第4節(jié)復數(shù)向量三角綜合教師版

第4節(jié)復數(shù)&三角綜合復習題型匯總：復數(shù)運算及三角式三角和向量綜合一、知識點：1.復數(shù)的概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當時，．（2）形如的數(shù)叫復數(shù)，記作．=1\*GB3①復數(shù)與復平面上的點一一對應，叫的實部，叫的虛部；點組成實軸；叫虛數(shù)；且，叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復數(shù)互為共軛復數(shù)．=2\*GB3②兩個復數(shù)相等（兩復數(shù)對應同一點）=3\*GB3③復數(shù)的模：復數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．2.復數(shù)的運算法則（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復數(shù)．（3）．實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復數(shù)．3.復數(shù)的幾何意義（1）復數(shù)對應平面內(nèi)的點；（2）復數(shù)對應平面向量；（3）復平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復數(shù)．（4）復數(shù)的模表示復平面內(nèi)的點到原點的距離．注意：復數(shù)加、減法的幾何意義以復數(shù)分別對應的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復數(shù)所對應的向量．對應的向量是．二、題型：題型1.復數(shù)運算例1.（2023春·全國·高一專題練習）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，則，則，所以，，解得，因此，.故選：C.【變式11】.（2024春·高一課時練習）若復數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題得，所以.故選：C【變式12】.（2024·高一單元測試）已知為實數(shù)，且(為虛數(shù)單位)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意知，解得，所以故選：A【變式13】．（多選）已知復數(shù)，則下列敘述正確的是A．的虛部為 B．在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限 C． D．【解答】解：，則的虛部為2，故錯誤，在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，故正確，，則，故正確，，故錯誤．故選：．題型2.復數(shù)三角形式（1）復數(shù)的三角表示式一般地，任何一個復數(shù)都可以表示成形式，其中是復數(shù)的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數(shù)的輻角．叫做復數(shù)的三角表示式，簡稱三角形式．（2）輻角的主值任何一個不為零的復數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數(shù)倍．規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．（3）三角形式下的兩個復數(shù)相等兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等．（4）復數(shù)三角形式的乘法運算①兩個復數(shù)相乘，積的模等于各復數(shù)的模的積，積的輻角等于各復數(shù)的輻角的和，即．②復數(shù)乘法運算的三角表示的幾何意義復數(shù)對應的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋?，得到向量，表示的復?shù)就是積．（5）復數(shù)三角形式的除法運算兩個復數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即．例2.（2023·江蘇·高一專題練習）復數(shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，故選：C.【變式21】.（2023·全國·高一專題練習）已知為虛數(shù)單位，，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，.故選：D.【變式22】.（2024·高一課時練習）設(shè)復數(shù)和的輻角主值分別為和，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：依題意復數(shù)和的輻角主值分別為和所以，，，所以因為，，所以所以故選：C【點睛】本題考查輻角的概念，兩角和的余弦公式的應用，屬于中檔題.例3.（2024·高一課時練習）瑞士數(shù)學家歐拉被認為是歷史上最偉大的數(shù)學家之一，他發(fā)現(xiàn)了歐拉公式，它將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．特別是當時，得到一個令人著迷的優(yōu)美恒等式，這個恒等式將數(shù)學中五個重要的數(shù)（自然對數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位1和數(shù)字0）聯(lián)系到了一起，若表示的復數(shù)對應的點在第二象限，則可以為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】得，當時，，復數(shù)對應的點在第一象限；當時，，復數(shù)對應的點在第二象限；當時，，復數(shù)對應的點在軸上；當時，，復數(shù)對應的點在第四象限；故選：B．【變式31】.（2023·全國·高一專題練習）棣莫弗公式（其中為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學家棣莫弗（16671754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】由棣莫弗公式知，，復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點的坐標為，位于第三象限．故選：C．【變式32】．（2023·全國·高一專題練習）歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽為“數(shù)學中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（

）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復數(shù)為【答案】D【詳解】對于A，，其虛部為1，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，則，故C錯誤；對于D,，故的共軛復數(shù)為，D正確，故選：D題型3.三角向量綜合例4.（2024秋·湖北恩施·高一校考期末）已知向量，，函數(shù).(1)求函數(shù)在的單調(diào)減區(qū)間；(2)當時，若，求的值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）令，，解得：，的單調(diào)遞減區(qū)間為當時，在的單調(diào)減區(qū)間為（2）由得：

【變式41】.（2023秋·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習）已知，設(shè)函數(shù)（1）當，求函數(shù)的值域；（2）當，且，求的值．【答案】（1）f（x）=2sin（x+）+1∈[0，3]；（2）解：（1）∵=（cos2，sinx），=（2，1），∴f（x）==2cos2+sinx=1+cosx+sinx=2sin（x+）+1，∵x，可得：x+∈[﹣，]，∴sin（x+）∈[﹣，1]，可得：f（x）=2sin（x+）+1∈[0，3]．（2）∵f（α）=2sin（α+）+1=，∴解得：sin（α+）=，∵﹣，α+∈（﹣，），∴cos（α+）==，∴sin（2）=sin[2（α+）]=2sin（α+）cos（α+）=2×=．【變式42】.（2024春·湖北·高一校聯(lián)考期中）已知向量，，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當時，求函數(shù)的值域.【答案】(1)(2)(1)∵，，∴，令，，得，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)當時，，則，故，因此，當時，函數(shù)的值域為.例5.（2023春·陜西西安·高一長安一中?？计谥校┮阎蛄?，，且函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若在△ABC中，分別為角的對邊，，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為向量，且函數(shù)，所以，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）因為，所以，即，所以，因為，所以，因為，所以，所以，，由，得，所以所以.【變式51】．（2023春·北京通州·高一統(tǒng)考期中）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量與垂直．(1)求A的大??；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，即．由正弦定理得．因為，所以，所以，所以．因為，所以．（2）由余弦定理，得，

