2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)(新高考專用)專題6.4數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法【十二大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題6.4數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法【十二大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1觀察法】 3【題型2定義法】 4【題型3由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)】 5【題型4累加法】 5【題型5累乘法】 6【題型6構(gòu)造法】 7【題型7由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)】 8【題型8由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)】 9【題型9周期數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題】 10【題型10正負(fù)、奇偶討論型求通項(xiàng)】 11【題型11雙數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題】 12【題型12特殊數(shù)列求通項(xiàng)】 131、數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推關(guān)系(2)掌握求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法2022年新高考全國(guó)I卷：第17題，10分2023年新高考I卷：第20題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第17題，12分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第17題，12分2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第18題，12分?jǐn)?shù)列是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解是高考考查的熱點(diǎn)，主要以解答題的形式考查，一般出現(xiàn)在第一小問(wèn)中，難度不大；有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在選擇題、填空題中，與函數(shù)、不等式等綜合考查；數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法多種多樣，需要靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的通項(xiàng)公式】1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{}的第n項(xiàng)與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.2．?dāng)?shù)列的遞推公式(1)遞推公式的概念如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.(2)對(duì)數(shù)列遞推公式的理解①與“不一定所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.

②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實(shí)上，遞推公式和通項(xiàng)公式一樣，都是關(guān)于項(xiàng)的序號(hào)n的恒等式.如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng).

③用遞推公式求出一個(gè)數(shù)列，必須給出：基礎(chǔ)——數(shù)列{}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；

遞推關(guān)系——數(shù)列{}的任意一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)()(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可以用等式來(lái)表示.【知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的通項(xiàng)公式的常見(jiàn)求法】1．觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).2．定義法：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式的類型，對(duì)于含參的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列的定義結(jié)合已知條件，求出通項(xiàng)公式中的參數(shù)，從而得到此數(shù)列的通項(xiàng).3．公式法：由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)：(1)已知Sn求an的常用方法是利用=轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.(2)Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn-1的關(guān)系式，再求解.方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an-1的關(guān)系式，再求解.4．累加法：形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).5．累乘法：形如an+1=an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為的形式，可用累乘法，也可用代入求出通項(xiàng).6．構(gòu)造法：①形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.②形如an+1=pan+qn+c的數(shù)列，引入?yún)?shù)x，y，構(gòu)造新的等比數(shù)列{}.③形如an+1=pan+qn的數(shù)列，兩邊同除以qn+1，構(gòu)造新的數(shù)列{}.④形如(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.7．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式法：(1)如果給定的數(shù)列是等差數(shù)列，求出首項(xiàng)和公差，直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；(2)如果給定的數(shù)列可以構(gòu)造出等差數(shù)列，先求出構(gòu)造的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，在通過(guò)遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式.8．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式法：(1)如果給定的數(shù)列是等比數(shù)列，求出首項(xiàng)和公比，直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；(2)如果給定的數(shù)列可以構(gòu)造出等比數(shù)列，先求出構(gòu)造的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，在通過(guò)遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題型1觀察法】【例1】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）數(shù)列1,?22,12,?24,14,?的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

A．?12n?1 B．?22n【變式1-1】（2024·吉林·三模）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24項(xiàng)的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【變式1-2】（23-24高二上·山西晉城·階段練習(xí)）數(shù)列?2,4,?263,20,?A．a(chǎn)n=?1C．a(chǎn)n=?1【變式1-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個(gè)正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3,6,10等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時(shí)他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個(gè)六邊形數(shù)為（

