2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(新高考專用)重難點(diǎn)10三角函數(shù)中ω的范圍與最值問題【七大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

重難點(diǎn)10三角函數(shù)中ω的范圍與最值問題【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1與三角函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的ω的范圍與最值問題】 2【題型2與三角函數(shù)的對(duì)稱性有關(guān)的ω的范圍與最值問題】 2【題型3與三角函數(shù)的最值有關(guān)的ω的范圍與最值問題】 3【題型4與三角函數(shù)的周期有關(guān)的ω的范圍與最值問題】 4【題型5與三角函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)的ω的范圍與最值問題】 4【題型6與三角函數(shù)的極值有關(guān)的ω的范圍與最值問題】 5【題型7ω的范圍與最值問題：性質(zhì)的綜合問題】 51、三角函數(shù)中ω的范圍與最值問題三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的重要內(nèi)容，在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，ω的求解是近幾年高考的一個(gè)重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，試題主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，但因其求法復(fù)雜，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，歷來是我們復(fù)習(xí)中的難點(diǎn)，學(xué)生在復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)訓(xùn)練，靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)中有關(guān)ω的范圍與最值問題的類型】1．三角函數(shù)中ω的范圍與最值的求解一般要利用其性質(zhì)，此類問題主要有以下幾個(gè)類型：(1)三角函數(shù)的單調(diào)性與ω的關(guān)系；(2)三角函數(shù)的對(duì)稱性與ω的關(guān)系；(3)三角函數(shù)的最值與ω的關(guān)系；(4)三角函數(shù)的周期性與ω的關(guān)系；(5)三角函數(shù)的零點(diǎn)與ω的關(guān)系；(6)三角函數(shù)的極值與ω的關(guān)系.【知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)中ω的范圍與最值問題的解題策略】1．利用三角函數(shù)的單調(diào)性求ω的解題思路對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.2．利用三角函數(shù)的對(duì)稱性求ω的解題策略三角函數(shù)兩條相鄰對(duì)稱軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為，這就說明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性來研究其周期性，解決問題的關(guān)鍵在于運(yùn)用整體代換的思想，建立關(guān)于ω的不等式組，進(jìn)而可以研究“ω”的取值范圍.3．利用三角函數(shù)的最值求ω的解題策略若已知三角函數(shù)的最值，則利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱軸或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于ω的不等式(組)，進(jìn)而求出ω的值或取值范圍.4．利用三角函數(shù)的周期性求ω的解題策略若已知三角函數(shù)的周期性，則利用三角函數(shù)的周期與對(duì)稱軸、最值的關(guān)系，列出關(guān)于ω的不等式(組)，進(jìn)而求出ω的值或取值范圍.【題型1與三角函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例1】（2024·重慶·二模）若函數(shù)fx=sin2x?φ(0≤φ<π)在0,π3上單調(diào)遞增，則φ的最小值為（

）A．π12 B．π6 C．π4【變式1-1】（2024·湖北鄂州·一模）已知函數(shù)y=sinωx+φω>0,φ∈0,2π的一條對(duì)稱軸為x=?π6，且fA．53 B．2 C．83 【變式1-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0，若直線x=π4為函數(shù)fx圖象的一條對(duì)稱軸，5π3,0A．917 B．1817 C．1217【變式1-3】（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)fx=sinωx+2π3ω>0A．2,5 B．1,14 C．9,10 D．10,11【題型2與三角函數(shù)的對(duì)稱性有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例2】（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=2sinωx+φ（ω>0，φ<π2）滿足fA．1 B．2 C．3 D．4【變式2-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知函數(shù)fx=sinωx?π3(ω>0)A．116,176 B．176,【變式2-2】（2023·云南大理·一模）函數(shù)fx=sinωx+φω>0,0<φ<π，若不等式fx≤fπ4ωA．1 B．2 C．3 D．