2025屆高考數(shù)學(xué)專題十五平行垂直關(guān)系的證明精準(zhǔn)培優(yōu)專練理

PAGEPAGE1培優(yōu)點十五平行垂直關(guān)系的證明一、直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定一、直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定例1：如圖，已知四邊形為矩形，平面，下列結(jié)論中正確的是________．(把正確結(jié)論的序號都填上)①；②平面；③；④平面．【答案】①③④【解析】對于①，因為，，，所以平面，所以，則①正確；對于②，，當(dāng)時，平面，但與不肯定垂直，故②不正確；對于③，因為，，，所以平面，所以，則③正確；對于④，因為，平面，平面，所以平面，則④正確．故填①③④．二、直線與平面垂直的二、直線與平面垂直的推斷，二面角例2：如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，、分別是、中點．（1）證明：；（2）求平面與平面所成銳二面角的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）∵平面，∴，又，，為平面上相交直線，∴平面，∴，而等腰三角形中有，∴平面，而平面，∴．（2）易知，，兩兩垂直，故分別以其所在直線為坐標(biāo)軸建系，則，，，，，求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，∴，∴平面與平面所成銳二面角為．對點對點增分集訓(xùn)一、選擇題1．如圖，在三棱錐中，，，，分別是，，，的中點，與交于點，與交于點，連接，則與的關(guān)系是（）A．平行 B．垂直 C．異面 D．平行或垂直【答案】A【解析】因為，，，分別是，，，的中點，所以，，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，又因為，所以，故選A．2．如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則下列說法錯誤的是（）A． B．平面C． D．平面【答案】C【解析】∵在正方體中，、分別是、的中點，∴以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中，棱長為，則，，，，，，，，∴，∴，故A正確；，，，∴，又，，∴平面，故B成立；∵，，∴和不平行，故C錯誤；平面的法向量，，又平面，∴平面，故D正確．故選C．3．如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面，底面三角形是正三角形，是中點，則下列敘述正確的是（）A．與是異面直線 B．平面C． D．平面【答案】C【解析】對于A，與均在側(cè)面內(nèi)，又兩直線不平行，故相交，A錯誤；對于B，與平面所成的角為，所以不垂直于平面，故B錯誤；對于C，，，所以，故C正確；對于D，與平面有公共點，，所以與平面相交，故D錯誤．故選C．4．在三棱錐中，已知，，點，分別為棱，的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線直線 B．直線直線C．直線直線 D．直線直線【答案】D【解析】由題意，如圖所示，因為，，∴，得，取中點，連接，，則，，又∵，∴平面，則，∵，分別為棱，的中點，∴，則．故選D．5．如圖，為圓的直徑，，垂直于圓所在的平面，為圓周上不與點、重合的點，于，于，則下列不正確的是（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】B【解析】平面，可得平面平面，平面，，由為圓的直徑，得，，平面，，，得到平面，平面平面，平面平面，所以選項ACD正確；對于選項B，與肯定不會平行，所以選項B肯定不成立．6．如圖所示，為矩形所在平面外一點，矩形對角線交點為，為的中點，給出下列五個結(jié)論：①；②平面；③平面；④平面；⑤平面．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】矩形的對角線與交于點，所以為的中點．在中，是的中點，所以，所以平面，且平面．因為，所以與平面、平面相交．所以①②③正確．7．在正方體中，點是四邊形的中心，關(guān)于直線，下列說法正確的是（）A． B． C．平面 D．平面【答案】C【解析】選項A，連接，則，因為與相交，所以A錯；選項B，取中點，連接、，則，在中，，所以與不垂直，所以與不垂直，所以B錯；選項C，設(shè)，連接，則且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，C正確；選項D，連接，垂直于，垂直于，進而得到垂直于面，故垂直于，同理可證，垂直于，進而得到平面，所以與平面不垂直，D錯．8．如圖，四棱柱中，，分別是，的中點．下列結(jié)論中，正確的是（）A． B．平面C． D．平面【答案】B【解析】如圖所示，取的中點，連接，，延長交于，延長交于，∵，分別是，的中點，∴是的中點，是的中點，從而可得是的中點，是的中點，∴．又平面，平面，∴平面．其余結(jié)論明顯錯誤．本題選擇B選項．二、填空題9．如圖所示，在幾何體中，四邊形是平行四邊形，分別是的中點，則___________平面．【答案】平行【解析】取的中點，連接，又是的中點，所以，且．又是的中點，所以．由四邊形是平行四邊形，得，，所以，且，從而四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．故答案為：平行．10．如圖，在正方體中，有以下結(jié)論：①平面；②平面；③；④異面直線與所成的角為．則其中正確結(jié)論的序號是____（寫出全部正確結(jié)論的序號）．【答案】①③【解析】①：∵，平面，平面，∴平面，故本結(jié)論是正確的；②：在正方形中，，明顯、不垂直，而，所以、不相互垂直，要是平面，則必有、相互垂直，明顯是不行能的，故本結(jié)論是錯誤的；③：∵平面，平面，∴，在正方形中，，、平面，，所以平面，而平面，故，因此本結(jié)論是正確的；④：因為，所以異面直線與所成的角為，在正方形中，，故本結(jié)論是錯誤的，因此正確結(jié)論的序號是①③．三、解答題11．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，，點，分別是，的中點．求證：（1）直線平面；（2）平面平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）取中點，連接，．在中，，分別為，中點，則且，又四邊形為矩形，為中點，且，所以且，故四邊形為平行四邊形，從而，又面，面，所以直線面．（2）因為矩形，所以，又平面面，面面，面，所以面，又面，則，又，，所以面，又面，所以平面平面．12．如圖，在四棱錐中，平面，，，，．為線段上的點（點與點不重合）．（1）證明：面；（2）若是的中點，求與平面所成的角的正弦值；（3）若滿意面，求二面角正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】（1）取中點，因為，，所以，，∴．因為平面，平面，所以，因為平面，平面，，所以面．（2）以為坐標(biāo)原點，，，平行于的直線為，，軸，建