2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(新高考專用)重難點01不等式恒成立、能成立問題【七大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

重難點01不等式恒成立、能成立問題【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題】 2【題型2一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題】 2【題型3給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題】 3【題型4基本不等式求解恒成立問題】 4【題型5一元二次不等式在實數(shù)集上有解問題】 4【題型6一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題】 5【題型7一元二次不等式恒成立、有解問題綜合】 51、不等式恒成立、能成立問題一元二次不等式是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，“含參不等式恒成立與能成立問題”是?？嫉臒狳c內(nèi)容，這類問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等知識有機(jī)地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點多、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點備受高考命題者的青睞.另一方面，在解決這類數(shù)學(xué)問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維能力都起到很好的作用.【知識點1不等式恒成立、能成立問題】1．一元二次不等式恒成立、能成立問題不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))2．一元二次不等式恒成立問題的求解方法(1)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立.(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).①若ax2+bx+c>0恒成立，則有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，則有a<0，且△<0.②對第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象利用函數(shù)的最值求解(也可采用分離參數(shù)的方法).3．給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題的解題策略解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)；一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)；即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.4．常見不等式恒成立及有解問題的函數(shù)處理策略不等式恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理，具體如下：(1)對任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max；若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min；若對任意x∈[m,n]，a>f(x)無解a≤f(x)min.(2)對任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min；若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max；若對任意x∈[m,n]，a<f(x)無解a≥f(x)max.【題型1一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題】【例1】（2023·福建廈門·二模）“b∈0,4”是“?x∈R，bx2?bx+1>0成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-1】（2023·江西九江·模擬預(yù)測）無論x取何值時，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（A．?∞,?2 B．?∞,?4 C．【變式1-2】（2023·福建廈門·二模）不等式ax2?2x+1>0A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)>1 D．0<a<【變式1-3】（2023·四川德陽·模擬預(yù)測）已知p:0≤a≤2，q：任意x∈R,ax2?ax+1≥0，則p是qA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【題型2一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題】【例2】（2023·遼寧鞍山·二模）已知當(dāng)x>0時，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞【變式2-1】（23-24高一上·貴州銅仁·期末）當(dāng)x∈?1,1時，不等式2kx2?kx?3A．?3,0 B．?3,0 C．?3,18 【變式2-2】（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）若對于任意x∈m,m+1，都有x2+mx?1<0成立，則實數(shù)mA．?23,0C．?23,0【變式2-3】（22-23高一上·安徽馬鞍山·期末）已知對一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2?xy+y2A．