4【變式2-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)是在區(qū)間π18,5π36上的單調(diào)減函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=?π36對(duì)稱，且fA．2 B．12 C．4 D．8【題型3與三角函數(shù)的最值有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例3】（2023·四川瀘州·一模）已知函數(shù)fx=2sinωx?π6(ω>0)在0,A．0,23 B．1,53 C．【變式3-1】（2024·浙江溫州·一模）若函數(shù)fx=2sinωx?π3,ω>0，A．53,4 C．56,5【變式3-2】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=4cosωx?π12(ω>0),fx在區(qū)間A．1,4 B．4,7 C．7,13 D．13,+【變式3-3】（2023·新疆烏魯木齊·一模）已知函數(shù)fx=2sinωx+φ（ω>0，0<φ<π2）的圖象過點(diǎn)0,1，且在區(qū)間A．0,16 C．0,16∪【題型4與三角函數(shù)的周期有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例4】（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）記函數(shù)fx=cosωx+φ(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T，若fT=A．32 B．3 C．6 D．【變式4-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sin2πωxω>0在區(qū)間0,2上單調(diào)，且在區(qū)間0,18A．19,5C．19,1【變式4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記函數(shù)fx=cosωx+φ(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T，若fT=?A．23 B．43 C．83【變式4-3】（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,φ<π2的最小正周期為T,fA．7π2,4π B．4π,【題型5與三角函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例5】（2023·全國(guó)·一模）已知函數(shù)fx=sinωx+π3(ω>0)A．83,11C．[113,【變式5-1】（2023·吉林長(zhǎng)春·一模）將函數(shù)f(x)=cosx+2π3圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω(ω>0)，縱坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間0,A．94,3 B．94,4 C．【變式5-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=sinωx+π3(ω>0)在區(qū)間πA．83,+∞ B．83,+∞【變式5-3】（2024·四川雅安·一模）已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)（ω>0且?π2<φ<π2），設(shè)T為函數(shù)f(x)的最小正周期，fT4A．17π6,23π6 B．17【題型6與三角函數(shù)的極值有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例6】（2023·四川成都·二模）將函數(shù)f(x)=sin12ωx?π6(ω>0)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的14，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象．若A．52,112 B．52,4【變式6-1】（2023·河南開封·模擬預(yù)測(cè)）已知將函數(shù)fx=2sinωx2cosωx2?3sinωx2A．53,+∞ B．83,4 【變式6-2】（2024·陜西渭南·一模）已知函數(shù)fx=sin①fx在區(qū)間0,π上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)；②fx③ω的取值范圍是134,174；④其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式6-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)fx=sinx的圖像向左平移5π6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)gx的圖像，再將gx的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω（ω>0）倍，得到函數(shù)?A．76,83 B．53,【題型7ω的范圍與最值問題：性質(zhì)的綜合問題】【例7】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=3cosωx+φω<0，?π2<φ<πA．π6,π2 B．?π2【變式7-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sin2ωx?φω>0滿足對(duì)任意的x∈R，均有fx≥fπA．14 B．12 C．34【變式7-2】（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知fx=sinωx+π①φ=π②若gx的最小正周期為3π，則③若gx在區(qū)間0,π上有且僅有3個(gè)最值點(diǎn)，則ω的取值范圍為④若gπ4=A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式7-3】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2,y=fx+A．