的電流源,其化簡過程如圖2-12(a)所示。圖2-11(b)所示二端電路的最簡等效電路為一個(gè)8V的電壓源,其化簡過程如圖2-12(b)所示。圖2-12例2-3題解例2-4求圖2-13(a)所示二端電路在圖示參考方向下的端口伏安特性。圖2-13例2-4題圖及其化簡解可將圖2-13(a)所示電路先作一些化簡,再求其端口伏安特性?；喓蟮碾娐啡鐖D2-13(b)所示,容易寫出該電路的端口伏安特性為

u=-5+2i1=-5+2(i-2)=-9+2i2.2電壓源、電流源串并聯(lián)電路的等效變換2.3實(shí)際電源的兩種模型及其等效變換實(shí)際電源的輸出電壓會(huì)隨著輸出電流的增大而有所減小。設(shè)實(shí)際電源的端電流和端口電壓采用非關(guān)聯(lián)參考方向,如圖2-14(a)所示,則在任一時(shí)刻t,它的伏安特性曲線如圖2-14(b)所示。其中,us是電流為零時(shí)的電壓,稱為開路電壓;is是電壓為零時(shí)的電流,稱為短路電流。伏安特性曲線的斜率為負(fù)常數(shù),用-R表示,R稱為該實(shí)際電源的內(nèi)阻,顯然有（2-9）

由伏安特性曲線可得實(shí)際電源的端口特性方程為

u=us-Ri

（2-10）

或

（2-11）圖2-14實(shí)際電源及其端口伏安特性2.3實(shí)際電源的兩種模型及其等效變換圖2-15(a)、(b)所示電路是實(shí)際電源的兩種電路模型。圖2-15(a)是電壓源與電阻的串聯(lián)結(jié)構(gòu),稱為戴維南模型或有伴電壓源模型。其中,電壓源的電壓等于實(shí)際電源的開路電壓us,串聯(lián)電阻等于實(shí)際電源的內(nèi)阻R,它的伏安特性即(2-10)式。圖2-15(b)是電流源與電阻的并聯(lián)結(jié)構(gòu),稱為諾頓模型或有伴電流源模型。其中,電流源的電流等于實(shí)際電源的短路電流is,并聯(lián)電阻也為R。根據(jù)KCL可寫出該并聯(lián)電路的伏安特性,即(2-11)式。圖2-15實(shí)際電源的戴維南模型和諾頓模型2.3實(shí)際電源的兩種模型及其等效變換由戴維南模型可見,實(shí)際電壓源的內(nèi)阻R越小,在R上產(chǎn)生的內(nèi)部壓降越小,其端口電壓u受i的影響就越小,該電源就越接近理想電壓源。由諾頓模型可知,實(shí)際電流源的內(nèi)阻R越大,在R上的分流越小,其輸出的端電流i受u的影響就越小,該電源就越接近理想電流源。

理論上講,實(shí)際電源可采用上述兩種模型中的任一種,但工程上一般對內(nèi)阻小的電源采用戴維南模型,這種電源的特性較接近理想電壓源,稱之為實(shí)際電壓源。內(nèi)阻大的電源一般采用諾頓模型,這種電源的特性較接近理想電流源,稱之為實(shí)際電流源。在使用中,實(shí)際電壓源不能短路,實(shí)際電流源不能開路,否則,有可能損壞電源。同一個(gè)電源的兩種模型反映的是同一個(gè)端口特性,對外電路而言,它們是等效的,可以相互轉(zhuǎn)換。等效轉(zhuǎn)換時(shí),兩種模型的參數(shù)必須滿足一定的關(guān)系:電阻R相等且us與is滿足(2-9)式。兩種模型的等效轉(zhuǎn)換如圖2-16所示,要注意電壓源us及電流源is的參考方向。2.3實(shí)際電源的兩種模型及其等效變換圖2-16電源兩種模型的等效轉(zhuǎn)換

雖然等效的兩種模型中電阻R相等,但兩個(gè)電阻的工作狀態(tài)并不相同,它們的電流、電壓、功率一般都不等,等效是僅對外電路而言的。理想電壓源是內(nèi)阻為零的電源,理想電流源是內(nèi)阻為無窮大的電源,它們不能相互變換。在電路分析中,也將一般的電壓源串聯(lián)電阻及電流源并聯(lián)電阻兩種結(jié)構(gòu)分別稱為有伴電壓源和有伴電流源。兩種有伴電源的等效變換可用于化簡電路。2.3實(shí)際電源的兩種模型及其等效變換

例2-5求圖2-17(a)所示電路中的電流I。解利用有伴電壓源和有伴電流源的等效變換,逐步將原電路化簡,最終得到一個(gè)單回路電路。具體過程見圖2-17(b)、(c)、(d)。對圖2-17(d)中的單回路列KVL方程:I（2+7+1）=9-4得I=0.5A電源的等效變換可推廣至受控源。但是對含受控源的電路進(jìn)行化簡時(shí),要注意不能讓控制量消失,否則電路將無法求解。圖2-17例2-5題圖和求解過程2.3實(shí)際電源的兩種模型及其等效變換