m≤6 B．?6≤m≤0C．m≥0 D．0≤m≤6【題型3給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題】【例3】（23-24高一上·山東淄博·階段練習(xí)）若命題“??1≤a≤3，ax2?2a?1x+3?a<0A．x?1≤x≤4 B．C．x?1≤x≤0或5【變式3-1】（23-24高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）當(dāng)1≤m≤2時，mx2?mx?1<0恒成立，則實數(shù)xA．1?B．1?C．1?D．1?【變式3-2】（23-24高一下·河南濮陽·期中）已知當(dāng)?1≤a≤1時，x2+a?4x+4?2a>0恒成立，則實數(shù)A．?∞,3 C．?∞,1 【變式3-3】（2008·寧夏·高考真題）已知a1>a2>A．0,1a1 B．0,2a1【題型4基本不等式求解恒成立問題】【例4】（23-24高一下·貴州貴陽·期中）對任意的x∈0,+∞，x2?2mx+1>0恒成立，則A．1,+∞ B．?1,1 C．?∞,1【變式4-1】（22-23高三上·河南·期末）已知a>0，b∈R，若x>0時，關(guān)于x的不等式ax?2x2+bx?5≥0恒成立，則A．2 B．25 C．43 【變式4-2】（23-24高三上·山東威海·期中）關(guān)于x的不等式ax2?|x|+2a≥0的解集是(?∞,+A．24,+∞ B．?∞,2【變式4-3】（23-24高一上·湖北·階段練習(xí)）已知x>0,y>0，且1x+2+1y=27A．?4,7 B．?2,7 C．?4,2 【題型5一元二次不等式在實數(shù)集上有解問題】【例5】（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）若存在實數(shù)x，使得mx2?m?2x+m<0A．?∞,2 C．?∞,2【變式5-1】（22-23高一上·內(nèi)蒙古興安盟·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2?4x?2?a≤0有解，則實數(shù)a的取值范圍是（A．a(chǎn)a≥?2 B．a(chǎn)a≤?2 C．a(chǎn)a≥?6【變式5-2】（23-24高一上·山東臨沂·階段練習(xí)）若不等式?x2+ax?1>0有解，則實數(shù)aA．a(chǎn)<?2或a>2 B．?2<a<2 C．a(chǎn)≠±2 D．1<a<3【變式5-3】（23-24高一上·江蘇徐州·期中）已知關(guān)于x的不等式?x2+4x≥a2?3a在A．a(chǎn)?1≤a≤4 B．C．a(chǎn)a≥4或a≤?1 D．【題型6一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題】【例6】（2023·福建寧德·模擬預(yù)測）命題“?x∈[1,2],x2≤aA．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥4C．a(chǎn)≥?2 D．a(chǎn)≤4【變式6-1】（22-23高二上·河南·開學(xué)考試）設(shè)a為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2?ax+7≥0在區(qū)間2,7上有實數(shù)解，則a的取值范圍是（A．?∞,8 B．?∞,8 C．【變式6-2】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一個x<0，使得關(guān)于x的不等式3?3x?a>x2+2xA．?374,3 B．?3,134 【變式6-3】（22-23高一上·江蘇宿遷·期末）若命題“?x0∈(0,+∞)，使得xA．?∞,?2,C．?2,6 D．2?【題型7一元二次不等式恒成立、有解問題綜合】【例7】（23-24高一上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式2x?1>m(x(1)是否存在實數(shù)m，使不等式對任意x∈R恒成立，并說明理由；(2)若不等式對于m∈?2,2恒成立，求實數(shù)x(3)若不等式對x∈[2,+∞)有解，求【變式7-1】（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=ax(1)若y+2>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍：(2)當(dāng)a=1時，?t>?2，關(guān)于x的不等式y(tǒng)≤?3x+3+m在[?2,t]有解，求實數(shù)m的取值范圍．【變式7-2】（23-24高一上·浙江臺州·期中）已知函數(shù)fx=2x2(1)當(dāng)a=1時，解不等式fx(2)若任意x>0，都有fx>gx(3)若?x1∈0,1，?x【變式7-3】（23-24高一上·山東威海·期中）已知函數(shù)f(x)=(1)解關(guān)于x的不等式f(x)≤6?3a；(2)若對任意的x∈[1,4]，f(x)+a+5≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍(3)已知g(x)=mx+7?3m，當(dāng)a=1時，若對任意的x1∈[1,4]，總存在x2∈[1,4]，使一、單選題1．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知命題“?x0∈?1,1，?xA．?∞,?2 B．?∞,4 C．2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<23．（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的x∈(0,+∞),x2?mx+1>0A．(?2,2) B．(2,+∞) C．(?∞4．