1 B．3 C．5 D．36一、單選題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)f(x)=sin(ωx)(ω>0)在0,π4上單調(diào)遞增，則A．0,12 B．(0,2) C．0,12．（2024·重慶開州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=2sinωx(ω>0)，則“32<ω<3”是“A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)ω>0，已知函數(shù)fx=sin3ωx?π4sinA．1912,74 B．1712,4．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0，若f0=2A．3 B．1 C．67 D．5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sinωx+π3（ω>0）在區(qū)間0,5π6A．45,2 B．45,546．（2024·四川內(nèi)江·三模）設(shè)函數(shù)f(x)=2sinωx+π3(ω>0)，若存在x1,x2∈?A．(0,12] B．[10,+∞) C．[10,12] 7．（2024·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=cosωx+φω>0,φ≤π2的圖象關(guān)于點(diǎn)π3,0中心對(duì)稱，且x=?A．8 B．7 C．274 D．8．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=cosωx+π4ω>0在區(qū)間π3,πA．0,14 B．12,34二、多選題9．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=cosA．當(dāng)ω=2時(shí)，fx?π6B．當(dāng)ω=2時(shí)，fx在0,πC．當(dāng)x=π6為fxD．當(dāng)fx在?π310．（2024·浙江溫州·三模）已知函數(shù)fx=sinωx+φ(ω>0),x∈A．若b?a=2,φ=π6，則ω不存在最大值 B．若b?a=2,φ=π6C．若b?a=3，則ω的最小值是43 D．若b?a=3211．（2023·浙江·三模）已知函數(shù)fx=cosA．若fx=fπ?xB．若將fx的圖象向右平移π2個(gè)單位得到奇函數(shù)，則ωC．若fx在π2D．若fx在π2三、填空題12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=cos2ωx?π6(ω>0)13．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=2cosωx+π3?1(ω>0)14．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=2sinωx+π6（ω>0），若?x1，四、解答題15．（2023·河北承德·模擬預(yù)測(cè)）已知ω>1，函數(shù)f(x)=cos(1)當(dāng)ω=2時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間π6,π16．（23-24高一下·湖北恩施·期末）已知函數(shù)fx(1)若f5π6(2)若fx在區(qū)間0,π3上的值域?yàn)?,217．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)若fx的圖象經(jīng)過點(diǎn)A3π4,0，Bπ4,2，且點(diǎn)(2)若f0=?1，且fx在5π918．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)φ=π6時(shí)，函數(shù)fx在π(2)若fx的圖象關(guān)于直線x=π4對(duì)稱且f?π4=0，是否存在實(shí)數(shù)ω19．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0(1)若fx的最小正周期為π，求fx的圖象與(2)若fx在π2,重難點(diǎn)10三角函數(shù)中ω的范圍與最值問題【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1與三角函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的ω的范圍與最值問題】 2【題型2與三角函數(shù)的對(duì)稱性有關(guān)的ω的范圍與最值問題】 4【題型3與三角函數(shù)的最值有關(guān)的ω的范圍與最值問題】 6【題型4與三角函數(shù)的周期有關(guān)的ω的范圍與最值問題】 9【題型5與三角函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)的ω的范圍與最值問題】 11【題型6與三角函數(shù)的極值有關(guān)的ω的范圍與最值問題】 13【題型7ω的范圍與最值問題：性質(zhì)的綜合問題】 161、三角函數(shù)中ω的范圍與最值問題三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的重要內(nèi)容，在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，ω的求解是近幾年高考的一個(gè)重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，試題主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，但因其求法復(fù)雜，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，歷來是我們復(fù)習(xí)中的難點(diǎn)，學(xué)生在復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)訓(xùn)練，靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)中有關(guān)ω的范圍與最值問題的類型】1．