2025版高中數(shù)學(xué)第三章概率專題突破四學(xué)案含解析新人教A版必修3

PAGEPAGE1專題突破四用兩種概型計(jì)算時(shí)的幾個(gè)關(guān)注點(diǎn)一、關(guān)注基本領(lǐng)件的有限性和等可能性例1袋中有大小相同的3個(gè)白球，2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，每個(gè)球有一個(gè)區(qū)分于其他球的編號(hào)，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球．(1)把每個(gè)球的編號(hào)看作一個(gè)基本領(lǐng)件建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的顏色作為劃分基本領(lǐng)件的依據(jù)，有多少個(gè)基本領(lǐng)件？以這些基本領(lǐng)件建立的概率模型是不是古典概型？思維切入將基本領(lǐng)件列出來(lái)，分析是否有限和等可能．解(1)因?yàn)榛绢I(lǐng)件個(gè)數(shù)有限，而且每個(gè)基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性相同，所以是古典概型．(2)把球的顏色作為劃分基本領(lǐng)件的依據(jù)，可得到“取得一個(gè)白球”“取得一個(gè)紅球”“取得一個(gè)黃球”，共3個(gè)基本領(lǐng)件．這些基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)有限，但“取得一個(gè)白球”的概率與“取得一個(gè)紅球”或“取得一個(gè)黃球”的概率不相等，即不滿意等可能性，故不是古典概型．點(diǎn)評(píng)只有同時(shí)滿意有限性和等可能性這兩個(gè)條件的試驗(yàn)才是古典概型，兩個(gè)條件只要有一個(gè)不滿意就不是古典概型．跟蹤訓(xùn)練1一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相等的1個(gè)白球和已有不同編號(hào)的三個(gè)黑球，從中隨意摸出2個(gè)球．(1)共有多少個(gè)不同的基本領(lǐng)件，這樣的基本領(lǐng)件是否為等可能的？該試驗(yàn)是古典概型嗎？(2)摸出的兩個(gè)球都是黑球記為事務(wù)A，問(wèn)事務(wù)A包含幾個(gè)基本領(lǐng)件？(3)計(jì)算事務(wù)A的概率．解(1)隨意摸出兩球，共有{白球和黑球1}，{白球和黑球2}，{白球和黑球3}，{黑球1和黑球2}，{黑球1和黑球3}，{黑求2和黑球3}6個(gè)基本領(lǐng)件．因?yàn)?個(gè)球的大小相同，所以摸出每個(gè)球是等可能的，故6個(gè)基本領(lǐng)件都是等可能事務(wù)．由古典概型定義知，這個(gè)試驗(yàn)是古典概型．(2)從4個(gè)球中摸出2個(gè)黑球包含3個(gè)基本領(lǐng)件．故事務(wù)A包含3個(gè)基本領(lǐng)件．(3)因?yàn)樵囼?yàn)中基本領(lǐng)件總數(shù)n＝6，而事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)m＝3.所以P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).二、關(guān)注基本領(lǐng)件的計(jì)算，做到不重不漏例2一只口袋內(nèi)裝有5個(gè)大小相同的球，白球3個(gè)，黑球2個(gè)，從中一次摸出2個(gè)球．(1)共有多少個(gè)基本領(lǐng)件？(2)“2個(gè)都是白球”包含幾個(gè)基本領(lǐng)件？思維切入將結(jié)果一一列舉，再計(jì)算基本領(lǐng)件數(shù)．解方法一(1)(列舉法)分別記白球?yàn)?,2,3號(hào)，黑球?yàn)?,5號(hào)，則全部的基本領(lǐng)件如下：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，共10個(gè)(其中{1,2}表示摸到1號(hào)球和2號(hào)球)．(2)由(1)中知，“2個(gè)都是白球”包含{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3個(gè)基本領(lǐng)件．方法二(2)(列表法)(1)設(shè)5個(gè)球的編號(hào)分別為a，b，c，d，e，其中a，b，c為白球，d，e為黑球．列表如下：abcdea{a，b}{a，c}{a，d}{a，e}b{b，a}{b，c}{b，d}{b，e}c{c，a}{c，b}{c，d}{c，e}d{d，a}{d，b}{d，c}{d，e}e{e，a}{e，b}{e，c}{e，d}由于每次取2個(gè)球，每次所取2個(gè)球不相同，而摸到{b，a}與{a，b}是相同的事務(wù)，故共有10個(gè)基本領(lǐng)件．(2)由(1)中知，“2個(gè)都是白球”包含{a，b}，{b，c}，{a，c}，共3個(gè)基本領(lǐng)件．點(diǎn)評(píng)計(jì)算基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)時(shí)，要做到不重不漏，就須要按肯定程序操作，如列舉法，列表法，還可以用樹狀圖法求解．跟蹤訓(xùn)練2從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字，求下列事務(wù)的概率：(1)A＝{三個(gè)數(shù)字中不含1和5}；(2)B＝{三個(gè)數(shù)字中含1或5}．解這個(gè)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10種．(1)事務(wù)A為(2,3,4)，故P(A)＝eq\f(1,10).