現(xiàn)代控制理論第六章2010 學(xué)習(xí)課件

第六章狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器

6.1狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)6.2極點配置6.3應(yīng)用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制6.4狀態(tài)觀測器6.5帶狀態(tài)觀測器的反饋系統(tǒng)2/28/20256.1狀態(tài)反饋的定義及其性質(zhì)給定系統(tǒng)在系統(tǒng)中引入反饋控制律2/28/2025則閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)為：B-uy+Cv+的狀態(tài)空間表達(dá)式為：2/28/2025狀態(tài)反饋性質(zhì)(1)時，為單純的狀態(tài)變量反饋。若，則，狀態(tài)反饋就等價于輸出反饋。2/28/2025①利用矩陣運(yùn)算直接可推出（見書191頁）(2)D=0時，可以求得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣2/28/2025②若，則的狀態(tài)空間表達(dá)式為：則閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)為：B-uy+Cv2/28/2025①利用矩陣運(yùn)算直接可推出（見書191頁）(2)D=0時，可以求得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣2/28/2025②時狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖輸出反饋：a到b前向通道：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：于是，從到的傳遞函數(shù)矩陣為：2/28/2025-yv閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：2/28/2025證

注意到系統(tǒng)和的能控性矩陣分別為由，可知的列向量可以由

的列向量的線性組合表示。

定理6.1.1

對于任何實常量矩陣，系統(tǒng)充要條件是系統(tǒng)完全能控。完全能控的2/28/2025的列向量可以由()的的線性組合表示。列向量依此類推，不難看出≤這意味著

的列向量可以由的列向量的線性組合表示。2/28/2025系統(tǒng)也可看成是由系統(tǒng)經(jīng)過狀態(tài)反饋而獲得的，

因此，同理有于是定理得證。所以系統(tǒng)的能控性等價于系統(tǒng)的能控性，2/28/2025

完全能控能觀，引入反饋例6.1.1系統(tǒng)2/28/2025

：不難判斷，系統(tǒng)仍然是能控的，但已不再能觀測。則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為2/28/20256.2極點配置6.2.1極點配置定理6.2.2單輸入系統(tǒng)極點配置6.2.3討論2/28/2025

定理6.2.1給定系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋任意配置極點的充完全能控。要條件6.2.1極點配置定理2/28/2025證:只就單輸入系統(tǒng)的情況證明本定理充分性：因為給定系統(tǒng)能控，故通過等價變換必能將它變?yōu)槟芸貥?biāo)準(zhǔn)形

這里，為非奇異的實常量等價變換矩陣，且有，

2/28/2025引入狀態(tài)反饋則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為2/28/2025

其中，顯然有系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為2/28/2025同時，由指定的任意個期望閉環(huán)極點

可求得期望的閉環(huán)特征方程通過比較系數(shù)，可知2/28/2025由此即有又因為所以2/28/2025且對任意，有非奇異變換陣使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解必要性：采用反證法，設(shè)不完全能控，則必2/28/20256.2.2單輸入系統(tǒng)極點配置yB-u-C+-Buy-C+開環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)2/28/2025閉環(huán)系統(tǒng)的極點原系統(tǒng)的極點2/28/2025關(guān)鍵：怎樣計算反饋向量K？2/28/2025算法1：按能控標(biāo)準(zhǔn)形求

K1、求A的特征多項式2、求閉環(huán)系統(tǒng)的期望特征多項式3、計算2/28/20254、計算2/28/20254、計算5、計算2/28/2025算法2：直接配置1)將帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程，求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式