三角函數(shù)中ω的范圍與最值的求解一般要利用其性質(zhì)，此類問題主要有以下幾個(gè)類型：(1)三角函數(shù)的單調(diào)性與ω的關(guān)系；(2)三角函數(shù)的對(duì)稱性與ω的關(guān)系；(3)三角函數(shù)的最值與ω的關(guān)系；(4)三角函數(shù)的周期性與ω的關(guān)系；(5)三角函數(shù)的零點(diǎn)與ω的關(guān)系；(6)三角函數(shù)的極值與ω的關(guān)系.【知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)中ω的范圍與最值問題的解題策略】1．利用三角函數(shù)的單調(diào)性求ω的解題思路對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.2．利用三角函數(shù)的對(duì)稱性求ω的解題策略三角函數(shù)兩條相鄰對(duì)稱軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為，這就說明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性來研究其周期性，解決問題的關(guān)鍵在于運(yùn)用整體代換的思想，建立關(guān)于ω的不等式組，進(jìn)而可以研究“ω”的取值范圍.3．利用三角函數(shù)的最值求ω的解題策略若已知三角函數(shù)的最值，則利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱軸或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于ω的不等式(組)，進(jìn)而求出ω的值或取值范圍.4．利用三角函數(shù)的周期性求ω的解題策略若已知三角函數(shù)的周期性，則利用三角函數(shù)的周期與對(duì)稱軸、最值的關(guān)系，列出關(guān)于ω的不等式(組)，進(jìn)而求出ω的值或取值范圍.【題型1與三角函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例1】（2024·重慶·二模）若函數(shù)fx=sin2x?φ(0≤φ<π)A．π12 B．π6 C．π4【解題思路】利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，解不等式即可求解．【解答過程】令2kπ?π2≤2x?φ≤2k解得kπ?π由于f(x)在(0,π所以kπ即?kπ+π12因?yàn)?≤φ<π，所以當(dāng)k=0時(shí)，φ的最小值為π故選：B．【變式1-1】（2024·湖北鄂州·一模）已知函數(shù)y=sinωx+φω>0,φ∈0,2π的一條對(duì)稱軸為x=?π6，且fA．53 B．2 C．83 【解題思路】先利用函數(shù)對(duì)稱軸可得x=kπω?π6k∈Z【解答過程】函數(shù)y=sinωx+φω>0,φ∈0,2π∴φ=k1π+π令k=k2?k1，則x=則?k∈Z，使得kπω?π6≤當(dāng)k=3時(shí)，ω取得最大值為83故選：C．【變式1-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0，若直線x=π4為函數(shù)fx圖象的一條對(duì)稱軸，5π3,0A．917 B．1817 C．1217【解題思路】根據(jù)fx的對(duì)稱性求出ω=1217k2【解答過程】由題意知直線x=π4為函數(shù)fx圖象的一條對(duì)稱軸，5故ωπ4+φ=k1又fx在π4,即得ω≤127，結(jié)合ω>0，即故當(dāng)k2?k1=1時(shí)，ω=k2故ω的最大值為1817故選：B．【變式1-3】（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)fx=sinωx+2π3ω>0A．2,5 B．1,14 C．9,10 D．10,11【解題思路】由x的范圍可求得ωx+2π【解答過程】當(dāng)x∈π12,∵fx在π12,解得：ω≥?14+24kω≤?1+12kk∈Z，又ω>0，解得：112<k≤1312，又k∈Z，即ω的取值范圍為10,11.故選：D.【題型2與三角函數(shù)的對(duì)稱性有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例2】（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=2sinωx+φ（ω>0，φ<π2）滿足fA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】求出φ，利用對(duì)稱軸即可得出ω的最小值.【解答過程】由題意，在fx=2sinωx+φ（由于f0=2sinφ=?1，即sinφ=?所以fx由f2x=fπ3?2x所以π6ω?π6=kπ+π2故選：D.【變式2-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知函數(shù)fx=sinωx?π3(ω>0)A．116,176 B．176,【解題思路】由x的取值范圍求出ωx?π3，再結(jié)合題意及正弦函數(shù)的性質(zhì)得到【解答過程】當(dāng)x∈0,π，則ωx?π依題意可得3π2≤ωπ故選：A.【變式2-2】（2023·云南大理·一模）函數(shù)fx=sinωx+φω>0,0<φ<π，若不等式fx≤fπ4ωA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得φ，再由函數(shù)fx的對(duì)稱軸得到ω【解答過程】由已知得fπ又0<φ<π，故π4+φ=∵fx的圖像關(guān)于x=∴ωπ8+則ω=2+8k>0，k∈Z∴當(dāng)k=0時(shí)，ω的最小值為2.故選：B.