）A．778 B．779 C．780 D．781【題型2定義法】【例2】（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列an中，a1=3，a10=21(1)求an的通項(xiàng)公式，并求a(2)若bn是由a2,【變式2-1】（23-24高二上·河南周口·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，已知an=(1)求通項(xiàng)公式an(2)求證：an【變式2-2】（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）已知f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)且圖象過(guò)點(diǎn)5,12，數(shù)列a(1)求數(shù)列an(2)記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm【變式2-3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）定義數(shù)列“從第二項(xiàng)起，若數(shù)列an的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的平方差為同一常數(shù)d，則稱數(shù)列an為等平方差數(shù)列，d叫作此數(shù)列的公平方差．”已知數(shù)列an為“等平方差數(shù)列”，且a(1)判斷滿足條件的數(shù)列an(2)求正項(xiàng)數(shù)列an【題型3由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)】【例3】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2A．a(chǎn)n=1C．a(chǎn)n=(?2)【變式3-1】（23-24高二下·北京大興·期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=A．a(chǎn)n=n+1 C．a(chǎn)n=2n+1 【變式3-2】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足k=1nak2k?1A．2024 B．2023 C．4047 D．4048【變式3-3】（2024·四川·三模）已知數(shù)列an滿足2a1+2A．a(chǎn)n=1,n=1C．a(chǎn)n=n 【題型4累加法】【例4】（23-24高二下·新疆烏魯木齊·開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=A．1n B．2n?1n C．n?1n【變式4-1】（23-24高二上·北京·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=2,an+1A．2+nlnn C．2+lnn 【變式4-2】（2024·云南紅河·一模）已知數(shù)列an滿足：a1=9,an+1A．21 B．23 C．25 D．27【變式4-3】（23-24高二上·浙江溫州·期末）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒或小石子來(lái)研究數(shù)．他們根據(jù)沙?；蛐∈^所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)，若五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列記作an，下列不是數(shù)列an的項(xiàng)的是（A．35 B．70 C．145 D．170【題型5累乘法】【例5】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知a1=2，an=naA．n B．n+1 C．2n D．n+1【變式5-1】（23-24高二下·河南·期中）已知數(shù)列an滿足a1=13，an=2n?32n+1an?1A．14n2C．12n?12n+3 【變式5-2】（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，SnA．13n?1 C．6(n+1)(n+2) D．【變式5-3】（23-24高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2=4，SnA．a(chǎn)n=2nn∈C．a(chǎn)n=n+2n∈【題型6構(gòu)造法】【例6】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S(1)求an(2)證明：a1【變式6-1】（2024·陜西西安·一模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an2+3【變式6-2】（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(1)求證：數(shù)列an(2)已知bn=n2?a【變式6-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)求證：?3【題型7由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)】【例7】（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1，且點(diǎn)((1)求數(shù)列an(2)數(shù)列{anan+1}前n項(xiàng)和為Tn，求能使Tn【變式7-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=?2，(1)求數(shù)列an(2)若an+1≤2k?3a【變式7-2】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an滿足a6+(1)求an(2)記Tn為數(shù)列an前n項(xiàng)的乘積，若a1【變式7-3】（2023·河南·三模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)a(2)設(shè)bn=an+22n+2?【題型8由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)】【例8】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=3n(n+2)an，數(shù)列b【變式8-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)證明數(shù)列an+1是等比數(shù)列，并求(2)若bn=nn+1Sn+n+2【變式8-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1(1)證明an?3(2)是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，am+a【變式8-3】（2024·江西南昌·二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(1)當(dāng)k=2時(shí)，求S10(2)若k=52，設(shè)bn【題型9周期數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題】【例9】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=2，anan+1+an?an+1+1=0A．?dāng)?shù)列an是周期數(shù)列 B．C．S2024>T【變式9-1】（23-24高二下·山東淄博·期中）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，A．a(chǎn)3=12 B．a(chǎn)n是周期數(shù)列 【變式9-2】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x+12,x≤122x?1,12<x<1x?1,x≥1A．該數(shù)列是周期數(shù)列且周期為3 B．該數(shù)列不是周期數(shù)列C．a(chǎn)2023+a2024【變式9-3】（2024·重慶長(zhǎng)壽·模擬預(yù)測(cè)）已知Sn是an的前n項(xiàng)和a1=2，A．a(chǎn)2021=2 C．