(2)事務(wù)B的全部可能結(jié)果為：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共9種．故P(B)＝eq\f(9,10).三、關(guān)注事務(wù)間的關(guān)系，優(yōu)化概率計(jì)算方法例3有3個(gè)完全相同的小球a，b，c，隨機(jī)放入甲、乙兩個(gè)盒子中，求兩個(gè)盒子都不空的概率．思維切入先分析三個(gè)小球隨機(jī)放入甲、乙兩個(gè)盒子的基本領(lǐng)件，再確定兩個(gè)盒子都不空的對(duì)立事務(wù)是至少有一個(gè)盒子為空所包含的事務(wù)，從而確定該事務(wù)的概率．解a，b，c三個(gè)小球隨機(jī)放入甲、乙兩個(gè)盒子的基本領(lǐng)件為：甲盒a，b，ca，baa，cb，cbc空乙盒空cb，cbac，aa，ba，b，c兩個(gè)盒子都不空的對(duì)立事務(wù)是至少有一個(gè)盒子為空，所包含事務(wù)：甲盒子a，b，c，乙盒子空；甲盒子空，乙盒子a，b，c，共2個(gè)，故P＝1－eq\f(2,8)＝eq\f(3,4).點(diǎn)評(píng)在求解較困難事務(wù)的概率時(shí)，可將其分解為幾個(gè)互斥的簡(jiǎn)潔事務(wù)的和事務(wù)，由公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得或采納正難則反的原則，轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事務(wù)，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得．跟蹤訓(xùn)練3袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中任取1只，有放回地抽取3次，求3只顏色不全相同的概率．解記“3只顏色全相同”為事務(wù)A，則所求事務(wù)為A的對(duì)立事務(wù)．因?yàn)椤?只顏色全相同”又可分為“3只全是紅球(事務(wù)B)”，“3只全是黃球(事務(wù)C)”，“3只全是白球(事務(wù)D)”，且它們彼此互斥，故3只顏色全相同即為事務(wù)B∪C∪D，由于紅、黃、白球的個(gè)數(shù)一樣，基本領(lǐng)件的總數(shù)為27，故有P(B)＝P(C)＝P(D)＝eq\f(1,27)，所以P(A)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝eq\f(1,9)，因此有P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).四、關(guān)注事務(wù)的測(cè)度，規(guī)避幾何概型易錯(cuò)點(diǎn)例4(1)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，求BM≤AB的概率；(2)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在線段BC上取一點(diǎn)M，求BM≤AB的概率．思維切入(1)“過(guò)點(diǎn)A作一射線”等可能地分布在∠BAC內(nèi)，測(cè)度為角度．(2)“在線段BC上取一點(diǎn)M”，等可能地分布在線段BC上，測(cè)度為長(zhǎng)度．解(1)記“過(guò)點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，使BM≤AB”為事務(wù)Ω，由于是過(guò)點(diǎn)A作一射線交線段BC于點(diǎn)M，所以射線在∠BAC內(nèi)是等可能出現(xiàn)的，又當(dāng)AB＝BM時(shí)∠BAM＝67.5°，所以P(Ω)＝eq\f(d的測(cè)度,D的測(cè)度)＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).(2)設(shè)AB＝AC＝1，則BC＝eq\r(2)，設(shè)“在線段BC上取一點(diǎn)M，使BM≤AB”為事務(wù)Ω，則P(Ω)＝eq\f(d的測(cè)度,D的測(cè)度)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).點(diǎn)評(píng)當(dāng)試驗(yàn)是“過(guò)點(diǎn)A作一射線”時(shí)，用角度作測(cè)度；當(dāng)試驗(yàn)是“在線段BC上取一點(diǎn)”時(shí)，用線段長(zhǎng)度作測(cè)度．一般地，試驗(yàn)是什么，可以確定基本領(lǐng)件是什么．基本領(lǐng)件累積起來(lái)，就可以確定區(qū)域是角度、長(zhǎng)度還是面積等．跟蹤訓(xùn)練4(1)如圖，在單位圓O的某始終徑上隨機(jī)的取一點(diǎn)Q，求過(guò)點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦長(zhǎng)長(zhǎng)度不超過(guò)1的概率．解弦長(zhǎng)不超過(guò)1，故OQ≥eq\f(\r(3),2)，因?yàn)镼點(diǎn)在直徑AB上是隨機(jī)的，設(shè)事務(wù)A為“弦長(zhǎng)長(zhǎng)度超過(guò)1”，由幾何概型的概率計(jì)算公式得，P(A)＝eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)＝eq\f(\r(3),2).所以其對(duì)立事務(wù)eq\x\to(A)“弦長(zhǎng)不超過(guò)1”的概率為P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq\f(\r(3),2).(2)設(shè)A為單位圓O圓周上一點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)B與A連接，則弦長(zhǎng)超過(guò)eq\r(2)的概率是________．