【變式2-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)是在區(qū)間π18,5π36上的單調(diào)減函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=?π36對(duì)稱，且fA．2 B．12 C．4 D．8【解題思路】根據(jù)函數(shù)fx的對(duì)稱軸得ω=36φ?18?36nπ，利用函數(shù)fx在π18,【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)fx=sin所以?ω?π36+φ=π2+nπ，n∈根據(jù)π18<x<5π36因?yàn)閒x=sin所以ωπ所以ωπ即ω18解得122k?n≤ω≤62k?n+1，n∈Z因?yàn)棣?gt;0，所以2k?n=0或2k?n=1，當(dāng)2k?n=0時(shí)，0<ω≤6，當(dāng)2k?n=1時(shí)，12≤ω≤12；由于π18<7π72<5所以ω×7π72所以ω×7π72+1即ω=82m?n+4，m∈Z，根據(jù)0<ω≤6或12≤ω≤12，可得ω=4，或ω=12，所以ω的最小值為4.故選：C.【題型3與三角函數(shù)的最值有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例3】（2023·四川瀘州·一模）已知函數(shù)fx=2sinωx?π6(ω>0)在0,A．0,23 B．1,53 C．【解題思路】利用整體法，結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)對(duì)x∈0,π3【解答過程】當(dāng)0<x<π3時(shí)，因?yàn)棣?gt;0，則因?yàn)楹瘮?shù)fx在0,π3上存在最值，則ω當(dāng)2π3<x<因?yàn)楹瘮?shù)fx在2則2π所以2πω3?π所以32k?1又因?yàn)棣?gt;0，則k∈0,1,2當(dāng)k=0時(shí)，0<ω≤2當(dāng)k=1時(shí)，1≤ω≤5當(dāng)k=2時(shí)，52又因?yàn)棣?gt;2，因此ω的取值范圍是52故選：C．【變式3-1】（2024·浙江溫州·一模）若函數(shù)fx=2sinωx?π3,ω>0，A．53,4 C．56,5【解題思路】利用x∈0,π2可得ωx?π3【解答過程】根據(jù)題意可知若x∈0,π2顯然當(dāng)x=0時(shí)，可得2sin由fx的值域?yàn)?3,2解得53≤ω≤103，即故選：D.【變式3-2】（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=4cosωx?π12(ω>0),fx在區(qū)間A．1,4 B．4,7 C．7,13 D．13,+【解題思路】根據(jù)函數(shù)能否取到最小值進(jìn)行分類討論即可.【解答過程】當(dāng)x∈0,π3時(shí)ωx?π12所以π3ω?π若π3ω?π12≥π，此時(shí)f代入可得π3若fx取不到最小值?4，則需滿足π3ω?pω=4cosπ3所以ω=4或者ω∈74,134故選：C.【變式3-3】（2023·新疆烏魯木齊·一模）已知函數(shù)fx=2sinωx+φ（ω>0，0<φ<π2）的圖象過點(diǎn)0,1，且在區(qū)間A．0,16 C．0,16∪【解題思路】先通過f0=1求出φ，然后求出使fx取最值時(shí)的x，再根據(jù)fx在區(qū)間【解答過程】∵函數(shù)fx=2sin∴f0=2sin又0<φ<π2∴fx令ωx+π6=∴當(dāng)x=π3ω+∵fx在區(qū)間π∴π3ω+當(dāng)k<?1時(shí)，ω不存在；當(dāng)k=?1時(shí)，?23≤ω≤16當(dāng)k=0時(shí)，13當(dāng)k>0時(shí)，ω不存在；綜合得ω的取值范圍是0,1故選：D.【題型4與三角函數(shù)的周期有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例4】（2023·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）記函數(shù)fx=cosωx+φ(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T，若fT=A．32 B．3 C．6 D．【解題思路】根據(jù)題意，求得fx=cos(ωx+π6)【解答過程】由函數(shù)fx=cos因?yàn)閒T=3又因?yàn)?<φ<π，可得φ=π6因?yàn)閤=π9為函數(shù)fx解得ω×π9+又因?yàn)棣?gt;0，所以ω的最小值為3.故選：B.【變式4-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sin2πωxω>0在區(qū)間0,2上單調(diào)，且在區(qū)間0,18A．19,5C．19,1【解題思路】根據(jù)復(fù)合型三角函數(shù)最小正周期的計(jì)算公式，結(jié)合其單調(diào)性和零點(diǎn)，可得答案.【解答過程】因?yàn)閒x=sin2π因?yàn)閒x在區(qū)間0,2上單調(diào)，所以14T=因?yàn)閒x在區(qū)間0,18上有5個(gè)零點(diǎn)，所以2T≤18<52T，即綜上，19故選：D．【變式4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記函數(shù)fx=cosωx+φ(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為T，若fT=?A．23 B．43 C．83【解題思路】根據(jù)已知條件列方程，求得ω的表達(dá)式，進(jìn)而求得ω的最小值.【解答過程】由于T=2πω，所以由于0<φ<π，所以φ=2π3由于x=π2為所以π2由于ω>0，所以ω的最小值為2?4故選：A.【變式4-3】（23-24高二下·江蘇南京·期末）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,φ<π2的最小正周期為T,fA．7π2,4π B．