（2023·寧夏中衛(wèi)·二模）已知點A(1,4)在直線xa+yb=1a>0,b>0上，若關(guān)于t的不等式A．?6,1 B．?1,6C．?∞,?1∪5．（23-24高二上·山東濰坊·階段練習(xí)）若兩個正實數(shù)x，y滿足1x+4y=2A．?1,2 B．?C．?2,1 D．?6．（23-24高一上·全國·單元測試）不等式2x2?axy+y2≥0，對于任意1≤x≤2及A．a(chǎn)|a≤22 B．C．a(chǎn)|a≤13 7．（2023·江西九江·二模）已知命題p：?x∈R，x2+2x+2?a<0，若p為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為（A．(1,+∞) B．[1,+∞) C．8．（2024·上海黃浦·模擬預(yù)測）已知不等式ρ：ax2+bx+c<0a≠0有實數(shù)解．結(jié)論（1）：設(shè)x1，x2是ρ的兩個解，則對于任意的x1，x2，不等式x1+xA．結(jié)論①、②都成立 B．結(jié)論①、②都不成立C．結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立 D．結(jié)論①不成立，結(jié)論②成立二、多選題9．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）若對于任意實數(shù)x，不等式a?1x2?2a?1x?4<0A．?2 B．0 C．?4 D．110．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．不等式4x2B．不等式2x2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，則D．若關(guān)于x的不等式2x2+px?3<0的解集是q,1，則11．（22-23高三上·河北唐山·階段練習(xí)）若ax?4x2+b≥0對任意x∈?∞,0恒成立，其中A．?7 B．?5 C．?6 D．?17三、填空題12．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）若?x∈R,a<x2+113．（2024·遼寧·三模）若“?x∈0,+∞，使x2?ax+4<0”是假命題，則實數(shù)14．（2023·河北·模擬預(yù)測）若?x∈R，ax2+ax+a?3<0，則a四、解答題15．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2x?a，且f(1)求a和b的值；(2)若fx≤x?t在?1,016．（2024·新疆烏魯木齊·一模）已知函數(shù)fx（1）求不等式fx（2）若不等式fx≥x2?ax+117．（23-24高一上·江蘇·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=ax（1）若關(guān)于x的不等式fx≥?2有實數(shù)解，求實數(shù)（2）若不等式fx≥?2對于實數(shù)a∈?1,1（3）解關(guān)于x的不等式：f(x)<a?1,(a∈R).18．（22-23高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=2時，求fx(2)是否存在實數(shù)x，使得不等式a2x2+2ax?a2+1≥019．（2024·全國·一模）已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正數(shù)．（1）求證：1（2）是否存在實數(shù)m，使得關(guān)于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2對所有滿足題設(shè)條件的正實數(shù)a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．重難點01不等式恒成立、能成立問題【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題】 2【題型2一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題】 3【題型3給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題】 5【題型4基本不等式求解恒成立問題】 7【題型5一元二次不等式在實數(shù)集上有解問題】 10【題型6一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題】 11【題型7一元二次不等式恒成立、有解問題綜合】 131、不等式恒成立、能成立問題一元二次不等式是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，“含參不等式恒成立與能成立問題”是常考的熱點內(nèi)容，這類問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等知識有機(jī)地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點多、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點備受高考命題者的青睞.另一方面，在解決這類數(shù)學(xué)問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維能力都起到很好的作用.【知識點1不等式恒成立、能成立問題】1．一元二次不等式恒成立、能成立問題不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))2．一元二次不等式恒成立問題的求解方法(1)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立.(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù).①若ax2+bx+c>0恒成立，則有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，則有a<0，且△<0.