中考圓的知識(shí)點(diǎn)

中考圓的知識(shí)點(diǎn)演講人：日期：REPORTINGREPORTINGCATALOGUE目錄圓的基本概念與性質(zhì)圓的方程與函數(shù)關(guān)系三角形外接圓與內(nèi)切圓問(wèn)題四邊形外接圓與內(nèi)切圓問(wèn)題圓錐曲線與圓綜合問(wèn)題圓的綜合應(yīng)用與實(shí)際問(wèn)題01圓的基本概念與性質(zhì)REPORTING定義圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，這個(gè)定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑。表示方法用圓心和半徑表示，記作“圓O，半徑r”，讀作“圓O半徑為r”；用圓上任意三點(diǎn)表示。圓的定義及表示方法圓心角越大，其所對(duì)應(yīng)的弧就越長(zhǎng)；反之，圓心角越小，其所對(duì)應(yīng)的弧就越短。圓心角與弧的關(guān)系圓心角越大，其所對(duì)應(yīng)的弦就越長(zhǎng)；反之，圓心角越小，其所對(duì)應(yīng)的弦就越短。圓心角與弦的關(guān)系在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧是等弧，等弧所對(duì)的弦是等弦?；∨c弦的關(guān)系圓心角、弧、弦之間關(guān)系010203垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。垂徑定理及其推論01推論1平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。02推論2弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。03推論3平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。04在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。圓周角定理半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論1如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧也相等（在同圓或等圓中）。推論2圓周角定理及其推論02圓的方程與函數(shù)關(guān)系REPORTING圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2，其中(a,b)為圓心坐標(biāo)，r為半徑。圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F為常數(shù)，且D2+E2-4F>0。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程直線到圓心的距離大于圓的半徑。直線與圓相離直線到圓心的距離等于圓的半徑。直線與圓相切直線到圓心的距離小于圓的半徑，且直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)。直線與圓相交直線與圓的位置關(guān)系判斷010203切線斜率與半徑斜率關(guān)系切線與半徑垂直，即切線的斜率與半徑的斜率乘積為-1。切線方程求解通過(guò)已知切點(diǎn)坐標(biāo)和圓心坐標(biāo)，利用切線斜率與半徑斜率關(guān)系求解切線方程。圓的切線方程求解兩圓位置關(guān)系相交、相切（內(nèi)切、外切）、相離。公切線求解通過(guò)兩圓的位置關(guān)系，利用幾何性質(zhì)或代數(shù)方法求解公切線方程或公切線長(zhǎng)度。兩圓位置關(guān)系判斷及公切線求解03三角形外接圓與內(nèi)切圓問(wèn)題REPORTING外接圓半徑等于三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，且外接圓半徑等于三角形最長(zhǎng)邊的一半的圓。性質(zhì)利用三角形外接圓半徑公式求解，R=abc/(4K)，其中a、b、c為三角形三邊長(zhǎng)，K為三角形面積。求解方法三角形外接圓性質(zhì)及求解方法三角形內(nèi)切圓性質(zhì)及求解方法求解方法利用三角形內(nèi)切圓半徑公式求解，r=A/s，其中A為三角形面積，s為三角形半周長(zhǎng)。性質(zhì)內(nèi)切圓半徑等于三角形面積與半周長(zhǎng)之比的圓，且內(nèi)切圓與三角形三邊相切。三角形面積計(jì)算利用海倫公式或正弦定理計(jì)算三角形面積。外接圓與內(nèi)切圓面積關(guān)系外接圓面積與內(nèi)切圓面積之比為三角形三邊長(zhǎng)的平方和與半周長(zhǎng)的平方之比。與三角形面積相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題三角形內(nèi)心、外心等概念辨析內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，也是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊的距離相等。外心三角形外接圓的圓心，也是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。重心三角形三條中線的交點(diǎn)，將三角形分成面積相等的六個(gè)小三角形。垂心三角形三條高線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線垂直于對(duì)應(yīng)的底邊。04四邊形外接圓與內(nèi)切圓問(wèn)題REPORTING外接圓定義四邊形所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)圓稱為四邊形的外接圓。