例2-6求圖2-18(a)所示二端電路的端口伏安特性。圖2-18例2-6題圖和求解過程解為求端口伏安特性,假設(shè)端電流i已知,相當(dāng)于端口接有電流源,如圖2-18(a)中虛線所示?？蓪υ撾娐废刃谢?再求端口電壓u的表達(dá)式。注意,電路中2A電流源與電阻的并聯(lián)結(jié)構(gòu)不能變換成電壓源與電阻的串聯(lián)結(jié)構(gòu),否則控制量u1將消失。但可將受控電流源與電阻的并聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行等效變換,變換后的電路如圖2-18(b)所示。由該電路可得i1=i+2,u1=5i1=5i+10u=4u1

+2i+(4+5)i1=4(5i+10)+2i+(4+5)(i+2)=58+31i

即在圖示參考方向下,該二端電路的端口伏安特性為

u=58+31i

例2-7電路如圖2-19(a)所示,求電流i、8V電壓源的功率p1和受控電流源的功率p2。圖2-19例2-7題圖及其化簡解求電流i時(shí)可先將電路化簡。受控電流源與4Ω電阻的串聯(lián)可等效成一個(gè)受控電流源;該受控電流源再與8Ω電阻并聯(lián),可轉(zhuǎn)換為受控電壓源與8Ω電阻串聯(lián);8V電壓源與4Ω電阻的并聯(lián)可等效成一個(gè)8V電壓源。簡化后的電路如圖2-19(b)所示。對該單回路電路列一個(gè)KVL方程,有24i+8i-16i=8求得2.3實(shí)際電源的兩種模型及其等效變換要計(jì)算已變換部分的內(nèi)部元件的電流、電壓或功率,需回到原電路求解。在圖2-19(a)所示原電路中,對節(jié)點(diǎn)a列一個(gè)KCL方程,得

則8V電壓源供出的功率為p1

=i1

×8=2.5×8=20W對由受控電流源及電壓源和兩個(gè)電阻構(gòu)成的回路列一個(gè)KVL方程,得

u=-8+24i+4×2i=-8+32i=-8+32×0.5=8V則受控電流源供出的功率為p2

=u×2i=8×2×0.5=8W2.3實(shí)際電源的兩種模型及其等效變換2.4電阻星形連接與三角形連接的等效變換二端網(wǎng)絡(luò)的等效概念也適用于多端網(wǎng)絡(luò),當(dāng)兩個(gè)多端電阻網(wǎng)絡(luò)的端子數(shù)相等且有相同的端口伏安特性方程時(shí),它們對外電路是等效的。

圖2-20中,N是一個(gè)三端網(wǎng)絡(luò),它有三個(gè)端電流和三個(gè)端口電壓。根據(jù)KCL,有i1+i2+i3=0,即三個(gè)端電流中只有兩個(gè)是獨(dú)立的;根據(jù)KVL,有u12+u23-u13=0,即三個(gè)端口電壓也只有兩個(gè)是獨(dú)立的。兩個(gè)獨(dú)立端電流和兩個(gè)獨(dú)立端口電壓之間的關(guān)系就是三端網(wǎng)絡(luò)的端口伏安特性方程。

圖2-20三端網(wǎng)絡(luò)2.4電阻星形連接與三角形連接的等效變換圖2-21所示為兩個(gè)三端電阻網(wǎng)絡(luò)。其中,圖221(a)網(wǎng)絡(luò)為三個(gè)電阻的星形(Y形、T形)連接,圖2-21(b)網(wǎng)絡(luò)為三個(gè)電阻的三角形(Δ形、π形)連接。這兩種結(jié)構(gòu)在三相電路、橋式電路等電路中比較常見。在電路分析時(shí),有時(shí)需對這兩種結(jié)構(gòu)的三端電路進(jìn)行等效互換以簡化電路。下面分別列出兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的端口伏安特性方程,進(jìn)而推導(dǎo)它們的等效條件。

圖2-21(a)所示的星形電阻網(wǎng)絡(luò)中,以i1、i2、u13、u23為獨(dú)立的端電流和端口電壓變量,其端口特性方程為（2-12）從(2-12)方程中解出i1和i2,可得該網(wǎng)絡(luò)另一形式的端口方程:

（2-13）2.4電阻星形連接與三角形連接的等效變換圖2-21星形電阻網(wǎng)絡(luò)和三角形電阻網(wǎng)絡(luò)圖2-21(b)所示的三角形電阻網(wǎng)絡(luò)的端口特性方程為：（2-14）

從(2-14)方程中解出u13和u23,可得其另一形式的端口方程：（2-15）2.4電阻星形連接與三角形連接的等效變換星形電阻網(wǎng)絡(luò)與三角形電阻網(wǎng)絡(luò)等效的條件是它們的端口特性相等。比較(2-12)式和(2-15)式的各項(xiàng)系數(shù),有（2-16）將上式中第1個(gè)和第3個(gè)方程分別減去第2個(gè)方程,求得