②對第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象利用函數(shù)的最值求解(也可采用分離參數(shù)的方法).3．給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題的解題策略解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)；一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)；即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.4．常見不等式恒成立及有解問題的函數(shù)處理策略不等式恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理，具體如下：(1)對任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max；若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min；若對任意x∈[m,n]，a>f(x)無解a≤f(x)min.(2)對任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min；若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max；若對任意x∈[m,n]，a<f(x)無解a≥f(x)max.【題型1一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題】【例1】（2023·福建廈門·二模）“b∈0,4”是“?x∈R，bxA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由?x∈R，bx2【解答過程】由?x∈R，bx2?bx+1>0成立，則當(dāng)b=0時，當(dāng)b≠0時，b>0b2?4b<0因此?x∈R，bx2因為(0,4)[0,4)，所以“b∈0,4”是“?x∈R，故選：A.【變式1-1】（2023·江西九江·模擬預(yù)測）無論x取何值時，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（A．?∞,?2 B．?∞,?4 C．【解題思路】由題知4k【解答過程】解：因為無論x取何值時，不等式x2所以，4k2?16<0所以，k的取值范圍是?2,2故選：D.【變式1-2】（2023·福建廈門·二模）不等式ax2?2x+1>0A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)>1 D．0<a<【解題思路】分a=0和a≠0兩種情況討論求出a的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【解答過程】當(dāng)a=0時，?2x+1>0，得x<1當(dāng)a≠0時，則a>0Δ=4?4a<0，解得綜上所述，a>1，所以不等式ax2?2x+1>0故選：A.【變式1-3】（2023·四川德陽·模擬預(yù)測）已知p:0≤a≤2，q：任意x∈R,ax2?ax+1≥0，則p是qA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)一元二次不等式恒成立解得q：0≤a≤4，結(jié)合充分、必要條件的概念即可求解.【解答過程】命題q：一元二次不等式ax2?ax+1≥0當(dāng)a=0時，1>0,符合題意；當(dāng)a≠0時，有a>0Δ≤0，即a>0a∴q：0≤a≤4．又p：0≤a≤2，設(shè)A=[0,2],B=[0,4]，則A是B的真子集，所以p是q成立的充分非必要條件，故選：A．【題型2一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題】【例2】（2023·遼寧鞍山·二模）已知當(dāng)x>0時，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞【解題思路】先由x2?mx+16>0得m<x+16x，由基本不等式得【解答過程】當(dāng)x>0時，由x2?mx+16>0得因x>0，故x+16x≥2x×16因當(dāng)x>0時，m<x+16x恒成立，得故選：C.【變式2-1】（23-24高一上·貴州銅仁·期末）當(dāng)x∈?1,1時，不等式2kx2?kx?3A．?3,0 B．?3,0 C．?3,18 【解題思路】對二項式系數(shù)進(jìn)行分類，結(jié)合二次函數(shù)定義的性質(zhì)，列出關(guān)系式求解.【解答過程】當(dāng)x∈?1,1時，不等式2k當(dāng)k=0時，滿足不等式恒成立；當(dāng)k≠0時，令fx=2kx2?kx?函數(shù)fx的圖像拋物線對稱軸為x=k>0時，fx在?1,14則有f?1=2k+k?3k<0時，fx在?1,14則有f14=綜上可知，k的取值范圍是?3,1故選：D.【變式2-2】（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）若對于任意x∈m,m+1，都有x2+mx?1<0成立，則實數(shù)mA．?23,0C．?23,0【解題思路】利用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運(yùn)算即可得解.【解答過程】由題意，對于?x∈m,m+1都有f(x)=∴fm=m即實數(shù)m的取值范圍是?2故選：B.【變式2-3】（22-23高一上·安徽馬鞍山·期末）已知對一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2?xy+y2A．m≤6 B．?6≤m≤0C．m≥0 D．