4π,【解題思路】根據(jù)題意得到曲線fx的一條對(duì)稱軸為x=T6+T32【解答過程】因?yàn)閒x=sin所以曲線fx的一條對(duì)稱軸為x=所以f0設(shè)零點(diǎn)從小到大依次為x1,x有72T≤2<4T，即7π所以ω的取值范圍是7π故選：A．【題型5與三角函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例5】（2023·全國(guó)·一模）已知函數(shù)fx=sinωx+π3(ω>0)A．83,11C．[113,【解題思路】先由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出3≤ω<6，再用整體法得到不等式組，求出ω的取值范圍.【解答過程】因?yàn)閤∈π3,π，ωx+π則π3ω+π滿足①π+2k1π≤π3ω+或要滿足②2k2π≤π3ω+經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，其他情況均不滿足3≤ω<6條件，綜上：ω的取值范圍是113故選：C.【變式5-1】（2023·吉林長(zhǎng)春·一模）將函數(shù)f(x)=cosx+2π3圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω(ω>0)，縱坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間0,A．94,3 B．94,4 C．【解題思路】先根據(jù)題目的要求伸縮變換得到解析式，然后結(jié)合函數(shù)在0,2π3【解答過程】依題意可得y=cos因?yàn)?≤x≤23π因?yàn)閥=cosωx+2π3在0,所以5π2≤2ω令2k2π≤ωx+2π3≤令k2=0，得y=cos所以?π12,所以?2π3ω≤?π綜上所述，114≤ω≤4，故ω的取值范圍是故選：C.【變式5-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=sinωx+π3(ω>0)在區(qū)間πA．83,+∞ B．83,+∞【解題思路】由f(x)=0得ωx+π3=kπ(k∈Z)，得x=kπ?π3ω(k∈Z)，不妨設(shè)【解答過程】由f(x)=0得ωx+π3=k不妨設(shè)xk=kπ?π3ω(k∈Z)即π2<k由k+23<2k?23當(dāng)k=2時(shí)，ω∈A當(dāng)k=3時(shí)，ω∈A當(dāng)k=4時(shí)，ω∈A當(dāng)k=5時(shí)，ω∈A可得當(dāng)k≥3時(shí)，k+1+23<2k?23所以A2故實(shí)數(shù)ω的取值范圍為83故選：C.【變式5-3】（2024·四川雅安·一模）已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)（ω>0且?π2<φ<π2），設(shè)T為函數(shù)f(x)的最小正周期，fT4A．17π6,23π6 B．17【解題思路】根據(jù)題意可確定T為函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期，結(jié)合fT4=?1求出φ【解答過程】由題意知T為函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期，故由fT4=?1得2由于?π2<φ<f(x)在區(qū)間[0,1]有且只有三個(gè)零點(diǎn)，故ωx+π且由于y=cosx在(0,+∞)上使得cosx=0故5π2≤ω+π6<故選：D.【題型6與三角函數(shù)的極值有關(guān)的ω的范圍與最值問題】【例6】（2023·四川成都·二模）將函數(shù)f(x)=sin12ωx?π6(ω>0)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的14，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象．若A．52,112 B．52,4【解題思路】先根據(jù)題意得出函數(shù)g(x)=sin2ωx?π6，當(dāng)0<x<π3時(shí)，?π【解答過程】由題可知，g(x)=sin2ωx?π6，當(dāng)因?yàn)間(x)在0,π3上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，所以5π所以ω的取值范圍為：4,11故選：C.【變式6-1】（2023·河南開封·模擬預(yù)測(cè)）已知將函數(shù)fx=2sinωx2cosωx2?3sinωx2A．53,+∞ B．83,4 【解題思路】利用三角恒等變化得f(x)=2sinωx+π【解答過程】因?yàn)閒(x)=2=2===2又因?yàn)間(x)=fx?令t=ωx+π3，又因?yàn)棣?gt;0,當(dāng)x∈(0,gx在0,π上有3個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于?(t)=cos?(t)=cos由余弦函數(shù)?(t)=cost的性質(zhì)可得:解得:83故選:C.【變式6-2】（2024·陜西渭南·一模）已知函數(shù)fx=sin①fx在區(qū)間0,π上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)；②fx③ω的取值范圍是134,174；④其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】令ωx+π4=π2+kπ，k∈Z，則x=π【解答過程】由函數(shù)fx令ωx+π4=π2+kπ因?yàn)閒x在區(qū)間[0,π]上有且僅有4個(gè)極值點(diǎn)，即可得0<π+4k解得0<1+4k4ω<1，即即1+4×3<4ω≤1+4×4，解得ω∈13對(duì)于①，當(dāng)x∈0,π時(shí)，ωx+π顯然當(dāng)ωπ+π4∈當(dāng)ωπ+π4∈對(duì)于②，fx的最小正周期為T=2π所以fx的最小正周期可能是π對(duì)于④，當(dāng)x∈π23,由ω∈134,由三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知fx在區(qū)間π即可得②③④正確.故選：C.