其中,是反饋矩陣的函數(shù)2)計算理想特征多項式3)列方程組

并求解。

其解,即為所求2/28/2025算法2：直接法利用方程兩邊S的各次項系數(shù)對應(yīng)相等2/28/2025例6.2.1給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為求狀態(tài)反饋增益陣，使反饋后閉環(huán)特征值為Friday,February28,2025解：因為系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，通過狀態(tài)反饋控制律能任意配置閉環(huán)特征值。2/28/2025算法1：利用規(guī)范化方法配置極點設(shè)所需的狀態(tài)反饋增益矩陣為1）閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為得2/28/20252)期望的特征多項式得3)2/28/20254)5)6)2/28/2025算法2：直接法因為經(jīng)過狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為解：設(shè)所需的狀態(tài)反饋增益矩陣為2/28/2025根據(jù)要求的閉環(huán)期望極點，可求得閉環(huán)期望特征多項式為比較兩多項式同次冪的系數(shù)，有：8,812,42321211=++=++=+kkkkkk得：即得狀態(tài)反饋增益矩陣為:

與例6.2.1結(jié)果相同2/28/2025狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的維數(shù)，但是閉環(huán)傳遞函數(shù)的階次可能會降低，這是由分子分母的公因子被對消所致。(1)6.2.3討論對于單輸入單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)反饋不會移動系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點。(2)若系統(tǒng)是不完全能控的，可將其狀態(tài)方程變換成如下形式：(3)

其中，的特征值不能任意配置。2/28/2025(4)系統(tǒng)綜合往往需要將不穩(wěn)定的極點，移到

s平面的左半部，這一過程稱為系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

只有的全部特征值都具有負(fù)實部時，系統(tǒng)才能穩(wěn)定。2/28/20256.3應(yīng)用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制（自學(xué)）6.3.1問題的提出6.3.2實現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論2/28/20256.3.1問題的提出

考慮MIMO系統(tǒng)

(6.3.1)在的條件下，輸出與輸入之間的關(guān)系，可用傳遞函數(shù)描述：

(6.3.2)2/28/2025式(6.3.2)可寫為2/28/2025：

1)即系統(tǒng)的輸出個數(shù)等于輸入個數(shù)；每一個輸入控制著多個輸出，而每一個輸出被多少個輸入所控制我們稱這種交互作用的現(xiàn)象為耦合。一般說來，控制多輸入多輸出系統(tǒng)是頗為困的。例如,要找到一組輸入如能找出一些控制律，每個輸出受且只受一個輸入的控制，這必將大大的簡化控制實現(xiàn)這樣的?？刂品Q為解耦控制，或者簡稱為解耦。三個基本假定2/28/20252)狀態(tài)反饋控制律采用如下形式：3)輸入變換矩陣為非奇異的

圖6.3.1+-2/28/2025解耦控制問題:尋找一個輸入變換矩陣和狀態(tài)反饋增益矩陣對,使得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣顯然，經(jīng)過解耦的系統(tǒng)可以看成是由個獨立單變量子系統(tǒng)所組成。2/28/2025圖

6.3.22/28/20256.3.2實現(xiàn)解耦控制的條件和主要結(jié)論

定義兩個特征量并簡要介紹它們的一些性質(zhì)。1)已知傳遞函數(shù)陣其中都是嚴(yán)格真的有理分式(或者為零)。令是的分母的次數(shù)與分子的次數(shù)之差2/28/2025此處的表示的第行。不難看出

由

所唯一確定的

(2)若A,B,C已知，則狀態(tài)反饋不改變2/28/2025例6.3.1給定系統(tǒng)其中:2/28/2025其傳遞函數(shù)矩陣為:得到:2/28/2025因也可求得同樣，由兩種方法求得的也相同。2/28/2025定理6.3.1前面系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下實現(xiàn)解耦控制的充要條件是為非奇異。其中，2/28/2025證：對等式兩邊分別求導(dǎo)，根據(jù)和的定義可知2/28/2025當(dāng)且僅當(dāng)矩陣為非奇異時，由方程組可唯一確定出和在狀態(tài)反饋下,有:2/28/2025輸出僅與輸入有關(guān),且僅能控制。定理得證在狀態(tài)反饋下，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:2/28/2025