0≤m≤6【解題思路】令t=yx，分析可得原題意等價于對一切t∈1,3【解答過程】∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，則1x∴yx又∵mx2?xy+可得m≥y令t=yx∈1,3，則原題意等價于對一切∵y=t?t2的開口向下，對稱軸則當(dāng)t=1時，y=t?t2取到最大值故實數(shù)m的取值范圍是m≥0.故選：C.【題型3給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題】【例3】（23-24高一上·山東淄博·階段練習(xí)）若命題“??1≤a≤3，ax2?2a?1x+3?a<0A．x?1≤x≤4 B．C．x?1≤x≤0或5【解題思路】由題意可得：命題“??1≤a≤3,ax【解答過程】由題意可得：命題“??1≤a≤3,ax即ax2?則?x2?2x?1+x+3≥03即實數(shù)x的取值范圍為x?1≤x≤0故選：C.【變式3-1】（23-24高一上·廣東深圳·階段練習(xí)）當(dāng)1≤m≤2時，mx2?mx?1<0恒成立，則實數(shù)xA．1?B．1?C．1?D．1?【解題思路】將不等式整理成關(guān)于m的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)性質(zhì)解不等式即可求得結(jié)果.【解答過程】根據(jù)題意可將不等式整理成關(guān)于m的一次函數(shù)x2由一次函數(shù)性質(zhì)可知x2?x×1?1<0解得1?52<x<故選：B.【變式3-2】（23-24高一下·河南濮陽·期中）已知當(dāng)?1≤a≤1時，x2+a?4x+4?2a>0恒成立，則實數(shù)A．?∞,3 C．?∞,1 【解題思路】將x2+a?4x+4?2a>0化為x?2a+x2?4x+4>0，將a看成主元，令【解答過程】解：x2即x?2a+x2令fa=x?2當(dāng)x=2時，fa=0，不符題意，故當(dāng)x>2時，函數(shù)fa在a∈則fa解得x>3或x<2（舍去），當(dāng)x<2時，函數(shù)fa在a∈則fa解得x<1或x>2（舍去），綜上所述，實數(shù)x的取值范圍是?∞故選：D.【變式3-3】（2008·寧夏·高考真題）已知a1>a2>A．0,1a1 B．0,2a1【解題思路】由(1?aix)【解答過程】由(1?aix)即x(ai2因為a1>a所以0<x<2故選：B.【題型4基本不等式求解恒成立問題】【例4】（23-24高一下·貴州貴陽·期中）對任意的x∈0,+∞，x2?2mx+1>0恒成立，則A．1,+∞ B．?1,1 C．?∞,1【解題思路】參變分離可得2m<x+1x對任意的x∈0,+【解答過程】因為對任意的x∈0,+∞，所以對任意的x∈0,+∞，又x+1x≥2x?1所以2m<2，解得m<1，即m的取值范圍為?∞故選：D.【變式4-1】（22-23高三上·河南·期末）已知a>0，b∈R，若x>0時，關(guān)于x的不等式ax?2x2+bx?5≥0恒成立，則A．2 B．25 C．43 【解題思路】根據(jù)題意設(shè)y=ax?2，y=x2+bx?5，由一次函數(shù)以及不等式(ax?2)x2+bx?5≥0【解答過程】設(shè)y=ax?2（x>0），y=x2+bx?5因為a>0，所以當(dāng)0<x<2a時，當(dāng)x=2a時，當(dāng)x>2a時，由不等式(ax?2)x2+bx?5≥0恒成立，得：即當(dāng)0<x≤2a時，當(dāng)x≥2a時，所以當(dāng)x=2a時，y=x2+bx?5=0則當(dāng)a>0時，b+4當(dāng)且僅當(dāng)5a2=2所以b+4a的最小值為故選：B.【變式4-2】（23-24高三上·山東威?！て谥校╆P(guān)于x的不等式ax2?|x|+2a≥0的解集是(?∞,+A．24,+∞ B．?∞,2【解題思路】不等式ax2?|x|+2a≥0的解集是(?∞,+∞)，即對于?x∈R，a【解答過程】解：不等式ax2?|x|+2a≥0即對于?x∈R，ax即a≥x當(dāng)x=0時，a≥0，當(dāng)a≠0時，a≥x因為1x所以a≥2綜上所述a∈2故選：A.【變式4-3】（23-24高一上·湖北·階段練習(xí)）已知x>0,y>0，且1x+2+1y=27A．?4,7 B．?2,7 C．?4,2 【解題思路】利用基本不等式“1”的代換求不等式左側(cè)最小值，結(jié)合x+2+y>m【解答過程】因為x>0,y>0，且1x+2所以x+2+y=≥72×又因為x+2+y>m所以14>m解得?7<m<2.所以實數(shù)m的取值范圍是?7,2.故選：D.【題型5一元二次不等式在實數(shù)集上有解問題】【例5】（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）若存在實數(shù)x，使得mx2?m?2x+m<0A．?∞,2 C．?∞,2【解題思路】分別在m=0、m>0和m<0的情況下，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論得到結(jié)果.【解答過程】①當(dāng)m=0時，不等式化為2x<0，解得：x<0，符合題意；②當(dāng)m>0時，y=mx只需Δ=m?22③當(dāng)m<0時，y=mx則必存在實數(shù)x，使得mx綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為?∞故選：C.【變式5-1】（22-23高一上·內(nèi)蒙古興安盟·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2?4x?2?a≤0有解，則實數(shù)a的取值范圍是（A．a(chǎn)a≥?2 B．a(chǎn)a≤?2 C．a(chǎn)a≥?6【解題思路】直接利用判別式即可研究不等式的解的情況.【解答過程】若關(guān)于x的不等式x2則Δ=16+42+a≥0故選：C.【變式5-2】（23-24高一上·山東臨沂·階段練習(xí)）若不等式?x2+ax?1>0有解，則實數(shù)aA．a(chǎn)<?2或a>2 B．?2<a<2 C．a(chǎn)≠±2 D．1<a<3【解題思路】根據(jù)一元二次不等式有實數(shù)解的充要條件列式求解作答.