【變式6-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)fx=sinx的圖像向左平移5π6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)gx的圖像，再將gx的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω（ω>0）倍，得到函數(shù)?A．76,83 B．53,【解題思路】現(xiàn)根據(jù)函數(shù)平移放縮變換，得到解析式，再根據(jù)?x在區(qū)間0,π【解答過程】法一：由題意，得gx=sinx+5π6=sinπ2+x+π3=cosx+π3法二：驗(yàn)證排除法.由題意可知gx=sinx+5π6=cosx+π3，所以?x=cosωx+π法三：由題可知，gx=sinx+5π6，所以?x=sinωx+5π6，令ωx+5π6=kπ+ωx+5π6=kπ，k∈Z，則x=kπ?5π6ω，k∈Z，分別令k=1,2,3故選：C．【題型7ω的范圍與最值問題：性質(zhì)的綜合問題】【例7】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=3cosωx+φω<0，?π2<φ<πA．π6,π2 B．?π2【解題思路】根據(jù)給定周期求得ω=?2，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性及零點(diǎn)所在區(qū)間列出不等式組，然后結(jié)合已知求出范圍.【解答過程】由函數(shù)f(x)的最小正周期為π，得2π|ω|=π，而則f(x)=3cos(?2x+φ)=3cos得2kπ+φ≤2x≤2kπ+π因此2kπ+φ≤?π3，且由余弦函數(shù)的零點(diǎn)，得2x?φ=nπ+π而f(x)在(0,π6)于是?nπ?π2<φ<?n所以φ的取值范圍是(?π故選：B.【變式7-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sin2ωx?φω>0滿足對(duì)任意的x∈R，均有fx≥fπA．14 B．12 C．34【解題思路】先根據(jù)fx≥fπ3,f【解答過程】由于對(duì)任意的x∈R，均有f所以fx在x=π3處取得最小值，點(diǎn)4所以2πω3?φ=2k因?yàn)閒x在π3,5πω>0，因此當(dāng)k2?2k1=1故選:C.【變式7-2】（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知fx=sinωx+π①φ=π②若gx的最小正周期為3π，則③若gx在區(qū)間0,π上有且僅有3個(gè)最值點(diǎn)，則ω的取值范圍為④若gπ4=A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解題思路】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【解答過程】對(duì)于①：若fx=sin則π3+φ=π2+kπ,k∈Z對(duì)于②：若gx的最小正周期為3π且ω>0，則T=2對(duì)于③：由x∈0,π，ω>0，得若gx在區(qū)間0,π上有且僅有則5π2<ω對(duì)于④：因?yàn)間x=sin則π4ω+π6=解得ω=23+8k又ω>0，所以ω的最小值為23故選：A.【變式7-3】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,0<φ<π2,y=fx+A．1 B．3 C．5 D．36【解題思路】由f?π4?x+f?π4+x=0、【解答過程】因?yàn)閒?π4則?π4ω+φ=m所以直線x=π4是fx由①②可得，φ=m+nπ2+π則ω=4n+1,n∈Z，因?yàn)閒x在π18,π4所以π4?π18≤πω，解得ω≤故選：C.一、單選題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)f(x)=sin(ωx)(ω>0)在0,π4上單調(diào)遞增，則A．0,12 B．(0,2) C．0,1【解題思路】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【解答過程】函數(shù)f(x)=sin(ωx)(ω>0)在當(dāng)x∈0,π4時(shí)，ωx∈0,π故選：D.2．（2024·重慶開州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=2sinωx(ω>0)，則“32<ω<3”是“A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件【解題思路】先求出fx的圖象在區(qū)間?π6【解答過程】當(dāng)?π6<x<π3若fx的圖象在區(qū)間?則?π2≤?因?yàn)?2,3真包含于所以32<ω<3是fx故選：A.3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)ω>0，已知函數(shù)fx=sin3ωx?π4sinA．1912,74 B．1712,【解題思路】令f(x)=0，解方程得x=4k+1π12ω或x=【解答過程】由題意可知，令fx即sin3ωx?π4即x=4k+1π12ω當(dāng)x>0時(shí)，零點(diǎn)從小到大依次為x=π因此有17π即ω∈17故選：B．4．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0，若f0=2A．3 B．1 C．67 D．【解題思路】由f0=22求出φ的取值，再根據(jù)f?π3【解答過程】因?yàn)閒0=2則φ=π4+2又f?π3當(dāng)π4,0是函數(shù)fx若φ=π4+2所以π4ω+π4+2所以當(dāng)k?2k1=1若φ=3π4+2所以π4ω+3π4+2所以當(dāng)k?2k2=1當(dāng)π4,0不是函數(shù)fx即sin?所以5π6所以7π6ω=π所以當(dāng)k=0時(shí)ωmin綜上所述：ωmin故選：C.5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sinωx+π3（ω>0）在區(qū)間0,5π6A．45,2 B．