西北大學(xué)量子力學(xué) 3.4 學(xué)習(xí)課件_第1頁(yè)
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3.4連續(xù)譜本征函數(shù)鑒于厄米算符的本征函數(shù)系具有正交、歸一、完備、封閉等重要性質(zhì)，可以用它作為希爾伯特空間的基矢；而且在量子力學(xué)中，可觀測(cè)量對(duì)應(yīng)線性厄米算符，因此在本節(jié)中我們將先羅列一些線性厄米算符的本征函數(shù)系，然后再討論若本征函數(shù)位連續(xù)譜本征函數(shù)時(shí)，如何進(jìn)行歸一化。1.線性厄米算符的本征函數(shù)示例坐標(biāo)算符由本征方程可知算符在自身表象中的本征函數(shù)是。而連續(xù)取值，是連續(xù)譜本征函數(shù)。（3.4.1）

3.4連續(xù)譜本征函數(shù)動(dòng)量算符2.連續(xù)譜本征函數(shù)的歸一化可知在以的本征函數(shù)為基矢的表象中，算符的本征函數(shù)是平面波，本征值也是連續(xù)取值。由本征方程（3.4.2）無(wú)窮空間的歸一化以平面波為例。的本征函數(shù)不能用普通的方法歸一化，因?yàn)樗哪２皇瞧椒娇煞e的，（3.4.3）

3.4連續(xù)譜本征函數(shù)不能使它歸一化為1。在數(shù)學(xué)上只能歸一化為函數(shù)。利用公式（3.4.4）（3.4.5）得事實(shí)上，凡連續(xù)譜本征函數(shù)都可用函數(shù)的方式歸一化。箱歸一化如果仍然要求按照通常的方式對(duì)動(dòng)量的本征函數(shù)歸一化，即仍然要?dú)w一化為1而不是函數(shù)，就必須放棄無(wú)窮空間的積分，采用箱歸一化的方法。先以一維為例。設(shè)一維平面波只能在的區(qū)間中運(yùn)動(dòng)，且滿足周期性條件：

3.4連續(xù)譜本征函數(shù)波函數(shù)（3.4.6）注：為保持動(dòng)量算符在范圍內(nèi)為厄米算符，要求波函數(shù)滿足周期性邊界條件。它的歸一化條件（3.4.9）從而有（3.4.7）（3.4.8）由則即則即（3.4.7）

3.4連續(xù)譜本征函數(shù)顯然，若，即箱的體積為無(wú)窮大時(shí)，由（3.4.7）式可知

，本征譜變成連續(xù)譜，回到無(wú)窮空間的歸一化的情況。從分立譜過(guò)渡到連續(xù)譜時(shí)，存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：（3.4.11）（3.4.10）（3.4.12）易將上述結(jié)果推廣到三維情況。取體積，則箱歸一化后的波函數(shù)為（3.4.13）

3.4連續(xù)譜本征函數(shù)（3.3.16）三維情況下，箱歸一化的正交歸一化條件是（3.3.15）（3.3.14）（3.3.17）其中

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