【解答過程】不等式?x2+ax?1>0因此Δ=a2?4>0，解得所以實數(shù)a的取值范圍為a<?2或a>2.故選：A.【變式5-3】（23-24高一上·江蘇徐州·期中）已知關(guān)于x的不等式?x2+4x≥a2?3a在A．a(chǎn)?1≤a≤4 B．C．a(chǎn)a≥4或a≤?1 D．【解題思路】由題意知x2?4x+a2?3a≤0在R【解答過程】因為關(guān)于x的不等式?x2+4x≥即x2?4x+a只需y=x2?4x+所以Δ=?4即a2?3a?4≤0，所以解得：?1≤a≤4，所以實數(shù)a的取值范圍是a?1≤a≤4故選：A.【題型6一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題】【例6】（2023·福建寧德·模擬預(yù)測）命題“?x∈[1,2],x2≤aA．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥4C．a(chǎn)≥?2 D．a(chǎn)≤4【解題思路】根據(jù)能成立問題求a的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件理解判斷.【解答過程】∵?x∈[1,2],x2≤a，則x∴a的取值范圍1,+由題意可得：選項中的取值范圍對應(yīng)的集合應(yīng)為1,+∞結(jié)合選項可知B對應(yīng)的集合為4,+∞為1,+∴符合的只有B，故選：B.【變式6-1】（22-23高二上·河南·開學(xué)考試）設(shè)a為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2?ax+7≥0在區(qū)間2,7上有實數(shù)解，則a的取值范圍是（A．?∞,8 B．?∞,8 C．【解題思路】參變分離，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合能成立問題求最值即可.【解答過程】由題意，因為x∈2,7，故a≤x+7x在區(qū)間2,7上有實數(shù)解，則a<x+7xmax，又gx=x+7x在2,7上單調(diào)遞減，在7,7故選：A.【變式6-2】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一個x<0，使得關(guān)于x的不等式3?3x?a>x2+2xA．?374,3 B．?3,134 【解題思路】化簡不等式3?3x?a>x【解答過程】依題意，至少存在一個x<0，使得關(guān)于x的不等式3?3x?a即至少存在一個x<0，使得關(guān)于x的不等式?x畫出y=?x2?2x+3x<0以及當(dāng)y=3x?a與y=?x由y=3x?ay=?x2?2x+3消去Δ=25+4a+12=0,a=?當(dāng)y=?3x+a與y=?x由y=?3x+ay=?x2?2x+3消去由Δ=1?4a+12=0解得a=134解得x=1當(dāng)y=?3x+a過0,3時，a=3.結(jié)合圖象可知a的取值范圍是?37故選：A.【變式6-3】（22-23高一上·江蘇宿遷·期末）若命題“?x0∈(0,+∞)，使得xA．?∞,?2,C．?2,6 D．2?【解題思路】根據(jù)題意可知“?x0∈(0,+【解答過程】因為“?x0∈(0,+所以“?x0∈(0,+即a<?x02+3x因為?x當(dāng)且僅當(dāng)x0所以?x02+3x故選：B.【題型7一元二次不等式恒成立、有解問題綜合】【例7】（23-24高一上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式2x?1>m(x(1)是否存在實數(shù)m，使不等式對任意x∈R恒成立，并說明理由；(2)若不等式對于m∈?2,2恒成立，求實數(shù)x(3)若不等式對x∈[2,+∞)有解，求【解題思路】將2x?1>m(x2?1)（1）討論m=0和m≠0時的情況；（2）f(m)=(x2?1)m?(2x?1)（3）討論當(dāng)m=0時，當(dāng)m<0時，當(dāng)m>0時，如何對x∈[2,+∞)有解，其中m<0，【解答過程】（1）原不等式等價于mx當(dāng)m=0時，?2x+1<0，即x>1當(dāng)m≠0時，若不等式對于任意實數(shù)x恒成立，則m<0且Δ=4?4m(1?m)<0綜上，不存在實數(shù)m，使不等式恒成立.（2）設(shè)f(m)=(x當(dāng)m∈?2,2時，f(m)<0當(dāng)且僅當(dāng)f(2)<0f(?2)<0，即2解得1?32<x<所以x的取值范圍是(?1+（3）若不等式對x∈[2,+∞等價于x∈[2,+∞)時，令g(x)=mx當(dāng)m=0時，?2x+1<0即x>12，此時顯然在當(dāng)m<0時，x∈[2,+∞)時，結(jié)合一元二次函數(shù)圖象，當(dāng)m>0時，y=g(x)對稱軸為x=1m，∵x∈[2,+∞)時，∴結(jié)合一元二次函數(shù)圖象，易得：g(2)<0或g2解得m<1或m≥1m<又∵m>0，∴0<m<1;綜上所述，m的取值范圍為(?∞【變式7-1】（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=ax(1)若y+2>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍：(2)當(dāng)a=1時，?t>?2，關(guān)于x的不等式y(tǒng)≤?3x+3+m在[?2,t]有解，求實數(shù)m的取值范圍．【解題思路】（1）利用一元二次不等式恒成立的條件即可求解；（2）根據(jù)已知條件及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答過程】（1）y+2>0恒成立，即ax當(dāng)a=0時，?3x+8>0，解得x<8當(dāng)a≠0時，a>04a所以實數(shù)a的取值范圍為12（2）當(dāng)a=1時，?t>?2，關(guān)于x的不等式y(tǒng)≤?3x+3+m在[?2,t]有解，則?2是x2因為拋物線y=x2?2x+3所以11?m≤0，解得m≥11，所以m的取值范圍為11,+∞【變式7-2】（23-24高一上·浙江臺州·期中）已知函數(shù)fx=2x2(1)當(dāng)a=1時，解不等式fx(2)若任意x>0，都有fx>gx(3)若?x1∈0,1，?x【解題思路】（1）作差后解一元二次不等式即可.