a(chǎn)3na3n+1a3n+2=1【題型10正負(fù)、奇偶討論型求通項(xiàng)】【例10】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)求S9(2)求數(shù)列an【變式10-1】（2024·河北滄州·三模）已知數(shù)列an滿足anan+12(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an?1an+1，數(shù)列【變式10-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)求an(2)若bn=(?1)nan+【變式10-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列cn滿足cncn+2?cn+12=k(1)求an(2)設(shè)bn=an,n為奇數(shù)b【題型11雙數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題】【例11】（2024·重慶九龍坡·三模）已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S5=a11=20(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)cn=Snb【變式11-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn=3nn?12，數(shù)列bn滿足(1)求數(shù)列an，b(2)將數(shù)列an，bn中的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列cn【變式11-2】（2024·四川德陽(yáng)·三模）已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且bn的前n項(xiàng)和為Sn，2a1=(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為T【變式11-3】（2024·天津北辰·三模）已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若a2=3，S8=6S(1)求an和b(2)對(duì)任意的m∈N?，將an中落入?yún)^(qū)間2（i）求cm（ii）記dm=22b2(m?1)?cm，dm的前m項(xiàng)和記為【題型12特殊數(shù)列求通項(xiàng)】【例12】（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(1)數(shù)列an(2)記cn=a2n，數(shù)列1cncn+1的前【變式12-1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,2S(1)求an(2)若bn=an2n,求數(shù)列【變式12-2】（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)若bn=n?1n+2ana【變式12-3】（2024·江西宜春·三模）在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，已知a(1)求數(shù)列{a(2)求證：2≤(一、單選題1．（2024·貴州黔南·二模）n∈N*，數(shù)列1，?3，7，?15，31，???的一個(gè)通項(xiàng)公式為（A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=22．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）若an=an?1+n?1，aA．55 B．56 C．45 D．463．（23-24高二下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的項(xiàng)滿足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．4．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列an中，a1=1，且an+1=2A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=25．（2024·廣東茂名·一模）已知Tn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)的乘積，且a1=2,TA．16 B．32 C．64 D．1286．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足2n?3an?2n?1A．2n?2 B．2n2?n C．2n?17．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an的公比不為1，若a1=2，且3a1A．2×3n?1 B．3n C．2×8．（23-24高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=12，aA．a(chǎn)n=1n+1，n≥1，n∈N? C．a(chǎn)n=?32?1n，n≥1，n∈二、多選題9．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列an滿足a1=1，aA．a(chǎn)2=1 B．a(chǎn)nan?1=10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列an中，若Tn=a1A．a(chǎn)n=n+1C．a(chǎn)n=?11．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=A．a(chǎn)3=2?22C．a(chǎn)n+1≤n+1三、填空題12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知一數(shù)列：0,2,?6,12,?20,30,?，則該數(shù)列的通項(xiàng)可以表示為.13．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a1=1，a2=2，a14．（2024·廣西南寧·一模）已知數(shù)列an滿足nan+1?n+1an四、解答題15．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列an中，a1=2，a17=66，通項(xiàng)公式an=pn+q(1)求an(2)88是否是數(shù)列an16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a(1)求數(shù)列an(2)若bn=nan+1n217．（2024·陜西榆林·一模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)若bn=1anan+118．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）記各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn是a(1)求an(2)設(shè)bn=an+1SnSn+1+19．（2024·四川內(nèi)江·三模）已知等差數(shù)列an的公差為4，且a2+2，a3，a5?2成等比數(shù)列，數(shù)列bn的前n(1)求數(shù)列an、b(2)設(shè)cn=anbnn∈專題6.4數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法【十二大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1觀察法】 3【題型2定義法】 5【題型3由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)】 7【題型4累加法】 9【題型5累乘法】 11【題型6構(gòu)造法】 13【題型7由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)】 16【題型8由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)】 18【題型9周期數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題】 21【題型10正負(fù)、奇偶討論型求通項(xiàng)】 23【題型11雙數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題】 26【題型12特殊數(shù)列求通項(xiàng)】 301、數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解數(shù)列的通項(xiàng)公式和遞推關(guān)系(2)掌握求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法2022年新高考全國(guó)I卷：第17題，10分2023年新高考I卷：第20題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第17題，12分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第17題，12分2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第18題，12分?jǐn)?shù)列是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解是高考考查的熱點(diǎn)，主要以解答題的形式考查，一般出現(xiàn)在第一小問(wèn)中，難度不大；有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在選擇題、填空題中，與函數(shù)、不等式等綜合考查；數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法多種多樣，需要靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的通項(xiàng)公式】1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{}的第n項(xiàng)與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.2．?dāng)?shù)列的遞推公式(1)遞推公式的概念如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.(2)對(duì)數(shù)列遞推公式的理解①與“不一定所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.

