【滬科版數(shù)學九年級上冊導學案】22.2　相似三角形的判定(第3課時)

第3課時相似三角形的判定(3)【學習目標】1．經(jīng)歷三角形相似的判定定理2的探索及證明．2．能應(yīng)用判定定理2判定兩個三角形相似解決相關(guān)問題．【學習重點】三角形相似的判定定理2及應(yīng)用．【學習難點】三角形相似的判定定理2的證明．舊知回顧：1．相似三角形的定義是什么？三邊成比例，三角分別相等的兩個三角形相似．2．判定兩個三角形相似，你有哪些方法？方法1：通過定義(不常用)；方法2：通過平行線(條件特殊，使用起來有局限性)；方法3：判定定理1，兩角分別相等的兩個三角形相似(不需要邊的條件、使用靈活)．基礎(chǔ)知識梳理eq\a\vs4\al(知識模塊一三角形相似的判定定理2的證明)閱讀教材P79頁的內(nèi)容，回答以下問題：三角形相似的判定定理2是什么？如何證明？如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．(簡稱：兩邊成比例且夾角相等的兩三角形相似．)探究：已知，如圖，在△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′).求證：△A′B′C′∽△ABC.證明：在△ABC的邊AB上，截取AD＝A′B′，過點D作BC的平行線DE交AC于E，則∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC.∵eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)，AD＝A′B′，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,AE).∵eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)，∴eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(AC,AE)，A′C′＝AE.∵∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′(SAS)，∴△A′B′C′∽△ABC.你還有其他方法來證明嗎？例：如圖所示，eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(3,2)，則下列結(jié)論不成立的是(D)A．△ABD∽△ACEB．△BOE∽△CODC．∠B＝∠CD．BE∶CD＝3∶2eq\a\vs4\al(知識模塊二三角形相似的判定定理2的應(yīng)用)例1：如圖所示，△ABD∽△ACE.求證：△ADE∽△ABC.證明：∵△ABD∽△ACE，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)，∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE.例2：如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，AB＝2，CD＝3，BC＝7，在BC上找一點P，使以A、B、P為頂點的三角形和△CDP相似，并求BP的長．解：若∠B＝∠C，則可分eq\f(AB,CD)＝eq\f(BP,PC)或eq\f(AB,PC)＝eq\f(BP,CD)兩種情況．∴設(shè)BP＝x，PC＝7－x，得eq\f(2,3)＝eq\f(x,7－x)或eq\f(2,7－x)＝eq\f(x,3)，解得x＝eq\f(14,5)，解得x＝1或6.∴BP的長為1或6或eq\f(14,5).例3：如圖，已知正方形ABCD中，P是BC上一點，且BP＝3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP.【分析】欲證△ADQ∽△QCP，通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形已經(jīng)具備一角對應(yīng)相等，即∠D＝∠C，此時，可再尋求此對等角的兩對鄰邊對應(yīng)成比例．證明：設(shè)正方形的邊長為a.∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝BC＝CD＝a.∵Q是CD的中點，∴DQ＝QC＝eq\f(1,2)a.∵BP＝3PC，∴PC＝eq\f(1,4)a，∴eq\f(AD,QC)＝eq\f(a,\f(1,2)a)＝eq\f(2,1)，eq\f(DQ,PC)＝eq\f(\f(1,2)a,\f(1,4)a)＝eq\f(2,1)，∴eq\f(AD,QC)＝eq\f(DQ,CP).又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.基礎(chǔ)知識訓練1．如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，點D在AC上，且AD＝2，如果要在AB上找一點E，使△ADE與△ABC相似，則AE＝1.5或eq\f(8,3)．(第1題圖)(第2題圖)2．如圖，∠1＝∠2，添加一個條件eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，使得△ADE∽△ABC.3．如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點O，∠ABD＝∠ACD，試找出圖中的相似三角形，△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC．本課內(nèi)容反思1．收獲：_________________________________________________