答案eq\f(1,2)解析在圓O上有肯定點(diǎn)A，任取一點(diǎn)B與點(diǎn)A連接，且弦長(zhǎng)超過(guò)eq\r(2)，即為∠AOB的度數(shù)大于90°，而小于270°.P(A)＝eq\f(270°－90°,360°)＝eq\f(1,2).1．在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字不同外其他完全相同．現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,12)答案A解析隨機(jī)取出2個(gè)小球得到的結(jié)果有10種，取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的結(jié)果為{1,2}，{1,5}，{2,4}，共3種，所以P＝eq\f(3,10)，故選A.2．從集合{a，b，c，d，e}的全部子集中任取一個(gè)，則這個(gè)集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)答案C解析集合{a，b，c，d，e}共有25＝32(個(gè))子集，而集合{a，b，c}的子集有23＝8(個(gè))，所以所求概率為P＝eq\f(8,32)＝eq\f(1,4).3．盒子里有25個(gè)外形相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)黃球，10個(gè)黑球，從盒子中隨意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案D解析試驗(yàn)發(fā)生包含的事務(wù)是從盒子中取出一個(gè)不是白球的小球，共有5＋10＝15(種)結(jié)果，滿意條件的事務(wù)是取出的球是一個(gè)黑球，共有10種結(jié)果，因此它是黑球的概率P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).故選D.4．在1,2,3,4四個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為a，再在剩余的三個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為b，則“eq\f(a,b)不是整數(shù)”的概率為________．答案eq\f(2,3)解析∵在1,2,3,4四個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為a，再在剩余的三個(gè)數(shù)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)記為b，∴基本領(lǐng)件總數(shù)n＝4×3＝12.“eq\f(a,b)不是整數(shù)”包含的基本領(lǐng)件有eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(2,3)，eq\f(2,4)，eq\f(3,2)，eq\f(3,4)，eq\f(4,3)，共8個(gè)．∴“eq\f(a,b)不是整數(shù)”的概率P＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).5．在區(qū)間[0,2]中隨機(jī)地取出兩個(gè)數(shù)，求兩數(shù)之和小于1的概率．解設(shè)x，y表示所取的隨意兩個(gè)數(shù)，由于x∈[0,2]，y∈[0,2]，∴以兩數(shù)x，y為坐標(biāo)的點(diǎn)在以2為邊長(zhǎng)的正方形區(qū)域內(nèi)，設(shè)“兩數(shù)和小于1”為事務(wù)A，則事務(wù)A所在區(qū)域?yàn)橹本€x＋y＝1的下方且在正方形的區(qū)域內(nèi)，設(shè)其面積為S.則S＝eq\f(1,2)，∴P(A)＝eq\f(S,4)＝eq\f(1,8).6．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－bx＋1，設(shè)集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b得到數(shù)對(duì)(a，b).(1)列舉出全部的數(shù)對(duì)(a，b)，并求函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)的概率；(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率．解(1)(a，b)有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15種狀況．函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)等價(jià)于Δ＝b2－4a≥0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6種狀況滿意條件．所以函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)的概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(2)因?yàn)閍＞0，函數(shù)y＝f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(b,2a)，在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，所以有eq\f(b,2a)≤1，滿意條件的(a，b)為(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13種．所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為eq\f(13,15).一、選擇題1．