②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實(shí)上，遞推公式和通項(xiàng)公式一樣，都是關(guān)于項(xiàng)的序號(hào)n的恒等式.如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng).

③用遞推公式求出一個(gè)數(shù)列，必須給出：基礎(chǔ)——數(shù)列{}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；

遞推關(guān)系——數(shù)列{}的任意一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)()(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可以用等式來(lái)表示.【知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的通項(xiàng)公式的常見(jiàn)求法】1．觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).2．定義法：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式的類型，對(duì)于含參的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列的定義結(jié)合已知條件，求出通項(xiàng)公式中的參數(shù)，從而得到此數(shù)列的通項(xiàng).3．公式法：由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)：(1)已知Sn求an的常用方法是利用=轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.(2)Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn-1的關(guān)系式，再求解.方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an-1的關(guān)系式，再求解.4．累加法：形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).5．累乘法：形如an+1=an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為的形式，可用累乘法，也可用代入求出通項(xiàng).6．構(gòu)造法：①形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.②形如an+1=pan+qn+c的數(shù)列，引入?yún)?shù)x，y，構(gòu)造新的等比數(shù)列{}.③形如an+1=pan+qn的數(shù)列，兩邊同除以qn+1，構(gòu)造新的數(shù)列{}.④形如(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.7．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式法：(1)如果給定的數(shù)列是等差數(shù)列，求出首項(xiàng)和公差，直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；(2)如果給定的數(shù)列可以構(gòu)造出等差數(shù)列，先求出構(gòu)造的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，在通過(guò)遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式.8．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式法：(1)如果給定的數(shù)列是等比數(shù)列，求出首項(xiàng)和公比，直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；(2)如果給定的數(shù)列可以構(gòu)造出等比數(shù)列，先求出構(gòu)造的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，在通過(guò)遞推關(guān)系式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【題型1觀察法】【例1】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）數(shù)列1,?22,A．?12n?1 B．?22n【解題思路】觀察每項(xiàng)的特點(diǎn)，分別確定項(xiàng)的符號(hào)以及每一項(xiàng)的聯(lián)系，即可找出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解答過(guò)程】通過(guò)觀察這一列數(shù)發(fā)現(xiàn)，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故第n項(xiàng)的正負(fù)可以用(?1)n+1而1=2故數(shù)列的通項(xiàng)可為?1n+1故選：D.【變式1-1】（2024·吉林·三模）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24項(xiàng)的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【解題思路】根據(jù)觀察歸納出an=n【解答過(guò)程】設(shè)該數(shù)列為an當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a所以an當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a所以an所以a25故選:B.【變式1-2】（23-24高二上·山西晉城·階段練習(xí)）數(shù)列?2,4,?263,20,?A．a(chǎn)n=?1C．a(chǎn)n=?1【解題思路】利用檢驗(yàn)法，由通項(xiàng)公式驗(yàn)證是否符合數(shù)列的各項(xiàng)結(jié)合排除法即可.【解答過(guò)程】選項(xiàng)A：a3選項(xiàng)B：a2選項(xiàng)C：a2而選項(xiàng)D中的通項(xiàng)公式滿足數(shù)列?2,4,?26故選：D.【變式1-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個(gè)正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3,6,10等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時(shí)他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個(gè)六邊形數(shù)為（

）A．778 B．779 C．780 D．781【解題思路】根據(jù)給定圖形信息，利用歸納法求出六邊形數(shù)形成數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出要求的項(xiàng).【解答過(guò)程】六邊形數(shù)從小到大排成一列，形成數(shù)列{a依題意，a1=1=1×1,a所以a20故選：C.