其傳遞函數(shù)矩陣為:2/28/20256.3.3算法和推論

算法：

1)求出系統(tǒng)的2)構(gòu)成矩陣，若非奇異，則可實現(xiàn)狀態(tài)反饋解耦；否則，不能狀態(tài)反饋解耦。3)求取矩陣和,則就是所需的狀態(tài)反饋控制律。2/28/2025例6.3.2給定系統(tǒng)試求使其實現(xiàn)解耦控制的狀態(tài)反饋控制律和解耦后的傳遞函數(shù)矩陣。2/28/2025解：1)在例6.3.1中已求得

2)因為為非奇異的,所以可狀態(tài)反饋解耦.3)因為所以有2/28/2025于是4)反饋后，對于閉環(huán)系統(tǒng)有2/28/2025推論：1)能否態(tài)反饋實現(xiàn)解耦控制取決于和。2)求得，，則解耦系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣即可確定。3)系統(tǒng)解耦后，每個SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為重積分形式。須對它進(jìn)一步施以極點配置。2/28/20254)要求系統(tǒng)能控，或者至少能鎮(zhèn)定否則不能。保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2/28/20256.4狀態(tài)觀測器6.4.1狀態(tài)觀測器的存在條件6.4.2全維狀態(tài)觀測器2/28/2025一、觀測器的設(shè)計思路狀態(tài)觀測器實質(zhì)上是一個狀態(tài)估計器（或動態(tài)補(bǔ)償器），它是利用被控對象的輸入變量u和輸出y對系統(tǒng)的狀態(tài)x進(jìn)行估計，從而解決某些狀態(tài)變量不能直接測量的難題。2/28/2025問題的實質(zhì)就是構(gòu)造一個新的系統(tǒng)

(或者說裝置)，利用原系統(tǒng)中可直接測量的輸入量和輸出量作為它的輸入信號，并使其輸出信號滿足2/28/20256.4.1狀態(tài)觀測器的存在條件定理6.4.1給定線性系統(tǒng)若此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，則狀態(tài)向量x可由輸入u和輸出y的相應(yīng)信息構(gòu)造出來。2/28/2025證:因為2/28/2025即所以,只有當(dāng)時，上式中的才能有唯一解即只有當(dāng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測時,狀態(tài)向量才能由以及它們的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合構(gòu)造出來。2/28/20256.4.2全維狀態(tài)觀測器開環(huán)狀態(tài)估計器：(1)構(gòu)造一個與原系統(tǒng)完全相同的模擬裝置2/28/2025圖6.4.12/28/2025從所構(gòu)造的這一裝置可以直接測量。這種開環(huán)狀態(tài)估計器存在如下缺點：每次使用必須重新確定原系統(tǒng)的初始狀態(tài)并對估計器實施設(shè)置；①②在

有正實部特征值時，最終總要趨向無窮大。2/28/2025(2)閉環(huán)全維狀態(tài)觀測器因為

其解為若,則有狀態(tài)觀測器的動態(tài)方程可寫為：由于,觀測器中的特征值配置問題等價與對偶系統(tǒng)中極點配置問題。2/28/2025圖6.4.22/28/2025定理6.4.2

若n維線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)完能觀，則存在狀態(tài)觀測器其估計誤差滿足在負(fù)共軛特征值成對出現(xiàn)的條件下，可選擇矩陣來任意配置的特征值。2/28/2025例6.4.1為例6.2.1的系統(tǒng)設(shè)計一個全維狀態(tài)觀測器，并使觀測器的極點為，。解:系統(tǒng)完全能觀測的，可構(gòu)造任意配置特征值全維狀態(tài)觀測器。1)由,得；2)觀測器的期望特征多項式為得2/28/20253)4)5)6)2/28/2025得全維狀態(tài)觀測器2/28/2025其模擬結(jié)構(gòu)如圖為圖6.4.3返回2/28/20256.4.3降維觀測器思路：利用輸出的q個分量直接產(chǎn)生q個狀態(tài)變量，其余的