一只小狗在如圖所示的方磚上走來(lái)走去，最終停在陰影方磚的概率為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(7,9)C.eq\f(2,9)D.eq\f(7,16)答案C解析由題意知，這是一個(gè)與面積有關(guān)的幾何概型題．這只小狗在任何一個(gè)區(qū)域的可能性一樣．圖中有大小相同的方磚共9塊，明顯小狗停在陰影方磚的概率為eq\f(2,9).2．甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個(gè)，被乙、丙、丁三人搶完．若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“手氣最佳”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)答案D解析用(x，y，z)表示乙、丙、丁搶到的紅包分別為x元、y元、z元．乙、丙、丁三人搶完6元錢的全部不同的可能結(jié)果有10種，分別為(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙獲得“手氣最佳”的全部不同的可能結(jié)果有4種，分別為(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．依據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，得乙獲得“手氣最佳”的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).3．(2024·自貢模擬)已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，則函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案A解析∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，∴基本領(lǐng)件總數(shù)n＝3×4＝12.函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2bx，符合條件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；②當(dāng)a≠0時(shí)，須要滿意eq\f(b,a)≤1，符合條件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4種．∴函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是P＝eq\f(5,12).4．(2024·鄭州檢測(cè))每年三月為學(xué)雷鋒活動(dòng)月，某班有青年志愿者男生3人，女生2人，現(xiàn)需選出2名青年志愿者到社區(qū)做公益宣揚(yáng)活動(dòng)，則選出的2名志愿者性別相同的概率為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,10)答案B解析設(shè)男生為A，B，C，女生為a，b，從5人中選出2名志愿者有：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10種等可能狀況，其中選出的2名志愿者性別相同的有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(a，b)，共4種等可能的狀況，則選出的2名志愿者性別相同的概率為P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).5．設(shè)m，n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，則在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2＋mx＋n＝0有實(shí)根的概率為()A.eq\f(11,36)B.eq\f(7,36)C.eq\f(7,11)D.eq\f(7,10)答案C解析先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的狀況有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11種，其中使方程x2＋mx＋n＝0有實(shí)根的狀況有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7種．故所求事務(wù)的概率P＝eq\f(7,11).6．從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的狀況如圖：基本領(lǐng)件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的事務(wù)數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).7.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M—ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．1D．2答案B解析過(guò)點(diǎn)M作平面RST∥平面ABCD(圖略)，則兩平面間的距離是四棱錐M—ABCD的高，明顯點(diǎn)M在平面RST上隨意位置時(shí)，四棱錐M—ABCD的體積都相等．若此時(shí)四棱錐M—ABCD的體積等于eq\f(1,6)，只要M在截面以下即可小于eq\f(1,6)，當(dāng)VM—ABCD＝eq\f(1,6)時(shí)，即eq\f(1,3)×1×1×h＝eq\f(1,6)，解得h＝eq\f(1,2)，此時(shí)點(diǎn)M究竟面ABCD的距離為eq\f(1,2)，所以所求概率P＝eq\f(1×1×\f(1,2),1×1×1)＝eq\f(1,2).8．