【題型2定義法】【例2】（23-24高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列an中，a1=3，a10=21(1)求an的通項(xiàng)公式，并求a(2)若bn是由a2,【解題思路】（1）設(shè)an=kn+bk≠0（2）寫(xiě)出a2【解答過(guò)程】（1）設(shè)an=kn+bk≠0,則k+b=3,∴an=2n+1n∈（2）∵a2,∴歸納bn的一個(gè)通項(xiàng)公式為b【變式2-1】（23-24高二上·河南周口·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，已知an=(1)求通項(xiàng)公式an(2)求證：an【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)列an的通項(xiàng)將n=2,n=3分別代入可計(jì)算出a=3,b=2，可求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)遞增數(shù)列的定義，由a【解答過(guò)程】（1）由an=an2a2b+1=6因此an所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為（2）根據(jù)遞增數(shù)列的定義可知，an+1即an+1故an【變式2-2】（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）已知f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)且圖象過(guò)點(diǎn)5,12，數(shù)列a(1)求數(shù)列an(2)記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm【解題思路】（1）先求出對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的解析式，根據(jù)an（2）根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出Sn=?log5n+1，從而得出S【解答過(guò)程】（1）設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)，因?yàn)閒(x)所以loga5=12又?jǐn)?shù)列an滿足a所以an（2）由（1）得anS==?log因?yàn)閚∈N?，所以因?yàn)镾m≥2m∈N?所以m的最小值為24.【變式2-3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）定義數(shù)列“從第二項(xiàng)起，若數(shù)列an的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的平方差為同一常數(shù)d，則稱數(shù)列an為等平方差數(shù)列，d叫作此數(shù)列的公平方差．”已知數(shù)列an為“等平方差數(shù)列”，且a(1)判斷滿足條件的數(shù)列an(2)求正項(xiàng)數(shù)列an【解題思路】（1）根據(jù)“等平方差數(shù)列”的定義求出an（2）判斷an【解答過(guò)程】（1）根據(jù)“等平方差數(shù)列”的定義，及a1=1，得a5即9=1+4d，解得d=2．依題意，得an所以an所以滿足條件的數(shù)列an（2）因?yàn)閍n所以由（1）得an因?yàn)閍n所以an<a【題型3由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)】【例3】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2A．a(chǎn)n=1C．a(chǎn)n=(?2)【解題思路】由an【解答過(guò)程】Sn=2n?1?當(dāng)n≥2,a所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a故選：D.【變式3-1】（23-24高二下·北京大興·期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=A．a(chǎn)n=n+1 C．a(chǎn)n=2n+1 【解題思路】當(dāng)n=1時(shí)，求得a1；當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)an=【解答過(guò)程】當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an經(jīng)驗(yàn)證，a1=2故選：D.【變式3-2】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足k=1nak2k?1A．2024 B．2023 C．4047 D．4048【解題思路】利用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式求解.【解答過(guò)程】解：由題意可得a1當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，a1兩式相減得an2n?1=1綜上所述，a所以a2024故選：C．【變式3-3】（2024·四川·三模）已知數(shù)列an滿足2a1+2A．a(chǎn)n=1,n=1C．a(chǎn)n=n 【解題思路】由題中等式，可得2nan=n?2n?【解答過(guò)程】當(dāng)n=1時(shí)，有2a所以a1當(dāng)n≥2時(shí)，由2a1+兩式相減得2n此時(shí)，an=n+1所以an的通項(xiàng)公式為a故選：B.【題型4累加法】【例4】（23-24高二下·新疆烏魯木齊·開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=A．1n B．2n?1n C．n?1n【解題思路】根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得an+1【解答過(guò)程】由題意可得an+1所以當(dāng)n≥2時(shí)，a2?a1=1?12上式累加可得，a=1?1又a1=1，所以當(dāng)n=1時(shí)，a1所以an故選：B.【變式4-1】（23-24高二上·北京·階段練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=2,an+1A．2+nlnn C．2+lnn 【解題思路】采用累加法化簡(jiǎn)可求an【解答過(guò)程】因?yàn)閍1=2,aan?an?1=lnn累加得：an?a故選：C.【變式4-2】（2024·云南紅河·一模）已知數(shù)列an滿足：a1=9,an+1A．21 B．23 C．25 D．27【解題思路】應(yīng)用累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式，再求出對(duì)應(yīng)項(xiàng).【解答過(guò)程】由題設(shè)an?an?1=2(n?1)累加可得an?a1=2(n?1+?+2+1)=n(n?1)顯然a1=9也滿足上式，所以故選：A.【變式4-3】（23-24高二上·浙江溫州·期末）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙?；蛐∈觼?lái)研究數(shù)．他們根據(jù)沙粒或小石頭所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖的1，5，12，22稱為五邊形數(shù)，若五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列記作an，下列不是數(shù)列an的項(xiàng)的是（A．35 B．70 C．145 D．170【解題思路】根據(jù)已知得出的前幾項(xiàng)，進(jìn)而得出遞推公式an=1,n=1an?1+3n?2,n≥2.根據(jù)累加法求得通項(xiàng)公式為【解答過(guò)程】由已知可得，a1=1，a2=5=a所以，an當(dāng)n≥2時(shí)，累加法求和如下a1a2a3?an兩邊同時(shí)相加可得，a1整理可得，an對(duì)于A項(xiàng)，令3n2?n2=35可得，3所以，a5對(duì)于B項(xiàng)，令3n2?n2=70可得，3所以，a7對(duì)于C項(xiàng)，令3n2?n2=145可得，3所以，a10對(duì)于D項(xiàng)，令3n2?n2=170可得，3所以，170不是數(shù)列an故選：D.【題型5累乘法】【例5】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知a1=2，an=naA．n B．n+1 C．2n D．n+1【解題思路】根據(jù)題意可得an+1【解答過(guò)程】解：由an=na即an+1則anan?1=nn?1，由累乘法可得ana1=n，因?yàn)楣蔬x：C．【變式5-1】（23-24高二下·河南·期中）已知數(shù)列an滿足a1=13，an=2n?32n+1an?1A．14n2C．12n?12n+3 【解題思路】直接利用累乘法的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解答過(guò)程】解：數(shù)列{an}滿足a整理得anan?1=2n?32n+1，所有的項(xiàng)相乘得：an整理得：an故選：A．【變式5-2】（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，SnA．13n?1 C．6(n+1)(n+2) D．【解題思路】由已知可得出Sn+nan=2(n+1)an=(n?1)【解答過(guò)程】因?yàn)镾n+nan為常數(shù)列且當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1①?②得：(n+1)an=(n?1)從而a2a1當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．故選：B.【變式5-3】（23-24高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2=4，SnA．a(chǎn)n=2nn∈C．a(chǎn)n=n+2n∈【解題思路】令n=2可求得a1的值，再令n≥2，由2Sn=n+1an【解答過(guò)程】因?yàn)閿?