（2）解法一：構(gòu)造函數(shù)，分類討論求解二次函數(shù)最小值，然后列不等式求解即可；解法二：分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)k=x+15（3）把問題轉(zhuǎn)化為fx【解答過程】（1）當(dāng)a=1時，fx=2所以fx?gx=x2+（2）若對任意x>0，都有fx>gx成立，即x解法一：設(shè)?x=x2+1?ax+①當(dāng)a?12≤0，即a≤1時，?x在0，+②當(dāng)a?12>0，即a>1時，?x在0,所以?x>?a?12=?所以1<a<1+15綜上，a<1+15解法二：不等式可化為a?1x<x2+154，即由題意，只須a?1<kxmin，當(dāng)且僅當(dāng)x=154x即x=15所以a?1<15，即a<1+（3）若對任意x1∈0,1，存在x即只需滿足fxmin>ggx=x2?x+a2?31gxmin=g12=a①a4≤0即a≤0時，fx在0,1②0<a4<1即0<a<4時，fx在fxmin=fa4=7③a4≥1即a≥4時，fx在0,1遞減，f所以a2?a?2>a2?8【變式7-3】（23-24高一上·山東威?！て谥校┮阎瘮?shù)f(x)=(1)解關(guān)于x的不等式f(x)≤6?3a；(2)若對任意的x∈[1,4]，f(x)+a+5≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍(3)已知g(x)=mx+7?3m，當(dāng)a=1時，若對任意的x1∈[1,4]，總存在x2∈[1,4]，使【解題思路】（1）由不等式f(x)≤6?3a轉(zhuǎn)化為(x?3)(x?a)≤0，分a<3，a=3，a>3討論求解；（2）將對任意的x∈[1,4]，f(x)+a+5≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為對任意的x∈[1,4]，a(x?1)≤x2?3x+11恒成立，當(dāng)x=1，恒成立，當(dāng)x∈(1,4]（3）分析可知函數(shù)fx在區(qū)間1,4上的值域是函數(shù)gx在區(qū)間1,4上的值域的子集，分m=0、m<0、m>0三種情況討論，求出兩個函數(shù)的值域，可得出關(guān)于實數(shù)m的不等式組，綜合可得出實數(shù)【解答過程】（1）因為函數(shù)f(x)=x所以f(x)≤6?3a，即為x2?(a+3)x+3a≤0，所以(x?3)(x?a)≤0當(dāng)a<3時，解得a≤x≤3，當(dāng)a=3時，解得x=3，當(dāng)a>3時，解得3≤x≤a，

綜上，當(dāng)a<3時，不等式的解集為xa≤x≤3，當(dāng)a≥3時，不等式的解集為（2）因為對任意的x∈[1,4],f(x)+a+5≥0恒成立，所以對任意的x∈[1,4]，a(x?1)≤x當(dāng)x=1時，0≤9恒成立，所以對任意的x∈(1,4]時，a≤(x?1)+9x?1令(x?1)+9x?1?1≥2(x?1)?9所以a≤5，所以實數(shù)a的取值范圍是(?（3）當(dāng)a=1時，f(x)=x2?4x+6，因為x∈[1,4]，所以函數(shù)f(x)因為對任意的x1∈[1,4]，總存在x2所以f(x)的值域是g(x)的值域的子集，

當(dāng)m>0時，g(x)∈[7?2m,m+7]，則m>07?2m≤2m+7≥6當(dāng)m<0時，g(x)∈[m+7,7?2m]，則m<07?2m≥6m+7≤2，解得當(dāng)m=0時，g(x)∈{7}，不成立；綜上，實數(shù)m的取值范圍(?∞一、單選題1．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知命題“?x0∈?1,1，?xA．?∞,?2 B．?∞,4 C．【解題思路】由題知x0∈?1,1【解答過程】解：因為命題“?x0∈所以，命題“?x0∈所以，x0∈?1,1因為，y=x所以，當(dāng)x∈?1,1時，ymin=?2所以，x0∈?1,1時，a>x故選：C.2．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<2【解題思路】分類討論k=0與k≠0兩種情況，結(jié)合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.【解答過程】當(dāng)k=0時，不等式kx2+當(dāng)k≠0時，因為kx所以k>0Δ=k?6綜上：2<k<18.故選：C.3．（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的x∈(0,+∞),x2?mx+1>0A．(?2,2) B．(2,+∞) C．(?∞【解題思路】變形給定不等式，分離參數(shù)，利用均值不等式求出最小值作答.【解答過程】?x∈(0,+∞),x2?mx+1>0?m<x+1x，而當(dāng)x>0則m<2，所以m的取值范圍是(?∞故選：C.4．（2023·寧夏中衛(wèi)·二模）已知點A(1,4)在直線xa+yb=1a>0,b>0上，若關(guān)于t的不等式A．?6,1 B．?1,6C．?∞,?1∪【解題思路】將點代入直線方程，再利用基本不等式求得a+b的最小值，從而將問題轉(zhuǎn)化9≥t【解答過程】因為點A(1,4)在直線xa所以1a故a+b=a+b當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab且因為關(guān)于t的不等式a+b≥t所以9≥t2+5t+3所以t∈?6,1故選：A.5．（23-24高二上·山東濰坊·階段練習(xí)）若兩個正實數(shù)x，y滿足1x+4y=2A．?1,2 B．?C．?2,1 D．?【解題思路】利用均值不等式求出最小值，根據(jù)題意列不等式求解即可.