(2024·衡水聯(lián)考)2024年8月1日是中國(guó)人民解放軍建軍90周年，中國(guó)人民銀行為此發(fā)行了以此為主題的金銀紀(jì)念幣．如圖所示是一枚8克圓形金質(zhì)紀(jì)念幣，直徑22mm，面額100元．為了測(cè)算圖中軍旗部分的面積，現(xiàn)用1粒芝麻向硬幣內(nèi)投擲100次，其中恰有30次落在軍旗內(nèi)，據(jù)此可估計(jì)軍旗的面積大約是()A.eq\f(363π,10)mm2 B.eq\f(363π,5)mm2C.eq\f(726π,5)mm2 D.eq\f(363π,20)mm2答案A解析向硬幣內(nèi)投擲100次，恰有30次落在軍旗內(nèi)，所以可估計(jì)軍旗的面積大約是S＝eq\f(30,100)×π×112＝eq\f(363π,10)(mm2)．9.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自空白部分的概率是()A．1－eq\f(2,π) B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π) D.eq\f(1,π)答案C解析設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，分別取OA，OB的中點(diǎn)為D，E，如圖，連接OC，DC，CE，不妨令OA＝OB＝2，則OD＝DA＝DC＝OE＝CE＝1.在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1＝eq\f(π,4)＋eq\f(1,2)×1×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)×1×1))＝1，所以整個(gè)圖形中空白部分面積S2＝2S1＝2.又因?yàn)镾扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以所求概率P＝eq\f(2,π).二、填空題10．在集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(nπ,3)，n＝1，2，3，…，10))))中任取一個(gè)元素，所取元素恰好滿意方程cosx＝eq\f(1,2)的概率是________．答案eq\f(3,10)解析基本領(lǐng)件總數(shù)為10，滿意方程cosx＝eq\f(1,2)的基本領(lǐng)件數(shù)為3，故所求概率P＝eq\f(3,10).11．現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度(單位：m)分別為2.5,2.6，2.7，2.8,2.9，若從中隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率為________．答案0.2解析從5根竹竿中隨機(jī)抽取2根竹竿的基本領(lǐng)件有10個(gè)，它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的是2.5和2.8,2.6和2.9兩個(gè)，故它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率為eq\f(2,10)＝0.2.12．一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋找食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)地選擇一條路徑，則它能獲得食物的概率為________．答案eq\f(1,3)解析該樹枝的樹梢有6處，螞蟻到達(dá)各處的可能性相同，有2處能找到食物，所以獲得食物的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).三、解答題13．某地區(qū)有21所小學(xué)，14所中學(xué)，7所高校，現(xiàn)實(shí)行分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、高校中分別抽取的學(xué)校數(shù)目；(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率．解(1)6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3,6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2,6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1，所以從小學(xué)、中學(xué)、高校中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.(2)在抽取到的6所學(xué)校中，將3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5，高校記為A6，則抽取2所學(xué)校的全部可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事務(wù)A)的全部可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3種，所以P(A)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).

14．設(shè)有一質(zhì)地勻稱的蛇螺，其圓周的一半上勻稱地刻上區(qū)間[0,1]上的數(shù)字，另一半勻稱地刻上區(qū)間[1,3]上的數(shù)字，旋轉(zhuǎn)它，則它停下時(shí)，其圓周上觸及桌面的刻度位于eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))上的概率是________．答案eq\f(3,8)解析由題意，記事務(wù)A為“陀螺停止時(shí)，其圓周上觸及