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2∴當(dāng)n=2時(shí)，S2當(dāng)n≥2時(shí)，由2Sn=兩式相減得2an=∴a故選：A.【題型6構(gòu)造法】【例6】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S(1)求an(2)證明：a1【解題思路】（1）利用Sn和a（2）利用2k【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镾n令n=1得S1=2a當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1由①?②得an即a又a1所以數(shù)列an故an+1=2（2）因?yàn)閍k當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，a==2綜上，a1【變式6-1】（2024·陜西西安·一模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an2+3【解題思路】（1）利用構(gòu)造法和等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式可得Sn=n（2）由（1）知bn【解答過(guò)程】（1）根據(jù)題意，n+1Sn=n由于S11=a1所以Snn=1+當(dāng)n≥2時(shí)，an驗(yàn)證n=1時(shí)a1=1滿足通項(xiàng)公式，故數(shù)列{a（2）由（1）知bn設(shè)?1nn2的前n項(xiàng)和為AA==1+2+3+4+???+n?1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，An設(shè)?3n的前n項(xiàng)和為Bn，則因?yàn)門n=【變式6-2】（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(1)求證：數(shù)列an(2)已知bn=n2?a【解題思路】（1）由an與S（2）由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=2a當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=2a兩式相減得an=2a又因?yàn)閍1?2=?3，所以an?2是首項(xiàng)為（2）由（1）知，an所以bn數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T可得2T兩式相減得?T所以Tn【變式6-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)求證：?3【解題思路】（1）借助Sn與an的關(guān)系消去Sn（2）借助裂項(xiàng)相消法求和，由0<1【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，2S由2Sn=則2S化簡(jiǎn)得n+1an+1?n+2a所以an+1n+2?則an因?yàn)閍12?所以an（2）因?yàn)閍n=?2n+1，所以S所以1S1+由1n+1+1n+2隨故?3即?3【題型7由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)】【例7】（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1，且點(diǎn)((1)求數(shù)列an(2)數(shù)列{anan+1}前n項(xiàng)和為Tn，求能使Tn【解題思路】（1）由題設(shè)易得1a（2）對(duì)數(shù)列{anan+1}的通項(xiàng)分析可通過(guò)裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和T【解答過(guò)程】（1）點(diǎn)(1an+1,1a所以數(shù)列1an是以首項(xiàng)為1故1an=1+2（2）an+1a所以T即Tn=12(1?13故要使Tn<3m?12對(duì)n∈N*恒成立，需使3m?12≥又m∈Z，所以m【變式7-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=?2，(1)求數(shù)列an(2)若an+1≤2k?3a【解題思路】（1）利用退一相減法可得數(shù)列an（2）代入，分離參數(shù)可得k≥3n?82×3n，再設(shè)bn【解答過(guò)程】（1）由已知Sn+1則當(dāng)n≥2時(shí)，Sn①?②得an+1即an所以數(shù)列an是以?2為首項(xiàng)，1所以an（2）由（1）得an即不等式n?2≤2k?3n所以k≥3n?8設(shè)bn又bn+1所以當(dāng)n≤3時(shí)，bn+1?bn>0所以當(dāng)n≤4時(shí)，數(shù)列bn單調(diào)遞增，當(dāng)n≥4時(shí)，數(shù)列b所以bn所以k≥2即實(shí)數(shù)k的最小值為282【變式7-2】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an滿足a6+(1)求an(2)記Tn為數(shù)列an前n項(xiàng)的乘積，若a1【解題思路】（1）利用a6+a（2）根據(jù)（1）中結(jié)果并結(jié)合題意進(jìn)行分情況討論，從而求解.【解答過(guò)程】（1）設(shè)an的公差為d，由a6+由a1,a4,a5由2a1+11d=4d2所以：an的通項(xiàng)公式為an=2（2）因?yàn)閍1<0，所以：得：當(dāng)n≤5時(shí)，an<0；當(dāng)n≥6時(shí)，從而T1又因?yàn)椋篢2=a1a故Tn的最大值為945【變式7-3】（2023·河南·三模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)a(2)設(shè)bn=an+22n+2?【解題思路】（1）先將題目中的表達(dá)式邊同時(shí)除以nn+1可證得Snn是以a11=1為首項(xiàng)，（2）先求出bn【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?nSn+1?2(n+1)所以2Sn+1n+1所以Snn是以a1所以Snn=1+當(dāng)n≥2時(shí)，an當(dāng)n=1時(shí)，a1所以an（2）由（1）可得，bn=a則TT=1【題型8由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列通項(xiàng)】【例8】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=3n(n+2)an，數(shù)列b【解題思路】（1）利用an（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，然后觀察可證明不等式.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1，由S1=3當(dāng)n≥2時(shí)，Sn所以an=3(2n?1)因?yàn)閚≥2，所以ann=3?an?1所以an則ann=3×（2）由（1）知bnT=1因?yàn)閚∈N?，所以【變式8-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)證明數(shù)列an+1是等比數(shù)列，并求(2)若bn=nn+1Sn+n+2【解題思路】（1）首先根據(jù)2an?Sn為等差數(shù)列求其通項(xiàng)公式，然后利用an與Sn（2）首先根據(jù)（1）求得Sn=2n+1?n?2，代入求得b【解答過(guò)程】（1）由題意得2a1?所以2a②－①，得2an+1?2所以an+1又a1+1=2≠0，所以所以數(shù)列an所以an+1=2（2）由（1）知，Sn=2解法一：bn+1當(dāng)n=1時(shí)，bn+1?bn>0，即b1<當(dāng)n≥3時(shí)，bn+1?bn<0，即b所以數(shù)列bn的最大項(xiàng)為b2和b3解法二：bn+1令bn+1bn>1，解得n<2；令bn+1bn因?yàn)閎n>0，所以b1所以數(shù)列bn的最大項(xiàng)為b2和b3【變式8-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1(1)證明an?3(2)是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，am+a【解題思路】（1）由已知可得an+1?32(n+1)+14（2）假設(shè)am+an=am+n成立，由（1）可得(?1)m+(?1)n【解答過(guò)程】（1）由an+1+a所以an+1?3故a1?3所以an+1所以an?3故an?3（2）由（1）可得an=am+n假設(shè)am則(?1)m+(?1)化簡(jiǎn)得(?1)m可知當(dāng)m為正偶數(shù)，即m=2k,k∈N?時(shí)，（*）式對(duì)任意的正整數(shù)因此，存在正整數(shù)m，當(dāng)m=2k，k∈N?