45,54【解題思路】由x范圍求得ωx+π3的范圍，結(jié)合整體思想轉(zhuǎn)化為y=sint在【解答過程】當(dāng)x∈0,5π因?yàn)閒(x)在0,5所以π<5π當(dāng)x∈?2π因?yàn)?5<ω≤2，所以又因?yàn)閒(x)在?2所以?π2≤?綜上可得45故選：C.6．（2024·四川內(nèi)江·三模）設(shè)函數(shù)f(x)=2sinωx+π3(ω>0)，若存在x1,x2∈?A．(0,12] B．[10,+∞) C．[10,12] 【解題思路】根據(jù)x∈?π6,π6ω，求出【解答過程】由于f(x)=2sinωx+π3(ω>0)又0∈?π6而在原點(diǎn)左側(cè)第一個(gè)使得2sinx=3的x的值為?由于存在x1,x2∈?π故需滿足?π即ω的取值范圍是[10,+∞故選：B.7．（2024·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=cosωx+φω>0,φ≤π2的圖象關(guān)于點(diǎn)π3,0中心對(duì)稱，且x=?A．8 B．7 C．274 D．【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到ω=3(2k+1)4φ=k′【解答過程】由函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)π3,0中心對(duì)稱，且x=?可得π3ω+φ=k1π因?yàn)棣铡堞?，當(dāng)k′=?1時(shí)φ=?因?yàn)閒x在區(qū)間0,2π解得0<ω≤10，即0<32k+14當(dāng)k=6時(shí)，ω=394,φ=當(dāng)k=5時(shí)，ω=334,φ=?當(dāng)k=4時(shí)，ω=274,φ=所以ω的最大值為274故選：C.8．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=cosωx+π4ω>0在區(qū)間π3,πA．0,14 B．12,34【解題思路】結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)列式計(jì)算即可得.【解答過程】當(dāng)x∈0,π時(shí)，ωx+π當(dāng)x∈π3,π時(shí)，即有π2<ωπ故選：C.二、多選題9．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=cosA．當(dāng)ω=2時(shí)，fx?π6B．當(dāng)ω=2時(shí)，fx在0,πC．當(dāng)x=π6為fxD．當(dāng)fx在?π3【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)分別判斷余弦函數(shù)的對(duì)稱軸，余弦函數(shù)的值域與最值，余弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)選項(xiàng)逐一判定即可．【解答過程】ω=2時(shí)，fx?π6所以fx?π6ω=2時(shí)，由x∈0,π2根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知cos2x+π3若fπ6=0，則π6ω+π3=π所以ω的最小值為1，故C正確；因?yàn)閒x在?π3根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知fxkπ≤ωx+π3≤2kπ+所以π6≤2π3ω故選：ACD．10．（2024·浙江溫州·三模）已知函數(shù)fx=sinωx+φ(ω>0),x∈A．若b?a=2,φ=π6，則ω不存在最大值 B．若b?a=2,φ=π6C．若b?a=3，則ω的最小值是43 D．若b?a=32【解題思路】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的最值取得條件，周期性及單調(diào)性檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.【解答過程】當(dāng)b?a=2,φ=π6時(shí)，a=?1，b=1，f(x)=sin(ωx+π為使ω更小，[π2,π]只包含一個(gè)最大、最小值點(diǎn)，所以πω所以k=1時(shí)，ω≥7C項(xiàng)：若b?a=3，當(dāng)ω取最小值時(shí)，周期最大，且fπ2,fπD項(xiàng)：若b?a=32，ω取最小值時(shí)，周期最大，fπ2,f故選：ABC．11．（2023·浙江·三模）已知函數(shù)fx=cosA．若fx=fπ?xB．若將fx的圖象向右平移π2個(gè)單位得到奇函數(shù)，則ωC．若fx在π2D．若fx在π2【解題思路】由fx=fπ?x可得fx關(guān)于x=π2對(duì)稱，所以ω?π2+π4=kπ,k∈Z，求出ω可判斷A；由三角函數(shù)的平移變換求出【解答過程】對(duì)于A，由fx=fπ?x可得所以ω?π2+因?yàn)棣?gt;0，所以ω的最小值為32對(duì)于B，將fx的圖象向右平移π2個(gè)單位得到gx所以?π2ω+π4=π對(duì)于C，函數(shù)fx2kπ≤ωx+π令k=0，?π4ω≤x≤對(duì)于D，若fx在π2,取ω=1，令fx=cos則x=π4+kπ,k∈故選：ABC.三、填空題12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=cos2ωx?π6(ω>0)在區(qū)間π【解題思路】利用所有對(duì)稱軸都不在區(qū)間π2,π內(nèi)，則函數(shù)在π【解答過程】fx的最小正周期T=因?yàn)閒x在區(qū)間π2,π上是單調(diào)的，所以由2ωx?π6=kπk∈Z由題意，知fx的圖象在區(qū)間π2,解得6k+16≤ω≤6k+712k∈Z.結(jié)合0<ω≤1故答案為：71213．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=2cosωx+π3?1(ω>0)在0,【解題思路】結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可得.【解答過程】由fx=0，得由0<