【解答過程】x+≥121+1+2=2，要使得不等式解得m>2或者m<?1，故選：D.6．（23-24高一上·全國·單元測試）不等式2x2?axy+y2≥0，對于任意1≤x≤2及A．a(chǎn)|a≤22 B．C．a(chǎn)|a≤13 【解題思路】由于在不等式2x2?axy+y2≥0中出現(xiàn)兩個變量，對其進(jìn)行變形令t=x【解答過程】由y∈1,3，則不等式2x2?axy+y令t=xy，則不等式轉(zhuǎn)化為：2t2?at+1≥0，在t∈13又2t+1t≥22t×1t=22，當(dāng)且僅當(dāng)故可得a≤22故選：A．7．（2023·江西九江·二模）已知命題p：?x∈R，x2+2x+2?a<0，若p為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為（A．(1,+∞) B．[1,+∞) C．【解題思路】首先由p為假命題，得出?p為真命題，即?x∈R，x2+2x+2?a≥0恒成立，由Δ≤0【解答過程】因為命題p：?x∈R，x2所以?p：?x∈R，x2又因為p為假命題，所以?p為真命題，即?x∈R，x2所以Δ≤0，即2解得a≤1，故選：D．8．（2024·上海黃浦·模擬預(yù)測）已知不等式ρ：ax2+bx+c<0a≠0有實數(shù)解．結(jié)論（1）：設(shè)x1，x2是ρ的兩個解，則對于任意的x1，x2，不等式x1+xA．結(jié)論①、②都成立 B．結(jié)論①、②都不成立C．結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立 D．結(jié)論①不成立，結(jié)論②成立【解題思路】根據(jù)一元二次不等式與二次方程以及二次函數(shù)之間的關(guān)系，以及考慮特殊情況通過排除法確定選項.【解答過程】當(dāng)a<0且Δ=ρ：ax2+bx+c<0a≠0的解為全體實數(shù)，故對任意的x1，x2，x1當(dāng)a<0且Δ=b2?4ac>0時，ρ：ax2+bx+c<0的解為xx<p或x>q，其中p,q是ax2+bx+c=0故選：B.二、多選題9．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）若對于任意實數(shù)x，不等式a?1x2?2a?1x?4<0A．?2 B．0 C．?4 D．1【解題思路】首先當(dāng)a=1，不等式為?4<0恒成立，故滿足題意；其次a≠1，問題變?yōu)榱艘辉尾坏仁胶愠闪栴}，則當(dāng)且僅當(dāng)【解答過程】當(dāng)a=1時，不等式為?4<當(dāng)a≠1時，要滿足a?1<0Δ而Δ=4所以解得?3<a<1；綜上，實數(shù)a的取值范圍是?3,1；所以對比選項得，實數(shù)a可能是?2，0，1.故選：ABD.10．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．不等式4x2B．不等式2x2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，則D．若關(guān)于x的不等式2x2+px?3<0的解集是q,1，則【解題思路】對于AB，直接解一元二次不等式即可判斷；對于C，對a分類討論即可判斷；對于D，由一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關(guān)系，先求得p,q，然后即可判斷.【解答過程】對于A，4x2?5x+1>0?對于B，2x若不等式ax當(dāng)a=0時，21<0是不可能成立的，所以只能a<0Δ對于D，由題意得q,1是一元二次方程2x從而q×1=?322+p?3=0而當(dāng)p=1,q=?32時，一元二次不等式所以p+q的值為?1故選：CD.11．（22-23高三上·河北唐山·階段練習(xí)）若ax?4x2+b≥0對任意x∈?∞,0恒成立，其中A．?7 B．?5 C．?6 D．?17【解題思路】對b分類討論，當(dāng)b≥0時，由ax?4x2+b≥0可得ax【解答過程】當(dāng)b≥0時，由ax?4x2+即a≤4x對任意x當(dāng)b<0時，由ax?4x可設(shè)fx=ax?4，由題意可知a<04a=??b，再由a，b所以a+b的可能取值為?17或?5故選：BCD.三、填空題12．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）若?x∈R,a<x2+1，則實數(shù)a【解題思路】利用二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.【解答過程】由題得a<x2+1min=1故答案為：?∞13．（2024·遼寧·三模）若“?x∈0,+∞，使x2?ax+4<0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為“a≤x+4x在【解答過程】因為“?x∈0,+∞，使所以“?x∈0,+∞，其等價于a≤x+4x在又因為對勾函數(shù)fx=x+4x在所以fx所以a≤4，即實數(shù)a的取值范圍為(?∞故答案為：(?∞14．（2023·河北·模擬預(yù)測）若?x∈R，ax2+ax+a?3<0，則a的一個可取的正整數(shù)值為【解題思路】由判別式大于0求解.【解答過程】由題意Δ=a2a的正整數(shù)值為1或2或3，故答案為：1（也可取2，3）．四、解答題15．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2x?a，且f(1)求a和b的值；(2)若fx≤x?t在?1,0【解題思路】（1）根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)即可求解，（2）將問題轉(zhuǎn)化為3x2+【解答過程】（1）由fx≤b得易知b≥0，則?b≤2x?a≤b，解得a?b2由于fx≤b的解集為?1,3，則b+a2（2）由（1）知fx=2x?2，由f得3x2+Δ=(2t?8)2令gx=3x2+則g?1≤0g0≤0，即?故實數(shù)t的取值范圍為?∞16．（2024·新疆烏魯木齊