時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)【變式8-3】（2024·江西南昌·二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(1)當(dāng)k=2時(shí)，求S10(2)若k=52，設(shè)bn【解題思路】（1）由等差數(shù)列定義得出an（2）由定義證明數(shù)列bn【解答過(guò)程】（1）當(dāng)k=2時(shí)，有an即an+2?a因?yàn)閍1=1,a所以S10（2）由已知，an+2所以an+2?2a且b1=a2?2所以bn【題型9周期數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題】【例9】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=2，anan+1+an?an+1+1=0A．?dāng)?shù)列an是周期數(shù)列 B．C．S2024>T【解題思路】先將遞推關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到an+1=1+an1?an，由a1=2，計(jì)算得到【解答過(guò)程】選項(xiàng)A：易知an≠1，由an又a1=2，計(jì)算得a2=?3，a3因此an選項(xiàng)B：由A知，a2024選項(xiàng)C，D：由周期性，得S2024T2024=T故選：ABD.【變式9-1】（23-24高二下·山東淄博·期中）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，A．a(chǎn)3=12 B．a(chǎn)n是周期數(shù)列 【解題思路】依次取n=1,n=2,n=3?,n=6即可驗(yàn)證A項(xiàng)和B項(xiàng)的正確與否，再根據(jù)周期性可判斷C項(xiàng)是否正確，最后根據(jù)周期性和分組求和法可判斷D項(xiàng)是否正確.【解答過(guò)程】由題意，數(shù)列an滿足a1=1當(dāng)n=1時(shí)，a2=2a1=2當(dāng)n=3時(shí)，a4=2a3=1當(dāng)n=5時(shí)，a6=2a5=2；當(dāng)n歸納可得數(shù)列an又由a2022因?yàn)閍1+a故選：ABC．【變式9-2】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x+12,x≤122x?1,12<x<1x?1,x≥1A．該數(shù)列是周期數(shù)列且周期為3 B．該數(shù)列不是周期數(shù)列C．a(chǎn)2023+a2024【解題思路】根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式，求出數(shù)列an的前面的項(xiàng)，找到數(shù)列的項(xiàng)出現(xiàn)的規(guī)律，即可判斷A，B；結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)的規(guī)律求出a【解答過(guò)程】由題意知a1=73，故a4=f13=a7∴數(shù)列an從a3開(kāi)始每3項(xiàng)，即但前2項(xiàng)和后面項(xiàng)并不重復(fù)，故數(shù)列ana2020a2020故選：BC．【變式9-3】（2024·重慶長(zhǎng)壽·模擬預(yù)測(cè)）已知Sn是an的前n項(xiàng)和a1=2，A．a(chǎn)2021=2 C．a(chǎn)3na3n+1a3n+2=1【解題思路】推導(dǎo)出an+3【解答過(guò)程】因?yàn)閍1=2，an=1?1an?1以此類推可知，對(duì)任意的n∈N?，a2021S2021a3n故選：AC.【題型10正負(fù)、奇偶討論型求通項(xiàng)】【例10】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)求S9(2)求數(shù)列an【解題思路】（1）根據(jù)an,Sn的關(guān)系，化為（2）由遞推關(guān)系可得an+2?a【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镾n所以Sn+2兩式相減，得an+2所以S=3+4×3+9（2）由（1）知an+2可得an+a因?yàn)閍1所以a2=5，又所以a又由①②得an+2所以a2n=a則當(dāng)n≥3，且為奇數(shù)時(shí)，an又a1=3,a【變式10-1】（2024·河北滄州·三模）已知數(shù)列an滿足anan+12(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an?1an+1，數(shù)列【解題思路】（1）由數(shù)列的遞推公式，利用累乘法即可求解；（2）對(duì)Sn【解答過(guò)程】（1）∵anan+12∴an+1a當(dāng)n=2k?1，k∈N*時(shí)，a3a1當(dāng)n=2k，k∈N*時(shí)，a4a2綜上所述，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a（2）∵b∴S又∵0<1∴n?2<S【變式10-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)求an(2)若bn=(?1)nan+【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到Sn+1n+1?Snn=1（2）由（1）得到，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn=1?2n；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn【解答過(guò)程】（1）解：由nSn+1?n+1S又由a1=1，所以S1所以Snn=1+當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1=(n?1)又當(dāng)n=1時(shí)，a1所以an的通項(xiàng)公式為a（2）由（1）可知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn所以T==2n+23=2n+8×【變式10-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列cn滿足cncn+2?cn+12=k(1)求an(2)設(shè)bn=an,n為奇數(shù)b【解題思路】（1）利用“比差等數(shù)列”的定義可得an+2an+1?a可得an+1an（2）分n為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況求解可得數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S【解答過(guò)程】（1）由an得an從而an+2設(shè)dn=a所以數(shù)列dn因?yàn)閐1所以dn因此，dn=d所以an是首項(xiàng)為58，公比為因此an（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S=2×5當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn綜上，Sn【題型11雙數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題】【例11】（2024·重慶九龍坡·三模）已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S5=a11=20(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)cn=Snb【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)與公差，即可求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列bn的首項(xiàng)與公比，即可得（2）先求出cn【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d則S5=5a所以an設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q則b1q2所以bn（2）由（1）得Sn則cncn+1當(dāng)n=1,2時(shí)，cn+1當(dāng)n=3時(shí)，cn+1當(dāng)n≥4時(shí)，cn+1所以當(dāng)n=3或4時(shí)，cn【變式11-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn=3nn?12，數(shù)列bn滿足(1)求數(shù)列an，b(2)將數(shù)列an，bn中的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列cn【解題思路】（1）對(duì)Tn=3nn?12=（2）令an=3【解答過(guò)程】（1）Tn=3當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2,n∈N?時(shí)，lna而a1所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a若數(shù)列bn滿足b1=1，bn?