外接圓求解方法通過(guò)構(gòu)造垂直平分線或利用三角形外接圓性質(zhì)求解。四邊形外接圓性質(zhì)及求解方法四邊形所有邊都與同一個(gè)圓相切，這個(gè)圓稱為四邊形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓定義內(nèi)切圓的半徑等于四邊形面積除以半周長(zhǎng)；內(nèi)切圓圓心到四邊形各邊的距離相等。內(nèi)切圓性質(zhì)通過(guò)構(gòu)造角平分線或利用三角形內(nèi)切圓性質(zhì)求解。內(nèi)切圓求解方法四邊形內(nèi)切圓性質(zhì)及求解方法010203已知四邊形面積求內(nèi)外圓半徑利用上述關(guān)系式，結(jié)合其他條件求解。四邊形面積與內(nèi)外圓半徑關(guān)系四邊形面積等于其外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之和與兩圓半徑之差的乘積的一半。已知內(nèi)外圓半徑求四邊形面積利用上述關(guān)系式，代入已知條件求解。與四邊形面積相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題矩形中的圓矩形內(nèi)切圓半徑等于短邊的一半；矩形外接圓半徑等于對(duì)角線的一半。典型四邊形（如矩形、正方形）中的圓問(wèn)題正方形中的圓正方形內(nèi)切圓和外接圓重合，半徑均為正方形邊長(zhǎng)的一半。矩形、正方形中圓的切線問(wèn)題利用切線性質(zhì)，結(jié)合矩形、正方形特點(diǎn)求解。05圓錐曲線與圓綜合問(wèn)題REPORTING橢圓與圓相交、相切、相離，通過(guò)聯(lián)立方程求解交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用判別式確定位置關(guān)系。雙曲線與圓相交、相切，由于雙曲線兩支的對(duì)稱性，與圓相交時(shí)交點(diǎn)個(gè)數(shù)通常為2或4個(gè)，需結(jié)合圖像分析。橢圓、雙曲線與圓的位置關(guān)系通過(guò)聯(lián)立方程，將二次方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求解交點(diǎn)坐標(biāo)。拋物線開口向上或向下與圓相交類似地，通過(guò)聯(lián)立方程求解，注意此時(shí)可能涉及二次方程的復(fù)雜解法。拋物線開口向左或向右與圓相交拋物線與圓的位置關(guān)系利用圓錐曲線的定義如橢圓的焦點(diǎn)性質(zhì)，雙曲線的漸近線性質(zhì)等，結(jié)合圓的性質(zhì)，求解相關(guān)問(wèn)題。利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)如橢圓的長(zhǎng)軸、短軸，雙曲線的實(shí)軸、虛軸，以及它們與圓的關(guān)系，進(jìn)行幾何求解。利用圓錐曲線性質(zhì)解決圓的相關(guān)問(wèn)題綜合性問(wèn)題涉及圓錐曲線與圓的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，需要靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解，如求解圓的切線問(wèn)題，涉及圓的切點(diǎn)弦方程等。實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題圓錐曲線與圓的綜合應(yīng)用題型將圓錐曲線與圓的應(yīng)用與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，如天體運(yùn)動(dòng)、物理軌跡等，考察學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。010206圓的綜合應(yīng)用與實(shí)際問(wèn)題REPORTING利用垂徑定理可以解決與圓有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，如求弦長(zhǎng)、半徑等。垂徑定理切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，這個(gè)性質(zhì)常用于證明直線是圓的切線。切線性質(zhì)弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角，這個(gè)定理在證明角度相等或求解角度時(shí)非常有用。弦切角定理圓的性質(zhì)在幾何題目中的應(yīng)用010203通過(guò)圓心角、弧長(zhǎng)等概念與三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，利用三角函數(shù)求解圓的相關(guān)問(wèn)題。三角函數(shù)定義通過(guò)平移、伸縮等圖像變換手段，將復(fù)雜的三角函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圓，便于求解。三角函數(shù)圖像變換利用三角函數(shù)的最值性質(zhì)，解決與圓有關(guān)的最大值、最小值問(wèn)題。三角函數(shù)最值問(wèn)題圓與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用舉例車輪與軸承車輪和軸承都是圓形的，因?yàn)閳A具有均勻性和穩(wěn)定性，能夠減少摩擦和磨損。拱形結(jié)構(gòu)圓形管道許多建筑物和橋梁采用拱形結(jié)構(gòu)，因?yàn)楣靶文軌蚍稚毫Σ⒃鰪?qiáng)穩(wěn)定性，而拱形往往可以近似看作圓的一部分。在液體或氣體傳輸過(guò)程中，使用圓形管道可以減少阻力并提高效率。相交圓與公共弦如果兩個(gè)圓相切，則切點(diǎn)到圓心的連線與切線垂直，這個(gè)性質(zhì)可以用于求解切點(diǎn)坐標(biāo)或證明切線性質(zhì)