所以，

解得，或（舍）．

所以的面積．【變式52】．（2023春·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學?？茧A段練習）向量，設(shè)函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的值域；(2)已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可得：，因為，則，當，即時，取到最小值；當，即時，取到最大值；所以函數(shù)的值域為.（2）由（1）可知：，即，因為，則，所以，解得，又因為，由正弦定理可得：，解得，又因為，則，所以，即.例6.（2024·高一課時練習）已知向量，，令，且的周期為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若時，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1).(2)【詳解】（1），因為的周期為，且，則，所以，所以．（2）因為，所以，所以，所以，由，得即可，所以，所以．【變式61】.（2023春·廣東肇慶·高一?？计谥校┮阎蛄?，，函數(shù)，的最小正周期為．(1)求的解析式；(2)方程在上有且只有一個解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：，，∵的最小正周期為，∴，∴，則.（2）因為方程與在上有且僅有1個解，所以函數(shù)與在的圖象只有1個交點，∵，∴，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，∵，，，若要使與只有1個交點，則或，解得或．【變式62】.（2023春·福建福州·高一福建省福州第八中學?？计谥校┮阎蛄?，，函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式和對稱軸方程；(2)若時，關(guān)于的方程恰有三個不同的實根，，，求實數(shù)的取值范圍及的值.【答案】(1)，對稱軸方程是，；(2)，．【詳解】（1）由已知，，，所以對稱軸方程是，；（2），時，遞增，時，遞減，，，，方程為，即，，或，因為，所以時，，設(shè)，原方程有三個解，因此，即，在上有兩個解，記為，則，所以．鞏固練習1.（2023春·福建三明·高一?？茧A段練習）已知，是虛數(shù)單位.若，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因，a，，則有，所以.故選：B2.（2023·全國·高一專題練習）復平面內(nèi)，向量對應復數(shù)的共軛復數(shù)為，則對應復數(shù)的幅角主值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為復數(shù)的共軛復數(shù)為，即向量對應的復數(shù)為，，，則的幅角主值為即對應復數(shù)的幅角主值為故選：D3.（2024·高一課時練習）已知復數(shù)可以寫成，這種形式稱為復數(shù)的三角式，其中叫復數(shù)的輻角，．若復數(shù)，其共軛復數(shù)為，則下列說法①復數(shù)的虛部為；②；③與在復平面上對應點關(guān)于實軸對稱；④復數(shù)的輻角為；其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】解：對于①，復數(shù)的虛部為，所以①錯誤；對于②，因為，所以，所以，，所以，所以②錯誤；對于③，和在復平面對應的點分別為，兩點關(guān)于實軸對稱，所以③正確；對于④，，所以復數(shù)z的輻角為，所以④正確，故選：B4.（2023春·貴州畢節(jié)·高一校考階段練習）已知平面向量，，函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的最小正周期；(2)當時，求函數(shù)的值域.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）方法一：因為向量，，可得且，，，可得函數(shù)的最小正周期為.

方法二：因為向量，，，，即，可得函數(shù)的最小正周期為.（2）由（1）知，因為，可得，當時，即時，函數(shù)取得最小值，最小值為－1.當時，即時，函數(shù)取得最大值，最大值為.所以，當時，函數(shù)的值域為.5.（2024·高一課時練習）已知向量與向量的夾角為，其中、、是的內(nèi)角．(1)求的大小；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），，，又，，化簡得，（舍去）或，又，；（2）因為，所以，所以，所以，，則，．6.（2023春·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學?？茧A段練習）已知向量，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和對稱軸；(2)若關(guān)于的方程在上有兩個不同的解，記為.①求實數(shù)的取值范圍；②證明：.【答案】(1)，對稱軸為(2)①；②證明見解析【詳解】（1），令此時函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.令得，所以函數(shù)的對稱軸為；（2）①，，由圖象分析得，有兩個不同的解，則，.②因為是方程的兩個根，所以，由圖象分析得，，.7.（2023·全國·高一專題練習）設(shè)復數(shù)，滿足，，，則________．【答案】【詳解】解：因為，所以，又，，所以，所以，所以，所以，故答案為：.8.（2024·高一課時練習）復數(shù)的輻角，則對應的點位于第______象限．【答案】一【詳解】解：設(shè)，，則，因為，所以，所以，則，所以對應的點位于第一象限.故答案為：一.9.（多選）（2023春·山東棗莊·高一棗莊八中校考階段練習）任何一個復數(shù)（其中、，為虛數(shù)單位）都可以表示成：的形式，通常稱之為復數(shù)的三角形式.法國數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（

）A．B．當，時，C．當，時，D．當，時，若為偶數(shù)，則復數(shù)為純虛數(shù)【答案】AC【詳解】對于A選項，，則，可得，，A選項正確；對于B選項，當，時，，B選項錯誤；對于C選項，當，時，，則，C選項正確；對于D選項，，取，則為偶數(shù)，則不是純虛數(shù)，D選項錯誤.故選：AC.10.（2023春·北京·高一校