則bn從而數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為b（2）令an=3n?1=從而只能n=2k?1,k∈N所以ck所以數(shù)列{cn}【變式11-2】（2024·四川德陽(yáng)·三模）已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且bn的前n項(xiàng)和為Sn，2a1=(1)求數(shù)列an和b(2)設(shè)數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為T【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列定義根據(jù)條件①②列方程組解得公比可得數(shù)列b（2）利用錯(cuò)位相減法求出Tn【解答過(guò)程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d∵2a1=2∴a1∴a1∴an設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q若選條件①，b5由b1=2，且得b1∴q2?4q+4=0，解得所以bn故bn若選條件②，bn+1令n=1，得b2∴公比q=b∴數(shù)列bn從而bn（2）因?yàn)門n所以12兩式相減，得12即12所以Tn【變式11-3】（2024·天津北辰·三模）已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若a2=3，S8=6S(1)求an和b(2)對(duì)任意的m∈N?，將an中落入?yún)^(qū)間2（i）求cm（ii）記dm=22b2(m?1)?cm，dm的前m項(xiàng)和記為【解題思路】（1）an的通項(xiàng)通過(guò)基本量法求解，bn的通項(xiàng)通過(guò)令（2）（i）求出2m?1

（ii）根據(jù)題意求出t和m的關(guān)系，在利用取值范圍求出m和t.【解答過(guò)程】（1）a2所以an1?1當(dāng)n≥2時(shí)，則1?1①÷②得：1?1bn=b當(dāng)n=1時(shí)有：1?1b（2）（i）2因?yàn)閚∈N?，所以2（ii）b2m?1=2m?1，把cm=所以Tm=2所以T因?yàn)?2m>0，4+當(dāng)t=1時(shí)，m=log1235當(dāng)t=3時(shí)，m=3，所以存在t,m，mt=9.【題型12特殊數(shù)列求通項(xiàng)】【例12】（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(1)數(shù)列an(2)記cn=a2n，數(shù)列1cncn+1的前【解題思路】（1）由已知結(jié)合和與項(xiàng)的遞推關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）利用裂項(xiàng)求和求出Tn【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镾n當(dāng)n=1時(shí)，S1當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1因?yàn)镾n兩式相減得，an因?yàn)閍n>0，所以所以{a2n?1}，{a2n所以an（2）由題意得，1c所以Tn因?yàn)門n所以n4(n+1)解得n>8．所以滿足條件的最小整數(shù)n為9．【變式12-1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,2S(1)求an(2)若bn=an2n,求數(shù)列【解題思路】（1）根據(jù)公式an=S（2）由（1）知bn,根據(jù)通項(xiàng)公式規(guī)律,用錯(cuò)位相減來(lái)求T【解答過(guò)程】（1）當(dāng)n=1時(shí),2S1=a1+1,解出當(dāng)n≥2時(shí),由2Sn=na即an+1n?a利用上述等式有ann?1?因此ann?1?a2當(dāng)n=1,2時(shí),a1=1,a2=3（2）由（1）可知,bn=n+1兩邊同時(shí)乘以12得,1錯(cuò)位相減得12即1整理得，Tn【變式12-2】（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an(2)若bn=n?1n+2ana【解題思路】（1）首先利用作差法得到Sn=n（2）由（1）知bn【解答過(guò)程】（1）因?yàn)?S當(dāng)n≥2時(shí)有1S兩式相減得1Sn=當(dāng)n=1時(shí)，1S1=1，所以S所以Sn當(dāng)n≥2時(shí)，an又a1=S所以an（2）由（1）知b=n所以Tn【變式12-3】（2024·江西宜春·三模）在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，已知a(1)求數(shù)列{a(2)求證：2≤(【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到(n+1)an+1?n（2）由（1）知an=1n，結(jié)合二項(xiàng)式定理，得到【解答過(guò)程】（1）解：由nana即(a因?yàn)閍n+1>0,a所以數(shù)列{nan}又因?yàn)閍1=1，所以nan=1（2）解：由（1）知an則(an+1)因?yàn)镃n所以1+C所以2≤(一、單選題1．（2024·貴州黔南·二模）n∈N*，數(shù)列1，?3，7，?15，31，???的一個(gè)通項(xiàng)公式為（A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=2【解題思路】利用排除法，取特值檢驗(yàn)即可.【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閍1對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閍2對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閍2對(duì)于選項(xiàng)D：檢驗(yàn)可知對(duì)n=1,2,3,4,5均成立，故D正確；故選：D.2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）若an=an?1+n?1，aA．55 B．56 C．45 D．46【解題思路】在數(shù)列遞推式中依次取n=1,2,3,…,n，得到n個(gè)等式，累加后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出答案.【解答過(guò)程】由an得a2=aa4=a3+3累加得，a=1當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，則an所以a10故選：D.3．（23-24高二下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的項(xiàng)滿足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．【解題思路】由an+1=n【解答過(guò)程】由an+1=n所以a2a1=13，a3a2所以a2所以an因?yàn)閍1=1，所以因?yàn)閍1=1滿足上式，所以故選：B.4．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列an中，a1=1，且an+1=2A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=2【解題思路】依題意可得an+1+1=2a【解答過(guò)程】解：∵an+1=2a由a1=1，得a1+1=2，∴數(shù)列an故選：A.5．（2024·廣東茂名·一模）已知Tn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)的乘積，且a1=2,TA．16 B．32 C．64 D．128【解題思路】利用給定的遞推公式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算變形，再構(gòu)造常數(shù)列求出通項(xiàng)即可得解.【解答過(guò)程】由Tn2=ann+1，得兩邊取對(duì)數(shù)得nlgan+1=(n+1)lg則lgann=lga1故選：B.6．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足2n?3an?2n?1A．2n?2 B．2n2?n C．2n?1【解題思路】根據(jù)遞推關(guān)系可證明an【解答過(guò)程】2n?3a所以an2n?1?an?1故an2n?1=1故選：B.7．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an的公比不為1，若a1=2，且3a1A．2×3n?1 B．3n C．2×【解題思路】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等比數(shù)列基本量的計(jì)算求通項(xiàng)公式即可.【解答過(guò)程】設(shè)an的公比為q則依題意有2a解方程得q=?3或q=1（舍去），所以an=故選：C.8．（23-24高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=12，aA．a(chǎn)n=1n+1，n≥1，n∈N? C．a(chǎn)n=?32?1n，n